Kako pomnožiti mješoviti broj prostim brojem. Množenje razlomaka

U toku prosječne i srednja škola Učenici su prošli kroz temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često i ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Šta je razlomak?

Istorijski se dogodilo da su se razlomci pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što praksa pokazuje, često postoje primjeri za određivanje dužine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se studenti upoznaju sa konceptom udjela. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, onda će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovinom; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 se pozivaju obične frakcije. Običan razlomak se dijeli na brojilac i imenilac. Između njih je razlomka, ili frakciona linija. Razlomka se može nacrtati kao horizontalna ili nagnuta linija. AT ovaj slučaj označava znak podjele.

Imenilac predstavlja na koliko jednakih udela je podeljena vrednost; a brojnik je koliko je jednakih udjela uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, svaki dio je označen latiničnim slovom, onda kao rezultat možete dobiti odličan vizuelni materijal. Dakle, tačka A pokazuje udio jednak 1/4 cjelokupnog segmenta jedinice, a tačka B označava 2/8 ovog segmenta.

Sorte frakcija

Razlomci su uobičajeni, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.

Pravi razlomak je broj čiji je brojilac manji od imenioca. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojilac veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. jedan - cijeli dio, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj pretvoren u nepravilan razlomak.

Tačan frakcijski izraz je uvijek manji od jedan, a netačan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan sa nekoliko nula. Ako je razlomak tačan, onda je cijeli dio decimalni zapisće biti jednak nuli.

Da biste napisali decimalu, prvo morate napisati cijeli broj, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati frakcijski izraz. Treba imati na umu da nakon zareza brojilac mora sadržavati onoliko numeričkih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Pogrešno je zapisivati ​​nepravilan razlomak u odgovoru zadatka, pa se mora pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojilac sa postojećim nazivnikom;
• in konkretan primjer nepotpuni količnik - cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, pri čemu imenilac ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5 .

Odluka. 47: 5. Nepotpuni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Ponekad morate mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli broj se množi sa nazivnikom razlomka;
• rezultirajući proizvod se dodaje brojiocu;
• rezultat je upisan u brojiocu, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Predstavite broj u mešoviti oblik kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10 .

Odluka. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojilac.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Možete izvoditi razne algebarske operacije nad običnim razlomcima. Da biste pomnožili dva broja, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Štoviše, množenje razlomaka sa različiti imenioci ne razlikuje se od proizvoda razlomaka sa istim nazivnicima.

Dešava se da nakon pronalaska rezultata trebate smanjiti razlomak. Imperativ je pojednostaviti rezultirajući izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je teško nazvati i tačnim odgovorom.

Primjer. Pronađite proizvod dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja proizvoda, dobiva se reducibilna frakcija. I brojnik i imenilac u ovom slučaju su djeljivi sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka se po principu prilično razlikuje od proizvoda običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

• dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da su krajnje desne cifre jedna ispod druge;
• potrebno je pomnožiti napisane brojeve, uprkos zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• izbrojati broj cifara iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu koji se dobije nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova na desnoj strani koliko ih sadrži zbir u oba faktora nakon decimalnog zareza i staviti znak za razdvajanje;
• ako u proizvodu ima manje znamenki, onda se ispred njih mora napisati toliko nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodijeliti cijeli broj jednak nuli.

Primjer. Izračunajte umnožak dvije decimale: 2,25 i 3,6.

Odluka.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
• naći umnožak brojnika;
• pronaći proizvod nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostavite izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite proizvod 4½ i 6 2 / 5.

Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)

Pored pronalaženja umnožaka dva razlomka, mješovitih brojeva, postoje zadaci gdje treba množiti razlomkom.

Dakle, da nađem posao decimalni razlomak i prirodan broj, potrebno je:

• upišite broj ispod razlomka tako da su krajnje desne cifre jedna iznad druge;
• pronaći posao, uprkos zarezu;
• u dobivenom rezultatu odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući nadesno broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Da biste običan razlomak pomnožili brojem, trebali biste pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor razlomak koji se može smanjiti, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunaj proizvod 5/8 i 12.

Odluka. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti rezultirajući rezultat i pretvoriti netačan razlomak u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje proizvoda broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti brojem, pomnožiti brojilac sa istom vrijednošću, a imenilac ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite proizvod 9 5 / 6 i 9.

Odluka. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo slijedi iz prethodnog stava. Da biste pomnožili decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, 10000, itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znakova cifara koliko ima nula u množitelju nakon jedan.

Primjer 1. Pronađite proizvod 0,065 i 1000.

Odluka. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primjer 2. Pronađite proizvod 3,9 i 1000.

Odluka. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Ako trebate množiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem proizvodu za onoliko znakova cifara koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, dovoljan broj nula upisuje se ispred prirodnog broja.

Primjer 1. Pronađite proizvod 56 i 0,01.

Odluka. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primjer 2. Pronađite proizvod 4 i 0,001.

Odluka. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje razlomka sa razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)

Razmotrimo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojiocem drugog razlomka, a imenilac prvog razlomka množimo imenilac drugog razlomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)

Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je smanjen za 3.

Množenje razlomka brojem.

Počnimo s pravilom bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Koristimo ovo pravilo za množenje.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješoviti razlomak.

Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj sa brojnikom i ostavite imenilac nepromijenjen. primjer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mješovitih razlomaka.

Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Brojilac se množi sa brojiocem, imenilac se množi sa imeniocem.

primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzni razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni. Proizvod recipročnih razlomaka je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: proizvod običnih razlomaka je množenje brojioca sa brojiocem, nazivnika sa imeniocem. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako pomnožiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno da li su nazivnici razlomaka isti ili različiti, množenje se vrši po pravilu za pronalaženje umnožaka brojioca sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.

Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj sa brojicom, a imenilac ostavimo isti.

Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Odluka:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)

Odluka:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte proizvod dva recipročna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)

Odluka:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) prirodni brojevi u isto vrijeme?

Odluka:
a) Koristimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegova recipročna vrijednost će biti jednaka \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uslov da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvek pod određenim uslovima, kada su brojilac i imenilac jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), onda će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je ovaj broj 1.

Primjer #6:
Izvedite proizvod mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )

Odluka:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti istovremeno mješoviti brojevi?

Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), nađemo njegovu recipročnu vrijednost, za ovo ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Njegova recipročna vrijednost će biti jednaka \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Sabiranje i oduzimanje razlomaka"). Većina težak trenutak u tim radnjama bilo je smanjenje razlomaka na zajednički imenilac.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od sabiranja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizilazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, smanjeni razlomak može nastati (i često se javlja) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: bez unakrsnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izvući iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine afirmativnu.

Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno da se riješi cijeli dio. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, jer nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobijate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prevodimo sve razlomke u nepravilne, a onda minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što je ostalo se množi sa uobičajena pravila. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi konkretno na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Takođe obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se množe, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je veoma naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo označeni su crvenom bojom.

Napomena: u prvom slučaju množitelji su u potpunosti smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se generalno može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kom slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje zbog činjenice da se prilikom sabiranja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, jer je u ovom svojstvu mi pričamo Radi se o množenju brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Ispravno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

) i nazivnik po imeniocu (dobijamo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego što nastavite s množenjem brojilaca i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomaka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

Podjela običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koje uključuje prirodan broj.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne;
• množi brojioce i nazivnike razlomaka;
• smanjujemo razlomak;
• ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih morate dovesti u obrazac nepravilni razlomci, a zatim pomnožite po pravilu množenja običnih razlomaka.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Razlomci na više nivoa.

U srednjoj školi često se nalaze trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 boda:

Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da zapišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se zbunite u proračunima u glavi.

2. U zadacima sa različite vrste razlomci - idite na oblik običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa unosimo u obične, koristeći dijeljenje na 2 tačke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

Obični razlomci prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno uzeti u obzir ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijeliti. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII vijeku se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je bilo veoma teško prikazati u razumevanju ljudi.

moderan izgled jednostavne frakcione ostatke, čiji su delovi odvojeni precizno horizontalnom linijom, prvi su priložili Fibonači - Leonardo iz Pize. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja miješanih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti varijeteti frakcija:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješovito.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa je lako formulisati nezavisno: rezultat množenja prosti razlomci sa istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojilac proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika datih razlomaka. To je, u suštini, novi imenilac postoji kvadrat jednog od postojećih u početku.

Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomke biti proizvod različitih brojeva i, naravno, kvadrata od jedan numerički izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika sa brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Zajedno sa jednostavnim razlomci brojeva, postoji koncept miješanih razlomaka. Mješoviti broj se sastoji od cijelog broja i razlomka, to jest, on je zbir ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Nekoliko primjera je dato za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

U primjeru se koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju po formuli:

a* b/c = a*b /c.

U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka, a broj članova označava ovaj prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:

d* e/f = e/f: d.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način da se mješoviti razlomak predstavi kao nepravilan razlomak, također se može predstaviti kao opšta formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemu se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojniku originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.

Ovaj proces takođe funkcioniše u poleđina. Da biste izolovali cijeli broj i razlomak ostatak, trebate podijeliti brojilac nepravilnog razlomka s njegovim nazivnikom s "uglom".

Množenje nepravih razlomaka proizveden na uobičajen način. Kada unos ide ispod jedne razlomke, po potrebi morate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programe. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani onlajn kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, odabire se znak matematičke radnje i pritisne se dugme "izračunaj". Program broji automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima je relevantna u cijelom obrazovanju učenika srednjih i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, već cjelobrojni razlomci, ali se znanje o pravilima za transformaciju i proračune, dobijeno ranije, primjenjuje u izvornom obliku. dobro svareno osnovno znanje ukazati puno poverenje dobra odluka većina izazovni zadaci.

U zaključku, logično je navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojilac – svoje zasluge, ali svako može umanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.