Najmanji zajednički višekratnik dva broja direktno je povezan sa najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva. Ovo veza između GCD i NOC je definisan sljedećom teoremom.

Teorema.

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenih najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b, tj. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Dokaz.

Neka bude M je neki višekratnik brojeva a i b. To jest, M je deljivo sa a, a prema definiciji deljivosti, postoji neki ceo broj k takav da je jednakost M=a·k tačna. Ali M je također deljivo sa b, tada je a k deljivo sa b.

Označimo gcd(a, b) kao d. Tada možemo zapisati jednakosti a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d će biti međusobno prosti brojevi. Dakle, uslov dobijen u prethodnom paragrafu da je a k deljivo sa b može se preformulisati na sledeći način: a 1 d k je deljivo sa b 1 d , a to je, zbog svojstava deljivosti, ekvivalentno uslovu da je a 1 k je djeljiv sa b jedan .

Takođe morate napisati dva važne posledice iz razmatrane teoreme.

Zajednički višekratnici dva broja isti su kao višekratnici njihovog najmanjeg zajedničkog višekratnika.

To je tačno, budući da je svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran jednakošću M=LCM(a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t .

Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.

Obrazloženje za ovu činjenicu je sasvim očigledno. Pošto su a i b međusobno prosti, onda je gcd(a, b)=1, dakle, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika tri ili više brojeva može se svesti na sukcesivno pronalaženje LCM dva broja. Kako se to radi prikazano je u sljedećoj teoremi: a 1 , a 2 , ..., a k se poklapaju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k-1 i a k ​​, dakle, poklapaju se sa višekratnicima m k . A pošto je najmanji pozitivni višekratnik broja m k sam broj m k, onda je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Tutorial za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.

Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Zajednički višekratnik dva cijela broja je cijeli broj koji je jednako djeljiv sa oba data broja bez ostatka.

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv jednako i bez ostatka sa oba data broja.

Metoda 1. Možete pronaći LCM, zauzvrat, za svaki od datih brojeva, ispisujući rastućim redom sve brojeve koji se dobiju množenjem sa 1, 2, 3, 4, itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Broj 6, uzastopno, množimo sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9, uzastopno, množimo sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 će biti 18.

Ova metoda je zgodna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvocifrenu ili trocifrenim brojevima, kao i kada postoje tri ili čak više početnih brojeva.

Metoda 2. LCM možete pronaći razlaganjem originalnih brojeva na proste faktore.
Nakon dekompozicije potrebno je izbrisati iz rezultirajućeg niza prosti faktori isti brojevi. Preostali brojevi prvog broja bit će faktor za drugi, a preostali brojevi drugog broja bit će faktor za prvi.

Primjer za brojeve 75 i 60.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60 može se naći bez pisanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razlažemo 75 i 60 na proste faktore:
75 = 3 * 5 * 5, i
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 se javljaju u oba reda. Mentalno ih "precrtavamo".
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Prilikom rastavljanja broja 75 ostavili smo broj 5, a prilikom rastavljanja broja 60 ostavili smo 2 * 2
Dakle, da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo pomnožiti preostale brojeve iz proširenja 75 (ovo je 5) sa 60, a brojeve preostale od proširenja broja 60 (ovo je 2 * 2 ) množimo sa 75. To jest, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "unakrst".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer. Odredi LCM za brojeve 12, 16, 24
AT ovaj slučaj, naše akcije će biti nešto komplikovanije. Ali, prvo, kao i uvijek, rastavljamo sve brojeve na proste faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (ovo je broj 12) i uzastopno prolazimo kroz njegove faktore, precrtavajući ih ako barem jedan od ostalih redova brojeva ima isti faktor koji još nije prekrižen van.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim serijama brojeva. Precrtavamo ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim činiocima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali on je prisutan u prostim činiocima broja 24. Precrtavamo broj 3 iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuje ništa. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom razlaganja broja 12, "precrtali" smo sve brojeve. Dakle, nalaz NOO-a je završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzimamo preostale faktore od broja 16 (najbliži uzlaznim redom)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC

Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda vam omogućava da to učinite brže. Međutim, oba načina pronalaženja LCM-a su ispravna.

Nastavimo raspravu o najmanjem zajedničkom višekratniku koju smo započeli u LCM-u - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri. U ovoj temi ćemo razmotriti načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, analizirat ćemo pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajednički djelitelj. Sada ćemo naučiti kako definirati LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj koristeći formulu LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Primjer 1

Potrebno je pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Odluka

Uzmimo a = 126 , b = 70 . Zamijenite vrijednosti u formuli za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi GCD brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklid algoritam: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dakle gcd (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM (126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite nok brojeva 68 i 34.

Odluka

GCD je u ovom slučaju lako pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, tada će LCM ovih brojeva biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM-a faktoringom brojeva u proste faktore

Pogledajmo sada način da pronađemo LCM, koji se zasniva na dekompoziciji brojeva na proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• činimo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• iz njihovih dobijenih proizvoda isključujemo sve primarne faktore;
• proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.

Ovaj način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) . Ako pogledate formulu, postaje jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji su uključeni u proširenje ova dva broja. U ovom slučaju, GCD dva broja jednak je proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih izdvojiti ovako: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7. Ako napravite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako izuzmemo faktore 3 i 5 koji su zajednički za oba broja, dobićemo proizvod sledeće vrste: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 i 700 , razlažući oba broja u proste faktore.

Odluka

Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Proizvod svih faktora koji su učestvovali u ekspanziji ovih brojeva će izgledati ovako: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovaj broj je 7. Isključimo to iz zajednički proizvod: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Razložimo oba broja na proste faktore:
• dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
• dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se na brojeve 75 i 210, za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3 , 5 i 5 broj 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 i 7 brojevi 210 . Dobijamo: 2 3 5 5 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Odluka

Hajde da dekomponujemo brojeve iz uslova na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 i 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajte proizvodu faktora 2 , 2 , 3 i 7 brojevi 84 faktori koji nedostaju 2 , 3 , 3 i
3 brojevi 648 . Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.

odgovor: LCM (84, 648) = 4536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.

Teorema 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom proračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na specifične probleme.

Primjer 7

Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik od četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Odluka

Hajde da uvedemo notaciju: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Koristimo Euklidski algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Dakle, m 2 = 1 260 .

Sada izračunajmo prema istom algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . U toku proračuna dobijamo m 3 = 3 780.

Ostaje nam da izračunamo m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) . Postupamo po istom algoritmu. Dobijamo m 4 = 94 500.

LCM od četiri broja iz primjera stanja je 94500.

odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično naporni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:

• rastaviti sve brojeve na proste faktore;
• proizvodu faktora prvog broja dodati faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
• dodati faktore trećeg broja koji nedostaju proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi, itd.;
• rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Potrebno je pronaći LCM od pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka

Razložimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.

Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rasporedili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Okrećemo se broju 48, od proizvoda prostih faktora od kojih uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo jednostavan faktor 7 od četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Pronalaženje najmanje zajedničkog više negativnih brojeva

Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, ovi brojevi se prvo moraju zamijeniti brojevima sa suprotan znak, a zatim izvršite proračune prema gore navedenim algoritmima.

Primjer 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako se to prihvati a i − a- suprotni brojevi
zatim skup višekratnika a poklapa se sa skupom višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 i − 45 .

Odluka

Hajde da promenimo brojeve − 145 i − 45 na njihove suprotne brojeve 145 i 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , nakon što smo prethodno odredili GCD koristeći Euklid algoritam.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Poziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički djelitelj ove brojke. Označimo GCD(a, b).

Razmotrimo pronalaženje GCD na primjeru dva prirodni brojevi 18 i 60:

1 Razložimo brojeve na proste faktore:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Izbrišemo iz proširenja prvog broja sve faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja, dobićemo 2×3×3 .

3 Pomnožimo preostale proste faktore nakon precrtavanja i dobijemo najveći zajednički djelitelj brojeva: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Imajte na umu da nije bitno od prvog ili drugog broja precrtavamo faktore, rezultat će biti isti:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 i 432

Razložimo brojeve na proste faktore:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Brisanjem iz prvog broja, čiji faktori nisu u drugom i trećem broju, dobijamo:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Kao rezultat GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Pronalaženje GCD pomoću Euklidovog algoritma

Drugi način da se pronađe najveći zajednički djelitelj pomoću Euklidov algoritam. Euklidov algoritam je najviše efikasan način nalaz GCD, koristeći ga morate stalno pronaći ostatak dijeljenja brojeva i primijeniti ponavljajuća formula.

Rekurentna formula za GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), gdje je mod b ostatak dijeljenja a sa b.

Euklidov algoritam

Primjer Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 7920 i 594

Nađimo GCD( 7920 , 594 ) koristeći Euclid algoritam, izračunat ćemo ostatak dijeljenja pomoću kalkulatora.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Kao rezultat, dobijamo GCD( 7920 , 594 ) = 198

Najmanji zajednički višekratnik

Da biste pronašli zajednički imenilac pri sabiranju i oduzimanju razlomaka sa različiti imenioci treba znati i biti u stanju izračunati najmanji zajednički višekratnik(NOC).

Višekratnik broja "a" je broj koji je i sam djeljiv brojem "a" bez ostatka.

Brojevi koji su višestruki od 8 (to jest, ovi brojevi će biti podijeljeni sa 8 bez ostatka): to su brojevi 16, 24, 32 ...

Višestruki od 9: 18, 27, 36, 45…

Postoji beskonačno mnogo višekratnika datog broja a, za razliku od djelitelja istog broja. Delitelji - konačan broj.

Zajednički višekratnik dva prirodna broja je broj koji je jednako djeljiv sa oba ova broja..

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) od dva ili više prirodnih brojeva je najmanji prirodan broj koji je i sam djeljiv sa svakim od ovih brojeva.

Kako pronaći NOC

LCM se može naći i napisati na dva načina.

Prvi način da pronađete LCM

Ova metoda se obično koristi za male brojeve.

1. Zapisujemo višekratnike za svaki od brojeva u redu sve dok ne postoji višekratnik koji je isti za oba broja.
2. Višekratnik broja "a" označava se velikim slovom "K".

Primjer. Pronađite LCM 6 i 8.

Drugi način da pronađete LCM

Ovu metodu je pogodno koristiti za pronalaženje LCM-a za tri ili više brojeva.

Broj identičnih faktora u proširenjima brojeva može biti različit.

U proširenju manjeg broja (manjih brojeva) podvuci faktore koji nisu uključeni u proširenje većeg broja (u našem primjeru to je 2) i te faktore dodaj proširenju većeg broja.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Zabilježite rezultirajući rad kao odgovor.
Odgovor: LCM (24, 60) = 120

Također možete formalizirati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) na sljedeći način. Nađimo LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Kao što možete vidjeti iz proširenja brojeva, svi faktori od 12 uključeni su u proširenje broja 24 (najveći od brojeva), tako da dodajemo samo jedno 2 iz proširenja broja 16 u LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48

Posebni slučajevi pronalaženja NOC-a

Ako je jedan od brojeva jednako djeljiv s ostalima, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva jednak ovom broju.

Na primjer, LCM(60, 15) = 60
Budući da zajednički prosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je proizvodu ovih brojeva.

Na našoj web stranici možete koristiti i poseban kalkulator da pronađete najmanji zajednički višekratnik na mreži kako biste provjerili svoje izračune.

Ako je prirodan broj djeljiv samo sa 1 i sam sa sobom, onda se naziva prostim.

Svaki prirodan broj je uvijek djeljiv sa 1 i samim sobom.

Broj 2 je najmanji prost broj. Ovo je jedini paran prost broj, ostali prosti brojevi su neparni.

Postoji mnogo prostih brojeva, a prvi među njima je broj 2. Međutim, ne postoji posljednji prost broj. U rubrici "Za učenje" možete preuzeti tabelu primarni brojevi do 997.

Ali mnogi prirodni brojevi su jednako djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

• broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;
• 36 je deljivo sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj jednako djeljiv (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djeliteljima broja.

Delitelj prirodnog broja a je takav prirodan broj koji dijeli dati broj "a" bez ostatka.

Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se složeni broj.

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. Ovo su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12.

Zajednički djelitelj dva data broja "a" i "b" je broj kojim su oba data broja "a" i "b" podijeljena bez ostatka.

Najveći zajednički djelitelj(GCD) dva data broja "a" i "b" je najveći broj kojim su oba broja "a" i "b" djeljiva bez ostatka.

Ukratko, najveći zajednički djelitelj brojeva "a" i "b" piše se na sljedeći način:

Primjer: gcd (12; 36) = 12 .

Delitelji brojeva u zapisu rješenja označeni su velikim slovom "D".

Brojevi 7 i 9 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju koprosti brojevi.

Koprosti brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Njihov GCD je 1.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj

Da biste pronašli gcd dva ili više prirodnih brojeva, trebate:

• rastaviti djelitelje brojeva na proste faktore;

Proračuni se jednostavno pišu pomoću vertikalne trake. Lijevo od reda prvo zapišite dividendu, desno - djelitelj. Dalje u lijevom stupcu zapisujemo vrijednosti privatnog.

Objasnimo odmah na primjeru. Razložimo brojeve 28 i 64 u proste faktore.

Podvuci iste proste faktore u oba broja.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Pronađemo proizvod identičnih prostih faktora i zapišemo odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Odgovor: GCD (28; 64) = 4

Lokaciju GCD-a možete urediti na dva načina: u stupcu (kao što je učinjeno gore) ili "u liniji".

Prvi način za pisanje GCD

Pronađite GCD 48 i 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Drugi način za pisanje GCD

Sada napišimo rješenje GCD pretraživanja u liniji. Pronađite GCD 10 i 15.

Na našoj informativnoj stranici također možete pronaći najveći zajednički djelitelj na mreži uz pomoć pomoćnog programa za provjeru vaših proračuna.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, metode, primjeri pronalaženja LCM.

Materijal u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - Najmanji zajednički višestruki, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), i Posebna pažnja Pogledajmo primjere. Hajde da prvo pokažemo kako se LCM dva broja izračunava u terminima GCD ovih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri i više brojeva, a obratite pažnju i na izračunavanje LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućava vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.

U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo vezu LCM sa GCD, koja je izražena formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Šta je LCM(68, 34)?

Pošto je 68 jednako deljivo sa 34, onda je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoringom brojeva u proste faktore

Drugi način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako napravimo proizvod svih prostih faktora ovih brojeva, nakon čega iz ovog proizvoda isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima ovih brojeva, onda će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku ovih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite proizvod svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku 75 i 210, odnosno LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobijamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo proizvod svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dakle, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako faktorima koji nedostaju iz proširenja broja b dodamo faktore iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo proizvod 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Prvo dobijamo dekompoziciju brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz proširenja broja 648 , dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći sukcesivnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetite se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom proračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Prvo nalazimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1, odakle je LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 = 3 780.

Ostaje da se pronađe m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, dakle LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To jest, m 4 = 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobijenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika koristeći dekompoziciju brojeva na proste faktore.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Prvo dobijamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je prost broj, poklapa se sa njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7) morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Pored faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2 2 2 2 3 7 11 13 , koji je jednak 48 048 .

Prema tome, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Pronalaženje najmanje zajedničkog više negativnih brojeva

Ponekad postoje zadaci u kojima je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva, među kojima su jedan, nekoliko ili svi brojevi negativni. U ovim slučajevima, sve negativni brojevi trebate ih zamijeniti njihovim suprotnim brojevima, a zatim pronaći LCM pozitivnih brojeva. Ovo je način da se pronađe LCM negativnih brojeva. Na primjer, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) i LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

To možemo učiniti jer je skup višekratnika a isti kao skup višekratnika od −a (a i −a su suprotni brojevi). Zaista, neka je b neki višekratnik a, tada je b djeljivo sa a, a pojam djeljivosti potvrđuje postojanje takvog cijelog broja q da je b=a q. Ali jednakost b=(−a)·(−q) će takođe biti tačna, što, na osnovu istog koncepta deljivosti, znači da je b deljivo sa −a, odnosno, b je višekratnik od −a. Obrnuta tvrdnja je također tačna: ako je b neki višekratnik od −a, onda je b također višekratnik od a.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva −145 i −45.

Zamijenimo negativne brojeve −145 i −45 njihovim suprotnim brojevima 145 i 45 . Imamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Odredivši gcd(145, 45)=5 (na primjer, koristeći Euklid algoritam), izračunavamo LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Dakle, najmanji zajednički višekratnik negativnih cijelih brojeva −145 i −45 je 1,305.

www.cleverstudents.ru

Nastavljamo sa učenjem odjeljenja. U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na koncepte kao što su GCD i NOC.

GCD je najveći zajednički djelitelj.

NOC je najmanji zajednički višekratnik.

Tema je prilično dosadna, ali je potrebno razumjeti. Bez razumijevanja ove teme nećete moći efikasno raditi sa razlomcima, koji su prava prepreka u matematici.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija. Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b a i b podijeljeno bez ostatka.

Da bismo dobro razumjeli ovu definiciju, umjesto varijabli vršimo zamjenu a i b bilo koja dva broja, na primjer, umjesto varijable a zamijeniti broj 12, a umjesto varijable b broj 9. Pokušajmo sada pročitati ovu definiciju:

Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je najveći broj po kojem 12 i 9 podijeljeno bez ostatka.

Iz definicije je jasno da je riječ o zajedničkom djelitelju brojeva 12 i 9, a ovaj djelitelj je najveći od svih postojećih djelitelja. Ovaj najveći zajednički djelitelj (gcd) mora se pronaći.

Za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja koriste se tri metode. Prva metoda je prilično dugotrajna, ali vam omogućava da dobro shvatite suštinu teme i osjetite cijelo njeno značenje.

Druga i treća metoda su prilično jednostavne i omogućavaju brzo pronalaženje GCD-a. Razmotrićemo sve tri metode. A šta ćete primeniti u praksi - vi birate.

Prvi način je pronaći sve moguće djelitelje dva broja i odabrati najveći od njih. Razmotrite ovu metodu za sljedeći primjer: pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9.

Prvo pronađemo sve moguće djelitelje broja 12. Da bismo to učinili, podijelimo 12 na sve djelitelje u rasponu od 1 do 12. Ako nam djelitelj dozvoljava da podijelimo 12 bez ostatka, tada ćemo ga označiti plavom bojom i dati odgovarajuće objašnjenje u zagradama.

12: 1 = 12
(12 podijeljeno sa 1 bez ostatka, dakle 1 je djelitelj od 12)

12: 2 = 6
(12 podijeljeno sa 2 bez ostatka, dakle 2 je djelitelj od 12)

12: 3 = 4
(12 podijeljeno sa 3 bez ostatka, dakle 3 je djelitelj od 12)

12: 4 = 3
(12 podijeljeno sa 4 bez ostatka, dakle 4 je djelitelj od 12)

12:5 = 2 (2 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 5 bez ostatka, tako da 5 nije djelitelj od 12)

12: 6 = 2
(12 podijeljeno sa 6 bez ostatka, dakle 6 je djelitelj od 12)

12: 7 = 1 (5 preostalo)
(12 nije podijeljeno sa 7 bez ostatka, tako da 7 nije djelitelj od 12)

12: 8 = 1 (4 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 8 bez ostatka, tako da 8 nije djelitelj 12)

12:9 = 1 (3 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 9 bez ostatka, tako da 9 nije djelitelj od 12)

12: 10 = 1 (2 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 10 bez ostatka, tako da 10 nije djelitelj od 12)

12:11 = 1 (1 preostalo)
(12 nije podijeljeno sa 11 bez ostatka, tako da 11 nije djelitelj od 12)

12: 12 = 1
(12 podijeljeno sa 12 bez ostatka, tako da je 12 djelitelj 12)

Sada pronađimo djelitelje broja 9. Da biste to učinili, provjerite sve djelitelje od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 podijeljeno sa 1 bez ostatka, dakle 1 je djelitelj od 9)

9: 2 = 4 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 2 bez ostatka, tako da 2 nije djelitelj od 9)

9: 3 = 3
(9 podijeljeno sa 3 bez ostatka, dakle 3 je djelitelj od 9)

9: 4 = 2 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 4 bez ostatka, tako da 4 nije djelitelj 9)

9:5 = 1 (4 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 5 bez ostatka, tako da 5 nije djelitelj od 9)

9: 6 = 1 (3 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 6 bez ostatka, tako da 6 nije djelitelj 9)

9:7 = 1 (2 preostala)
(9 nije podijeljeno sa 7 bez ostatka, tako da 7 nije djelitelj od 9)

9:8 = 1 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 8 bez ostatka, tako da 8 nije djelitelj od 9)

9: 9 = 1
(9 podijeljeno sa 9 bez ostatka, tako da je 9 djelitelj od 9)

Sada zapišite djelitelje oba broja. Brojevi označeni plavom bojom su djelitelji. Hajde da ih ispišemo:

Nakon što ste ispisali djelitelje, možete odmah odrediti koji je najveći i najčešći.

Po definiciji, najveći zajednički djelitelj 12 i 9 je broj kojim su 12 i 9 jednako djeljivi. Najveći i zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je broj 3

I broj 12 i broj 9 su djeljivi sa 3 bez ostatka:

Dakle, gcd (12 i 9) = 3

Drugi način da pronađete GCD

Sada razmotrite drugi način pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja. esencija ovu metodu je rastaviti oba broja u proste faktore i pomnožiti zajedničke.

Primjer 1. Pronađite GCD brojeva 24 i 18

Prvo, hajde da činimo oba broja u proste faktore:

Sada množimo njihove zajedničke faktore. Da ne bi došlo do zabune, uobičajeni faktori se mogu podvući.

Gledamo dekompoziciju broja 24. Njegov prvi činilac je 2. Tražimo isti faktor u dekompoziciji broja 18 i vidimo da je i on tu. Podvlačimo oba dva:

Opet gledamo dekompoziciju broja 24. Njegov drugi faktor je takođe 2. Tražimo isti faktor u dekompoziciji broja 18 i vidimo da ga nema po drugi put. Onda ništa ne ističemo.

Sljedeća dva u proširenju broja 24 također nedostaju u proširenju broja 18.

Prelazimo na posljednji činilac u dekompoziciji broja 24. Ovo je faktor 3. Tražimo isti faktor u dekompoziciji broja 18 i vidimo da je također tu. Ističemo obe trojke:

Dakle, zajednički faktori brojeva 24 i 18 su faktori 2 i 3. Da bi se dobio GCD, ovi faktori se moraju pomnožiti:

Dakle, gcd (24 i 18) = 6

Treći način da pronađete GCD

Sada razmotrite treći način pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja. Suština ove metode leži u činjenici da se brojevi koji se traže za najveći zajednički djelitelj razlažu na proste faktore. Zatim se iz dekompozicije prvog broja brišu faktori koji nisu uključeni u dekompoziciju drugog broja. Preostali brojevi u prvom proširenju se množe i dobijaju GCD.

Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 28 i 16 na ovaj način. Prije svega, ove brojeve dekomponujemo na proste faktore:

Imamo dva proširenja: i

Sada, iz proširenja prvog broja, brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje sedam. Izbrisat ćemo ga iz prve ekspanzije:

Sada pomnožimo preostale faktore i dobijemo GCD:

Broj 4 je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 16. Oba ova broja su djeljiva sa 4 bez ostatka:

Primjer 2 Pronađite GCD brojeva 100 i 40

Rastavljanje broja 100 na faktore

Rastavljanje broja 40 na faktore

Imamo dva proširenja:

Sada, iz proširenja prvog broja, brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširivanje drugog broja ne uključuje jednu peticu (postoji samo jedna petica). Brišemo ga iz prve dekompozicije

Pomnožite preostale brojeve:

Dobili smo odgovor 20. Dakle, broj 20 je najveći zajednički djelitelj brojeva 100 i 40. Ova dva broja su djeljiva sa 20 bez ostatka:

GCD (100 i 40) = 20.

Primjer 3 Pronađite gcd brojeva 72 i 128

Rastavljajući broj 72

Rastavljajući broj 128

2×2×2×2×2×2×2

Sada, iz proširenja prvog broja, brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje dvije trojke (nema ih uopće). Brišemo ih iz prve dekompozicije:

Dobili smo odgovor 8. Dakle, broj 8 je najveći zajednički djelitelj brojeva 72 i 128. Ova dva broja su djeljiva sa 8 bez ostatka:

GCD (72 i 128) = 8

Pronalaženje GCD za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva.

Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 18, 24 i 36

Rastavljanje broja 18 na faktore

Rastavljanje broja 24 na faktore

Rastavljanje broja 36 na faktore

Imamo tri proširenja:

Sada biramo i podvlačimo zajedničke faktore u ovim brojevima. Zajednički faktori moraju biti uključeni u sva tri broja:

Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 18, 24 i 36 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobijamo GCD koji tražimo:

Dobili smo odgovor 6. Dakle, broj 6 je najveći zajednički djelitelj brojeva 18, 24 i 36. Ova tri broja su djeljiva sa 6 bez ostatka:

GCD (18, 24 i 36) = 6

Primjer 2 Pronađite gcd za brojeve 12, 24, 36 i 42

Razložimo svaki broj na faktore. Zatim nalazimo proizvod zajedničkih faktora ovih brojeva.

Rastavljanje broja 12 na faktore

Rastavljanje broja 42 na faktore

Imamo četiri proširenja:

Sada biramo i podvlačimo zajedničke faktore u ovim brojevima. Zajednički faktori moraju biti uključeni u sva četiri broja:

Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 12, 24, 36 i 42 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobijamo GCD koji tražimo:

Dobili smo odgovor 6. Dakle, broj 6 je najveći zajednički djelitelj brojeva 12, 24, 36 i 42. Ovi brojevi su djeljivi sa 6 bez ostatka:

gcd(12, 24, 36 i 42) = 6

Iz prethodne lekcije znamo da ako se neki broj podijeli s drugim bez ostatka, naziva se višekratnik ovog broja.

Ispostavilo se da višekratnik može biti zajednički za nekoliko brojeva. A sada će nas zanimati umnožak dva broja, a trebao bi biti što manji.

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva a i b- a i b a i broj b.

Definicija sadrži dvije varijable a i b. Zamijenimo bilo koja dva broja za ove varijable. Na primjer, umjesto varijable a zamijeniti broj 9, a umjesto varijable b zamijenimo broj 12. Pokušajmo sada pročitati definiciju:

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 9 i 12 - Ovo najmanji broj, što je višestruko 9 i 12 . Drugim riječima, to je tako mali broj koji je bez ostatka djeljiv brojem 9 i na broju 12 .

Iz definicije je jasno da je LCM najmanji broj koji je bez ostatka djeljiv sa 9 i 12. Ovaj LCM je potrebno pronaći.

Postoje dva načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik (LCM). Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim između tih višekratnika izabrati takav broj koji će biti zajednički i brojevima i malim. Hajde da primenimo ovu metodu.

Prije svega, hajde da pronađemo prve višekratnike za broj 9. Da biste pronašli višekratnike za 9, morate ovu devetku pomnožiti redom brojevima od 1 do 9. Odgovori koje ćete dobiti bit će višekratnici broja 9. Dakle , počnimo. Višestruki će biti označeni crvenom bojom:

Sada nalazimo višekratnike za broj 12. Da bismo to učinili, množimo 12 sa svim brojevima od 1 do 12 redom.

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo biste trebali odrediti značenje pojma "višestruko".

Višekratnik A je prirodan broj koji je djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, 15, 20, 25 i tako dalje se mogu smatrati višekratnicima broja 5.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je njima djeljiv bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodan broj koji je jednako djeljiv sa svim ovim brojevima.

Da biste pronašli NOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve zgodno je ispisati u red sve višekratnike ovih brojeva dok se među njima ne pronađe zajednički. Višestruki se u zapisu označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugi način za izračunavanje LCM.

Za izvršenje zadatka potrebno je predložene brojeve rastaviti na proste faktore.

Prvo morate napisati proširenje najvećeg broja u redu, a ispod njega - ostatak.

U proširenju svakog broja može postojati različita količina množitelji.

Na primjer, razložimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba podvući faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim im ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možemo izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako će proizvod prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja, koji nisu uključeni u dekompoziciju većeg broja, biti najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, sve ih treba razložiti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz dekompozicije šesnaest (jedna je u dekompoziciji dvadeset četiri) nisu ušle u faktorizaciju većeg broja.

Stoga ih je potrebno dodati u dekompoziciju većeg broja.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od ovih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, NOC-a od dvanaest i dvadeset četiri bi bili dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik koprostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM(10, 11) = 110.