Množenje i dijeljenje razlomaka. Radnja s običnim razlomcima. Zajedničke radnje s običnim i decimalnim razlomcima

Učenici se upoznaju sa razlomcima u 5. razredu. Ranije su ljudi koji su znali izvoditi radnje s razlomcima smatrani vrlo pametnim. Prvi razlomak je bio 1/2, odnosno polovina, zatim se pojavila 1/3 i tako dalje. Nekoliko stoljeća, primjeri su smatrani previše složenim. Sada razvijeno detaljna pravila o pretvaranju razlomaka, sabiranju, množenju i drugim radnjama. Dovoljno je malo razumjeti gradivo, a rješenje će se lako dati.

Običan razlomak, koji se naziva prosti razlomak, piše se kao podjela dva broja: m i n.

M je dividenda, odnosno brojilac razlomka, a djelitelj n se naziva imenilac.

Odaberite odgovarajuće razlomke (m< n) а также неправильные (m >n).

Pravi razlomak je manji od jedan (na primjer, 5/6 - to znači da je 5 dijelova uzeto iz jednog; 2/8 - 2 dijela su uzeta iz jednog). Nepravilan razlomak je jednak ili veći od 1 (8/7 - jedinica će biti 7/7 i još jedan dio se uzima kao plus).

Dakle, jedinica je kada se brojilac i nazivnik poklapaju (3/3, 12/12, 100/100 i drugi).

Radnje sa običnim razlomcima 6. razred

Sa jednostavnim razlomcima možete učiniti sljedeće:

• Proširite razlomak. Ako pomnožimo vrh i donji dio razlomaka bilo kojim identičnim brojem (ali ne nulom), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti (3/5 = 6/10 (samo pomnoženo sa 2).
• Smanjenje razlomaka je slično proširenju, ali ovdje su podijeljeni brojem.
• Uporedite. Ako dva razlomka imaju isti brojnik, tada će razlomak sa manjim nazivnikom biti veći. Ako su nazivnici isti, tada će razlomak s najvećim brojnikom biti veći.
• Izvršite sabiranje i oduzimanje. Sa istim nazivnicima to je lako učiniti (gornje dijelove zbrajamo, a donji se ne mijenja). Za različite, morat ćete pronaći zajednički imenitelj i dodatne faktore.
• Pomnožite i podijelite razlomke.

U nastavku se razmatraju primjeri operacija s razlomcima.

Redukovane frakcije 6. razred

Smanjiti znači podijeliti vrh i dno razlomka nekim jednakim brojem.

Na slici su prikazani jednostavni primjeri redukcije. U prvoj opciji možete odmah pogoditi da su brojnik i imenilac djeljivi sa 2.

Napomenu! Ako je broj paran onda je na bilo koji način djeljiv sa 2. Parni brojevi su 2, 4, 6 ... 32 8 (završava se na par) itd.

U drugom slučaju, prilikom dijeljenja 6 sa 18, odmah je jasno da su brojevi djeljivi sa 2. Dijeljenjem dobijamo 3/9. Ovaj razlomak je također djeljiv sa 3. Tada je odgovor 1/3. Ako pomnožite oba djelitelja: 2 sa 3, dobit će 6. Ispada da je razlomak podijeljen sa šest. Ova postepena podela se zove sukcesivno smanjenje razlomka zajedničkim djeliteljima.

Neko će odmah podijeliti sa 6, nekome će trebati podjela na dijelove. Glavna stvar je da na kraju postoji razlomak koji se ni na koji način ne može smanjiti.

Imajte na umu da ako se broj sastoji od cifara čijim će se zbrajanjem dobiti broj djeljiv sa 3, onda se i original može smanjiti za 3. Primjer: broj 341. Dodajte brojeve: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 nije djeljivo sa 3, tako da se broj 341 ne može smanjiti za 3 bez ostatka). Drugi primjer: 264. Dodajte: 2 + 6 + 4 = 12 (podijeljeno sa 3). Dobijamo: 264: 3 = 88. Ovo će pojednostaviti redukciju velikih brojeva.

Pored metode uzastopnog smanjenja razlomka zajedničkim djeliteljima, postoje i drugi načini.

NOD je najviše veliki djelitelj za broj. Nakon što ste pronašli GCD za nazivnik i brojnik, možete odmah smanjiti razlomak za željeni broj. Pretraživanje se vrši postupnim dijeljenjem svakog broja. Zatim gledaju koji se djelitelji podudaraju, ako ih ima nekoliko (kao na slici ispod), onda morate pomnožiti.

Mješovite frakcije 6

Svi nepravilni razlomci mogu se pretvoriti u mješovite razlomke izolacijom cijelog dijela u njima. Cijeli broj je napisan na lijevoj strani.

Često dolazi iz nepravilan razlomak napraviti mješoviti broj. Proces konverzije u primjeru ispod: 22/4 = 22 podijeljeno sa 4, dobijamo 5 cijelih brojeva (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Dobijamo 5 cijelih brojeva i 2/4 (imenik se ne mijenja). Pošto se razlomak može smanjiti, gornji i donji dio podijelimo sa 2.

Lako je mješoviti broj pretvoriti u nepravilan razlomak (ovo je neophodno kod dijeljenja i množenja razlomaka). Da biste to učinili: pomnožite cijeli broj s donjim dijelom razlomka i tome dodajte brojilac. Spreman. Imenilac se ne menja.

Računanja sa razlomcima 6. razred

Mogu se dodati mješoviti brojevi. Ako su imenioci isti, onda je ovo lako učiniti: zbrojite cijele dijelove i brojioce, imenilac ostaje na mjestu.

Kada se zbrajaju brojevi sa različitim nazivnicima, proces je složeniji. Prvo dovodimo brojeve do jednog najmanjeg nazivnika (NOD).

U primjeru ispod, za brojeve 9 i 6, imenilac će biti 18. Nakon toga su potrebni dodatni faktori. Da biste ih pronašli, trebate podijeliti 18 sa 9, tako je dodatni broj- 2. Pomnožimo ga brojicom 4, dobijemo razlomak 8/18). Isto se radi sa drugom frakcijom. Već sabiramo pretvorene razlomke (cijeli brojevi i brojioci posebno, ne mijenjamo imenilac). U primjeru, odgovor je morao biti pretvoren u pravi razlomak (u početku se pokazalo da je brojilac veći od nazivnika).

Imajte na umu da je s razlikom razlomaka algoritam radnji isti.

Prilikom množenja razlomaka važno je staviti oba pod istu liniju. Ako je broj pomiješan, onda ga pretvaramo u prosti razlomak. Zatim pomnožite gornji i donji dio i zapišite odgovor. Ako je jasno da se razlomci mogu smanjiti, onda odmah smanjujemo.

AT primjer nismo morali ništa rezati, samo smo zapisali odgovor i istakli ceo deo.

U ovom primjeru, morao sam smanjiti brojeve ispod jednog reda. Iako je moguće smanjiti i gotov odgovor.

Prilikom dijeljenja, algoritam je gotovo isti. Prvo se okrenemo mješovita frakcija u pogrešan, onda upisujemo brojeve pod jedan red, zamjenjujući dijeljenje množenjem. Ne zaboravite zamijeniti gornji i donji dio drugog razlomka (ovo je pravilo za dijeljenje razlomaka).

Ako je potrebno, smanjujemo brojeve (u primjeru ispod su smanjili za pet i dva). Nepravilni razlomak transformiramo isticanjem cijelog broja.

Osnovni zadaci za razlomke 6. razred

Video prikazuje još nekoliko zadataka. Radi jasnoće, koristili smo grafičke slike rješenja koja pomažu u vizualizaciji razlomaka.

Primjeri množenja razlomaka Ocjena 6 sa objašnjenjima

Množenje razlomaka se upisuje ispod jednog reda. Nakon toga se smanjuju dijeljenjem istim brojevima (na primjer, 15 u nazivniku i 5 u brojniku može se podijeliti sa pet).

Poređenje razlomaka 6. razred

Da biste uporedili razlomke, morate zapamtiti dva jednostavna pravila.

Pravilo 1. Ako su imenioci različiti

Pravilo 2. Kada su imenioci isti

Na primjer, uporedimo razlomke 7/12 i 2/3.

1. Gledamo nazivnike, ne poklapaju se. Dakle, morate pronaći zajedničku.
2. Za razlomke, zajednički imenilac je 12.
3. Prvo podijelimo 12 s donjim dijelom prvog razlomka: 12: 12 = 1 (ovo je dodatni faktor za 1. razlomak).
4. Sada dijelimo 12 sa 3, dobijamo 4 - dodaj. množitelj 2. razlomka.
5. Rezultirajuće brojeve množimo brojiocima da pretvorimo razlomke: 1 x 7 = 7 (prvi razlomak: 7/12); 4 x 2 = 8 (drugi razlomak: 8/12).
6. Sada možemo uporediti: 7/12 i 8/12. Ispalo: 7/12< 8/12.

Da biste bolje predstavili razlomke, možete koristiti crteže radi jasnoće, gdje je predmet podijeljen na dijelove (na primjer, kolač). Ako želite da uporedite 4/7 i 2/3, onda se u prvom slučaju torta deli na 7 delova i biraju se 4 od njih. U drugom se dijele na 3 dijela i uzimaju 2. Golim okom će biti jasno da će 2/3 biti više od 4/7.

Primjeri sa razlomcima ocjena 6 za obuku

Kao vježbu možete izvršiti sljedeće zadatke.

• Uporedite razlomke

• uradi množenje

Savjet: ako je teško pronaći najmanji zajednički nazivnik razlomaka (posebno ako su njihove vrijednosti male), tada možete pomnožiti nazivnik prvog i drugog razlomka. Primjer: 2/8 i 5/9. Pronalaženje njihovog nazivnika je jednostavno: pomnožite 8 sa 9, dobićete 72.

Rješavanje jednačina sa razlomcima 6. razred

U rješavanju jednadžbi morate zapamtiti radnje s razlomcima: množenje, dijeljenje, oduzimanje i zbrajanje. Ako je jedan od faktora nepoznat, tada se proizvod (ukupni) dijeli sa poznatim faktorom, odnosno razlomci se množe (drugi se okreće).

Ako je dividenda nepoznata, tada se imenilac množi sa djeliteljem, a da biste pronašli djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

Zamislite jednostavni primjeri rješavanje jednačina:

Ovdje je potrebno samo proizvesti razliku razlomaka, a da se ne vodi do zajednički imenilac.

Odgovor je nepravilan razlomak. Može se pretvoriti u 1 cijeli i 3/5.

U drugoj metodi, brojilac i imenilac su pomnoženi sa 4 da bi se skratilo dno, a ne da se imenilac okrene.

Složit ćemo se da ćemo pod "radnje sa razlomcima" u našoj lekciji razumjeti radnje sa obične frakcije. Razlomak je razlomak koji ima atribute kao što su brojnik, razlomak i imenilac. Ovo razlikuje obični razlomak od decimalnog, koji se dobija od običnog tako što se nazivnik smanji na višekratnik od 10. Decimalni razlomak se piše sa zarezom koji odvaja cijeli broj od razlomka. Govorit ćemo o akcijama s običnim razlomcima, jer upravo one uzrokuju najveće poteškoće učenicima koji su zaboravili osnove ove teme, obrađene u prvoj polovini školskog kursa matematike. Međutim, prilikom pretvaranja izraza u višu matematiku Uglavnom se koriste operacije s običnim frakcijama. Neke skraćenice razlomaka nešto vrijede! Decimalni razlomci ne izazivaju velike poteškoće. Zato samo naprijed!

Dvije frakcije i nazivaju jednake ako .

Na primjer, jer

Razlomci i (pošto ), i (pošto ) su također jednaki.

Očigledno, oba razlomka i su jednaki. To znači da ako se brojnik i imenilac datog razlomka pomnože ili podijele istim prirodni broj, onda dobijete razlomak jednak datom: .

Ovo svojstvo se naziva osnovnim svojstvom razlomka.

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka brojnika i nazivnika razlomka. Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože sa -1, dobijamo. To znači da se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se istovremeno promijene predznaci brojnika i nazivnika. Ako promijenite predznak samo brojioca ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti svoj predznak:

Smanjenje frakcije

Koristeći osnovnu osobinu razlomka, možete dati razlomak zamijeniti drugim razlomkom jednakim datom, ali sa manjim brojnikom i nazivnikom. Ova zamjena se naziva redukcija frakcije.

Neka je, na primjer, dat razlomak. Brojevi 36 i 48 imaju najveći zajednički djelitelj 12. Tada

.

U opštem slučaju, redukcija razlomaka je uvek moguća ako brojilac i imenilac nisu međusobno prosti brojevi. Ako su brojnik i imenilac relativno prosti brojevi, tada se razlomak naziva nesvodljivim.

Dakle, smanjenje razlomka znači dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka zajedničkim faktorom. Sve gore navedeno se odnosi na frakcione izraze koji sadrže varijable.

Primjer 1 Smanjite frakciju

Odluka. Rastaviti brojilac na faktore, nakon što smo prethodno predstavili monom - 5 xy kao zbir - 2 xy - 3xy, dobijamo

Za faktorizaciju nazivnika koristimo formulu razlike kvadrata:

Kao rezultat

.

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Neka su dva razlomka i dati su. Imaju različite nazivnike: 5 i 7. Koristeći osnovnu osobinu razlomka, te razlomke možete zamijeniti drugim jednakim njima, i to tako da će rezultirajući razlomci imati iste nazivnike. Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa 7, dobijamo

Pomnožimo brojilac i imenilac sa 5, dobijamo

Dakle, razlomci se svode na zajednički nazivnik:

.

Ali ovo nije jedino rješenje problema: na primjer, ovi razlomci se također mogu svesti na zajednički nazivnik od 70:

,

i općenito na bilo koji nazivnik djeljiv i sa 5 i sa 7.

Razmotrimo još jedan primjer: smanjimo razlomak i na zajednički nazivnik. Argumentom kao u prethodnom primjeru, dobijamo

,

.

Ali unutra ovaj slučaj razlomci se mogu svesti na zajednički nazivnik koji je manji od umnožaka nazivnika ovih razlomaka. Pronađite najmanji zajednički višekratnik 24 i 30: LCM(24, 30) = 120.

Pošto je 120:4=5, da bi se napisao razlomak sa nazivnikom 120, i brojilac i imenilac moraju biti pomnoženi sa 5, ovaj broj se naziva dodatni faktor. Sredstva .

Dalje, dobijamo 120:30=4. Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa dodatnim faktorom 4, dobijamo .

Dakle, ovi razlomci su svedeni na zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka je najmanji mogući zajednički imenilac.

Za frakcijske izraze koji uključuju varijable, zajednički nazivnik je polinom koji je djeljiv sa nazivnikom svakog razlomka.

Primjer 2 Pronađite zajednički nazivnik razlomaka i .

Odluka. Zajednički nazivnik ovih razlomaka je polinom, jer je djeljiv sa oba i sa. Međutim, ovaj polinom nije jedini koji može biti zajednički nazivnik ovih razlomaka. Može biti i polinom , i polinom , i polinom itd. Obično uzimaju takav zajednički imenilac da je bilo koji drugi zajednički imenilac djeljiv sa izabranim bez ostatka. Takav imenilac se naziva najmanji zajednički imenilac.

U našem primjeru, najmanji zajednički nazivnik je . dobio:

;

.

Uspjeli smo dovesti razlomke na najmanji zajednički imenilac. To se dogodilo množenjem brojioca i nazivnika prvog razlomka sa , a brojioca i nazivnika drugog razlomka sa . Polinomi i nazivaju se dodatnim faktorima, respektivno, za prvi i drugi razlomak.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Sabiranje razlomaka je definirano na sljedeći način:

.

Na primjer,

.

Ako a b = d, onda

.

To znači da je za sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom dovoljno sabrati brojioce, a nazivnik ostaviti isti. Na primjer,

.

Ako se saberu razlomci s različitim nazivnicima, onda se razlomci obično svode na najmanji zajednički nazivnik, a zatim se sabiraju brojnici. Na primjer,

.

Sada razmotrite primjer sabiranja frakcijskih izraza s varijablama.

Primjer 3 Pretvorite izraz u jedan razlomak

.

Odluka. Nađimo najmanji zajednički imenilac. Da bismo to učinili, prvo faktoriziramo nazivnike.

Razlomak- broj koji se sastoji od cijelog broja razlomaka od jedan i predstavljen je kao: a / b

Brojilac razlomaka (a)- broj iznad linije razlomka i koji pokazuje broj dionica na koje je jedinica podijeljena.

Imenilac razlomka (b)- broj ispod linije razlomka i koji pokazuje na koliko je udjela jedinica podijeljena.

2. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

3. Aritmetičke operacije nad običnim razlomcima

3.1. Sabiranje običnih razlomaka

3.2. Oduzimanje običnih razlomaka

3.3. Množenje običnih razlomaka

3.4. Podjela običnih razlomaka

4. Recipročni brojevi

5. Decimale

6. Aritmetičke operacije uključene decimale

6.1. Sabiranje decimala

6.2. Oduzimanje decimala

6.3. Decimalno množenje

6.4. Decimalna podjela

#jedan. Osnovno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije jednak nuli, onda će se dobiti razlomak jednak datom jedinici.

3/7=3*3/7*3=9/21 tj. 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - ovako izgleda glavno svojstvo razlomka.

Drugim riječima, razlomak jednak datom dobivamo množenjem ili dijeljenjem brojnika i nazivnika originalnog razlomka istim prirodnim brojem.

Ako a ad=bc, zatim dva razlomka a/b =c /d se smatraju jednakim.

Na primjer, razlomci 3/5 i 9/15 će biti jednaki, jer je 3*15=5*9, odnosno 45=45

Smanjenje frakcije je proces zamjene frakcija u kojem novi razlomak jednaka je originalu, ali sa manjim brojnikom i nazivnikom.

Uobičajeno je reducirati razlomke na osnovu glavnog svojstva razlomka.

Na primjer, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (brojilac i imenilac su djeljivi sa 3, sa 5 i sa 15).

nesmanjivi razlomak je djelić forme 3/4 ​ ​ , gdje su brojilac i imenilac relativno prosti brojevi. Glavna svrha redukcije razlomaka je da razlomak učini nesvodljivim.

2. Svođenje razlomaka na zajednički imenilac

Da dva razlomka dovedemo do zajedničkog nazivnika:

1) proširi imenilac svakog razlomka u primarni faktori;

2) pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka onima koji nedostaju

faktori iz ekspanzije drugog imenioca;

3) pomnožimo brojilac i imenilac drugog razlomka faktorima koji nedostaju iz prvog proširenja.

Primjeri: Svedite razlomke na zajednički nazivnik.

Razložimo nazivnike na proste činioce: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Pomnožili smo brojilac i imenilac razlomka sa faktorom koji nedostaje 5 iz drugog proširenja.

brojnik i imenilac razlomka faktorima 3 i 2 koji nedostaju iz prve dekompozicije.

= , 90 je zajednički nazivnik razlomaka .

3. Aritmetičke operacije nad običnim razlomcima

3.1. Sabiranje običnih razlomaka

a) Sa istim nazivnicima, brojilac prvog razlomka se dodaje brojiocu drugog razlomka, a imenilac ostaje isti. Kao što se vidi u primjeru:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Kada različiti imenioci razlomci se prvo svode na zajednički nazivnik, a zatim se brojnici sabiraju prema pravilu a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Oduzimanje običnih razlomaka

a) Sa istim nazivnicima oduzmi brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane isti:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Ako su imenioci razlomaka različiti, tada se prvo razlomci svode na zajednički imenilac, a zatim se ponavljaju koraci kao u paragrafu a).

3.3. Množenje običnih razlomaka

Množenje razlomaka poštuje sljedeće pravilo:

a/b*c/d=a*c/b*d,

odnosno pomnožite brojnike i nazivnike odvojeno.

Na primjer:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Podjela običnih razlomaka

Razlomci se dijele na sljedeći način:

a/b:c/d=a*d/b*c,

to jest, razlomak a / b množi se recipročnim iznosom datog, odnosno množi se sa d / c.

Primjer: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Recipročni brojevi

Ako a a*b=1, tada je broj b obrnuti broj za broj a.

Primjer: za broj 9, obrnuto je 1/9 ​ ​ , od 9*1/9 = 1 , za broj 5 - recipročna vrijednost 1/5 ​ ​ , as 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Decimale

Decimala je pravi razlomak čiji je imenilac 10, 1000, 10000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Na primjer: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Na isti način, netačni se pišu sa nazivnikom 10^n ili mešoviti brojevi.

Na primjer: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

U obliku decimalnog razlomka predstavljen je svaki obični razlomak sa nazivnikom koji je djelitelj određenog stepena broja 10.

imenilac, koji je djelitelj određenog stepena broja 10.

Primjer: 5 je djelitelj 100, dakle razlomak 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetičke operacije nad decimalnim razlomcima

6.1. Sabiranje decimala

Da biste dodali dva decimalna razlomka, trebate ih rasporediti tako da se iste cifre i zarez ispod zareza pojavljuju jedan ispod drugog, a zatim razlomke sabrati kao obične brojeve.

6.2. Oduzimanje decimala

Djeluje na isti način kao i dodavanje.

6.3. Decimalno množenje

Prilikom množenja decimalni brojevi dovoljno je pomnožiti date brojeve, ne obazirući se na zareze (kao prirodne brojeve), a u dobijenom odgovoru zarez sa desne strane odvaja onoliko cifara koliko ih ima iza decimalnog zareza u oba faktora ukupno.

Uradimo množenje 2,7 sa 1,3. Imamo 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Dvije cifre odvajamo zarezom na desnoj strani (prvi i drugi broj imaju jednu cifru iza decimalne zareze; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Kao rezultat, dobijamo 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ako je rezultat manje znamenki nego što je potrebno odvojiti zarezom, tada se nule koje nedostaju upisuju ispred, na primjer:

Za množenje sa 10, 100, 1000, u decimalnom razlomku, pomaknite zarez 1, 2, 3 cifre udesno (ako je potrebno, određeni broj nula se dodjeljuje desno).

Na primjer: 1,47 \cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Decimalna podjela

Dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način kao i dijeljenje prirodnog broja prirodnim brojem. Zarez u privatnom se stavlja nakon što je dijeljenje cijelog broja završeno.

Ako a cijeli dio dividenda je manja od djelitelja, tada je odgovor nula cijelih brojeva, na primjer:

Razmislite o dijeljenju decimale sa decimalom. Recimo da trebamo podijeliti 2,576 sa 1,12. Prije svega, pomnožimo dividendu i djelitelj razlomka sa 100, odnosno pomaknemo zarez udesno u dividendi i djelitelju za onoliko znakova koliko ima u djelitelju nakon decimalnog zareza (u ovom primjeru , dva). Zatim morate podijeliti razlomak 257,6 prirodnim brojem 112, odnosno problem se svodi na već razmatrani slučaj:

Dešava se da se konačni decimalni razlomak ne dobije uvijek kada se jedan broj dijeli s drugim. Rezultat je beskonačna decimala. U takvim slučajevima idite na obične razlomke.

Na primjer, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Kalkulator razlomaka stvoreno za brza kalkulacija operacije sa razlomcima, pomoći će vam da lako sabirate, množite, dijelite ili oduzimate razlomke.

Moderni školarci počinju učiti razlomke već u 5. razredu, a svake godine vježbe s njima postaju sve složenije. Matematički pojmovi i količine koje učimo u školi rijetko nam mogu biti od koristi odrasloj dobi. Međutim, razlomci su, za razliku od logaritama i stupnjeva, prilično uobičajeni u svakodnevnom životu (mjeranje udaljenosti, vaganje robe itd.). Naš kalkulator je dizajniran za brze operacije sa razlomcima.

Prvo, hajde da definišemo šta su razlomci i šta su. Razlomci su omjer jednog broja prema drugom; to je broj koji se sastoji od cijelog broja razlomaka jedinice.

Vrste frakcija:

• Obicno
• Decimale
• mješovito

Primjer obični razlomci:

Gornja vrijednost je brojilac, donja je imenilac. Crtica nam pokazuje da je gornji broj djeljiv brojem na dnu. Umjesto sličnog formata pisanja, kada je crtica horizontalna, možete pisati drugačije. Možete staviti nagnutu liniju, na primjer:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimale su najpopularniji tip razlomaka. Sastoje se od cijelog broja i razlomka, odvojenih zarezom.

Primjer decimalnog broja:

0,2 ili 6,71 ili 0,125

Sastoji se od cijelog broja i razlomka. Da biste saznali vrijednost ovog razlomka, trebate sabrati cijeli broj i razlomak.

Primjer miješanih frakcija:

Kalkulator razlomaka na našoj web stranici može brzo izvršiti sve matematičke operacije s razlomcima na mreži:

• Dodatak
• Oduzimanje
• Množenje
• divizija

Da biste izvršili proračun, potrebno je da unesete brojeve u polja i odaberete radnju. Za razlomke morate popuniti brojilac i nazivnik, cijeli broj se možda neće napisati (ako je razlomak običan). Ne zaboravite da kliknete na dugme "jednako".

Zgodno je da kalkulator odmah daje proces rješavanja primjera s razlomcima, a ne samo gotov odgovor. To je zahvaljujući implementiranom rješenju koje možete koristiti dati materijal prilikom rješavanja školskih zadataka i za bolje savladavanje obrađenog gradiva.

Morate izračunati primjer:

Nakon unosa indikatora u polja obrasca, dobijamo:

Za samostalan izračun unesite podatke u obrazac.

Kalkulator razlomaka

povezane sekcije.

Razlomci su obični i decimalni. Kada učenik sazna za postojanje potonjeg, on u svakoj prilici počinje da prevodi sve što je moguće u decimalni oblik, čak i ako to nije potrebno.

Čudno je da se preferencije srednjoškolaca i studenata mijenjaju, jer je lakše izvesti mnoge aritmetičke operacije s običnim razlomcima. A vrijednosti s kojima se diplomci nose ponekad je jednostavno nemoguće pretvoriti u decimalni oblik bez gubitka. Kao rezultat toga, obje vrste frakcija su, na ovaj ili onaj način, prilagođene slučaju i imaju svoje prednosti i nedostatke. Hajde da vidimo kako da radimo sa njima.

Definicija

Razlomci su isti udjeli. Ako u narandzi ima deset kriški, a vama je data jedna, onda imate 1/10 voća u ruci. S takvim zapisom, kao u prethodnoj rečenici, razlomak će se zvati običan razlomak. Ako pišete isto kao 0,1 - decimalni. Obje opcije su jednake, ali imaju svoje prednosti. Prva opcija je prikladnija za množenje i dijeljenje, druga - za sabiranje, oduzimanje i u nizu drugih slučajeva.

Kako pretvoriti razlomak u drugi oblik

Pretpostavimo da imate običan razlomak i želite ga pretvoriti u decimalu. šta treba da uradim?

Usput, morate unaprijed odlučiti da se nijedan broj ne može bez problema napisati u decimalnom obliku. Ponekad morate zaokružiti rezultat, gubeći određeni broj decimalnih mjesta, a u mnogim područjima - na primjer, u egzaktne nauke- ovo je luksuz koji se ne može priuštiti. Istovremeno, radnje s decimalnim i običnim razlomcima u 5. razredu omogućavaju da se takav prijenos iz jedne vrste u drugu izvrši bez smetnji, barem kao trening.

Ako iz nazivnika, množenjem ili dijeljenjem cijelim brojem, možete dobiti vrijednost koja je višestruka od 10, prijenos će proći bez ikakvih poteškoća: ¾ se pretvara u 0,75, 13/20 - u 0,65.

Inverzni postupak je još lakši, jer uvijek možete dobiti običan razlomak iz decimalnog razlomka bez gubitka u tačnosti. Na primjer, 0,2 postaje 1/5, a 0,08 postaje 4/25.

Interne konverzije

Prije izvođenja zajedničkih radnji s običnim razlomcima, morate pripremiti brojeve za moguće matematičke operacije.

Prije svega, trebate sve razlomke u primjeru dovesti u jedan opšti pogled. Moraju biti obični ili decimalni. Odmah rezervirajte da je množenje i dijeljenje pogodnije izvesti s prvim.

U pripremi za brojeve dalja akcija pomoći će vam pravilo poznato kao i korišćeno kako u prvim godinama studija predmeta, tako i u višoj matematici koja se izučava na univerzitetima.

Svojstva frakcija

Pretpostavimo da imate neku vrijednost. Recimo 2/3. Šta se dešava ako brojilac i imenilac pomnožite sa 3? Uzmite 6/9. Šta ako je milion? 2000000/3000000. Ali čekajte, jer se broj uopće ne mijenja kvalitativno - 2/3 ostaje jednako 2000000/3000000. Mijenja se samo forma, ne i sadržaj. Ista stvar se dešava kada su oba dijela podijeljena istom vrijednošću. Ovo je glavno svojstvo razlomka, koje će vam više puta pomoći da izvodite radnje s decimalnim i običnim razlomcima na testovima i ispitima.

Množenje brojnika i nazivnika istim brojem naziva se proširenje razlomka, a dijeljenje smanjenjem. Mora se reći da je precrtavanje isti brojevi u gornjem i donjem dijelu pri množenju i dijeljenju razlomaka - iznenađujuće ugodan postupak (naravno, u okviru lekcije matematike). Čini se da je odgovor već blizu i primjer je praktično riješen.

Nepravilni razlomci

Nepravilan razlomak je onaj kod kojeg je brojilac veći ili jednak nazivniku. Drugim riječima, ako se cijeli dio može razlikovati od njega, on potpada pod ovu definiciju.

Ako se takav broj (veći ili jednak jedan) predstavi kao običan razlomak, on će se zvati nepravilnim. A ako je brojilac manji od nazivnika - ispravno. Obje vrste su podjednako zgodne u provedbi mogućih radnji s običnim razlomcima. Mogu se slobodno množiti i dijeliti, sabirati i oduzimati.

Ako je u isto vrijeme odabran cijeli broj i istovremeno postoji ostatak u obliku razlomka, rezultirajući broj će se zvati mješoviti. U budućnosti ćete se suočiti Različiti putevi kombinacije ovakvih struktura sa varijablama, kao i rješavanje jednačina gdje je to znanje potrebno.

Aritmetičke operacije

Ako je sve jasno s osnovnim svojstvom razlomka, kako se onda ponašati pri množenju razlomaka? Radnje sa običnim razlomcima u 5. razredu uključuju sve vrste računskih operacija koje se izvode na dva različita načina.

Množenje i dijeljenje su vrlo laki. U prvom slučaju, brojnici i imenioci dva razlomka se jednostavno množe. U drugom - isto, samo poprečno. Dakle, brojnik prvog razlomka se množi sa nazivnikom drugog i obrnuto.

Da biste izvršili zbrajanje i oduzimanje, potrebno je izvršiti dodatnu radnju - dovesti sve komponente izraza u zajednički nazivnik. To znači da se donji dijelovi razlomaka moraju promijeniti na istu vrijednost - višekratnu oba dostupna nazivnika. Na primjer, za 2 i 5 to će biti 10. Za 3 i 6 - 6. Ali šta onda učiniti s vrhom? Ne možemo ostaviti kako je bilo da smo promijenili donji. Prema osnovnom svojstvu razlomka, brojilac množimo istim brojem kao i imenilac. Ova operacija se mora izvesti na svakom od brojeva koje ćemo sabirati ili oduzimati. Međutim, takve radnje s običnim razlomcima u 6. razredu već se izvode "na mašini", a poteškoće nastaju samo na početna faza proučavanje teme.

Poređenje

Ako dva razlomka imaju isti nazivnik, onda će onaj sa većim brojnikom biti veći. Ako su gornji dijelovi isti, onda onaj sa manji imenilac. Treba imati na umu da se ovako uspješne situacije za poređenje rijetko dešavaju. Najvjerovatnije se i gornji i donji dio izraza neće podudarati. Onda se morate sjetiti moguće radnje sa običnim razlomcima i koristiti tehniku ​​sabiranja i oduzimanja. Takođe, zapamtite to ako govorimo o negativni brojevi, tada će veći razlomak biti manji.

Prednosti običnih razlomaka

Dešava se da nastavnici deci kažu jednu frazu, čiji se sadržaj može izraziti na sledeći način: više informacija dato pri formulisanju zadatka, rešenje će biti lakše. Da li zvuči čudno? Ali zaista: kada u velikom broju poznate vrijednosti, možete koristiti gotovo bilo koju formulu, ali ako se navede samo nekoliko brojeva, možda će biti potrebna dodatna razmišljanja, morat ćete zapamtiti i dokazati teoreme, dati argumente u korist svoje nevinosti ...

Zašto ovo radimo? Štoviše, obični razlomci, uz svu svoju glomaznost, mogu uvelike pojednostaviti život učenika, omogućavajući vam da smanjite čitave linije vrijednosti prilikom množenja i dijeljenja, a prilikom izračunavanja zbroja i razlike, izvlačite uobičajene argumente i , opet, smanjite ih.

Kada je potrebno izvršiti zajedničke radnje s običnim i decimalnim razlomcima, transformacije se provode u korist prvog: kako prevesti 3/17 u decimalni oblik? Samo uz gubitak informacija, nikako drugačije. Ali 0,1 se može predstaviti kao 1/10, a zatim kao 17/170. I tada se dva rezultirajuća broja mogu dodati ili oduzeti: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Zašto su decimale korisne?

Ako su radnje s običnim razlomcima prikladnije za izvođenje, tada je zapisivanje svega uz njihovu pomoć izuzetno nezgodno, decimale ovdje imaju značajnu prednost. Uporedite: 1748/10000 i 0,1748. To je ista vrijednost predstavljena u dva razne opcije. Naravno, drugi način je lakši!

Osim toga, decimale je lakše predstaviti jer svi podaci imaju zajedničku bazu koja se razlikuje samo po redovima veličine. Recimo da lako možemo prepoznati popust od 30% i čak ga ocijeniti kao značajan. Hoćete li odmah shvatiti šta je više - 30% ili 137/379? Dakle, decimalni razlomci obezbjeđuju standardizaciju izračunavanja.

U srednjoj školi učenici odlučuju kvadratne jednačine. Ovdje je već izuzetno problematično izvoditi radnje s običnim razlomcima, jer formula za izračunavanje vrijednosti varijable sadrži Kvadratni korijen od iznosa. U prisustvu razlomka koji se ne može svesti na decimalu, rješenje postaje toliko komplikovano da postaje gotovo nemoguće izračunati tačan odgovor bez kalkulatora.

Dakle, svaki način predstavljanja razlomaka ima svoje prednosti u odgovarajućem kontekstu.

Oblici ulaska

Postoje dva načina za pisanje radnji s običnim razlomcima: kroz horizontalnu liniju, u dva "sloja" i kroz kosu crtu (aka "kosa crta") - u liniju. Kada učenik piše u svesku, prva opcija je obično praktičnija, a samim tim i češća. Raspodjela većeg broja brojeva u ćelije doprinosi razvoju pažnje u proračunima i transformacijama. Kada pišete u niz, možete nenamjerno zbuniti redoslijed radnji, izgubiti sve podatke - odnosno napraviti grešku.

Vrlo često u naše vrijeme postoji potreba za štampanjem brojeva na računaru. Možete odvojiti razlomke tradicionalnom horizontalnom trakom koristeći funkciju u programu Microsoft Word 2010 i novijim. Činjenica je da u ovim verzijama softvera postoji opcija koja se zove "formula". Prikazuje pravougaono transformabilno polje unutar kojeg možete kombinovati bilo koje matematičke simbole, činiti razlomke sa dva i četiri sprata. U nazivniku i brojniku možete koristiti zagrade, znakove operacije. Kao rezultat, možete upisati bilo koje zajedničke radnje s običnim i decimalnim razlomcima tradicionalnom obliku, odnosno na način na koji ih uče da to rade u školi.

Ako koristite standard uređivač teksta Notepad, tada će svi izrazi razlomaka morati biti napisani kroz kosu crtu. Nažalost, ovdje nema drugog načina.

Zaključak

Dakle, razmotrili smo sve osnovne radnje s običnim razlomcima, kojih, ispostavilo se, nije toliko.

Ako se u početku može činiti da je ovo složen odjeljak matematike, onda je ovo samo privremeni utisak - sjetite se, jednom ste tako razmišljali o tablici množenja, pa čak i ranije - o uobičajenim knjigama i brojanju od jedan do deset.

Važno je razumjeti da se razlomci koriste u Svakodnevni život svuda. Bavićete se novcem i inženjerskim proračunima, informacione tehnologije i muzičke pismenosti, i svuda - svuda! - razlomci brojevaće se pojaviti. Stoga, nemojte biti lijeni i temeljito proučite ovu temu - pogotovo jer nije tako teško.