Kako podići broj na decimalni stepen. Podizanje algebarskog razlomka na stepen

U lekciji će se razmotriti generalizovanija verzija množenja razlomaka - ovo je eksponencijacija. Prije svega, govorit ćemo o prirodnom stepenu razlomka i primjerima koji pokazuju slične radnje sa razlomcima. Na početku lekcije također ćemo ponoviti podizanje na prirodni stepen cjelobrojnih izraza i vidjeti kako je to korisno za rješavanje daljnjih primjera.

Tema: Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija: Konstrukcija algebarski razlomak do stepena

1. Pravila za podizanje razlomaka i celobrojnih izraza na prirodne stepene sa elementarnim primerima

Pravilo za podizanje običnih i algebarskih razlomaka na prirodne stepene:

Možete povući analogiju sa stepenom celobrojnog izraza i zapamtiti šta se podrazumeva podizanjem na stepen:

Primjer 1 .

Kao što možete vidjeti iz primjera, podizanje razlomka na stepen je poseban slučaj množenje razlomaka, koje je proučavano u prethodnoj lekciji.

Primjer 2. a), b) - minus nestaje, jer smo digli izraz na parni stepen.

Radi praktičnosti rada sa stupnjevima, podsjećamo na osnovna pravila za podizanje na prirodnu moć:

- proizvod stepeni;

- podjela stepena;

Podizanje stepena na stepen;

Stepen rada.

Primer 3. - ovo nam je poznato još od teme "Podizanje na stepen celobrojnih izraza", osim u jednom slučaju: ne postoji.

2. Najjednostavniji primjeri za podizanje algebarskih razlomaka na prirodne stepene

Primjer 4. Podići razlomak na stepen.

Odluka. Kada se podigne na parni stepen, minus nestaje:

Primjer 5. Podići razlomak na stepen.

Odluka. Sada koristimo pravila za podizanje stepena na stepen odmah bez posebnog rasporeda:

.

Sada razmotrite kombinovane zadatke u kojima ćemo morati podići razlomke na stepen, te ih pomnožiti i podijeliti.

Primjer 6: Izvršite radnje.

Odluka. . Zatim morate napraviti smanjenje. Jednom ćemo detaljno opisati kako ćemo to učiniti, a zatim ćemo odmah po analogiji naznačiti rezultat:. Slično (ili prema pravilu podjele stupnjeva). Imamo: .

Primjer 7: Izvršite radnje.

Odluka. . Smanjenje se vrši analogno s primjerom o kojem smo ranije govorili.

Primjer 8: Izvršite radnje.

Odluka. . U ovom primjeru još jednom smo detaljnije opisali proces redukcije potencija u razlomcima kako bismo konsolidirali ovu metodu.

3. Složeniji primjeri za podizanje algebarskih razlomaka na prirodne stepene (uzimajući u obzir predznake i sa članovima u zagradama)

Primjer 9: Izvršite radnje .

Odluka. U ovom primjeru ćemo već preskočiti odvojeno množenje razlomaka i odmah koristiti pravilo za njihovo množenje i zapisati ga pod jednim nazivnikom. Istovremeno, pratimo znakove - u ovom slučaju razlomci se podižu na parne stepene, tako da minusi nestaju. Uradimo redukciju na kraju.

Primjer 10: Izvršite radnje .

Odluka. U ovom primjeru postoji podjela razlomaka, zapamtite da se u ovom slučaju prvi razlomak množi sa drugim, ali obrnut.

Vrijeme je da se upoznate dizanje algebarskog razlomka na stepen. Ova akcija sa algebarskim razlomcima, u smislu stepena, svodi se na množenje identičnih razlomaka. U ovom članku ćemo dati odgovarajuće pravilo i razmotriti primjere podizanja algebarskih razlomaka na prirodne potencije.

Navigacija po stranici.

Pravilo dizanja algebarskog razlomka na stepen, njegov dokaz

Prije nego što govorimo o podizanju algebarskog razlomka na stepen, ne škodi se sjetiti se koliki je proizvod istih faktora koji stoje u osnovi stepena, a njihov broj određuje indikator. Na primjer, 2 3 =2 2 2=8 .

Sada se prisjetimo pravila eksponencijalnosti običan razlomak- za to morate zasebno podići brojilac na naznačenu snagu, a posebno - nazivnik. Na primjer, . Ovo pravilo se odnosi na podizanje algebarskog razlomka na prirodni stepen.

Podizanje algebarskog razlomka na prirodni stepen daje novi razlomak u čijem je brojiocu navedeni stepen brojnika originalnog razlomka, au nazivniku - stepen nazivnika. U doslovnom obliku, ovo pravilo odgovara jednakosti , gdje su a i b proizvoljni polinomi (u određenim slučajevima, monomi ili brojevi), a b je polinom različit od nule, a n je .

Dokaz izrečenog pravila za podizanje algebarskog razlomka na stepen zasniva se na definiciji stepena sa prirodnim eksponentom i na tome kako smo definisali množenje algebarskih razlomaka: .

Primjeri, rješenja

Pravilo dobijeno u prethodnom paragrafu svodi podizanje algebarskog razlomka na stepen na podizanje brojnika i nazivnika originalnog razlomka na ovaj stepen. A pošto su brojnik i nazivnik originalnog algebarskog razlomka polinomi (u konkretnom slučaju, monomi ili brojevi), originalni zadatak se svodi na podizanje polinoma na stepen. Nakon izvođenja ove radnje, dobiće se novi algebarski razlomak, identično jednak navedenom stepenu originalnog algebarskog razlomka.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Kvadrirajte algebarski razlomak.

Odluka.

Hajde da napišemo stepen. Sada prelazimo na pravilo za podizanje algebarskog razlomka na stepen, ono nam daje jednakost . Ostaje da se dobijeni razlomak pretvori u oblik algebarskog razlomka dizanjem monoma na stepen. Dakle .

Obično, kada se algebarski razlomak podiže na stepen, tok rješenja se ne objašnjava, već se rješenje ukratko zapisuje. Naš primjer odgovara zapisu .

odgovor:

.

Kada se polinomi, posebno binomi, nalaze u brojniku i/ili nazivniku algebarskog razlomka, tada je pri podizanju na stepen preporučljivo koristiti odgovarajuće skraćene formule za množenje.

Primjer.

Podići algebarski razlomak do drugog stepena.

Odluka.

Po pravilu dizanja razlomka na stepen imamo .

Za transformaciju rezultirajućeg izraza u brojiocu koristimo se formula na kvadrat razlike, a u nazivniku - formula kvadrata zbira tri člana:

odgovor:

U zaključku, napominjemo da ako podignemo nesvodljivi algebarski razlomak na prirodni stepen, onda će rezultat također biti nesvodljivi razlomak. Ako je originalni razlomak poništiv, onda je pre nego što ga podignete na stepen preporučljivo smanjiti algebarski razlomak kako se redukcija ne bi izvršila nakon podizanja na stepen.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.website, uključujući unutrašnji materijali i vanjski dizajn ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

U nastavku razgovora o stepenu nekog broja, logično je da se pozabavimo pronalaženjem vrednosti stepena. Ovaj proces je imenovan eksponencijacija. U ovom članku ćemo samo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, pri čemu ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija je pronaći vrijednost stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5".

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . To jest, kada se broj a podiže na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stepena iz broja a, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojni stepen m.

Razmotrimo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Odluka.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa razlomanim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena pod znakom korijena, nakon čega izvlačimo kockasti koren: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom i na osnovu svojstava korena, jednakosti su tačne . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cijeli broj .

Očigledno, dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena se poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u ovim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, nakon čega treba izvršiti eksponencijalnost.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2,5 .

Odluka.

Eksponent pišemo u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično naporan proces (posebno kada su brojnik i nazivnik razlomka eksponenta prilično veliki brojevi), koji se obično izvodi pomoću računarska nauka.

U zaključku ovog paragrafa, zadržaćemo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Dali smo sljedeće značenje razlomku stepena nule oblika: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle nula u razlomku pozitivan stepen jednako nuli, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja sa iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe, obično je dovoljno dobiti vrijednost stepena do određenog znaka. Odmah napominjemo da se ova vrijednost u praksi izračunava korištenjem elektronske računarske tehnologije, od podizanja na ir racionalni stepen ručno zahtijeva mnogo glomaznih proračuna. Međutim, mi ćemo opisati uopšteno govoreći suština akcije.

Da bi se dobila približna vrijednost stepena a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što se u početku uzme tačnija decimalna aproksimacija broja, to više tačna vrijednost diploma će se steći na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog indikatora: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1,17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1,17 ≈ 2,250116. dakle, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog stepena: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Razlomak je omjer brojila i nazivnika, a imenilac ne smije biti nula, a brojilac može biti bilo koji.

Kada podižete bilo koji razlomak na proizvoljan stepen, potrebno je zasebno podići brojilac i imenilac razlomka na ovaj stepen, nakon čega moramo prebrojati ove potencije i tako dobiti razlomak podignut na stepen.

Na primjer:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) (2 / 3) (2 / 3) = 2^3 / 3^3

negativnu snagu

Ako imamo posla sa negativnim stepenom, onda prvo moramo "obrnuti razlomak", a tek onda ga podići na stepen prema gore napisanom pravilu.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Pismo stepen

Kada radite s literalnim vrijednostima kao što su "x" i "y", eksponencijacija slijedi isto pravilo kao i prije.

Možemo se provjeriti i podizanjem razlomka ½ na 3. stepen, kao rezultat dobijamo ½ * ½ * ½ = 1/8 što je u suštini isto kao

Doslovna eksponencijacija x^y

Množenje i dijeljenje razlomaka sa potencijama

Ako pomnožimo stepene sa istom osnovom, onda sama baza ostaje ista, a eksponente dodajemo. Ako dijelimo diplome sa istih osnova, tada baza stepena također ostaje ista, a eksponenti se oduzimaju.

To se vrlo lako može pokazati na primjeru:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Mogli bismo dobiti istu stvar ako bismo jednostavno povećali nazivnik i brojnik odvojeno na stepen 3 i 4, redom.

Podizanje razlomka sa stepenom na drugi stepen

Kada razlomak, koji je već u stepenu, još jednom podižemo u stepen, prvo moramo uraditi unutrašnje stepenovanje, a zatim preći na eksponencijalni deo. Drugim riječima, možemo jednostavno pomnožiti ove potencije i podići razlomak na rezultirajuću moć.

Na primjer:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Ujedinjenje, kvadratni korijen

Također, ne smijemo zaboraviti da će nam podizanje apsolutno bilo kojeg razlomka na nulti stepen dati 1, baš kao i svaki drugi broj, kada se podigne na stepen jednak nuli, dobićemo 1.

Uobičajeni kvadratni korijen se također može predstaviti kao stepen razlomka

Kvadratni korijen 3 = 3^(1/2)

Ako imamo posla sa kvadratni korijen pod kojim se nalazi razlomak, onda možemo predstaviti ovaj razlomak u brojniku u kojem će biti kvadratni korijen od 2 - stepena (jer je kvadratni korijen)

I imenilac će sadržavati i kvadratni korijen, tj. drugim riječima, vidjet ćemo omjer dva korijena, ovo može biti korisno za rješavanje nekih problema i primjera.

Ako podignemo razlomak koji je ispod kvadratnog korijena na drugi stepen, onda ćemo dobiti isti razlomak.

Umnožak dvaju razlomaka pod istim stepenom biće jednak proizvodu ova dva razlomka, od kojih će svaki pojedinačno biti ispod svog stepena.

Zapamtite: ne možete podijeliti sa nulom!

Takođe, ne zaboravite na vrlo važnu napomenu da razlomak kao što je imenilac ne bi trebao biti jednak nuli. U budućnosti ćemo u mnogim jednadžbama koristiti ovo ograničenje, nazvano ODZ - raspon dozvoljenih vrijednosti

Kada se uporede dva razlomka sa istom osnovom, ali različitim stepenima, veći će biti razlomak u kojem će stepen biti veći, a manji u kojem će stepen biti manji, ako ne samo da su baze jednake, već i stepeni, razlomak se smatra istim.