Zbir logaritama na istu bazu. Osnovni logaritamski identitet. Zamjena granica integracije

Fokus ovog članka je logaritam. Ovdje ćemo dati definiciju logaritma, pokazati prihvaćenu notaciju, dati primjere logaritama i govoriti o prirodnim i decimalnim logaritmima. Nakon toga razmislite o glavnom logaritamski identitet.

Navigacija po stranici.

Definicija logaritma

Koncept logaritma nastaje kada se rješava problem u u određenom smislu inverzno kada treba da nađete eksponent poznata vrijednost stepen i poznatu osnovu.

Ali dosta preambule, vrijeme je da odgovorimo na pitanje "šta je logaritam"? Hajde da damo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Logaritam od b prema bazi a, gdje je a>0, a≠1 i b>0 eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b kao rezultat.

U ovoj fazi, napominjemo da izgovorena riječ "logaritam" treba odmah pokrenuti dva pitanja koja slijede: "koji broj" i "na osnovu čega". Drugim riječima, jednostavno ne postoji logaritam, već postoji samo logaritam broja u nekoj bazi.

Odmah ćemo se predstaviti logaritamski zapis: logaritam broja b prema bazi a obično se označava kao log a b. Logaritam broja b na osnovu e i logaritam na osnovu 10 imaju svoje posebne oznake lnb i lgb, odnosno ne pišu log e b, već lnb, i ne log 10 b, već lgb.

Sada možete donijeti: .
I zapisi nemaju smisla, jer u prvom od njih postoji negativan broj pod znakom logaritma, u drugom - negativan broj u osnovi, a u trećem - oba negativan broj pod znakom logaritma i jedinica u bazi.

Hajde sada da pričamo o tome pravila za čitanje logaritama. Dnevnik unosa a b čita se kao "logaritam od b prema bazi a". Na primjer, log 2 3 je logaritam od tri prema osnovici 2, a logaritam je dvije tačke dvije trećine na osnovu Kvadratni korijen od pet. Poziva se logaritam bazi e prirodni logaritam, a oznaka lnb se čita kao "prirodni logaritam od b". Na primjer, ln7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo ga čitati kao prirodni logaritam broja pi. Logaritam na osnovu 10 takođe ima poseban naziv - decimalni logaritam, a oznaka lgb se čita kao "decimalni logaritam b". Na primjer, lg1 je decimalni logaritam od jedan, a lg2.75 je decimalni logaritam od dvije tačke sedamdeset i pet stotinki.

Vrijedi se posebno zadržati na uslovima a>0, a≠1 i b>0, pod kojima je data definicija logaritma. Hajde da objasnimo odakle dolaze ova ograničenja. Da to učinimo, pomoći će nam jednakost oblika, nazvana , koja direktno slijedi iz gore navedene definicije logaritma.

Počnimo sa a≠1 . Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, jednakost može biti tačna samo za b=1, ali log 1 1 može biti bilo koji realan broj. Da bi se izbjegla ova dvosmislenost, a≠1 je prihvaćen.

Potvrdimo svrsishodnost uslova a>0. Sa a=0, po definiciji logaritma, imali bismo jednakost , što je moguće samo sa b=0 . Ali onda log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula prema bilo kojoj stepenu različitoj od nule nula. Ova dvosmislenost se može izbjeći uslovom a≠0. I za a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирracionalni indikator definisano samo za ne-negativne baze. Stoga je uslov a>0 prihvaćen.

Konačno, uvjet b>0 slijedi iz nejednakosti a>0, budući da je , a vrijednost stepena s pozitivnom bazom a uvijek pozitivna.

U zaključku ovog paragrafa kažemo da zvučna definicija logaritma omogućava da odmah naznačite vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određeni stupanj baze. Zaista, definicija logaritma nam omogućava da tvrdimo da ako je b=a p, onda je logaritam broja b prema bazi a jednak p. To jest, log jednakosti a a p =p je istinit. Na primjer, znamo da je 2 3 =8 , a zatim log 2 8=3 . O tome ćemo više govoriti u članku.

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se zovu osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom bazom: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati, i:

1. log a x+log a y= log a (x · y);
2. log a x−log a y= log a (x : y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Bilješka: ključni trenutak ovdje - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na osnovu ove činjenice, mnogi test papiri. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je to vidjeti poslednje pravilo prati prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis slike]

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka logaritam logira a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, jednakost je tačna:

[Natpis slike]

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

[Natpis slike]

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent argumenta. Broj n može biti apsolutno bilo šta, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. To se zove osnovni logaritamski identitet.

Zaista, šta će se dogoditi ako broj b podići na snagu tako da b u ovoj mjeri daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis slike]

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - upravo je izbačen kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat ovo je bio pravi zadatak sa ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

1. log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom za svagda: logaritam na bilo koju bazu a iz ove baze je sama jedna.
2. log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo šta, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! jer a 0 = 1 je direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potencijama, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b * a c = a b + c). Ovo matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno sabiranje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam šta su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" po njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" , na koju se mora podići osnova "a", da bi na kraju dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen da od 2 do traženog stepena dobijete 8. Nakon nekih proračuna u svom umu, dobili smo broj 3! I s pravom, jer 2 na stepen od 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Ima ih tri određene vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je osnova 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b prema bazi a>1.

Svako od njih je odlučeno na standardan način, što uključuje pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Primiti ispravne vrijednosti logaritma, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, ne možete podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće uzeti paran korijen iz negativni brojevi. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti kako raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
• ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da "c" mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dobio je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je lako, potrebno je odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju ka pronalaženju stepena do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti treba ti tabela stepeni. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c, na koji se podiže broj a. Na sjecištu u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi mogu zapisati kao logaritamska jednačina. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobijamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jeste logaritamska nejednakost, pošto je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u osnovi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednačina definiraju kao površina dozvoljene vrijednosti, i tačke diskontinuiteta ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B veće od nule.
2. Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepena ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
3. Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema u obliku formule dobija sljedeći pogled: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i to nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na redovnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Ako oba dijela podignete na stepen m: a tn = b n ;

ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obavezni dio ispita iz matematike. Za upis na fakultet ili polaganje prijemni ispiti u matematici, morate znati kako pravilno rješavati takve probleme.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila se mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati da li se izraz može pojednostaviti ili svesti na opšti pogled. Pojednostavite dugo logaritamski izrazi Možete, ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritama moraju se primijeniti logaritamski identiteti ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj brojeve b u jednostavnije činioce. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Logaritmi se često nalaze u prijemni ispiti, posebno puno logaritamskih problema na ispitu ( Državni ispit za sve maturante srednje škole). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačan i savršeno znanje tema "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su od zvaničnika KORISTI opcije. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.

Razvojem društva, složenošću proizvodnje razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog ka složenom. Od uobičajenog obračunskog metoda sabiranja i oduzimanja, uz njihovo višestruko ponavljanje, došli su do koncepta množenja i dijeljenja. Smanjenje višestruko ponovljene operacije postalo je koncept eksponencijalnosti. Prve tabele zavisnosti brojeva od baze i broja eksponencijalnosti sastavio je još u 8. veku indijski matematičar Varasena. Od njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Istorijski pregled

Preporod Evrope u 16. veku takođe je podstakao razvoj mehanike. T zahtevala veliku količinu proračuna vezano za množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva. Drevni stolovi su učinili veliku uslugu. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim - sabiranjem i oduzimanjem. Veliki iskorak bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizovao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614, Škot John Napier, razvijajući ove ideje, prvi je predstavio novi termin"logaritam broja". Sastavljene su nove kompleksne tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su da se pojavljuju nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Trebalo je dosta vremena prije nova operacija u algebri dobio svoj gotov oblik. Definiran je logaritam i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. veku, sa pojavom kalkulatora i kompjutera, čovečanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspešno funkcionisale tokom 13. veka.

Danas zovemo logaritam od b na bazi a na broju x, što je stepen a, da bismo dobili broj b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) će biti jednak 2. Ovo je očigledno ako slijedite definiciju. Ako podignemo 3 na stepen 2, dobićemo 9.

Dakle, formulisana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti realni.

Vrste logaritama

Klasična definicija se zove realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 na bilo koji stepen je 1.

Realna vrijednost logaritma definirano samo ako su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u oblasti matematike igrajte logaritme, koji će biti imenovani ovisno o vrijednosti njihove baze:

Pravila i ograničenja

Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave, bit će: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocijentna funkcija je jednaka razlici funkcija.

Lako je vidjeti iz prethodna dva pravila: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Nemojte praviti uobičajenu grešku - logaritam zbira nije jednak zbiru logaritama.

Tokom mnogih stoljeća, operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Koristili su matematičari poznata formula logaritamska teorija polinomske ekspanzije:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, što određuje tačnost proračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su korištenjem teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma proizvoda.

Pošto je ova metoda vrlo naporna i prilikom rješavanja praktičnih problema teški za implementaciju, koristili su unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je uvelike ubrzalo cijeli rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su davali manju preciznost, ali znatno ubrzavali pretragu. željenu vrijednost. Krivulja funkcije y = log a(x), izgrađena na nekoliko tačaka, omogućava korištenje uobičajenog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. Inženjeri dugo vrijeme u ove svrhe korišten je tzv. grafofolija.

U 17. veku pojavili su se prvi pomoćni analogni računarski uslovi, koji bi XIX vijeka dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj zvao se klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i kompjutera učinila je besmislenim korištenje bilo kojih drugih uređaja.

Jednačine i nejednačine

Sljedeće formule se koriste za rješavanje različitih jednadžbi i nejednačina korištenjem logaritama:

• Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Shodno tome prethodna verzija: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su i baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
• Ako je funkcija logaritma primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a baza logaritma je veća od jedan, onda je predznak nejednakosti sačuvan; inače se menja.

Primjeri zadataka

Razmotrite nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri sa rješavanjem jednadžbi:

Razmotrite opciju postavljanja logaritma u stepen:

• Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešenje: u uslovima zadatka, notacija je slična sledećoj (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobijamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, izgleda daleko od toga pravi zivot da je logaritam odjednom dobio veliku važnost u opisivanju objekata stvarnom svijetu. Teško je naći nauku u kojoj se ne koristi. Ovo se u potpunosti odnosi ne samo na prirodne, već i na prirodne humanitarne oblasti znanje.

Logaritamske zavisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Istorijski gledano, mehanika i fizika su se uvijek razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja i istovremeno je poslužio kao poticaj razvoju matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Dajemo samo dva primjera opisa fizičkih zakona korištenjem logaritma.

Moguće je riješiti problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete pomoću formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:

V = I * ln(M1/M2), gdje je

• V je konačna brzina aviona.
• I je specifični impuls motora.
• M 1 je početna masa rakete.
• M 2 - konačna masa.

Drugi važan primjer - ovo je upotreba u formuli drugog velikog naučnika, Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

• S je termodinamičko svojstvo.
• k je Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

hemija

Manje očigledna bi bila upotreba formula u hemiji koje sadrže omjer logaritama. Evo samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost supstanci i konstantu ravnoteže.
• Proračun takvih konstanti kao što su indeks autoprolize i kiselost otopine također nije potpun bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Pokazalo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer intenziteta stimulusa prema niža vrijednost intenzitet.

Poslije gornjim primjerima Više nije iznenađujuće što se tema logaritma široko koristi i u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogu se napisati čitavi tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s ovom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su povezani zakoni prirode geometrijska progresija. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Lista bi mogla biti beskonačna. Nakon što ste savladali osnovne zakone ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći stepen na koji morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

Logaritam bazi a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Notacija: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Mogao bi i logirati 2 64 = 6 jer je 2 6 = 64 .

Operacija pronalaženja logaritma broja na datu bazu naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:

Nažalost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova i gdje je argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je snaga, na koju morate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom času - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje da naučimo kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dvoje“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d -1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, za sada samo razmatramo numeričke izraze, pri čemu nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kad odu logaritamske jednačine i nejednakosti, zahtjevi DHS-a će postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opšta šema logaritamski proračuni. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa minimumom moguća osnova, velike jedinice. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Slicno decimale: ako ih odmah prevedete u obične, bit će višestruko manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i riješimo jednačinu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i riješimo jednačinu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
3. Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga proširite primarni faktori. Ako postoje najmanje dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznajte da li su tačne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije tačna snaga jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 5 - opet nije tačan stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije tačan stepen;

Također napominjemo da mi primarni brojevi su uvek tačne moći same sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam osnove 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U određenom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Radi se o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam osnove e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: šta je još broj e? Ovo je iracionalan broj tačna vrijednost nemoguće pronaći i snimiti. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Dakle, ln e = 1; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalno. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.