Opća shema za rješavanje frakcione racionalne jednadžbe. Rješavanje cjelobrojnih i razlomačno racionalnih jednadžbi

Opća shema za rješavanje frakcione racionalne jednadžbe. Rješavanje cjelobrojnih i razlomačno racionalnih jednadžbi
Opća shema za rješavanje frakcione racionalne jednadžbe. Rješavanje cjelobrojnih i razlomačno racionalnih jednadžbi
10.10.2019

Ciljevi lekcije:

Tutorial:

  • formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
  • razmotriti različite načine rješavanja razlomaka racionalne jednačine;
  • razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
  • podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina prema algoritmu;
  • provjeravanje stepena usvajanja teme izvođenjem testnog rada.

u razvoju:

  • razvijanje sposobnosti pravilnog rada sa stečenim znanjem, logičkog mišljenja;
  • razvoj intelektualnih vještina i mentalne operacije- analiza, sinteza, poređenje i generalizacija;
  • razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanja na tome;
  • razvoj kritično mišljenje;
  • razvoj istraživačkih vještina.

njegovanje:

  • vaspitanje kognitivni interes subjektu;
  • vaspitanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
  • vaspitanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Jednačine su napisane na tabli, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na lekciji? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije „Rješenje frakcionih racionalnih jednačina“.

2. Aktuelizacija znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:

  1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
  2. Kako se zove jednačina #1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Svi sa nepoznatim useljenjem lijeva strana jednadžbe, svi brojevi - desno. Donesite slične uslove. Pronađite nepoznati množitelj).
  3. Kako se zove jednačina 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Odabir punog kvadrata, po formulama, korištenjem Vietine teoreme i njenih posljedica.)
  4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva odnosa.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
  5. Koja svojstva se koriste za rješavanje jednačina? ( 1. Ako u jednačini prenesemo pojam iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, onda ćemo dobiti jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, onda će se dobiti jednačina koja je ekvivalentna datom.)
  6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.)

3. Objašnjenje novog materijala.

Reši jednačinu br. 2 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Reši jednačinu br. 4 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu #7 na jedan od načina.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

x 2 -2x-5=x+5

x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0

x 2 -2x-5-x-5=0

x(x-5)(x 2 -3x-10)=0

x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0

x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49

x 3 = 5 x 4 = -2

x 3 = 5 x 4 = -2

Odgovori: 0;5;-2.

Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti do sada nisu upoznali koncept stranog korena, zaista im je veoma teško da shvate zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

  • Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednadžbi br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 - izrazi sa promenljivom.)
  • Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje prava jednakost.)
  • Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Kada rade test, neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina koji eliminiše ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, pa je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomaka racionalnih jednačina. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

  1. Pomerite sve ulevo.
  2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
  3. Napravite sistem: razlomak je nula kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.
  4. Riješite jednačinu.
  5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
  6. Zapišite odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako se koristi osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednačine sa zajednički imenilac. (Dopuniti rješenje: isključiti iz njegovih korijena one koji pretvaraju zajednički imenilac na nulu).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će samostalno riješiti jednačinu, ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600 (b, c, i); br. 601 (a, e, g). Nastavnik kontroliše izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pruža pomoć učenicima sa lošim rezultatom. Samotestiranje: Odgovori su ispisani na tabli.

b) 2 je strani korijen. Odgovor:3.

c) 2 je strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domaćem zadatku.

  1. Pročitaj stavku 25 iz udžbenika, analiziraj primjere 1-3.
  2. Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
  3. Rešiti u sveskama br. 600 (a,d,e); br. 601 (g, h).
  4. Pokušajte riješiti #696(a) (opciono).

6. Ispunjavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Radovi se obavljaju na listovima.

primjer posla:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je nula kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine #6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi za evaluaciju zadataka:

  • „5“ se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
  • "4" - 75% -89%
  • "3" - 50% -74%
  • "2" se daje učeniku koji je završio manje od 50% zadatka.
  • Ocena 2 se ne upisuje u dnevnik, 3 je izborna.

7. Refleksija.

Na letke sa samostalnim radom stavite:

  • 1 - ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
  • 2 - zanimljivo, ali nije jasno;
  • 3 - nije zanimljivo, ali razumljivo;
  • 4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, kod kuće ćete imati priliku da učvrstite stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomaka racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija, racionalnija? Bez obzira na način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, šta ne treba zaboraviti? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Najmanji zajednički nazivnik se koristi za pojednostavljenje ove jednačine. Ova metoda se koristi kada ne možete pisati zadata jednačina sa po jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednačine (i koristiti metodu unakrsnog množenja). Ova metoda se koristi kada vam je data racionalna jednadžba sa 3 ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka bolje je unakrsno množenje).

  • Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka (ili najmanji zajednički višekratnik). NOZ je najmanji broj, koji je jednako djeljiv sa svakim nazivnikom.

    • Ponekad je NOZ očigledan broj. Na primjer, ako je data jednadžba: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, onda je očigledno da će najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 2 i 6 biti 6.
    • Ako NOD nije očigledan, zapišite višekratnike najvećeg nazivnika i među njima pronađite onaj koji je također višekratnik ostalih imenilaca. Često možete pronaći NOD jednostavnim množenjem dva nazivnika zajedno. Na primjer, ako je data jednadžba x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada je NOZ = 8*9 = 72.
    • Ako jedan ili više nazivnika sadrže varijablu, tada je proces nešto složeniji (ali ne i nemoguć). U ovom slučaju, NOZ je izraz (koji sadrži varijablu) koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Na primjer, u jednačini 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jer je ovaj izraz djeljiv sa svakim nazivnikom: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

  • Pomnožite i brojilac i imenilac svakog razlomka brojem jednakim rezultatu dijeljenja NOZ-a odgovarajućim nazivnikom svakog razlomka. Pošto množite i brojilac i imenilac istim brojem, efektivno množite razlomak sa 1 (na primjer, 2/2 = 1 ili 3/3 = 1).

    • Dakle, u našem primjeru, pomnožite x/3 sa 2/2 da biste dobili 2x/6, i pomnožite 1/2 sa 3/3 da biste dobili 3/6 (3x + 1/6 ne treba množiti jer je imenilac 6).
    • Postupite slično kada je varijabla u nazivniku. U našem drugom primjeru NOZ = 3x(x-1), tako da je 5/(x-1) puta (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x puta 3(x-1)/3(x-1) da biste dobili 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnožite sa (x-1)/(x-1) i dobijete 2(x-1)/3x(x-1).

  • Pronađite x. Sada kada ste sveli razlomke na zajednički nazivnik, možete se riješiti nazivnika. Da biste to učinili, pomnožite svaku stranu jednačine zajedničkim nazivnikom. Zatim riješite rezultirajuću jednačinu, odnosno pronađite "x". Da biste to učinili, izolirajte varijablu na jednoj strani jednačine.

    • U našem primjeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Možete dodati 2 razlomka sa istim nazivnikom, pa napišite jednačinu kao: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obje strane jednačine sa 6 i riješite se nazivnika: 2x+3 = 3x +1. Riješite i dobijete x = 2.
    • U našem drugom primjeru (sa varijablom u nazivniku), jednačina izgleda ovako (nakon redukcije na zajednički nazivnik): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Množenjem obje strane jednadžbe sa NOZ-om, riješite se nazivnika i dobijete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ili 15x = 3x - 3 + 2x -2, ili 15x = x - 5 Riješite i dobijete: x = -5/14.

    • U ovom članku ću vam pokazati algoritmi za rješavanje sedam vrsta racionalnih jednačina, koji se promjenom varijabli svode na kvadratne. U većini slučajeva transformacije koje dovode do zamjene su vrlo netrivijalne i prilično je teško sami pretpostaviti o njima.

    Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako napraviti promjenu varijabli u njoj, a zatim ću pokazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorijalu.

    Imate priliku da sami nastavite rješavati jednačine, a zatim provjerite svoje rješenje uz video tutorijal.

    Dakle, počnimo.

    1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

    Imajte na umu da je proizvod četiri zagrade na lijevoj strani jednačine, a broj na desnoj strani.

    1. Grupirajmo zagrade po dva tako da zbir slobodnih članova bude isti.

    2. Pomnožite ih.

    3. Hajde da uvedemo promjenu varijable.

    U našoj jednadžbi grupiramo prvu zagradu s trećom, a drugu s četvrtom, budući da (-1) + (-4) = (-7) + 2:

    U ovom trenutku, promjena varijable postaje očigledna:

    Dobijamo jednačinu

    odgovor:

    2 .

    Jednačina ovog tipa je slična prethodnoj sa jednom razlikom: na desnoj strani jednačine je proizvod broja po. A to se rješava na potpuno drugačiji način:

    1. Grupiramo zagrade po dva tako da je proizvod slobodnih pojmova isti.

    2. Pomnožimo svaki par zagrada.

    3. Iz svakog faktora uzimamo x iz zagrade.

    4. Podijelite obje strane jednačine sa .

    5. Uvodimo promjenu varijable.

    U ovoj jednačini grupiramo prvu zagradu sa četvrtom, a drugu sa trećom, jer:

    Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni član isti. Izvadimo množitelj iz svake zagrade:

    Kako x=0 nije korijen originalne jednadžbe, obje strane jednačine dijelimo sa . Dobijamo:

    Dobijamo jednačinu:

    odgovor:

    3 .

    Imajte na umu da imenioci oba razlomka sadrže kvadratni trinomi, čiji su vodeći koeficijent i slobodni član isti. Izvlačimo, kao u jednadžbi drugog tipa, x iz zagrade. Dobijamo:

    Podijelite brojilac i imenilac svakog razlomka sa x:

    Sada možemo uvesti promjenu varijable:

    Dobijamo jednačinu za varijablu t:

    4 .

    Imajte na umu da su koeficijenti jednačine simetrični u odnosu na centralni. Takva jednačina se zove povratno .

    Da to riješim

    1. Podijelite obje strane jednačine sa (To možemo učiniti jer x=0 nije korijen jednačine.) Dobijamo:

    2. Grupirajte pojmove na ovaj način:

    3. U svakoj grupi izvlačimo zajednički faktor:

    4. Hajde da uvedemo zamjenu:

    5. Izrazimo izraz u terminima t:

    Odavde

    Dobijamo jednačinu za t:

    odgovor:

    5. Homogene jednadžbe.

    Jednadžbe koje imaju strukturu homogene mogu se sresti pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijske jednačine, pa ga treba prepoznati.

    Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

    U ovoj jednakosti, A, B i C su brojevi, a isti izrazi su označeni kvadratom i krugom. To jest, na lijevoj strani homogene jednačine je zbir monoma koji imaju isti stepen (u ovaj slučaj stepen monoma je 2) i nema slobodnog člana.

    Da bismo riješili homogenu jednačinu, obje strane podijelimo sa

    Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti da li su korijeni izraza kojim dijelimo oba dijela jednačine korijeni izvorne jednačine.

    Idemo prvim putem. Dobijamo jednačinu:

    Sada uvodimo zamjenu varijable:

    Pojednostavite izraz i dobijte bi kvadratna jednačina s obzirom na t:

    odgovor: ili

    7 .

    Ova jednačina ima sljedeću strukturu:

    Da biste ga riješili, trebate odabrati cijeli kvadrat na lijevoj strani jednadžbe.

    Da biste odabrali cijeli kvadrat, trebate dodati ili oduzeti dvostruki proizvod. Tada dobijamo kvadrat zbira ili razlike. Ovo je ključno za uspješnu zamjenu varijable.

    Počnimo s pronalaženjem dvostrukog proizvoda. To će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj jednadžbi, dvostruki proizvod je

    Sada hajde da shvatimo šta nam je zgodnije da imamo - kvadrat zbira ili razlike. Razmotrimo, za početak, zbir izraza:

    Fino! ovaj izraz je tačno jednak dvostrukom proizvodu. Zatim, da biste dobili kvadrat sume u zagradama, trebate dodati i oduzeti dvostruki proizvod:

    Hajde da se upoznamo s racionalnim i frakcionim racionalnim jednadžbama, damo njihovu definiciju, damo primjere, a također analiziramo najčešće vrste problema.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Racionalna jednadžba: definicija i primjeri

    Upoznavanje sa racionalnim izrazima počinje u 8. razredu škole. U ovom trenutku, na časovima algebre, učenici sve više počinju da se susreću sa zadacima sa jednačinama koje sadrže racionalne izraze u svojim bilješkama. Osvježimo sjećanje šta je to.

    Definicija 1

    racionalna jednačina je jednadžba u kojoj obje strane sadrže racionalne izraze.

    U raznim priručnicima možete pronaći i drugu formulaciju.

    Definicija 2

    racionalna jednačina- ovo je jednačina čiji zapis na lijevoj strani sadrži racionalni izraz, a na desnoj nuli.

    Definicije koje smo dali za racionalne jednačine su ekvivalentne, jer znače istu stvar. Ispravnost naših riječi potvrđuje činjenica da za bilo koje racionalne izraze P i Q jednačine P=Q i P − Q = 0će biti ekvivalentni izrazi.

    Sada se okrenemo primjerima.

    Primjer 1

    Racionalne jednadžbe:

    x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

    Racionalne jednadžbe, kao i jednadžbe drugih tipova, mogu sadržavati bilo koji broj varijabli od 1 do nekoliko. Za početak ćemo razmotriti jednostavni primjeri, u kojem će jednadžbe sadržavati samo jednu varijablu. A onda počinjemo postepeno komplicirati zadatak.

    Racionalne jednadžbe su podijeljene u dvije velike grupe: cjelobrojne i razlomke. Hajde da vidimo koje će se jednadžbe primijeniti na svaku od grupa.

    Definicija 3

    Racionalna jednadžba će biti cijeli broj ako zapis njenog lijevog i desnog dijela sadrži cijele racionalne izraze.

    Definicija 4

    Racionalna jednadžba će biti razlomka ako jedan ili oba njena dijela sadrže razlomak.

    Frakcijsko racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje promjenljivom, ili je varijabla prisutna u nazivniku. Ne postoji takva podjela u pisanju cjelobrojnih jednačina.

    Primjer 2

    3 x + 2 = 0 i (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 su cijele racionalne jednadžbe. Ovdje su oba dijela jednačine predstavljena cjelobrojnim izrazima.

    1 x - 1 = x 3 i x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 su frakciono racionalne jednadžbe.

    Cjelokupne racionalne jednadžbe uključuju linearne i kvadratne jednačine.

    Rješavanje cijelih jednačina

    Rješenje takvih jednadžbi obično se svodi na njihovu transformaciju u ekvivalentne algebarske jednadžbe. To se može postići izvođenjem ekvivalentnih transformacija jednačina u skladu sa sljedećim algoritmom:

    • prvo dobijemo nulu na desnoj strani jednačine, za to je potrebno prenijeti izraz koji se nalazi na desnoj strani jednačine na njenu lijevu stranu i promijeniti predznak;
    • zatim transformiramo izraz na lijevoj strani jednadžbe u polinom standardni pogled.

    Moramo dobiti algebarsku jednačinu. Ova jednačina će biti ekvivalentna u odnosu na originalnu jednačinu. Laki slučajevi nam omogućavaju da riješimo problem svođenjem cijele jednačine na linearnu ili kvadratnu. U opštem slučaju, rešavamo algebarsku jednačinu stepena n.

    Primjer 3

    Potrebno je pronaći korijene cijele jednačine 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

    Odluka

    Transformirajmo originalni izraz kako bismo dobili njemu ekvivalentnu algebarsku jednačinu. Da bismo to učinili, prenijet ćemo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednadžbe na lijevu stranu i promijeniti predznak na suprotan. Kao rezultat, dobijamo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

    Sada ćemo transformirati izraz na lijevoj strani u polinom standardnog oblika i izvršiti potrebne radnje s ovim polinomom:

    3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

    Uspjeli smo svesti rješenje izvorne jednadžbe na rješenje kvadratne jednačine oblika x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanta ove jednadžbe je pozitivna: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znači da će postojati dva prava korijena. Pronađimo ih koristeći formulu korijena kvadratne jednadžbe:

    x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

    x 1 = 5 + 7 2 ili x 2 = 5 - 7 2,

    x 1 = 6 ili x 2 = - 1

    Provjerimo ispravnost korijena jednadžbe koju smo pronašli u toku rješavanja. Za ovaj broj, koji smo dobili, zamjenjujemo u originalnu jednačinu: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 i 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. U prvom slučaju 63 = 63 , u drugom 0 = 0 . Roots x=6 i x = − 1 su zaista korijeni jednadžbe date u primjeru uvjeta.

    odgovor: 6 , − 1 .

    Pogledajmo šta znači "snaga cijele jednačine". Često ćemo se susresti sa ovim terminom u onim slučajevima kada je potrebno da cijelu jednačinu predstavimo u obliku algebarske. Hajde da definišemo koncept.

    Definicija 5

    Stepen cjelobrojne jednadžbe je stepen algebarska jednačina, što je ekvivalentno originalnoj cijeloj jednačini.

    Ako pogledate jednačine iz gornjeg primjera, možete ustanoviti: stepen cijele ove jednačine je drugi.

    Kada bi se naš kurs ograničio na rješavanje jednačina drugog stepena, onda bi se razmatranje teme moglo završiti ovdje. Ali nije sve tako jednostavno. Rješavanje jednadžbi trećeg stepena je puno poteškoća. A za jednačine iznad četvrtog stepena on uopšte ne postoji opšte formule korijenje. S tim u vezi, rješavanje čitavih jednačina trećeg, četvrtog i drugih stupnjeva zahtijeva od nas korištenje niza drugih tehnika i metoda.

    Najčešći pristup rješavanju cijelih racionalnih jednačina zasniva se na metodi faktorizacije. Algoritam akcija u ovom slučaju je sljedeći:

    • prenosimo izraz s desne strane na lijevu stranu tako da nula ostane na desnoj strani zapisa;
    • izraz na lijevoj strani predstavljamo kao proizvod faktora, a zatim prelazimo na skup od nekoliko jednostavnijih jednadžbi.
    Primjer 4

    Pronađite rješenje jednačine (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

    Odluka

    Pomeramo izraz s desne strane zapisa na lijevu pomoću suprotan znak: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Pretvaranje lijeve strane u polinom standardnog oblika je nepraktično zbog činjenice da će nam to dati algebarsku jednadžbu četvrtog stepena: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Lakoća transformacije ne opravdava sve poteškoće s rješavanjem takve jednačine.

    Mnogo je lakše ići drugim putem: izbacujemo zajednički faktor x 2 − 10 x + 13 . Tako dolazimo do jednačine oblika (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sada ćemo rezultujuću jednadžbu zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 − 10 x + 13 = 0 i x 2 − 2 x − 1 = 0 i pronađu njihove korijene kroz diskriminantu: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

    odgovor: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

    Slično, možemo koristiti metodu uvođenja nove varijable. Ova metoda nam omogućava da prijeđemo na ekvivalentne jednačine sa snagama manjim od onih u originalnoj cijeloj jednačini.

    Primjer 5

    Da li jednadžba ima korijen? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

    Odluka

    Ako sada pokušamo da svedemo celu racionalnu jednačinu na algebarsku, dobićemo jednačinu stepena 4, koja nema racionalne korene. Stoga će nam biti lakše krenuti drugim putem: uvesti novu varijablu y, koja će zamijeniti izraz u jednadžbi x 2 + 3 x.

    Sada ćemo raditi s cijelom jednačinom (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Prenosimo desnu stranu jednadžbe na lijevu stranu sa suprotnim predznakom i provodimo potrebne transformacije. Dobijamo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: y = − 1 i y = − 3.

    Sada napravimo obrnutu zamjenu. Dobijamo dvije jednačine x 2 + 3 x = − 1 i x 2 + 3 x = - 3 . Zapišimo ih kao x 2 + 3 x + 1 = 0 i x 2 + 3 x + 3 = 0. Koristimo formulu korijena kvadratne jednadžbe da bismo pronašli korijene prve dobivene jednačine: - 3 ± 5 2 . Diskriminanta druge jednačine je negativna. To znači da druga jednadžba nema pravi korijen.

    odgovor:- 3 ± 5 2

    Cijele jednačine visoki stepeničesto nailazi na zadatke. Nema potrebe da ih se plašite. Mora biti spreman za prijavu nestandardna metoda njihova rješenja, uključujući niz umjetnih transformacija.

    Rješenje frakciono racionalnih jednačina

    Započinjemo naše razmatranje ove podteme algoritmom za rješavanje frakciono racionalnih jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 , gdje je p(x) i q(x) su cjelobrojni racionalni izrazi. Rješenje drugih frakciono racionalnih jednačina uvijek se može svesti na rješenje jednačina navedenog oblika.

    Metoda koja se najčešće koristi za rješavanje jednačina p (x) q (x) = 0 zasniva se na sljedećem iskazu: frakcija u v, gdje v je broj koji je različit od nule, jednak nuli samo u slučajevima kada je brojnik razlomka jednak nuli. Prateći logiku gornje tvrdnje, možemo tvrditi da se rješenje jednačine p (x) q (x) = 0 može svesti na ispunjenje dva uslova: p(x)=0 i q(x) ≠ 0. Na ovome se gradi algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0:

    • nalazimo rješenje cijele racionalne jednadžbe p(x)=0;
    • provjeravamo da li je uvjet zadovoljen za korijene pronađene tokom rješavanja q(x) ≠ 0.

    Ako je ovaj uslov ispunjen, onda pronađeni korijen, ako nije, onda korijen nije rješenje problema.

    Primjer 6

    Pronađite korijene jednačine 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

    Odluka

    Radimo sa razlomkom racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0 , u kojoj je p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Počnimo rješavati linearnu jednačinu 3 x - 2 = 0. Koren ove jednačine će biti x = 2 3.

    Provjerimo pronađeni korijen, da li zadovoljava uvjet 5 x 2 - 2 ≠ 0. Da biste to učinili, zamijenite numeričku vrijednost u izraz. Dobijamo: 5 2 3 2 - 2 = 5 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

    Uslov je ispunjen. To znači da x = 2 3 je korijen originalne jednadžbe.

    odgovor: 2 3 .

    Postoji još jedna opcija za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina p (x) q (x) = 0 . Podsjetimo da je ova jednačina ekvivalentna cijeloj jednačini p(x)=0 u regionu dozvoljene vrijednosti varijabla x originalne jednadžbe. Ovo nam omogućava da koristimo sljedeći algoritam u rješavanju jednačina p(x) q(x) = 0:

    • riješi jednačinu p(x)=0;
    • pronađite opseg prihvatljivih vrijednosti za varijablu x;
    • uzimamo korijene koji leže u području dopuštenih vrijednosti varijable x kao željene korijene originalne razlomčke racionalne jednadžbe.
    Primjer 7

    Riješite jednačinu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

    Odluka

    Prvo, riješimo kvadratnu jednačinu x 2 − 2 x − 11 = 0. Da bismo izračunali njegove korijene, koristimo formulu korijena za paran drugi koeficijent. Dobijamo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, i x = 1 ± 2 3 .

    Sada možemo pronaći ODV od x za originalnu jednačinu. Sve su to brojevi za koje x 2 + 3 x ≠ 0. To je isto kao x (x + 3) ≠ 0, odakle je x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

    Sada provjerimo da li su korijeni x = 1 ± 2 3 dobijeni u prvoj fazi rješenja unutar raspona prihvatljivih vrijednosti varijable x. Vidimo šta dolazi. To znači da originalna frakciona racionalna jednačina ima dva korijena x = 1 ± 2 3 .

    odgovor: x = 1 ± 2 3

    Opisana je druga metoda rješenja lakši od prvog u slučajevima kada je lako pronaći površinu ​​dopustivih vrijednosti varijable x, i korijene jednadžbe p(x)=0 iracionalno. Na primjer, 7 ± 4 26 9 . Korijeni mogu biti racionalni, ali s velikim brojnikom ili nazivnikom. Na primjer, 127 1101 i − 31 59 . Ovo štedi vrijeme za provjeru stanja. q(x) ≠ 0: mnogo je lakše isključiti korijene koji se ne uklapaju, navodi ODZ.

    Kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 su cijeli brojevi, svrsishodnije je koristiti prvi od opisanih algoritama za rješavanje jednačina oblika p (x) q (x) = 0 . Brže pronalaženje korijena cijele jednadžbe p(x)=0, a zatim provjerite da li je za njih ispunjen uvjet q(x) ≠ 0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednačinu p(x)=0 na ovom ODZ. To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

    Primjer 8

    Pronađite korijene jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

    Odluka

    Počinjemo razmatranjem cijele jednačine (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 i pronalaženje njenih korena. Da bismo to učinili, primjenjujemo metodu rješavanja jednačina kroz faktorizaciju. Ispostavilo se da je originalna jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednačine 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od kojih su tri linearne i jedna je kvadratna. Nalazimo korijene: iz prve jednadžbe x = 1 2, od drugog x=6, od trećeg - x \u003d 7, x \u003d - 2, od četvrtog - x = − 1.

    Provjerimo dobijene korijene. U ovom slučaju teško nam je odrediti ODZ, jer ćemo za to morati riješiti algebarsku jednačinu petog stepena. Lakše će se provjeriti uvjet prema kojem nazivnik razlomka koji se nalazi na lijevoj strani jednačine ne bi trebao nestati.

    Zauzvrat, zamijenite korijene umjesto varijable x u izrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 i izračunaj njegovu vrijednost:

    1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ;

    6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

    7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

    (− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

    (− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

    Provedena verifikacija nam omogućava da ustanovimo da su korijeni originalne razlomke racionalne jednadžbe 1 2 , 6 i − 2 .

    odgovor: 1 2 , 6 , - 2

    Primjer 9

    Nađite korijene razlomačke racionalne jednadžbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

    Odluka

    Počnimo s jednačinom (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Hajde da pronađemo njegove korene. Lakše nam je ovu jednačinu predstaviti kao kombinaciju kvadrata i linearne jednačine 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 i x − 2 = 0.

    Koristimo formulu korijena kvadratne jednadžbe da pronađemo korijene. Dobijamo dva korijena x = 7 ± 69 10 iz prve jednačine, a iz druge x=2.

    Zamjena vrijednosti korijena u originalnu jednačinu za provjeru uslova bit će nam prilično teška. Biće lakše odrediti LPV varijable x. U ovom slučaju, DPV varijable x su svi brojevi, osim onih za koje je uvjet zadovoljen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobijamo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

    Sada provjerimo pripadaju li korijeni koje smo pronašli u rasponu prihvatljivih vrijednosti za varijablu x.

    Korijeni x = 7 ± 69 10 - pripadaju, dakle, oni su korijeni originalne jednadžbe, i x=2- ne pripada, dakle, to je strani korijen.

    odgovor: x = 7 ± 69 10 .

    Razmotrimo odvojeno slučajeve kada brojnik frakcione racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0 sadrži broj. U takvim slučajevima, ako brojilac sadrži broj koji nije nula, tada jednačina neće imati korijen. Ako je ovaj broj jednak nuli, tada će korijen jednadžbe biti bilo koji broj iz ODZ-a.

    Primjer 10

    Riješite frakcionu racionalnu jednačinu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

    Odluka

    Ova jednadžba neće imati korijene, jer brojnik razlomka s lijeve strane jednačine sadrži broj različit od nule. To znači da za bilo koju vrijednost x vrijednost razlomka datog u uvjetu problema neće biti jednaka nuli.

    odgovor: nema korijena.

    Primjer 11

    Riješite jednačinu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

    Odluka

    Pošto je brojnik razlomka nula, rješenje jednadžbe će biti bilo koja vrijednost x iz ODZ varijable x.

    Sada definirajmo ODZ. Uključuje sve x vrijednosti za koje x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rješenja jednadžbi x 4 + 5 x 3 = 0 su 0 i − 5 , pošto je ova jednačina ekvivalentna jednačini x 3 (x + 5) = 0, a on je, zauzvrat, ekvivalentan skupu dvije jednačine x 3 = 0 i x + 5 = 0 gdje su ovi korijeni vidljivi. Dolazimo do zaključka da je željeni raspon prihvatljivih vrijednosti bilo koji x, osim x=0 i x = -5.

    Ispada da frakciona racionalna jednadžba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ima beskonačan skup rješenja, koji su bilo koji brojevi osim nule i - 5 .

    odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

    Sada razgovarajmo o frakcionim racionalnim jednadžbama proizvoljnog oblika i metodama za njihovo rješavanje. Mogu se napisati kao r(x) = s(x), gdje r(x) i s(x) su racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomak. Rješenje takvih jednačina svodi se na rješenje jednačina oblika p (x) q (x) = 0 .

    Već znamo da možemo dobiti ekvivalentnu jednačinu prenošenjem izraza s desne strane jednačine na lijevu stranu sa suprotnim predznakom. To znači da je jednačina r(x) = s(x) je ekvivalentna jednadžbi r (x) − s (x) = 0. Također smo već raspravljali o tome kako pretvoriti racionalni izraz u racionalni razlomak. Zahvaljujući tome, možemo lako transformisati jednačinu r (x) − s (x) = 0 u svoj identični racionalni razlomak oblika p (x) q (x) .

    Dakle, prelazimo sa originalne racionalne jednadžbe r(x) = s(x) na jednadžbu oblika p (x) q (x) = 0, koju smo već naučili riješiti.

    Treba napomenuti da prilikom prijelaza sa r (x) − s (x) = 0 na p (x) q (x) = 0 i zatim na p(x)=0 možda nećemo uzeti u obzir proširenje raspona važećih vrijednosti varijable x.

    Sasvim je realno da je originalna jednadžba r(x) = s(x) i jednačina p(x)=0 kao rezultat transformacija, oni će prestati biti ekvivalentni. Zatim rješenje jednadžbe p(x)=0 može nam dati korijene koji će biti strani r(x) = s(x). S tim u vezi, u svakom slučaju potrebno je izvršiti provjeru bilo kojom od gore opisanih metoda.

    Da bismo vam olakšali proučavanje teme, sve informacije smo generalizirali u algoritam za rješavanje razlomke racionalne jednadžbe oblika r(x) = s(x):

    • prenosimo izraz sa desne strane sa suprotnim predznakom i dobijamo nulu na desnoj strani;
    • originalni izraz transformiramo u racionalni razlomak p (x) q (x) uzastopnim izvođenjem radnji sa razlomcima i polinomima;
    • riješi jednačinu p(x)=0;
    • otkrivamo strane korijene provjeravanjem njihove pripadnosti ODZ-u ili zamjenom u originalnu jednadžbu.

    Vizualno će lanac akcija izgledati ovako:

    r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → napuštanje r o n d e r o o n s

    Primjer 12

    Riješite frakcionu racionalnu jednačinu x x + 1 = 1 x + 1 .

    Odluka

    Pređimo na jednačinu x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformirajmo frakcioni racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe u oblik p (x) q (x) .

    Za ovo moramo donijeti racionalne razlomke na zajednički nazivnik i pojednostavite izraz:

    x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

    Da bismo pronašli korijene jednadžbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo riješiti jednačinu − 2 x − 1 = 0. Dobijamo jedan korijen x = - 1 2.

    Ostaje nam da izvršimo provjeru bilo kojom od metoda. Razmotrimo ih oboje.

    Zamijenite rezultirajuću vrijednost u originalnu jednačinu. Dobijamo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Došli smo do tačne brojčane jednakosti − 1 = − 1 . To znači da x = − 1 2 je korijen originalne jednadžbe.

    Sada ćemo provjeriti preko ODZ-a. Definirajmo raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu x. Ovo će biti cijeli skup brojeva, osim −1 i 0 (kada je x = −1 i x = 0, nazivnici razlomaka nestaju). Korijen koji smo dobili x = − 1 2 pripada ODZ-u. To znači da je to korijen originalne jednadžbe.

    odgovor: − 1 2 .

    Primjer 13

    Pronađite korijene jednadžbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

    Odluka

    Radimo sa razlomkom racionalne jednadžbe. Stoga ćemo djelovati prema algoritmu.

    Premjestimo izraz s desne strane na lijevu stranu sa suprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

    Izvršimo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

    Dolazimo do jednačine x=0. Koren ove jednačine je nula.

    Provjerimo da li je ovaj korijen strani za originalnu jednadžbu. Zamijenite vrijednost u originalnoj jednadžbi: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kao što vidite, rezultirajuća jednačina nema smisla. To znači da je 0 vanjski korijen, a originalna frakciona racionalna jednadžba nema korijena.

    odgovor: nema korijena.

    Ako u algoritam nismo uključili druge ekvivalentne transformacije, to uopće ne znači da se one ne mogu koristiti. Algoritam je univerzalan, ali je dizajniran da pomaže, a ne ograničava.

    Primjer 14

    Riješite jednačinu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

    Odluka

    Najlakši način je da se zadatu frakcionu racionalnu jednačinu reši prema algoritmu. Ali postoji i drugi način. Hajde da to razmotrimo.

    Oduzmite od desnog i lijevog dijela 7, dobivamo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

    Iz ovoga možemo zaključiti da bi izraz u nazivniku na lijevoj strani trebao biti jednak broju recipročnom broju s desne strane, odnosno 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

    Oduzmite od oba dijela 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Po analogiji 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odakle je 1 5 - x 2 = 1 3, i dalje 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

    Provjerimo kako bismo ustanovili da li su pronađeni korijeni korijeni originalne jednadžbe.

    odgovor: x = ± 2

    Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

    § 1. Cijele i razlomke racionalne jednačine

    U ovoj lekciji analiziraćemo koncepte kao što su racionalna jednačina, racionalni izraz, celobrojni izraz, frakcijski izraz. Razmotrimo rješenje racionalnih jednačina.

    Racionalna jednačina je jednačina u kojoj su lijeva i desna strana racionalni izrazi.

    Racionalni izrazi su:

    Fractional.

    Cjelobrojni izraz se sastoji od brojeva, varijabli, cjelobrojnih potencija koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja brojem koji nije nula.

    Na primjer:

    U frakcijskim izrazima postoji podjela promjenljivom ili izraz s promjenljivom. Na primjer:

    Frakcijski izraz nema smisla za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega. Na primjer, izraz

    kod x = -9 to nema smisla, jer kod x = -9 imenilac ide na nulu.

    To znači da racionalna jednačina može biti cjelobrojna i razlomka.

    Cjelobrojna racionalna jednačina je racionalna jednačina u kojoj su lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi.

    Na primjer:

    Razlomka racionalna jednačina je racionalna jednačina u kojoj su ili lijeva ili desna strana frakcijski izrazi.

    Na primjer:

    § 2 Rješenje cijele racionalne jednačine

    Razmotrimo rješenje cijele racionalne jednadžbe.

    Na primjer:

    Pomnožite obje strane jednačine najmanjim zajedničkim nazivnikom razlomaka koji su u njoj uključeni.

    Za ovo:

    1. naći zajednički imenilac za nazivnike 2, 3, 6. On je jednak 6;

    2. pronaći dodatni faktor za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite zajednički imenilac 6 sa svakim nazivnikom

    dodatni množitelj za razlomak

    dodatni množitelj za razlomak

    3. pomnožite brojioce razlomaka sa dodatnim faktorima koji im odgovaraju. Tako dobijamo jednačinu

    što je ekvivalentno ovoj jednačini

    Otvorimo zagrade na lijevoj strani, desni dio pomjerimo ulijevo, menjajući predznak pojma prilikom prenosa u suprotan.

    Dajemo slične članove polinoma i dobijamo

    Vidimo da je jednadžba linearna.

    Rješavajući ga, nalazimo da je x = 0,5.

    § 3 Rješenje razlomačke racionalne jednačine

    Razmotrimo rješenje razlomačke racionalne jednadžbe.

    Na primjer:

    1. Pomnožite obje strane jednačine najmanjim zajedničkim imeniocem imenilaca racionalnih razlomaka uključenih u nju.

    Nađite zajednički imenilac za nazivnike x + 7 i x - 1.

    Jednako je njihovom proizvodu (x + 7) (x - 1).

    2. Nađimo dodatni faktor za svaki racionalni razlomak.

    Da bismo to učinili, podijelimo zajednički imenilac (x + 7) (x - 1) sa svakim imeniocem. Dodatni množitelj za razlomke

    jednako x - 1,

    dodatni množitelj za razlomak

    jednako x+7.

    3. Pomnožite brojioce razlomaka njihovim odgovarajućim dodatnim faktorima.

    Dobijamo jednačinu (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), koja je ekvivalentna ovoj jednadžbi

    4. Lijevo i desno pomnožite binom binomom i dobijete sljedeću jednačinu

    5. Desni dio prenosimo na lijevo, mijenjajući predznak svakog pojma kada prenosimo na suprotno:

    6. Predstavljamo slične članove polinoma:

    7. Oba dijela možete podijeliti sa -1. Dobijamo kvadratnu jednačinu:

    8. Nakon što ga riješimo, naći ćemo korijene

    Pošto je u jednačini

    lijevi i desni dio su frakcijski izrazi, a u razlomcima, za neke vrijednosti varijabli, nazivnik može nestati, tada je potrebno provjeriti da li zajednički imenilac ne nestaje kada se nađu x1 i x2.

    Kod x = -27 zajednički imenilac (x + 7)(x - 1) ne nestaje, pri x = -1 zajednički imenilac je takođe različit od nule.

    Dakle, oba korijena -27 i -1 su korijeni jednadžbe.

    Prilikom rješavanja frakcijske racionalne jednadžbe, bolje je odmah naznačiti područje dopuštenih vrijednosti. Uklonite one vrijednosti kod kojih zajednički nazivnik ide na nulu.

    Razmotrimo još jedan primjer rješavanja frakcijske racionalne jednadžbe.

    Na primjer, riješimo jednačinu

    Dekomponujemo imenilac razlomka na desnoj strani jednačine na faktore

    Dobijamo jednačinu

    Naći zajednički imenilac za nazivnike (x - 5), x, x (x - 5).

    To će biti izraz x (x - 5).

    sada pronađimo raspon dozvoljenih vrijednosti jednadžbe

    Da bismo to učinili, izjednačavamo zajednički nazivnik sa nula x (x - 5) = 0.

    Dobijamo jednačinu, rješavajući koju, nalazimo da pri x = 0 ili na x = 5 zajednički nazivnik nestaje.

    Dakle, x = 0 ili x = 5 ne mogu biti korijeni naše jednadžbe.

    Sada možete pronaći dodatne množitelje.

    Dodatni množitelj za racionalne razlomke

    dodatni množitelj za razlomke

    će biti (x - 5),

    i dodatni faktor razlomka

    Množimo brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.

    Dobijamo jednačinu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

    Otvorimo zagrade s lijeve i desne strane, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

    Pomjerimo pojmove s desna na lijevo promjenom predznaka pojmova koji se pomjeraju:

    X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

    I nakon donošenja sličnih pojmova, dobivamo kvadratnu jednadžbu x2 - 3x - 10 = 0. Nakon što smo je riješili, nalazimo korijene x1 = -2; x2 = 5.

    Ali već smo saznali da kod x = 5 zajednički nazivnik x(x - 5) nestaje. Dakle, korijen naše jednadžbe

    će biti x = -2.

    § 4 Kratak sažetak lekcija

    Važno je zapamtiti:

    Prilikom rješavanja frakcionih racionalnih jednačina morate učiniti sljedeće:

    1. Pronađite zajednički imenilac razlomaka uključenih u jednačinu. Štaviše, ako se imenioci razlomaka mogu razložiti na faktore, onda ih razložiti na faktore i zatim pronaći zajednički imenilac.

    2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom: pronađite dodatne faktore, pomnožite brojioce dodatnim faktorima.

    3. Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.

    4. Isključiti iz njegovih korijena one koji pretvaraju zajednički imenilac na nulu.

    Spisak korišćene literature:

    1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Pod uredništvom Telyakovsky S.A. Algebra: udžbenik. za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije. - M.: Obrazovanje, 2013.
    2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred: Iz dva dijela. Dio 1: Proc. za opšte obrazovanje institucije. - M.: Mnemozina.
    3. Rurukin A.N. Razvoj nastave iz algebre: 8. razred. - M .: VAKO, 2010.
    4. Algebra 8. razred: planovi časova prema udžbeniku Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Učitelj, 2005.