Kako razložiti kvadratnu trinomsku formulu. Kvadratni trinom i njegovi korijeni

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako rastaviti kvadratne trinome na linearne faktore. Za ovo je potrebno prisjetiti se Vietine teoreme i njenog inverza. Ova vještina će nam pomoći da brzo i prikladno razložimo kvadratne trinome u linearne faktore, a također će pojednostaviti redukciju razlomaka koji se sastoje od izraza.

Dakle, vratimo se na kvadratnu jednačinu , gdje je .

Ono što imamo na lijevoj strani naziva se kvadratni trinom.

Teorema je tačna: Ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je identitet istinit

Gdje je vodeći koeficijent, korijeni su jednadžbe.

Dakle, imamo kvadratnu jednačinu - kvadratni trinom, gdje su korijeni kvadratna jednačina također se nazivaju korijeni kvadratnog trinoma. Dakle, ako imamo korijene kvadratnog trinoma, onda se ovaj trinom razlaže na linearne faktore.

dokaz:

Dokaz ove činjenice provodi se pomoću Vietine teoreme, koju smo razmatrali u prethodnim lekcijama.

Prisjetimo se šta nam kaže Vietina teorema:

Ako su korijeni kvadratnog trinoma za koje , Tada .

Ova teorema implicira sljedeću tvrdnju da .

Vidimo da, prema Vietinoj teoremi, tj. zamjenom ovih vrijednosti u gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz

Q.E.D.

Podsjetimo da smo dokazali teoremu da ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je dekompozicija važeća.

Prisjetimo se sada primjera kvadratne jednadžbe, kojoj smo odabrali korijene koristeći Vietin teorem. Iz ove činjenice možemo dobiti sljedeću jednakost zahvaljujući dokazanoj teoremi:

Sada provjerimo ispravnost ove činjenice jednostavnim proširenjem zagrada:

Vidimo da smo ispravno faktorizirali i bilo koji trinom, ako ima korijene, može se razložiti prema ovoj teoremi u linearne faktore prema formuli

Međutim, hajde da proverimo da li je za bilo koju jednačinu takva faktorizacija moguća:

Uzmimo za primjer jednačinu. Prvo, provjerimo znak diskriminanta

I sjećamo se da da bi se ispunila teorema koju smo naučili, D mora biti veći od 0, dakle in ovaj slučaj faktorizacija prema proučavanoj teoremi je nemoguća.

Stoga formuliramo novu teoremu: ako kvadratni trinom nema korijen, onda se ne može razložiti na linearne faktore.

Dakle, razmotrili smo Vietinu teoremu, mogućnost dekomponovanja kvadratnog trinoma na linearne faktore, a sada ćemo riješiti nekoliko problema.

Zadatak #1

U ovoj grupi ćemo zapravo rješavati problem obrnuto od postavljenog. Imali smo jednačinu i pronašli smo njene korijene, razlažući se na faktore. Ovdje ćemo učiniti suprotno. Recimo da imamo korijene kvadratne jednadžbe

Inverzni problem je sljedeći: napišite kvadratnu jednačinu tako da su njeni korijeni.

Postoje 2 načina za rješavanje ovog problema.

Pošto su korijeni jednadžbe, onda je kvadratna jednadžba čiji su korijeni dati brojevi. Sada otvorimo zagrade i provjerimo:

Ovo je bio prvi način na koji smo kreirali kvadratnu jednadžbu sa datim korijenima koja nema nijedan drugi korijen, budući da svaka kvadratna jednadžba ima najviše dva korijena.

Ova metoda uključuje korištenje inverzne Vietine teoreme.

Ako su korijeni jednadžbe, onda oni zadovoljavaju uvjet da .

Za redukovanu kvadratnu jednačinu , , tj. u ovom slučaju , i .

Tako smo kreirali kvadratnu jednačinu koja ima date korijene.

Zadatak #2

Morate smanjiti razlomak.

Imamo trinom u brojniku i trinom u nazivniku, a trinomi se mogu ili ne moraju faktorizirati. Ako su i brojnik i imenilac razloženi na faktore, tada među njima mogu postojati jednaki faktori koji se mogu smanjiti.

Prije svega, potrebno je faktorizirati brojilac.

Prvo, trebate provjeriti da li se ova jednadžba može rastaviti na faktore, pronaći diskriminanta. Budući da , tada predznak ovisi o proizvodu (treba biti manji od 0), u ovom primjeru, tj. zadata jednačina ima korene.

Za rješavanje koristimo Vietinu teoremu:

U ovom slučaju, budući da imamo posla s korijenima, bit će prilično teško jednostavno pokupiti korijenje. Ali vidimo da su koeficijenti izbalansirani, tj. ako pretpostavimo da je , i zamijenimo ovu vrijednost u jednačinu, onda se dobija sljedeći sistem: tj. 5-5=0. Stoga smo odabrali jedan od korijena ove kvadratne jednadžbe.

Drugi korijen ćemo tražiti zamjenom onoga što je već poznato u sistem jednačina, na primjer, , tj. .

Dakle, pronašli smo oba korijena kvadratne jednadžbe i možemo zamijeniti njihove vrijednosti u originalnu jednadžbu da bismo je faktorirali:

Prisjetite se prvobitnog problema, trebali smo smanjiti razlomak.

Pokušajmo riješiti problem zamjenom umjesto brojnika.

Ne treba zaboraviti da u ovom slučaju imenilac ne može biti jednak 0, tj.

Ako su ovi uvjeti ispunjeni, onda smo originalni razlomak sveli na oblik .

Zadatak #3 (zadatak sa parametrom)

Pri kojim vrijednostima parametra je zbir korijena kvadratne jednadžbe

Ako korijeni ove jednadžbe postoje, onda , pitanje je kada .

Kvadratni trinom je polinom oblika ax^2 + bx + c, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, štaviše, a ≠ 0.

Da biste faktorizirali trinom, morate znati korijene ovog trinoma. (u daljem tekstu primjer na trinomu 5x^2 + 3x- 2)

Napomena: vrijednost kvadratnog trinoma 5x^2 + 3x - 2 ovisi o vrijednosti x. Na primjer: Ako je x = 0, onda je 5x^2 + 3x - 2 = -2

Ako je x = 2, onda je 5x^2 + 3x - 2 = 24

Ako je x = -1, onda je 5x^2 + 3x - 2 = 0

Kada je x \u003d -1, kvadratni trinom 5x ^ 2 + 3x - 2 nestaje, u ovom slučaju broj -1 se naziva korijen kvadratnog trinoma.

Kako dobiti korijen jednadžbe

Hajde da objasnimo kako smo dobili koren ove jednačine. Prvo morate jasno znati teoremu i formulu po kojoj ćemo raditi:

“Ako su x1 i x2 korijeni kvadratnog trinoma ax^2 + bx + c, onda ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ova formula za pronalaženje korijena polinoma je najprimitivnija formula, rješavanjem koje se nikada nećete zbuniti.

Izraz 5x^2 + 3x - 2.

1. Jednako je nuli: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Pronalazimo korijene kvadratne jednadžbe, za to zamjenjujemo vrijednosti u formulu (a je koeficijent za X ^ 2, b je koeficijent za X, slobodni član, odnosno a figura bez X):

Nalazimo prvi korijen sa znakom plus ispred kvadratnog korijena:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Drugi korijen sa znakom minus ispred kvadratnog korijena:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Tako smo pronašli korijene kvadratnog trinoma. Da biste bili sigurni da su tačni, možete provjeriti: prvo zamjenjujemo prvi korijen u jednadžbi, a zatim drugi:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Ako nakon zamjene svih korijena jednačina nestane, onda je jednačina ispravno riješena.

3. Sada koristimo formulu iz teoreme: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), zapamtite da su X1 i X2 korijeni kvadratne jednadžbe. Dakle: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Da biste bili sigurni da je dekompozicija ispravna, možete jednostavno pomnožiti zagrade:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Što potvrđuje tačnost odluke.

Druga opcija za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma

Druga opcija za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma je inverzna teorema Vietteove teoreme. Ovdje se korijeni kvadratne jednadžbe nalaze po formulama: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ali važno je shvatiti da se ova teorema može koristiti samo ako je koeficijent a = 1, odnosno broj ispred x ^ 2 = 1.

Na primjer: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Rješavanje: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Sada je važno razmisliti o tome koji brojevi u proizvodu daju jedinicu? Naravno ovo 1 * 1 i -1 * (-1) . Od ovih brojeva biramo one koji odgovaraju izrazu x1 + x2 = 2, naravno - ovo je 1 + 1. Tako smo pronašli korijene jednadžbe: x1 = 1, x2 = 1. Ovo je lako provjeriti da li je zamjenjujete x ^ 2 u izrazu - 2x + 1 = 0.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija omogućava nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, in parnica, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Svijet je uronjen u ogroman broj brojeva. Uz njihovu pomoć se odvijaju bilo kakve kalkulacije.

Ljudi uče brojeve kako u kasnijem životu ne bi nasjeli na prevaru. Morate posvetiti ogromnu količinu vremena da se obrazujete i izračunate vlastiti budžet.

Matematika je egzaktna nauka koja igra veliku ulogu u životu. U školi djeca uče brojeve, a zatim i radnje na njima.

Radnje na brojeve su potpuno različite: množenje, proširenje, zbrajanje i druge. Osim jednostavnih formula, u proučavanju matematike koriste se i složenije akcije. Postoji ogroman broj formula po kojima su poznate bilo koje vrijednosti.

U školi, čim se algebra pojavi, u život učenika se dodaju formule za pojednostavljivanje. Postoje jednadžbe kada postoje dva nepoznata broja, ali pronađite na jednostavan način neće raditi. Trinom je spoj tri monoma, uz pomoć jednostavna metoda oduzimanja i sabiranja. Trinom se rješava korištenjem Vietine teoreme i diskriminanta.

Formula za faktoriranje kvadratnog trinoma u faktore

Postoje dva ispravna i jednostavna rješenja primjer:

• diskriminatorno;
• Vietin teorem.

Kvadratni trinom ima nepoznati kvadrat, kao i broj bez kvadrata. Prva opcija za rješavanje problema koristi Vieta formulu. Ovo je jednostavna formula ako su cifre ispred nepoznate minimalna vrijednost.

Za druge jednačine, gdje je broj ispred nepoznate, jednačina se mora riješiti preko diskriminanta. Gotovo je teška odluka, ali se diskriminanta koristi mnogo češće od Vietine teoreme.

U početku, pronaći sve varijable jednačine potrebno je podići primjer na 0. Rješenje primjera se može provjeriti i saznati da li su brojevi pravilno podešeni.

Diskriminantno

1. Potrebno je izjednačiti jednačinu sa 0.

2. Svaki broj ispred x će se zvati brojevima a, b, c. Pošto nema broja ispred prvog kvadrata x, on je jednak 1.

3. Sada rješenje jednadžbe počinje preko diskriminanta:

4. Sada smo pronašli diskriminanta i dva x. Razlika je u tome što će u jednom slučaju b prethoditi plus, au drugom minus:

5. Rješavanjem dva broja ispalo je -2 i -1. Zamjena pod originalnom jednadžbom:

6. U ovom primjeru, ispalo je dva ispravne opcije. Ako su oba rješenja tačna, onda je svako od njih tačno.

Riješite kroz diskriminant i još mnogo toga složena jednačina. Ali ako je vrijednost samog diskriminanta manja od 0, onda je primjer pogrešan. Diskriminant u pretraživanju je uvijek ispod korijena, a negativna vrijednost ne može biti u korijenu.

Vietin teorem

Koristi se za rješavanje lakih zadataka, gdje prvom x ne prethodi broj, odnosno a=1. Ako se opcija poklapa, tada se izračunavanje provodi putem Vietine teoreme.

Za rješavanje bilo kojeg trinoma potrebno je podići jednačinu na 0. Prvi koraci za diskriminanta i Vietu teoremu su isti.

2. Sada postoje razlike između ove dvije metode. Vietina teorema ne koristi samo "suvo" računanje, već i logiku i intuiciju. Svaki broj ima svoje slovo a, b, c. Teorema koristi zbir i proizvod dva broja.

Zapamtite! Broj b se uvijek dodaje sa suprotan znak, a broj c ostaje nepromijenjen!

Zamjena vrijednosti podataka u primjeru , dobijamo:

3. Logičkom metodom zamjenjujemo najpogodnije brojeve. Razmotrite sva moguća rješenja:

1. Brojevi su 1 i 2. Kada se zbroje, dobijamo 3, ali ako pomnožimo, ne dobijemo 4. Nije prikladno.
2. Vrijednost 2 i -2. Kada se pomnoži, biće -4, ali kada se doda, ispada 0. Nije prikladno.
3. Brojevi 4 i -1. Pošto množenje sadrži negativnu vrijednost, to znači da će jedan od brojeva biti sa minusom. Pogodno za sabiranje i množenje. Ispravna opcija.

4. Ostaje samo provjeriti, rasporediti brojeve i vidjeti da li je odabrana opcija ispravna.

5. Zahvaljujući online provjeri, otkrili smo da -1 ne odgovara uvjetu primjera, što znači da je pogrešno rješenje.

Prilikom dodavanja negativne vrijednosti u primjer, broj se mora staviti u zagrade.

U matematici će ih uvijek biti jednostavni zadaci i složeno. Sama nauka uključuje razne probleme, teoreme i formule. Ako razumijete i pravilno primjenjujete znanje, onda će sve poteškoće s proračunima biti beznačajne.

Matematika ne treba stalno pamćenje. Morate naučiti razumjeti rješenje i naučiti nekoliko formula. Postepeno, po logični zaključci, možete riješiti slične probleme, jednadžbe. Takva nauka na prvi pogled može izgledati vrlo teško, ali ako se uronite u svijet brojeva i zadataka, tada će se pogled dramatično promijeniti u bolja strana.

Tehnički specijaliteti uvijek ostati najtraženiji na svijetu. Sada, u svijetu moderne tehnologije Matematika je postala nezamjenjiv atribut svake oblasti. Morate se uvijek sjetiti korisna svojstva matematike.

Dekompozicija trinoma sa zagradama

Osim rješavanja na uobičajene načine, postoji još jedan - razlaganje u zagrade. Koristi se uz Vietinu formulu.

1. Izjednačite jednačinu sa 0.

sjekira 2 + bx+ c= 0

2. Korijeni jednadžbe ostaju isti, ali umjesto nule, sada koriste formule za proširenje zagrada.

sjekira 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Rješenje x=-1, x=3

Kvadratni trinom naziva se polinom oblika ax2+bx +c, gdje x- varijabilna, a,b,c su neki brojevi, a a ≠ 0.

Koeficijent a pozvao senior koeficijent, c – besplatni član kvadratni trinom.

Primjeri kvadratnih trinoma:

2 x 2 + 5x + 4(ovdje a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(ovdje a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(ovdje a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficijent b ili koeficijent c ili oba koeficijenta mogu biti jednaka nuli u isto vrijeme. Na primjer:

5 x 2 + 3x(ovdjea = 5b = 3c = 0, tako da vrijednost c nije u jednadžbi).

6x 2 - 8 (ovdjea=6, b=0, c=-8)

2x2(ovdjea=2, b=0, c=0)

Poziva se vrijednost varijable pri kojoj polinom nestaje polinomski korijen.

Pronaći korijene kvadratnog trinomaax2+ bx + c, moramo ga izjednačiti sa nulom -
tj. riješiti kvadratnu jednačinuax2+ bx + c= 0 (vidi odjeljak "Kvadrična jednačina").

Faktorizacija kvadratnog trinoma

primjer:

Faktorizujemo trinom 2 x 2 + 7x - 4.

Vidimo koeficijent a = 2.

Sada pronađimo korijene trinoma. Da bismo to učinili, izjednačavamo ga sa nulom i rješavamo jednačinu

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Kako se takva jednačina rješava - pogledajte odjeljak „Formule korijena kvadratne jednadžbe. Diskriminantno". Ovdje odmah imenujemo rezultat proračuna. Naš trinom ima dva korijena:

x 1 = 1/2, x 2 = -4.

Zamijenimo vrijednosti korijena u našu formulu, vadeći iz zagrada vrijednost koeficijenta a, i dobijamo:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Dobijeni rezultat se može drugačije napisati množenjem koeficijenta 2 binomom x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problem je riješen: trinom se razlaže na faktore.

Takva dekompozicija se može dobiti za bilo koji kvadratni trinom s korijenima.

PAŽNJA!

Ako je diskriminanta kvadratnog trinoma nula, onda ovaj trinom ima jedan korijen, ali pri dekomponovanju trinoma ovaj korijen se uzima kao vrijednost dva korijena - odnosno kao ista vrijednost x 1 ix 2 .

Na primjer, trinom ima jedan korijen jednak 3. Tada je x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.