Kako riješiti logaritamske jednadžbe i nejednačine. Kompleksne logaritamske nejednakosti

14.10.2019

Pročitajte također

Srećna Nova godina kolegama

Čestitke za proteklu Novu godinu - pjesme, proza, SMS Čestitamo proteklu Novu godinu i Božić

Razglednice s prvim danom proljeća - lijepe i smiješne sa natpisima: Kratke SMS čestitke za prvi dan proljeća

Svojim voljenima možete čestitati prekrasnom razglednicom

Smiješna slika Sretan Majčin dan za djecu - čestitke mami od učenika vrtića

Ciljevi lekcije:

Didaktički:

Nivo 1 - naučiti kako rješavati najjednostavnije logaritamske nejednakosti, koristeći definiciju logaritma, svojstva logaritma;
Nivo 2 - riješite logaritamske nejednačine, birajući vlastiti metod rješenja;
Nivo 3 - biti sposoban primijeniti znanje i vještine u nestandardnim situacijama.

u razvoju: razvijaju pamćenje, pažnju, logičko razmišljanje, vještine poređenja, biti u stanju generalizirati i izvući zaključke

edukativni: negovati tačnost, odgovornost za obavljeni zadatak, međusobnu pomoć.

Nastavne metode: verbalno , vizuelno , praktično , djelomična pretraga , samouprava , kontrolu.

Oblici organizacije kognitivna aktivnost studenti: frontalni , pojedinac , Raditi u parovima.

Oprema: set testnih zadataka, referentni sažetak, prazni listovi za rješenja.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat. Najavljuju se tema i ciljevi časa, šema časa: svaki učenik dobija evaluacioni list, koji učenik ispunjava tokom časa; za svaki par učenika - štampani materijali sa zadacima, potrebno je zadatke uraditi u paru; prazni listovi za odluke; referentni listovi: definicija logaritma; graf logaritamske funkcije, njena svojstva; svojstva logaritama; algoritam rješenja logaritamske nejednakosti.

Sve odluke nakon samoocenjivanja dostavljaju se nastavniku.

Obrazac za učenike

2. Aktuelizacija znanja.

Uputstva za nastavnike. Zapamtite definiciju logaritma, graf logaritamske funkcije i njena svojstva. Da biste to učinili, pročitajte tekst na str. 88–90, 98–101 udžbenika „Algebra i početak analize 10–11“ koji su uredili Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin i drugi.

Učenicima se daju listovi na kojima je napisano: definicija logaritma; prikazuje graf logaritamske funkcije, njena svojstva; svojstva logaritama; algoritam za rješavanje logaritamskih nejednačina, primjer rješavanja logaritamske nejednačine koja se svodi na kvadrat.

3. Učenje novog gradiva.

Rješenje logaritamskih nejednačina zasniva se na monotonosti logaritamske funkcije.

Algoritam za rješavanje logaritamskih nejednačina:

A) Pronađite oblast definicije nejednakosti (podlogaritamski izraz je veći od nule).
B) Predstavite (ako je moguće) lijevi i desni dio nejednačine kao logaritme u istoj osnovi.
B) Odredite da li se vrijednost povećava ili smanjuje. logaritamska funkcija: ako je t>1, onda raste; ako je 0 1, a zatim se smanjuje.
D) Idi na više jednostavna nejednakost(sublogaritamski izrazi), s obzirom na to da će predznak nejednakosti biti sačuvan ako se funkcija povećava, a promijenit će se ako se smanjuje.

Element učenja #1.

Svrha: popraviti rješenje najjednostavnijih logaritamskih nejednačina

Oblik organizacije kognitivne aktivnosti učenika: individualni rad.

Zadaci za samostalan rad 10 minuta. Za svaku nejednakost postoji nekoliko odgovora, potrebno je odabrati pravi i provjeriti po ključu.

KLJUČ: 13321, maksimum bodova - 6 str.

Element učenja #2.

Svrha: popraviti rješenje logaritamskih nejednačina primjenom svojstava logaritama.

Uputstva za nastavnike. Prisjetimo se osnovnih svojstava logaritma. Da biste to učinili, pročitajte tekst udžbenika na str.92, 103–104.

Zadaci za samostalan rad 10 minuta.

KLJUČ: 2113, maksimalan broj bodova je 8 b.

Element učenja #3.

Svrha: proučavanje rješenja logaritamskih nejednačina metodom redukcije na kvadrat.

Upute nastavnika: metoda svođenja nejednakosti na kvadrat je da nejednakost treba transformisati u takav oblik da se neka logaritamska funkcija označi novom varijablom, a da se dobije kvadratna nejednakost u odnosu na ovu varijablu.

Koristimo metodu intervala.

Prešli ste prvi nivo asimilacije gradiva. Sada ćete morati samostalno odabrati metodu za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koristeći svo svoje znanje i sposobnosti.

Element učenja broj 4.

Svrha: konsolidirati rješenje logaritamskih nejednačina odabirom racionalnog načina rješavanja.

Zadaci za samostalan rad 10 minuta

Element učenja broj 5.

Uputstva za nastavnike. Dobro urađeno! Savladali ste rješenje jednačina drugog nivoa složenosti. Svrha vašeg daljeg rada je da svoja znanja i vještine primijenite u složenijim i nestandardnim situacijama.

Zadaci za samostalno rješavanje:

Uputstva za nastavnike. Odlično je ako ste obavili sav posao. Dobro urađeno!

Ocjena za cijeli čas zavisi od broja bodova za sve nastavne elemente:

ako je N ≥ 20, onda dobijate ocjenu "5",
za 16 ≤ N ≤ 19 – rezultat „4“,
za 8 ≤ N ≤ 15 – rezultat “3”,
kod N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Procijenjene lisice predati učitelju.

5. Zadaća: ako ste postigli najviše 15 b - radite na greškama (rješenja možete preuzeti od nastavnika), ako ste postigli više od 15 b - uradite kreativni zadatak na temu “Logaritmske nejednakosti”.

Sa njima su unutrašnji logaritmi.

primjeri:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Kako riješiti logaritamske nejednačine:

Bilo koju logaritamsku nejednakost treba svesti na oblik $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (simbol $˅$ znači bilo koji od ). Ovaj oblik nam omogućava da se riješimo logaritama i njihovih baza prelaskom na nejednakost izraza pod logaritmima, odnosno na oblik $f(x) ˅ g(x)$.

Ali kada pravite ovu tranziciju, postoji jedna vrlo važna suptilnost:
$-$ ako je - broj i veći je od 1 - znak nejednakosti ostaje isti tokom prijelaza,
$-$ ako je baza broj veći od 0, ali manji od 1 (između nule i jedan), tada se znak nejednakosti mora obrnuti, tj.

primjeri:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Odluka:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Odgovor: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ jedan))$
ODZ: $\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)$
$\početak(slučajevi)2x>4\\x > -1\kraj(slučajevi)$ $\Leftrightarrow$ $\početak(slučajevi)x>2\\x > -1\kraj(slučajevi) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Odluka:
$2x-4$$≤$$x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Odgovor: $(2;5]$

Veoma važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz sa oblika $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ na poređenje izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:

Primjer . Riješite nejednačinu: $\log$$≤-1$

Odluka:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Otvaramo zagrade, dajemo.
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Pomnožimo nejednakost sa $-1$, ne zaboravite da obrnete znak poređenja.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Napravimo brojevnu pravu i označimo tačke $\frac(7)(3)$ i $\frac(3)(2)$ na njoj. Imajte na umu da je tačka iz nazivnika izbušena, uprkos činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova tačka neće biti rješenje, jer će nas prilikom zamjene u nejednakosti dovesti do dijeljenja sa nulom.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji pada u ODZ.
	Zapišite konačni odgovor.

odgovor: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Primjer . Riješite nejednačinu: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Odluka:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: $x>0$	Idemo do rješenja.
Rješenje: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska nejednakost. Mi radimo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Lay out lijeva strana nejednakosti na .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Sada se morate vratiti na originalnu varijablu - x. Da bismo to učinili, prelazimo na , koji ima isto rješenje, i vršimo obrnutu zamjenu.
$\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformirajte $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Pređimo na poređenje argumenata. Osnove logaritama su veće od $1$, pa se predznak nejednačina ne mijenja.
$\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Kombinirajmo rješenje nejednačine i ODZ na jednoj slici.
	Hajde da zapišemo odgovor.

odgovor: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Nejednakost se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednačina se ne razlikuju osim po dvije stvari.

Prvo, kada se prelazi sa logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija, slijedi prati predznak rezultirajuće nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku sa logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija čuva znak nejednakosti, a ako je manji od $1$ onda se obrće.

Drugo, rješenje bilo koje nejednakosti je interval, pa je stoga na kraju rješenja nejednakosti sublogaritamskih funkcija potrebno sastaviti sistem od dvije nejednakosti: prva nejednakost ovog sistema će biti nejednakost od podlogaritamske funkcije, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednakost.

Vježbajte.

Rešimo nejednačine:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Osnova logaritma je $2>1$, tako da se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobijamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvaramo zagrade, dajemo.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pomnožimo nejednakost sa \(-1\), ne zaboravite da obrnete znak poređenja.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Napravimo brojevnu pravu i označimo tačke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) na njoj. Imajte na umu da je tačka iz nazivnika izbušena, uprkos činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova tačka neće biti rješenje, jer će nas prilikom zamjene u nejednakosti dovesti do dijeljenja sa nulom.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji pada u ODZ.
	Zapišite konačni odgovor.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do rješenja.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska nejednakost. Mi radimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Lay out lijeva strana nejednakosti na .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se morate vratiti na originalnu varijablu - x. Da bismo to učinili, prelazimo na , koji ima isto rješenje, i vršimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformirajte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pređimo na poređenje argumenata. Osnove logaritama su veće od \(1\), pa se predznak nejednačina ne mijenja.
\(\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Kombinirajmo rješenje nejednačine i ODZ na jednoj slici.
	Hajde da zapišemo odgovor.