Jednostavni i ne tako jednostavni načini izračunavanja kubnog korijena

Koliko je ljutih riječi izgovoreno protiv njega? Ponekad se čini da se kubni korijen nevjerovatno razlikuje od kvadrata. U stvari, razlika nije tako velika. Pogotovo ako shvatite da su to samo posebni slučajevi zajedničkog korijena n-tog stepena.

Ali s njegovim vađenjem može doći do problema. Ali najčešće su povezani s glomaznošću proračuna.

Šta trebate znati o korijenu proizvoljnog stepena?

Prvo, definicija ovog koncepta. Koren n-tog stepena nekog "a" je broj koji, kada se podigne na stepen od n, daje originalno "a".

Štaviše, postoje parni i neparni stepeni u korenima. Ako je n paran, tada korijenski izraz može biti samo nula ili pozitivan broj. U suprotnom, neće biti pravog odgovora.

Kada je stepen neparan, postoji rješenje za bilo koju vrijednost "a". Može biti negativno.

Drugo, funkcija korijena se uvijek može napisati kao stepen, čiji je indikator razlomak. Ponekad je ovo veoma zgodno.

Na primjer, "a" na stepen od 1/n će biti samo n-ti korijen od "a". U ovom slučaju, baza stepena je uvijek veća od nule.

Slično, "a" na stepen n / m će biti predstavljena kao m-ti korijen od "a n".

Treće, za njih vrijede sve radnje sa ovlastima.

• Mogu se umnožiti. Zatim se eksponenti sabiraju.
• Korijeni se mogu podijeliti. Stepeni će se morati oduzeti.
• I podići na potenciju. Zatim ih treba umnožiti. Odnosno stepen koji je bio, do onog do kojeg su podignuti.

Koje su sličnosti i razlike između kvadratnog i kubnog korijena?

Slični su, kao braća i sestre, samo im je diploma drugačija. I princip njihovog izračunavanja je isti, jedina razlika je koliko puta se broj mora pomnožiti sam sa sobom da bi se dobio korijenski izraz.

Značajna razlika je spomenuta malo više. Ali neće škoditi ponoviti. Kvadrat se izdvaja samo iz ne negativan broj. Dok izračunavanje kubnog korijena negativne vrijednosti nije teško.

Ekstrahiranje kubnog korijena na kalkulatoru

Svi su to učinili za kvadratni korijen barem jednom. Ali šta ako je stepen "3"?

Na konvencionalnom kalkulatoru postoji samo dugme za kvadratno dugme, ali ne i kubično. Ovdje će pomoći jednostavno nabrajanje brojeva koji se sami po sebi množe tri puta. Imate korijenski izraz? Dakle, ovo je odgovor. Nije uspjelo? Javi se ponovo.

A šta je sa inženjerskom formom kalkulatora u kompjuteru? Ura, ovdje je kockasti korijen. Možete jednostavno pritisnuti ovo dugme i program će vam dati odgovor. Ali to nije sve. Ovdje možete izračunati korijen ne samo od 2 i 3 stepena, već i bilo kojeg proizvoljnog. Zato što postoji dugme koje ima „y“ u stepenu korena. Odnosno, nakon pritiska na ovu tipku, morat ćete unijeti još jedan broj, koji će biti jednak stepenu korijena, a tek onda "=".

Ručno vađenje kockastog korijena

Ova metoda je potrebna kada kalkulator nije pri ruci ili se ne može koristiti. Zatim, da biste izračunali kubni korijen broja, morat ćete se potruditi.

Prvo pogledajte da li je puna kocka dobijena iz neke cjelobrojne vrijednosti. Možda je ispod korijena 2, 3, 5 ili 10 na treći stepen?

1. Mentalno podijelite korijenski izraz u grupe od tri znamenke od decimalnog zareza. Najčešće je potreban frakcijski dio. Ako ne, onda dodajte nule.
2. Odredite broj čija je kocka manja od celobrojnog dela radikalnog izraza. Napišite ga u srednjem odgovoru iznad znaka korijena. I ispod ove grupe stavite njegovu kocku.
3. Izvršite oduzimanje.
4. Ostatku pripišite prvu grupu cifara nakon decimalnog zareza.
5. U nacrtu zapišite izraz: a 2 * 300 * x + a * 30 * x 2 + x 3. Ovdje je "a" srednji odgovor, "x" je broj koji je manji od rezultujućeg ostatka s brojevima koji su mu dodijeljeni.
6. Broj "x" mora biti upisan nakon decimalne zareze srednjeg odgovora. I upišite vrijednost cijelog ovog izraza ispod ostatka koji se poredi.
7. Ako je tačnost dovoljna, zaustavite proračune. U suprotnom, morate se vratiti na tačku broj 3.

Ilustrativan primjer izračunavanja kubnog korijena

To je potrebno jer opis može izgledati komplikovano. Slika ispod pokazuje kako izdvojiti kubni korijen od 15 sa stotinkama preciznosti.

Jedina poteškoća koju ova metoda ima je to što se sa svakim korakom brojevi višestruko povećavaju i postaje sve teže brojati u koloni.

1. 15> 2 3 znači ispod cijeli dio Napisano je 8, a iznad korijena 2.
2. Nakon oduzimanja osam od 15, ostatak je 7. Moraju mu se pripisati tri nule.
3. a \u003d 2. Dakle: 2 2 * 300 * x + 2 * 30 * x 2 + x 3< 7000, или 1200 х + 60 х 2 + х 3 < 7000.
4. Metoda odabira pokazuje da je x = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Oduzimanje daje 1176, a broj 4 se pojavio iznad korijena.
6. Dodijelite tri nule ostatku.
7. a \u003d 24. Zatim 172800 x + 720 x 2 + x 3< 1176000.
8. x = 6. Procjena izraza daje rezultat 1062936. Ostatak: 113064, preko korijena 6.
9. Ponovo dodijelite nule.
10. a \u003d 246. Nejednakost ispada ovako: 18154800x + 7380x 2 + x 3< 113064000.
11. x \u003d 6. Izračuni daju broj: 109194696, Ostatak: 3869304. Iznad korijena 6.

Odgovor je broj: 2.466 Pošto se odgovor mora dati na stotinke, mora se zaokružiti: 2,47.

Neobičan način za vađenje kockastog korijena

Može se koristiti kada je odgovor cijeli broj. Zatim se kubični korijen ekstrahuje proširenjem radikalnog izraza u neparne termine. Štaviše, takvih termina treba da bude najmanji mogući broj.

Na primjer, 8 je predstavljeno zbirom 3 i 5. A 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Odgovor će biti broj koji je jednak broju pojmova. Dakle, kubni korijen od 8 će biti jednak dva, a od 64 - četiri.

Ako se ispod korijena nalazi 1000, onda će njegovo proširenje u pojmove biti 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Ukupno ima 10 članova. Ovo je odgovor.

Prije pojave kalkulatora, učenici i nastavnici su ručno izračunavali kvadratni korijen. Postoji nekoliko načina za ručno izračunavanje kvadratnog korijena broja. Neki od njih nude samo okvirno rješenje, drugi daju tačan odgovor.

Koraci

Primena faktorizacije

Faktori korijenski broj u faktore koji su kvadratni brojevi. Ovisno o korijenskom broju, dobit ćete približan ili tačan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može uzeti cijeli kvadratni korijen. Faktori su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da su 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, jer je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. su faktori , koji su kvadratni brojevi. Prvo, pokušajte faktorizirati korijenski broj u kvadratne faktore.

• Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik 100, odnosno djeljiv sa 25 - ovo je kvadratni broj. Ako podijelite 400 sa 25, dobijete 16. Broj 16 je također kvadratni broj. Dakle, 400 se može razložiti na kvadratne faktore 25 i 16, odnosno 25 x 16 = 400.
• Ovo se može napisati na sljedeći način: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratni korijen proizvoda nekih članova jednak je proizvodu od kvadratni korijeni iz svakog člana, tj. √(a x b) = √a x √b. Koristite ovo pravilo i uzmite kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate da biste pronašli odgovor.

   • U našem primjeru uzmite kvadratni korijen od 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ako se radikalni broj ne razloži na dva kvadratni množitelj(što se dešava većinu vremena), nećete moći pronaći tačan odgovor kao cijeli broj. Ali možete pojednostaviti problem tako što ćete korijenski broj razložiti na kvadratni faktor i običan faktor (broj iz kojeg se ne može uzeti cijeli kvadratni korijen). Tada ćete uzeti kvadratni korijen kvadratnog faktora i uzeti korijen običnog faktora.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 se ne može rastaviti na dva kvadratna faktora, ali se može rastaviti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite zadatak na sljedeći način:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ako je potrebno, procijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) upoređujući je s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne prave) korijenskom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti sa brojem iza znaka korijena.

   • Vratimo se našem primjeru. Korijen broj je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi su brojevi 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Dakle, vrijednost √3 leži između 1 i 2. Pošto je vrijednost √3 vjerovatno bliža 2 nego 1, naša procjena je: √3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo brojem u korijenskom znaku: 7 x 1,7 = 11,9. Ako računate na kalkulatoru, dobićete 12.13, što je prilično blizu našem odgovoru.
     • Ova metoda također radi s velikim brojevima. Na primjer, uzmite u obzir √35. Korijen broj je 35. Njemu najbliži kvadratni brojevi su brojevi 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Dakle, vrijednost √35 leži između 5 i 6. Pošto je vrijednost √35 mnogo bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je √35 nešto manje od 6. Provjera kalkulatorom daje nam odgovor 5,92 - bili smo u pravu.

4. Drugi način je razlaganje korijenskog broja na proste faktore. Osnovni faktori su brojevi koji su djeljivi samo sa 1 i sami sobom. Zapišite proste faktore u nizu i pronađite parove identičnih faktora. Takvi faktori se mogu izvući iz predznaka korijena.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Razlažemo korijenski broj na proste faktore: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Dakle, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 se može izvaditi iz predznaka korijena: √45 = 3√5. Sada možemo procijeniti √5.
   • Razmotrimo još jedan primjer: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelja 2; uzmi ih par i izvadi ih iz znaka korijena.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sada možemo procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.

   Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

   Korištenje podjele stupaca

   1. Ova metoda uključuje proces sličan dugoj podjeli i daje tačan odgovor. Prvo nacrtajte okomitu liniju koja dijeli list na dvije polovine, a zatim nacrtajte vodoravnu liniju desno i malo ispod gornje ivice lista do okomite linije. Sada podijelite korijenski broj na parove brojeva, počevši od razlomka nakon decimalnog zareza. Dakle, broj 79520789182.47897 je napisan kao "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Na primjer, izračunajmo kvadratni korijen broja 780,14. Nacrtajte dvije linije (kao što je prikazano na slici) i upišite broj u gornjem lijevom kutu kao "7 80, 14". Normalno je da je prva cifra slijeva neparna cifra. Odgovor (koren datog broja) će biti napisan u gornjem desnom uglu.

   2. S obzirom na prvi par brojeva (ili jedan broj) s lijeve strane, pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak paru brojeva (ili jednom broju) o kojem je riječ. Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži prvom paru brojeva (ili jedan broj) s lijeve strane, ali manji od njega, i uzmite kvadratni korijen tog kvadratni broj; dobićete broj n. U gornjem desnom uglu upišite pronađeno n, a dolje desno zapišite kvadrat n.

      • U našem slučaju, prvi broj lijevo će biti broj 7. Sljedeći, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Oduzmite kvadrat broja n koji ste upravo pronašli od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane. Rezultat izračunavanja upišite ispod oduzetog (kvadrata broja n).

      • U našem primjeru oduzmite 4 od 7 da biste dobili 3.

   4. Zabilježite drugi par brojeva i zapišite ga pored vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".

      • U našem primjeru, drugi par brojeva je "80". Napišite "80" nakon 3. Zatim, udvostručenje broja u gornjem desnom uglu daje 4. Napišite "4_×_=" dolje desno.

   5. Popunite prazna polja na desnoj strani.

      • U našem slučaju, ako umjesto crtica stavimo broj 8, onda je 48 x 8 = 384, što je više od 380. Dakle, 8 je prevelik broj, ali 7 je u redu. Napišite 7 umjesto crtica i dobijete: 47 x 7 \u003d 329. Napišite 7 u gornjem desnom kutu - ovo je druga znamenka u željenom kvadratnom korijenu broja 780,14.

   6. Oduzmite rezultirajući broj od trenutnog broja na lijevoj strani. Rezultat iz prethodnog koraka upišite ispod trenutnog broja s lijeve strane, pronađite razliku i upišite je ispod oduzetog.

      • U našem primjeru oduzmite 329 od 380, što je jednako 51.

   7. Ponovite korak 4. Ako je demolirani par brojeva razlomak originalnog broja, onda stavite razdjelnik (zarez) cijelog broja i razlomaka u željeni kvadratni korijen u gornjem desnom uglu. S lijeve strane prenesite sljedeći par brojeva. Udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".

      • U našem primjeru, sljedeći par brojeva koji će se rušiti bit će razlomak broja 780,14, pa stavite razdjelnik cijelog broja i razlomaka u željeni kvadratni korijen u gornjem desnom uglu. Srušite 14 i zapišite dolje lijevo. Dvostruko gore desno (27) je 54, pa napišite "54_×_=" dolje desno.

   8. Ponovite korake 5 i 6. Nađi ga najveći broj umjesto crtica na desnoj strani (umjesto crtica, trebate zamijeniti isti broj) tako da rezultat množenja bude manji ili jednak trenutnom broju na lijevoj strani.

      • U našem primjeru, 549 x 9 = 4941, što je manje od trenutnog broja na lijevoj strani (5114). Napišite 9 u gornjem desnom kutu i oduzmite rezultat množenja od trenutnog broja na lijevoj strani: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ako trebate pronaći više decimalnih mjesta za kvadratni korijen, upišite par nula pored trenutnog broja s lijeve strane i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponavljajte korake dok ne dobijete tačnost odgovora koji vam je potreban (broj decimalna mjesta).

   Razumijevanje procesa

   Za asimilaciju ovu metodu zamislite broj čiji kvadratni korijen želite pronaći kao površinu kvadrata S. U ovom slučaju, tražit ćete dužinu stranice L takvog kvadrata. Izračunajte vrijednost L za koju je L² = S.

   Unesite slovo za svaku cifru u svom odgovoru. Označite sa A prvu cifru u vrijednosti L (željeni kvadratni korijen). B će biti druga cifra, C treća i tako dalje.

   Navedite slovo za svaki par vodećih znamenki. Sa S a označimo prvi par cifara u vrijednosti S, sa S b drugi par cifara, itd.

   Objasnite vezu ove metode sa dugom podjelom. Kao i u operaciji dijeljenja, gdje nas svaki put zanima samo jedna sljedeća znamenka djeljivog broja, pri izračunavanju kvadratnog korijena radimo s parom cifara u nizu (da bismo dobili sljedeću jednu cifru u vrijednosti kvadratnog korijena) .

   1. Razmotrimo prvi par znamenki Sa broja S (Sa = 7 u našem primjeru) i pronađimo njegov kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenka A tražene vrijednosti kvadratnog korijena bit će takva cifra, čiji je kvadrat manji ili jednak S a (odnosno, tražimo takvo A koje zadovoljava nejednakost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Recimo da trebamo podijeliti 88962 sa 7; ovdje će prvi korak biti sličan: razmatramo prvu cifru djeljivog broja 88962 (8) i biramo najveći broj koji, kada se pomnoži sa 7, daje vrijednost manju ili jednaku 8. To jest, tražimo broj d za koji je tačna nejednakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mentalno zamislite kvadrat čiju površinu trebate izračunati. Tražite L, odnosno dužinu stranice kvadrata čija je površina S. A, B, C su brojevi u broju L. Možete to napisati drugačije: 10A + B \u003d L (za dvocifreni broj) ili 100A + 10V + C = L (za trocifreni broj) itd.

      • Neka bude (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Zapamtite da je 10A+B broj čiji B označava jedinice, a A desetice. Na primjer, ako je A=1 i B=2, tada je 10A+B jednako broju 12. (10A+B)² je površina cijelog kvadrata, 100A² je površina velikog unutrašnjeg kvadrata, B² je površina malog unutrašnjeg kvadrata, 10A×B je površina svakog od dva pravougaonika. Dodavanjem površina opisanih figura, naći ćete površinu originalnog kvadrata.

Inženjerski kalkulator online

Žurimo da svima predstavimo besplatni inženjerski kalkulator. Uz njegovu pomoć, svaki učenik može brzo i, što je najvažnije, lako izvesti razne vrste matematičkih proračuna online.

Kalkulator je preuzet sa sajta - web 2.0 naučni kalkulator

Jednostavan i lak za korištenje inženjerski kalkulator s nenametljivim i intuitivnim sučeljem zaista će biti koristan najširem krugu korisnika Interneta. Sada, kada vam zatreba kalkulator, posjetite našu web stranicu i koristite besplatni inženjerski kalkulator.

Inženjerski kalkulator može izvoditi i jednostavne aritmetičke operacije i prilično složene matematičke proračune.

Web20calc je inženjerski kalkulator koji ima ogroman broj funkcija, na primjer, kako izračunati sve elementarne funkcije. Kalkulator takođe podržava trigonometrijske funkcije, matrice, logaritmi, pa čak i crtanje.

Nesumnjivo će Web20calc biti od interesa za grupu ljudi koji traže jednostavna rješenja vrste upita u pretraživačima: matematički online kalkulator. Besplatna web aplikacija pomoći će vam da trenutno izračunate rezultat bilo kojeg matematičkog izraza, na primjer, oduzmete, saberete, podijelite, izdvojite korijen, povećate na stepen itd.

U izrazu možete koristiti operacije stepenovanja, sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, postotka, PI konstante. Za složene proračune treba uključiti zagrade.

Karakteristike inženjerskog kalkulatora:

1. osnovne aritmetičke operacije;
2. rad sa brojevima u standardnom obliku;
3. obračun trigonometrijski korijeni, funkcije, logaritmi, eksponencijacija;
4. statistički proračuni: sabiranje, aritmetička sredina ili standardna devijacija;
5. primjena memorijske ćelije i korisničkih funkcija 2 varijable;
6. rad sa uglovima u radijanskim i stepenskim mjerama.

Inženjerski kalkulator omogućava korištenje raznih matematičkih funkcija:

Vađenje korijena (kvadratni korijen, kubni korijen, kao i korijen n-tog stepena);
ex (e do x stepen), eksponent;
trigonometrijske funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangent - tan;
inverzne trigonometrijske funkcije: arksinus - sin-1, arkosinus - cos-1, arktangens - tan-1;
hiperboličke funkcije: sinus - sinh, kosinus - koš, tangent - tanh;
logaritmi: binarni logaritam osnove dva je log2x, logaritam osnove deset je log, prirodni logaritam je ln.

Ovaj inženjerski kalkulator uključuje i kalkulator količine sa mogućnošću pretvaranja fizičkih veličina u razni sistemi mjerenja - kompjuterske jedinice, udaljenost, težina, vrijeme itd. Pomoću ove funkcije možete trenutno pretvoriti milje u kilometre, funte u kilograme, sekunde u sate itd.

Da biste izvršili matematičke proračune, prvo unesite niz matematičkih izraza u odgovarajuće polje, zatim kliknite na znak jednakosti i pogledajte rezultat. Vrijednosti možete unijeti direktno s tastature (za to područje kalkulatora mora biti aktivno, stoga će biti korisno staviti kursor u polje za unos). Između ostalog, podaci se mogu unositi pomoću dugmadi samog kalkulatora.

Da biste napravili grafikone u polju za unos, napišite funkciju kao što je naznačeno u polju za primjer ili koristite traku s alatima posebno dizajniranu za to (da biste otišli na nju, kliknite na dugme sa ikonicom u obliku grafikona). Za konvertovanje vrijednosti pritisnite Jedinica, za rad sa matricama - Matrix.

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi ljudi se zbune oko korijena ne zato što su složeni (što je komplikovano - par definicija i još par svojstava), već zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divlje vrijednosti koje mogu samo autori udžbenika. shvatite ovo škrabanje. Pa čak i tada samo uz flašu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najispravniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju zaista trebate zapamtiti. I tek onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo zapamtite jednu važna tačka, o čemu mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stepena (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i paran $\sqrt(a)$) i neparnog stepena (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). A definicija korijena neparnog stepena je nešto drugačija od parnog.

Ovdje se u ovom jebenom “nešto drugačijem” krije, vjerovatno, 95% svih grešaka i nesporazuma povezanih sa korijenima. Pa hajde da razjasnimo terminologiju jednom za svagda:

Definicija. Čak i root n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stepena iz istog broja $a$ je općenito bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvoj notaciji naziva se korijenski eksponent, a broj $a$ naziva se radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobijamo naš "omiljeni" kvadratni koren (usput, ovo je koren parnog stepena), a za $n=3$ dobijamo kubni koren (neparni stepen), koji se takođe često nalazi u problemima i jednačinama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratni korijeni:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(poravnati)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također česti - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(poravnati)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stepena, ponovo pročitajte definiciju. Veoma je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto su nam uopće potrebni korijeni?

Nakon čitanja definicije, mnogi učenici će se zapitati: "Šta su matematičari pušili kada su smislili ovo?" I zaista: zašto su nam potrebni svi ti korijeni?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak na osnovne razrede. Zapamtite: u ta davna vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga je bila da pravilno pomnožimo brojeve. Pa, nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali na kraju krajeva, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, ovo nije poenta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Pa su smislili diplome. Zašto ne zapišete broj faktora kao superscript umjesto dugog niza? kao ovaj:

Veoma je zgodno! Sve kalkulacije su smanjene za nekoliko puta, a ne možete potrošiti gomilu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stepenom broja, u njemu je pronađena gomila svojstava, ali se ispostavilo da je sreća kratkog vijeka.

Nakon grandioznog pića, koje je bilo organizovano baš u vezi sa „otkrićem“ stepena, neki posebno naduvani matematičar iznenada je upitao: „Šta ako znamo stepen broja, a ne znamo sam broj?“ Zaista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. stepen, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?

Ispostavilo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer se pokazalo da za većinu „gotovih“ diploma ne postoje takvi „početni“ brojevi. Procijenite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(poravnati)\]

Šta ako je $((b)^(3))=50$? Ispostavilo se da morate pronaći određeni broj, koji će nam, kada se pomnoži sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj se nalazi negdje između tri i četiri, ali čemu je on jednak - FIGU ćete razumjeti.

Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$-tog korijena. Zbog toga je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Da označimo isti broj $b$, koji će nam na specificiranu potenciju dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\Strelica desno ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ovi korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera iznad. Ali ipak, u većini slučajeva, ako pomislite na proizvoljan broj, a zatim pokušate izvući korijen proizvoljnog stepena iz njega, očekuje vas okrutna nevolja.

Šta je tu! Čak i najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se predstaviti u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalnog zareza postoji beskonačan niz brojeva koji se ne povinuju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj da biste brzo uporedili sa drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1.4142...\približno 1.4 \lt 1.5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1.73205...\približno 1.7 \gt 1.5\]

Ali sva su ta zaokruživanja, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti gomilu neočiglednih grešaka (usput, vještina poređenja i zaokruživanja se obavezno provjerava na ispitu profila).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena - oni su isti jednaki predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, kao i razlomaka i cijelih brojeva koji su nam odavno poznati.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalni broj. Takvi brojevi se nazivaju iracionalni i ne mogu se precizno predstaviti osim uz pomoć radikala ili drugih konstrukcija posebno dizajniranih za to (logaritmi, stepeni, granice, itd.). Ali o tome drugi put.

Razmotrimo nekoliko primjera gdje će, nakon svih proračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, do izgled iz korijena je gotovo nemoguće pogoditi koji će brojevi doći nakon decimalnog zareza. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma nam daje samo prvih nekoliko cifara iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore napisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisali odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitalac je vjerovatno već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa, barem od nule. I ovdje kubni korijeni neometano izvučen iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnih, čak i negativnih.

Zašto se ovo dešava? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Raspored kvadratna funkcija daje dva korijena: pozitivan i negativan

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj graf. Da biste to učinili, na grafu je nacrtana vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom), koja se seče sa parabolom u dvije tačke: $((x)_(1))=2$ i $((x) )_(2)) =-2$. Ovo je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali šta onda učiniti sa drugom tačkom? Da li 4 ima dva korijena odjednom? Na kraju krajeva, ako kvadriramo broj −2, dobijamo i 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto nastavnici gledaju takve zapise kao da hoće da te pojedu? :)

Problem je u tome što ako se ne nametnu nikakvi dodatni uvjeti, onda će četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I svaki pozitivan broj će ih također imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijen - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod ose y, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem se javlja za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva, korijen s čak $n$ uopće se ne izdvaja.

Zato definicija parnog korijena $n$ izričito propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Ovako se oslobađamo dvosmislenosti.

Ali za neparan $n$ ne postoji takav problem. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Kubična parabola poprima bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini da povučemo vodoravnu liniju, ova linija će se sigurno sjeći s našim grafikom. Stoga se kubni korijen uvijek može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takva raskrsnica će uvijek biti jedinstvena, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj uzeti u obzir "tačan" korijen, a koji postići. Zbog toga je definicija korijena za neparan stepen jednostavnija nego za paran (ne postoji zahtjev za nenegativnost).

Šteta što ove jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naš mozak počinje da raste sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam: šta je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo takođe govoriti o tome, jer bez toga sva razmišljanja o korijenima $n$-tog višestrukosti ne bi bila potpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja termina, u glavi će vam početi takva zbrka da na kraju nećete ništa razumjeti.

I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što zaista trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo od nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve, takav korijen je nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stepena postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što kapa nagoveštava, negativan.

Da li je teško? Ne, nije teško. Razumljivo? Da, očigledno je! Stoga ćemo sada malo vježbati sa proračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju puno čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo pišemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na paran stepen, a zatim iz ovoga izvučemo korijen istog stepena, dobićemo ne originalni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavna teorema, što se lako dokazuje (dovoljno je odvojeno razmotriti nenegativne $x$, a zatim zasebno razmotriti negativne). Nastavnici stalno govore o tome, to se nalazi u svakom školskom udžbeniku. Ali kada dođe do odluke iracionalne jednačine(tj. jednačine koje sadrže znak radikala), učenici zajedno zaboravljaju ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo sve formule na minut i pokušajmo izbrojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo je veoma jednostavni primjeri. Prvi primjer će riješiti većina ljudi, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bilo koje takvo sranje riješili bez problema, uvijek razmotrite proceduru:

1. Prvo, broj se podiže na četvrti stepen. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stepena. One. nema "smanjenja" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne akcije.

Hajde da se pozabavimo prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očigledno, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada uradimo isto sa drugim izrazom. Prvo, dižemo broj −3 na četvrti stepen, za šta ga trebamo pomnožiti sam sa sobom 4 puta:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobio sam pozitivan broj jer ukupno ima 4 minusa u radu, i svi će se poništavati (uostalom, minus puta minus daje plus). Zatim ponovo izvucite korijen:

U principu, ovaj red se ne bi mogao napisati, jer je sasvim jasno da će odgovor biti isti. One. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse, i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \right|=3. \\ \end(poravnati)\]

Ovi proračuni se dobro slažu s definicijom korijena parnog stepena: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala je također uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim uzimamo kvadratni korijen rezultirajuće vrijednosti. Stoga možemo biti sigurni da je nenegativan broj uvijek ispod predznaka korijena, budući da je $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. Ali notacija $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo izdvajamo korijen iz određenog broja $a$ i tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kom slučaju ne može biti negativan - to je obavezan uslov uključeno u definiciju.

Dakle, ni u kom slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavlja" izvorni izraz. Jer ako ispod korijena postoji negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo mnogo problema.

Međutim, svi ovi problemi su relevantni samo za parne indikatore.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, korijeni s neparnim eksponentima također imaju svoju osobinu, koja u principu ne postoji za parne. naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stepena. Ovo je veoma korisno svojstvo, što vam omogućava da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(poravnati)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge proračune. Sada ne morate da brinete: šta ako negativni izraz uđe ispod korena, a stepen u korenu se pokaže paran? Dovoljno je samo “izbaciti” sve minuse van korijena, nakon čega se mogu međusobno umnožiti, podijeliti i općenito učiniti mnogo sumnjivih stvari, koje će nas u slučaju “klasičnih” korijena garantovano dovesti do greška.

I tu na scenu stupa još jedna definicija – upravo ona kojom većina škola počinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez toga bi naše rezonovanje bilo nepotpuno. Upoznajte se!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod predznaka korijena. Ocjenimo na parne / neparne indikatore, poenimo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Šta onda?

I tada dobijamo aritmetički korijen - on se djelomično siječe s našim "standardnim" definicijama, ali se još uvijek razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stepena nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga, pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz sada je uvijek nenegativan, a sam korijen također nije negativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole koje su nam već poznate:

Područje pretraživanja korijena - nenegativni brojevi

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafova koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrti - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati u indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Zato što se negativni brojevi više u principu ne razmatraju.

Možda ćete pitati: "Pa, zašto nam treba takva kastrirana definicija?" Ili: "Zašto ne možemo proći sa standardnom definicijom datom gore?"

Pa, dat ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje odgovarajuća. Na primjer, pravilo eksponencije:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: korijenski izraz možemo podići na bilo koji stepen i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Pa, šta nije u redu s tim? Zašto to nismo mogli ranije? Evo zašto. Zamislite jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stanovišta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom slučaju smo minus izvadili ispod radikala (imamo pravo, jer je indikator neparan), au drugom smo koristili gornju formulu. One. sa stanovišta matematike, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula eksponencijalnosti, koja odlično radi za pozitivne brojeve i nulu, počinje da daje potpunu jeres u slučaju negativnih brojeva.

Evo, da bi se riješili takve nejasnoće, smislili su aritmetičkim korijenima. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje ćemo detaljno razmotriti sva njihova svojstva. Dakle, sada se nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugačkom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u posebnom pasusu ili ne. Na kraju sam odlučio da odem odavde. Ovaj materijal je namijenjena onima koji žele još bolje razumjeti korijene – ne više na prosječnom “školskom” nivou, već na nivou bliskom olimpijadi.

Dakle: pored "klasične" definicije korijena $n$-tog stepena iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne indikatore, postoji definicija "odraslih", koja ne ovisi o paritetu i druge suptilnosti uopšte. Ovo se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Osnovna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju datu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A pošto radimo sa realnim brojevima, ovaj skup ima samo tri tipa:

1. Prazan set. Pojavljuje se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stepena iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija iz nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - isti $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratne funkcije. Prema tome, takvo poravnanje je moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvuče korijen parnog stepena.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da bismo razumjeli razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Odluka. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koja su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. Ovo je sasvim logično, jer je eksponent korijena neparan.

Konačno, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kada se podigne na četvrti (to jest, paran!) stepen, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Imajte na umu: nisam slučajno svuda primijetio da radimo sa stvarnim brojevima. Budući da postoje i kompleksni brojevi - tu je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u modernom školski kurs U matematici se kompleksni brojevi gotovo nikada ne nalaze. Izostavljeni su iz većine udžbenika jer naši zvaničnici smatraju da je tema "preteška za razumjeti".

Vrijeme je za rastavljanje metode vađenja korijena. Oni se zasnivaju na svojstvima korijena, posebno na jednakosti, koja vrijedi za svaki nenegativan broj b.

U nastavku ćemo zauzvrat razmotriti glavne metode vađenja korijena.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - izvlačenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.

Ako tablice kvadrata, kocke itd. nije pri ruci, logično je koristiti metodu izdvajanja korijena, koja uključuje dekomponiranje korijenskog broja na jednostavne faktore.

Odvojeno, vrijedi se zadržati na tome, što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.

Konačno, razmotrite metodu koja vam omogućava da uzastopno pronađete cifre vrijednosti korijena.

Hajde da počnemo.

Koristeći tablicu kvadrata, tablicu kocki itd.

U najjednostavnijim slučajevima, tablice kvadrata, kocke itd. omogućavaju vađenje korijena. Šta su ovo tabele?

Tabela kvadrata cijelih brojeva od 0 do 99 (prikazano ispod) sastoji se od dvije zone. Prva zona tabele nalazi se na sivoj pozadini, izborom određenog reda i određene kolone omogućava vam da napravite broj od 0 do 99. Na primjer, izaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo fiksirali broj 83. Druga zona zauzima ostatak tabele. Svaka njegova ćelija nalazi se na sjecištu određenog reda i određene kolone i sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99. Na preseku našeg izabranog reda od 8 desetica i stupca 3 od jedan nalazi se ćelija sa brojem 6889, što je kvadrat broja 83.

Tabele kocke, tabele četvrtih stepena brojeva od 0 do 99 i tako dalje su slične tablici kvadrata, samo što sadrže kocke, četvrte stepene itd. u drugoj zoni. odgovarajući brojevi.

Tablice kvadrata, kocke, četvrti stepen, itd. omogućavaju vam da izvučete kvadratne korijene, kubne korijene, četvrte korijene, itd. odnosno iz brojeva u ovim tabelama. Objasnimo princip njihove primjene u vađenju korijena.

Recimo da treba da izvučemo koren n-tog stepena iz broja a, dok je broj a sadržan u tabeli n-tih stepeni. Prema ovoj tabeli nalazimo broj b takav da je a=b n . Onda , dakle, broj b će biti željeni korijen n-tog stepena.

Kao primjer, pokažimo kako se kubni korijen od 19683 ekstrahuje pomoću tablice kocke. U tabeli kocki nalazimo broj 19 683, iz nje nalazimo da je ovaj broj kocka broja 27, dakle, .

Jasno je da su tablice n-tih stupnjeva vrlo zgodne za vađenje korijena. Međutim, oni često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štaviše, često je potrebno izdvojiti korijene iz brojeva koji nisu sadržani u odgovarajućim tablicama. U tim slučajevima potrebno je pribjeći drugim metodama vađenja korijena.

Dekompozicija korijenskog broja na proste faktore

Dosta zgodan način, koji omogućava vađenje korijena iz prirodnog broja (ako je, naravno, korijen ekstrahovan) je dekompozicija korijenskog broja na proste faktore. Njegovo suština je sledeća: nakon što ga je prilično lako predstaviti kao moć sa pravi indikator, što vam omogućava da dobijete vrijednost korijena. Hajde da objasnimo ovu tačku.

Neka je korijen n-tog stepena izvučen iz prirodnog broja a, a njegova vrijednost je jednaka b. U ovom slučaju, jednakost a=b n je tačna. Broj b kao bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao proizvod svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , ..., p m u obliku p 1 p 2 ... p m , a korijenski broj a u ovom slučaju je predstavljen kao (p 1 p 2 ... p m) n. Budući da je dekompozicija broja na proste faktore jedinstvena, dekompozicija korijenskog broja a na proste faktore će izgledati kao (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , što omogućava izračunavanje vrijednosti korijena kao .

Imajte na umu da ako se faktorizacija korijena broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada korijen n-tog stepena iz takvog broja a nije u potpunosti izvučen.

Pozabavimo se ovim prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Uzmi kvadratni korijen od 144.

Odluka.

Ako se okrenemo tabeli kvadrata datoj u prethodnom pasusu, jasno se vidi da je 144=12 2 , iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 12 .

Ali u svjetlu ove tačke, zanima nas kako se korijen izdvaja dekompozicijom korijenskog broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.

Hajde da se razgradimo 144 na osnovne faktore:

To jest, 144=2 2 2 2 3 3 . Na osnovu rezultirajuće dekompozicije, mogu se izvršiti sljedeće transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. dakle, .

Koristeći svojstva stepena i svojstva korijena, rješenje bi se moglo formulirati malo drugačije: .

odgovor:

Za konsolidaciju gradiva razmotrite rješenja još dva primjera.

Primjer.

Izračunajte vrijednost korijena.

Odluka.

Prosta faktorizacija korijenskog broja 243 je 243=3 5 . dakle, .

odgovor:

Primjer.

Da li je vrijednost korijena cijeli broj?

Odluka.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, razložimo korijenski broj na proste faktore i vidimo da li se može predstaviti kao kocka cijelog broja.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Rezultirajuća dekompozicija nije predstavljena kao kocka cijelog broja, budući da je stepen primarni faktor 7 nije višekratnik od tri. Dakle, kubni korijen od 285,768 nije uzet u potpunosti.

odgovor:

br.

Vađenje korijena iz razlomaka

Vrijeme je da shvatimo kako se korijen izvlači razlomak broj. Neka se razlomak korijenskog broja zapiše kao p/q. Prema svojstvu korijena količnika, tačna je sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je količniku dijeljenja korijena brojila s korijenom nazivnika.

Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.

Primjer.

Koliko je kvadratni korijen običan razlomak 25/169 .

Odluka.

Prema tablici kvadrata, nalazimo da je kvadratni korijen brojnika originalnog razlomka 5, a kvadratni korijen nazivnika 13. Onda . Time se završava ekstrakcija korijena iz obične frakcije 25/169.

odgovor:

Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja se izdvaja nakon zamjene korijenskih brojeva običnim razlomcima.

Primjer.

Uzmite kubni korijen decimale 474.552.

Odluka.

Zamislite original decimalni u obliku običnog razlomka: 474,552=474552/1000. Onda . Ostaje izdvojiti kubne korijene koji se nalaze u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka. As 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , tada i . Ostaje samo završiti proračune .

odgovor:

.

Izdvajanje korijena negativnog broja

Odvojeno, vrijedi se zadržati na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Kada smo proučavali korijene, rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, onda negativan broj može biti pod znakom korijena. Takvim notacijama dali smo sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparni eksponent korijena 2 n−1, imamo . Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izdvojili korijen negativnog broja, potrebno je izvući korijen suprotnog pozitivnog broja i staviti znak minus ispred rezultata.

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite vrijednost korijena.

Odluka.

Transformirajmo originalni izraz tako da se ispod predznaka korijena pojavi pozitivan broj: . Sad mješoviti broj zamijeniti običnim razlomkom: . Primjenjujemo pravilo vađenja korijena iz običnog razlomka: . Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka: .

Evo rezimea rješenja: .

odgovor:

.

Pobitno pronalaženje korijenske vrijednosti

U opštem slučaju, ispod korena se nalazi broj koji, korišćenjem tehnika o kojima je bilo reči gore, ne može biti predstavljen kao n-ti stepen bilo kog broja. Ali u isto vrijeme, postoji potreba da se zna vrijednost datog korijena, barem do određenog znaka. U ovom slučaju, da biste izdvojili korijen, možete koristiti algoritam koji vam omogućava da dosljedno dobijete dovoljan broj vrijednosti ​​cifara željenog broja.

Prvi korak ovog algoritma je da se otkrije koji je najznačajniji bit vrijednosti korijena. Da bi se to uradilo, brojevi 0, 10, 100, ... se sukcesivno podižu na stepen n dok se ne dobije broj koji premašuje osnovni broj. Tada će broj koji smo podigli na stepen n u prethodnom koraku ukazivati ​​na odgovarajući visoki red.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma kada izvlačite kvadratni korijen od pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i kvadriramo ih dok ne dobijemo broj veći od 5. Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, što znači da će najznačajnija znamenka biti cifra jedinice. Vrijednost ovog bita, kao i nižih, naći će se u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma imaju za cilj uzastopno preciziranje vrijednosti korijena zbog činjenice da se pronađu vrijednosti sljedećih cifara željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se prema najnižoj . Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku je 2, u drugom - 2,2, u trećem - 2,23, i tako dalje 2,236067977 ... . Hajde da opišemo kako se pronalaze vrijednosti bitova.

Pronalaženje bitova se vrši nabrajanjem njihovih mogućih vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9 . U ovom slučaju, n-te potencije odgovarajućih brojeva se računaju paralelno i uspoređuju se s korijenskim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premašuje radikalni broj, tada se smatra pronađenom vrijednost cifre koja odgovara prethodnoj vrijednosti i vrši se prijelaz na sljedeći korak algoritma za ekstrakciju korijena, ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove cifre 9 .

Objasnimo sve ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena od pet.

Prvo pronađite vrijednost cifre jedinice. Iterirati ćemo vrijednosti 0, 1, 2, …, 9, računajući redom 0 2 , 1 2 , …, 9 2 dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5 . Svi ovi proračuni su prikladno predstavljeni u obliku tabele:

Dakle, vrijednost cifre jedinice je 2 (jer je 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Pređimo na pronalaženje vrijednosti desetog mjesta. U ovom slučaju ćemo kvadrirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, upoređujući dobivene vrijednosti s korijenskim brojem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada je vrijednost desetog mjesta 2. Možete nastaviti do traženja vrijednosti stotinke:

Dakle, pronađena je sljedeća vrijednost korijena od pet, jednaka je 2,23. I tako možete nastaviti dalje tražiti vrijednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotih dionica koristeći razmatrani algoritam.

Prvo definiramo staru cifru. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100, itd. dok ne dobijemo broj veći od 2,151,186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tako da je najznačajnija znamenka desetica.

Hajde da definišemo njegovu vrednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186, tada je vrijednost cifre desetice 1. Pređimo na jedinice.

Dakle, vrijednost mjesta jedinica je 2. Idemo na deset.

Pošto je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186 , vrijednost desetog mjesta je 9 . Ostaje izvršiti posljednji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena sa potrebnom tačnošću.

U ovoj fazi, vrijednost korijena se nalazi do stotih dijelova: .

U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoji mnogo drugih načina za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo gore proučili.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).