Primjeri za inverzne trigonometrijske funkcije. Izražavamo u terminima svih inverznih trigonometrijskih funkcija

Obrnuto trigonometrijske funkcije imati široka primena in matematička analiza. Međutim, većini srednjoškolaca zadaci povezani sa ovom vrstom funkcije izazivaju značajne poteškoće. To je uglavnom zbog činjenice da u mnogim udžbenicima i nastavna sredstva premalo pažnje je posvećeno problemima ove vrste. A ako se učenici nekako nose sa zadacima izračunavanja vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija, onda jednadžbe i nejednačine koje sadrže takve funkcije, uglavnom, zbunjuju djecu. Zapravo, to i nije iznenađujuće, jer praktično nijedan udžbenik ne objašnjava način rješavanja čak i najjednostavnijih jednadžbi i nejednačina koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije.

Razmotrite nekoliko jednadžbi i nejednačina koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije i riješite ih s detaljnim objašnjenjem.

Primjer 1

Riješite jednačinu: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Odluka.

Izrazimo inverznu trigonometrijsku funkciju iz jednačine, dobijamo:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Sada upotrijebimo definiciju arkosinusa.

Lučni kosinus određenog broja a koji pripada segmentu od -1 do 1 je takav ugao y od segmenta od 0 do π da je njegov kosinus jednak broju x. Stoga se može napisati ovako:

2x + 3 = cos 5π/6.

Zapisujemo desnu stranu rezultirajuće jednadžbe prema formuli redukcije:

2x + 3 = cos(π - π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Dovedemo desnu stranu na zajednički imenilac.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

odgovor: -(6 + √3) / 4 .

Primjer 2

Riješite jednačinu: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.

Odluka.

Pošto je cos (arccos x) = x pri čemu x pripada [-1; 1], onda je ova jednačina ekvivalentna sistemu:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Rešimo jednačinu koja je uključena u sistem.

4x - 9 = x 2 - 5x + 5.

Kvadrat je, pa to dobijamo

x 2 - 9x + 14 \u003d 0;

D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 - 5) / 2 = 2.

Hajde da riješimo dvostruku nejednakost uključenu u sistem.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Dodajte 9 svim dijelovima, imaćemo:

8 ≤ 4x ≤ 10. Podijelimo svaki broj sa 4, dobićemo:

2 ≤ x ≤ 2.5.

Hajde sada da kombinujemo odgovore. Lako je vidjeti da korijen x = 7 ne zadovoljava odgovor nejednakosti. Stoga će jedino rješenje jednadžbe biti x = 2.

Odgovor: 2.

Primjer 3

Riješite jednačinu: tg (arctg (0,5 - x)) = x 2 - 4x + 2,5.

Odluka.

Pošto je tg (arctg x) = x za sve realne brojeve, ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi:

0,5 - x \u003d x 2 - 4x + 2,5.

Rešimo primljeno kvadratna jednačina koristeći diskriminant, prethodno ga dovodeći u standardni oblik.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 - 1) / 2 = 1.

Odgovor: 1; 2.

Primjer 4

Riješite jednačinu: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Odluka.

Pošto arcctg f(x) = arcctg g(x) ako i samo ako je f(x) = g(x), onda

2x - 1 \u003d x 2 / 2 + x / 2. Rešimo rezultujuću kvadratnu jednačinu:

4x - 2 \u003d x 2 + x;

x 2 - 3x + 2 = 0.

Prema Vietinoj teoremi, dobijamo to

x=1 ili x=2.

Odgovor: 1; 2.

Primjer 5

Riješite jednačinu: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).

Odluka.

Pošto je jednadžba oblika arcsin f(x) = arcsin g(x) ekvivalentna sistemu

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

onda je originalna jednadžba ekvivalentna sistemu:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Rešimo rezultujući sistem:

(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Iz prve jednačine, prema Vietinoj teoremi, imamo da je x = 1 ili x = 7. Rješavajući drugu nejednakost sistema, dobijamo da je 7 ≤ x ≤ 8. Dakle, samo je korijen x = 7 pogodan u konačan odgovor.

Odgovor: 7.

Primjer 6

Riješite jednačinu: (arccos x) 2 - 6 arccos x + 8 = 0.

Odluka.

Neka arccos x = t, tada t pripada segmentu i jednačina postaje:

t 2 - 6t + 8 = 0. Rezultirajuću kvadratnu jednačinu rješavamo pomoću Vietine teoreme, dobijamo da je t = 2 ili t = 4.

Kako t = 4 ne pripada segmentu, dobijamo da je t = 2, tj. arccos x = 2, što znači x = cos 2.

Odgovor: cos 2.

Primjer 7

Riješite jednačinu: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Odluka.

Koristimo jednakost arcsin x + arccos x = π/2 i zapisujemo jednačinu kao

(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Neka je arcsin x = t, tada t pripada intervalu [-π/2; π/2] i jednačina postaje:

t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.

Riješimo rezultirajuću jednačinu:

t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. Pomnožite svaki član sa 9 da se riješite razlomaka u jednadžbi, dobićemo:

18t 2 - 9πt + π 2 \u003d 0.

Pronađite diskriminanta i riješite rezultirajuću jednačinu:

D \u003d (-9π) 2 - 4 18 π 2 = 9π 2.

t = (9π - 3π) / 2 18 ili t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 ili t = 12π/36.

Nakon smanjenja imamo:

t = π/6 ili t = π/3. Onda

arcsin x = π/6 ili arcsin x = π/3.

Dakle, x = sin π/6 ili x = sin π/3. To jest, x = 1/2 ili x = √3/2.

Odgovor: 1/2; √3/2.

Primjer 8

Pronađite vrijednost izraza 5nx 0, gdje je n broj korijena, a x 0 negativni korijen jednačine 2 arcsin x = - π - (x + 1) 2.

Odluka.

Kako je -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, onda je -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Štaviše, (x + 1) 2 ≥ 0 za sve realne x,
tada -(x + 1) 2 ≤ 0 i -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Dakle, jednačina može imati rješenje ako su joj oba dijela istovremeno jednaka –π, tj. jednadžba je ekvivalentna sistemu:

(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.

Rešimo rezultujući sistem jednačina:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Iz druge jednadžbe imamo da je x = -1, respektivno, n = 1, zatim 5nx 0 = 5 1 (-1) = -5.

Odgovor: -5.

Kao što praksa pokazuje, sposobnost rješavanja jednadžbi s inverznim trigonometrijskim funkcijama je neophodno stanje uspješna isporuka ispiti. Zato je obuka u rješavanju ovakvih problema jednostavno neophodna i obavezna u pripremi za ispit.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Inverzne trigonometrijske funkcije su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

Funkcija y=arcsin(x)

Arksinus broja α je takav broj α iz intervala [-π/2; π/2], čiji je sinus jednak α.
Funkcijski grafikon
Funkcija y \u003d sin⁡ (x) na intervalu [-π / 2; π / 2], strogo je rastuća i kontinuirana; stoga ima inverzna funkcija, striktno raste i kontinuirano.
Inverzna funkcija za funkciju y= sin⁡(x), gdje je x ∈[-π/2;π/2], naziva se arksinus i označava se y=arcsin(x), gdje je x∈[-1;1 ].
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije arksinusa je segment [-1; 1], a skup vrijednosti je segment [-π/2; π/2].
Imajte na umu da je graf funkcije y=arcsin(x), gdje je x ∈[-1;1]. simetričan grafu funkcije y= sin(⁡x), gdje je x∈[-π/2;π /2], u odnosu na simetralu koordinatni uglovi prvog i trećeg kvartala.

Opseg funkcije y=arcsin(x).

Primjer broj 1.

Naći arcsin(1/2)?

Pošto opseg funkcije arcsin(x) pripada intervalu [-π/2;π/2], prikladna je samo vrijednost π/6. Dakle, arcsin(1/2) = π/6.
Odgovor: π/6

Primjer #2.
Naći arcsin(-(√3)/2)?

Pošto je opseg arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], prikladna je samo vrijednost -π/3. Dakle, arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funkcija y=arccos(x)

Arkosinus broja α je broj α iz intervala čiji je kosinus jednak α.

Funkcijski grafikon

Funkcija y= cos(⁡x) na intervalu je striktno opadajuća i kontinuirana; stoga ima inverznu funkciju koja je striktno opadajuća i kontinuirana.
Poziva se inverzna funkcija za funkciju y= cos⁡x, gdje je x ∈ arc kosinus i označeno je y=arccos(x), gdje je x ∈[-1;1].
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije arkosinusa je segment [-1; 1], a skup vrijednosti je segment.
Imajte na umu da je grafik funkcije y=arccos(x), gdje je x ∈[-1;1] simetričan grafu funkcije y= cos(⁡x), gdje je x ∈, u odnosu na simetralu koordinatni uglovi prve i treće četvrtine.

Opseg funkcije y=arccos(x).

Primjer #3.

Naći arccos(1/2)?

Pošto je raspon arccos(x) x∈, prikladna je samo vrijednost π/3. Dakle, arccos(1/2) =π/3.
Primjer broj 4.
Naći arccos(-(√2)/2)?

Pošto opseg funkcije arccos(x) pripada intervalu , onda je prikladna samo vrijednost 3π/4. Dakle, arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Odgovor: 3π/4

Funkcija y=arctg(x)

Tangens luka broja α je takav broj α iz intervala [-π/2; π/2], čiji je tangent jednak α.

Funkcijski grafikon

Tangentna funkcija je kontinuirana i striktno rastuća na intervalu (-π/2; π/2); stoga ima inverznu funkciju koja je kontinuirana i striktno rastuća.
Inverzna funkcija za funkciju y= tg⁡(x), gdje je x∈(-π/2;π/2); naziva se arktangent i označava y=arctg(x), gdje je x∈R.
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije arktangensa je interval (-∞; +∞), a skup vrijednosti je interval
(-π/2;π/2).
Imajte na umu da je graf funkcije y=arctg(x), gdje je x∈R, simetričan grafu funkcije y=tg⁡x, gdje je x ∈ (-π/2;π/2), s obzirom na simetrala koordinatnih uglova prve i treće četvrtine.

Opseg funkcije y=arctg(x).

Primjer #5?

Pronađite arctg((√3)/3).

Pošto je raspon arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), prikladna je samo vrijednost π/6. Dakle, arctg((√3)/3) =π/6.
Primjer broj 6.
Naći arctg(-1)?

Budući da je raspon arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), prikladna je samo vrijednost -π/4. Dakle, arctg(-1) = - π/4.

Funkcija y=arctg(x)

Tangens luka broja α je takav broj α iz intervala (0; π) čiji je kotangens jednak α.

Funkcijski grafikon

Na intervalu (0;π) kotangens funkcija striktno opada; štaviše, kontinuirano je u svakoj tački ovog intervala; dakle, na intervalu (0;π), ova funkcija ima inverznu funkciju koja je striktno opadajuća i kontinuirana.
Inverzna funkcija za funkciju y=ctg(x), gdje je x ∈(0;π), naziva se kotangens luka i označava se y=arcctg(x), gdje je x∈R.
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije inverzne tangente će biti R vrijednosti – interval (0; π).Graf funkcije y=arcctg(x), gdje je x∈R simetričan grafu funkcije y=ctg(x) x∈(0; π), sa u odnosu na simetralu koordinatnih uglova prve i treće četvrtine.

Opseg funkcije y=arcctg(x).

Primjer broj 7.
Naći arcctg((√3)/3)?

Budući da je opseg arcctg(x) x ∈(0;π), prikladna je samo vrijednost π/3. Dakle, arccos((√3)/3) =π/3.

Primjer broj 8.
Naći arcctg(-(√3)/3)?

Pošto je opseg arcctg(x) x∈(0;π), prikladna je samo vrijednost 2π/3. Dakle, arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Urednici: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Lekcije 32-33. Inverzne trigonometrijske funkcije

09.07.2015 5917 0

Cilj: razmotriti inverzne trigonometrijske funkcije, njihovu upotrebu za pisanje rješenja trigonometrijskih jednadžbi.

I. Komunikacija teme i ciljeva lekcije

II. Učenje novog gradiva

1. Inverzne trigonometrijske funkcije

Započnimo ovu temu sljedećim primjerom.

Primjer 1

Rešimo jednačinu: a) sin x = 1/2; b) sin x \u003d a.

a) Na osi ordinata odvojite vrijednost 1/2 i nacrtajte uglove x 1 i x2, za koje sin x = 1/2. U ovom slučaju, x1 + x2 = π, odakle je x2 = π – x 1 . Prema tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija, tada nalazimo vrijednost x1 = π/6Uzimamo u obzir periodičnost sinusne funkcije i zapisujemo rješenja ove jednadžbe:gdje je k ∈ Z .

b) Očigledno je da je algoritam za rješavanje jednačine grijeh x = a je isto kao u prethodnom paragrafu. Naravno, sada je vrijednost a iscrtana duž y-ose. Postoji potreba da se nekako odredi ugao x1. Dogovorili smo se da takav ugao označimo simbolom arc sin a. Tada se rješenja ove jednadžbe mogu zapisati kaoOve dvije formule mogu se kombinirati u jednu: pri čemu

Slično se uvode i druge inverzne trigonometrijske funkcije.

Vrlo često je potrebno odrediti vrijednost ugla po poznata vrijednost njegova trigonometrijska funkcija. Takav problem je višeznačan - postoji beskonačan broj uglova čije su trigonometrijske funkcije jednake istoj vrijednosti. Stoga, na osnovu monotonosti trigonometrijskih funkcija, uvode se sljedeće inverzne trigonometrijske funkcije za jednoznačno određivanje uglova.

Arksinus a (arcsin , čiji je sinus jednak a, tj.

Arc kosinus broja a(arccos a) - takav ugao a iz intervala, čiji je kosinus jednak a, tj.

Arc tangent broja a(arctg a) - takav ugao a iz intervalačija je tangenta a, tj.tg a = a.

Arc tangent broja a(arctg a) - takav ugao a iz intervala (0; π), čiji je kotangens jednak a, tj. ctg a = a.

Primjer 2

Hajde da pronađemo:

S obzirom na definicije inverznih trigonometrijskih funkcija, dobijamo:

Primjer 3

Izračunaj

Neka je ugao a = arcsin 3/5, onda po definiciji sin a = 3/5 i . Stoga, moramo pronaći cos a. Korištenje glavnog trigonometrijski identitet, dobijamo:Uzima se u obzir da je cos a ≥ 0. Dakle,

Svojstva funkcije	Funkcija
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domain	x ∈ [-1; jedan]	x ∈ [-1; jedan]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Raspon vrijednosti	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Paritet	odd	Ni par ni neparan	odd	Ni par ni neparan
Nule funkcije (y = 0)	Kada je x = 0	Za x = 1	Kada je x = 0	y ≠ 0
Intervali konstantnosti	y > 0 za x ∈ (0; 1], at< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 za x ∈ [-1; jedan)	y > 0 za x ∈ (0; +∞), at< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 za x ∈ (-∞; +∞)
Monotona	Povećanje	Smanjuje	Povećanje	Smanjuje
Veza sa trigonometrijskom funkcijom	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Raspored

Navedimo nekoliko tipičnih primjera vezanih za definicije i osnovna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.

Primjer 4

Pronađite domenu funkcije

Da bi funkcija y bila definirana, potrebno je da nejednakostšto je ekvivalentno sistemu nejednakostiRješenje prve nejednakosti je interval x∈ (-∞; +∞), drugi - Ovaj jaz i rješenje je sistema nejednačina, a time i domena funkcije

Primjer 5

Pronađite područje promjene funkcije

Razmotrite ponašanje funkcije z \u003d 2x - x2 (vidi sliku).

Može se vidjeti da je z ∈ (-∞; 1]. S obzirom da je argument z funkcija inverzne tangente varira u zadatim granicama, iz podataka u tabeli to dobijamoDakle, područje promjene

Primjer 6

Dokažimo da je funkcija y = arctg x odd. Neka budeZatim tg a \u003d -x ili x \u003d - tg a \u003d tg (- a), i Dakle, - a = arctg x ili a = - arctg X. Dakle, vidimo totj. y(x) je neparna funkcija.

Primjer 7

Izražavamo u terminima svih inverznih trigonometrijskih funkcija

Neka bude Očigledno je da Od tada

Hajde da uvedemo ugao As onda

Slično, dakle i

dakle,

Primjer 8

Napravimo graf funkcije y \u003d cos (arcsin x).

Zatim označite \u003d arcsin x Uzimamo u obzir da je x = sin a i y = cos a, tj. x 2 + y2 = 1, i ograničenja na x (x∈ [-jedan; 1]) i y (y ≥ 0). Tada je graf funkcije y = cos(arcsin x) je polukrug.

Primjer 9

Napravimo graf funkcije y \u003d arccos(cosx).

Budući da je funkcija cos x promjene na segmentu [-1; 1], tada je funkcija y definirana na cijeloj realnoj osi i mijenja se na intervalu . Imat ćemo na umu da je y = arccos (cosx) \u003d x na segmentu; funkcija y je parna i periodična sa periodom od 2π. S obzirom da funkcija ima ova svojstva cos x , Sada je lako zacrtati.

Napominjemo neke korisne jednakosti:

Primjer 10

Pronađite najmanji i najveća vrijednost funkcije Označiti onda Uzmi funkciju Ova funkcija ima minimum u tački z = π/4, a jednako je Maksimalna vrijednost funkcije je dostignuta u tački z = -π/2, i jednako je Dakle, i

Primjer 11

Hajde da riješimo jednačinu

Mi to uzimamo u obzir Tada jednačina izgleda ovako:ili gdje Po definiciji tangente luka dobijamo:

2. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi

Slično kao u primjeru 1, možete dobiti rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Jednačina	Odluka
tgx = a
ctg x = a

Primjer 12

Hajde da riješimo jednačinu

Kako je sinusna funkcija neparna, zapisujemo jednačinu u oblikuRješenja ove jednačine:gde da nađemo

Primjer 13

Hajde da riješimo jednačinu

Prema gornjoj formuli zapisujemo rješenja jednadžbe:i nađi

Imajte na umu da u posebnim slučajevima (a = 0; ±1) prilikom rješavanja jednačina sin x = a i cos x = a je lakše i praktičnije koristiti ne opšte formule, i napiši rješenja na osnovu jediničnog kruga:

za rješenje jednačine sin x = 1

za jednadžbu sin x \u003d 0 rješenja x \u003d π k;

za rješenje jednačine sin x = -1

za jednačinu cos x = 1 rješenja x = 2π k;

za rješenje jednačine cos x = 0

za rješenje jednačine cos x = -1

Primjer 14

Hajde da riješimo jednačinu

Pošto u ovom primjeru postoji poseban slučaj jednadžbi, onda prema odgovarajućoj formuli zapisujemo rješenje:gde da nađemo

III. test pitanja(prednja anketa)

1. Definirajte i navedite glavna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.

2. Dajte grafove inverznih trigonometrijskih funkcija.

3. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

IV. Zadatak u nastavi

§ 15, broj 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, broj 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, broj 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Domaća zadaća

§ 15, broj 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, broj 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17, broj 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreativni zadaci

1. Pronađite opseg funkcije:

odgovori:

2. Pronađite opseg funkcije:

odgovori:

3. Grafikujte funkciju:

VII. Sumiranje lekcija

Date su definicije inverznih trigonometrijskih funkcija i njihovi grafovi. Kao i formule koje se odnose na inverzne trigonometrijske funkcije, formule za sume i razlike.

Definicija inverznih trigonometrijskih funkcija

Budući da su trigonometrijske funkcije periodične, funkcije inverzne njima nisu jednovrijedne. Dakle, jednadžba y = sin x, za dano , ima beskonačno mnogo korijena. Zaista, zbog periodičnosti sinusa, ako je x takav korijen, onda x + 2n(gdje je n cijeli broj) će također biti korijen jednačine. dakle, inverzne trigonometrijske funkcije su viševrijedne. Da bismo olakšali rad s njima, uvodi se koncept njihovih glavnih vrijednosti. Uzmimo, na primjer, sinus: y = sin x. Ako ograničimo argument x na interval , tada je na njemu funkcija y = sin x monotono raste. Zbog toga ima jednoznačnu inverznu funkciju, koja se naziva arksinus: x = arcsin y.

Osim ako nije drugačije navedeno, inverzne trigonometrijske funkcije znače njihove glavne vrijednosti, koje su definirane sljedećim definicijama.

arcsinus ( y= arcsin x) je inverzna funkcija sinusa ( x= siny

Arc kosinus ( y= arccos x) je inverzna funkcija kosinusa ( x= cos y) koji ima domenu definicije i skup vrijednosti.

arktangent ( y= arctg x) je inverzna funkcija tangente ( x= tg y) koji ima domenu definicije i skup vrijednosti.

Arc tangenta ( y= arcctg x) je inverzna funkcija kotangensa ( x= ctg y) koji ima domenu definicije i skup vrijednosti.

Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija

Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija dobivaju se iz grafova trigonometrijskih funkcija odraz ogledala u odnosu na pravu liniju y = x . Vidi odjeljke Sinus, kosinus, Tangent, kotangens.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Osnovne formule

Ovdje posebnu pažnju treba obratiti na intervale za koje vrijede formule.

arcsin(sin x) = x at
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x at
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x at
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x at
ctg(arctg x) = x

Formule koje se odnose na inverzne trigonometrijske funkcije

Formule zbira i razlike

na ili

at and

at and

na ili

at and

at and

at

at

at

at