C 1 definição e propriedades das funções trigonométricas. Funções trigonométricas
Definições
As definições de funções trigonométricas são dadas com a ajuda de um círculo trigonométrico, que é entendido como um círculo de raio unitário centrado na origem.
Considere dois raios desse círculo: fixo (onde é o ponto) e móvel (onde é o ponto). Deixe o raio móvel formar um ângulo com o fixo.
O número igual à ordenada da extremidade do raio unitário que forma um ângulo com um raio fixo é chamado seno do ângulo : .
O número igual à abcissa da extremidade do raio unitário que forma um ângulo com um raio fixo é chamado cosseno do ângulo : .
Assim, o ponto que é a extremidade do raio móvel que forma o canto tem coordenadas.
Tangente de um ânguloé a razão entre o seno desse ângulo e seu cosseno: , .
cotangente de um ânguloé a razão entre o cosseno desse ângulo e seu seno: , .
sentido geométrico funções trigonométricas
O significado geométrico do seno e cosseno em um círculo trigonométrico é claro a partir da definição: esta é a abcissa e as ordenadas do ponto de interseção do raio móvel, que faz um ângulo com o raio fixo e o círculo trigonométrico. Ou seja, .
Considere agora o significado geométrico de tangente e cotangente. Triângulos são semelhantes em três ângulos (,), então a relação é válida. Por outro lado, em, portanto.
Também semelhante em três cantos (,), então a relação se mantém. Por outro lado, em, portanto.
Tendo em conta o significado geométrico de tangente e cotangente, introduz-se o conceito de eixo das tangentes e eixo das cotangentes.
Eixos de tangentes são chamados de eixos, um dos quais toca o círculo trigonométrico em um ponto e é direcionado para cima, o segundo toca o círculo em um ponto e é direcionado para baixo.
Eixos cotangentes são chamados de eixos, um dos quais toca o círculo trigonométrico em um ponto e é direcionado para a direita, o segundo toca o círculo em um ponto e é direcionado para a esquerda.
Propriedades das funções trigonométricas
Vamos considerar algumas propriedades básicas das funções trigonométricas. Outras propriedades serão discutidas na seção sobre gráficos de funções trigonométricas.
Escopo e intervalo de valores
Como mencionado anteriormente, seno e cosseno existem para quaisquer ângulos, ou seja, o domínio de definição dessas funções é o conjunto dos números reais. Por definição, a tangente não existe para ângulos, mas a cotangente para ângulos, .
Como seno e cosseno são a ordenada e a abcissa de um ponto em um círculo trigonométrico, seus valores estão entre eles. A área de valor da tangente e da cotangente é o conjunto dos números reais (é fácil ver isso olhando os eixos das tangentes e cotangentes).
Par ou ímpar
Considere as funções trigonométricas de dois ângulos (que corresponde ao raio móvel) e (que corresponde ao raio móvel). Desde então, o ponto tem coordenadas. Portanto, ou seja seno - função ímpar; , ou seja cosseno é uma função par; , ou seja a tangente é ímpar; , ou seja a cotangente também é ímpar.
Intervalos de constância
Os sinais das funções trigonométricas para vários quartos de coordenadas seguem a definição dessas funções. Deve-se notar que, como tangente e cotangente são razões de seno e cosseno, elas são positivas quando o seno e o cosseno de um ângulo têm o mesmo sinal e negativos quando são diferentes.
Periodicidade
A periodicidade do seno e do cosseno é baseada no fato de que ângulos que diferem por um número inteiro de revoluções completas correspondem ao mesmo posição relativa vigas móveis e fixas. Assim, as coordenadas do ponto de interseção do feixe móvel e do círculo trigonométrico serão as mesmas para ângulos que diferem por um número inteiro de revoluções completas. Então, o período de seno e cosseno é e onde.
Obviamente, esse também é o período para a tangente e a cotangente. Mas existe um período menor para essas funções? Provamos que o menor período para a tangente e cotangente é.
Considere dois ângulos e. Op sentido geométrico tangente e cotangente, . Os triângulos são iguais ao longo do lado e os ângulos adjacentes a ele e, portanto, seus lados também são iguais, o que significa e. Da mesma forma, pode-se provar onde. Assim, o período de tangente e cotangente é.
Funções trigonométricas de ângulos básicos
Fórmulas de trigonometria
Para resolver problemas trigonométricos com sucesso, é necessário conhecer inúmeras fórmulas trigonométricas. No entanto, não há necessidade de memorizar todas as fórmulas. Você precisa saber de cor apenas as mais básicas e precisa ser capaz de deduzir o restante das fórmulas, se necessário.
Identidade trigonométrica básica e suas consequências
Todas as funções trigonométricas de um ângulo arbitrário estão interconectadas, ou seja, conhecendo uma função, você sempre pode encontrar o resto. Esta conexão é dada pelas fórmulas consideradas nesta seção.
Teorema 1 (Identidade trigonométrica básica). Para qualquer um, a identidade
A prova consiste em aplicar o teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa.
Um teorema mais geral também é verdadeiro.
Teorema 2. Para que dois números sejam tomados como cosseno e seno do mesmo ângulo real, é necessário e suficiente que a soma de seus quadrados seja igual a um:
Considere as consequências da identidade trigonométrica principal.
Vamos expressar seno em termos de cosseno e cosseno em termos de seno:
Nestas fórmulas, o sinal de mais ou menos na frente da raiz é escolhido dependendo do quarto em que o ângulo se encontra.
Substituindo as fórmulas obtidas acima nas fórmulas que determinam a tangente e a cotangente, obtemos:
Dividindo o termo de identidade trigonométrica básica por termo por ou obtemos, respectivamente:
Essas proporções podem ser reescritas como:
As fórmulas a seguir fornecem a relação entre tangente e cotangente. Desde quando e quando, então a igualdade ocorre:
Fórmulas de elenco
Com a ajuda de fórmulas de redução, pode-se expressar os valores das funções trigonométricas de ângulos arbitrários em termos dos valores das funções de um ângulo agudo. Todas as fórmulas de redução podem ser generalizadas usando a seguinte regra.
Qualquer função trigonométrica de um ângulo, de acordo com valor absolutoé igual à mesma função do ângulo se o número for par, e a co-função do ângulo se o número for ímpar. Além disso, se a função do ângulo é positiva, quando é um ângulo agudo positivo, então os sinais de ambas as funções são os mesmos, se negativos, então são diferentes.
Fórmulas para soma e diferença de ângulos
Teorema 3 . Para qualquer real e as seguintes fórmulas são verdadeiras:
A prova das fórmulas restantes é baseada nas fórmulas de redução e par/ímpar para funções trigonométricas.
Q.E.D.
Teorema 4. Para qualquer real e tal que
1. , as seguintes fórmulas são válidas
2. , as seguintes fórmulas são válidas
Prova. Por definição de tangente
A última transformação é obtida dividindo-se o numerador e o denominador dessa fração.
Da mesma forma para a cotangente (o numerador e o denominador neste caso são divididos por):
Q.E.D.
Deve-se atentar para o fato de que as partes direita e esquerda das últimas igualdades Áreas diferentes valores permitidos. Portanto, o uso dessas fórmulas sem restrições sobre os possíveis valores dos ângulos pode levar a resultados incorretos.
Fórmulas de ângulo duplo e meio
Fórmulas ângulo duplo nos permitem expressar as funções trigonométricas de um ângulo arbitrário em termos de funções de um ângulo metade do original. Essas fórmulas são consequências das fórmulas para a soma de dois ângulos, se colocarmos os ângulos nelas iguais entre si.
A última fórmula pode ser transformada usando a identidade trigonométrica básica:
Assim, para o cosseno de um ângulo duplo, existem três fórmulas:
Deve-se notar que fórmula dada válido apenas quando
A última fórmula é válida para, .
Da mesma forma que as funções de ângulo duplo, as funções de ângulo triplo podem ser obtidas. Aqui estas fórmulas são dadas sem prova:
As fórmulas de meio ângulo são consequências das fórmulas de ângulo duplo e permitem expressar as funções trigonométricas de um certo ângulo em termos de funções de um ângulo duas vezes o original.
Dados de referência sobre funções trigonométricas seno (sen x) e cosseno (cos x). Definição geométrica, propriedades, gráficos, fórmulas. Tabela de senos e cossenos, derivadas, integrais, expansões em série, secante, cossecante. Expressões através de variáveis complexas. Conexão com funções hiperbólicas.
Definição geométrica de seno e cosseno
|BD|- o comprimento do arco de um círculo centrado em um ponto UMA.
α
é um ângulo expresso em radianos.
Definição
Seioé uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão o comprimento da perna oposta |BC| ao comprimento da hipotenusa |AC|.
Cosseno (cos α)é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão do comprimento do cateto adjacente |AB| ao comprimento da hipotenusa |AC|.
Designações aceitas
;
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.
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;
.
Gráfico da função seno, y = sen x
Gráfico da função cosseno, y = cos x
Propriedades do seno e cosseno
Periodicidade
Funções y= pecado x e y= cos x periódica com um período 2 pi.
Paridade
A função seno é ímpar. A função cosseno é par.
Domínio de definição e valores, extremos, aumento, diminuição
As funções seno e cosseno são contínuas em seu domínio de definição, ou seja, para todo x (veja a prova de continuidade). Suas principais propriedades são apresentadas na tabela (n - inteiro).
| y= pecado x | y= cos x | |
| Escopo e continuidade | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Faixa de valores | -1 ≤ e ≤ 1 | -1 ≤ e ≤ 1 |
| Ascendente | ||
| descendente | ||
| Máximos, y= 1 | ||
| Mínimo, y = - 1 | ||
| Zeros, y = 0 | ||
| Pontos de interseção com o eixo y, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Fórmulas básicas
Soma de seno e cosseno ao quadrado
Fórmulas de seno e cosseno para soma e diferença
;
;
Fórmulas para o produto de senos e cossenos
Fórmulas de soma e diferença
Expressão do seno através do cosseno
;
;
;
.
Expressão do cosseno pelo seno
;
;
;
.
Expressão em termos de tangente
; .
Para , temos:
;
.
No :
;
.
Tabela de senos e cossenos, tangentes e cotangentes
Esta tabela mostra os valores de senos e cossenos para alguns valores do argumento. 
Expressões através de variáveis complexas
;
Fórmula de Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Secante, cossecante
Funções inversas
Funções inversas para seno e cosseno são o arcseno e o arcoseno, respectivamente.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arcos
Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
As razões entre as principais funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são dadas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso também explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam as funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - as funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem diminuir o grau, o quarto - para expressar todas as funções pela tangente de um meio ângulo, etc.
Neste artigo, listaremos em ordem todos os principais fórmulas trigonométricas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, vamos agrupá-los de acordo com sua finalidade e inseri-los em tabelas.
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Identidades trigonométricas básicas
Identidades trigonométricas básicas definir a relação entre o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem que você expresse uma função trigonométrica por meio de qualquer outra.
Para uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.
Fórmulas de elenco
Fórmulas de elenco seguem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria e a propriedade de deslocamento por determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.
A justificativa para essas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.
Fórmulas de adição
Fórmulas de adição trigonométricas Mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos das funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem como base para a derivação das seguintes fórmulas trigonométricas.
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (elas também são chamadas de fórmulas de múltiplos ângulos) mostram como as funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.
Informações mais detalhadas são coletadas nas fórmulas do artigo para duplo, triplo, etc. ângulo.
Fórmulas de meio ângulo
Fórmulas de meio ângulo Mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.
Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.
Fórmulas de redução
Fórmulas trigonométricas para graus decrescentes são projetados para facilitar a transição de potências naturais de funções trigonométricas para senos e cossenos no primeiro grau, mas vários ângulos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas à primeira.
Fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricas
O propósito principal fórmulas de soma e diferença para funções trigonométricas consiste na transição para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são amplamente utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.
Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno
A transição do produto de funções trigonométricas para a soma ou diferença é realizada através das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.
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USAR para 4? Você não está explodindo de felicidade?
A questão, como dizem, é interessante... Pode, pode passar 4! E, ao mesmo tempo, não estoure... A principal condição é praticar regularmente. Aqui está a preparação básica para o exame de matemática. Com todos os segredos e mistérios do Exame Estadual Unificado, sobre os quais você não lerá nos livros didáticos ... Estude esta seção, resolva mais tarefas de várias fontes- e tudo vai dar certo! Supõe-se que a seção básica "Basta para você e três!" não causa nenhum problema para você. Mas se de repente... Siga os links, não seja preguiçoso!
E começaremos com um grande e terrível tópico.
Trigonometria
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
Este tópico dá muitos problemas para os alunos. É considerado um dos mais graves. O que é seno e cosseno? O que é tangente e cotangente? O que é um círculo numérico? Vale a pena fazer essas perguntas inofensivas, pois uma pessoa empalidece e tenta desviar a conversa para o lado... Mas em vão. Esses são conceitos simples. E este tópico não é mais difícil do que outros. Você só precisa entender claramente as respostas para essas perguntas desde o início. É muito importante. Se você descobriu, você vai gostar de trigonometria. Então,
O que é seno e cosseno? O que é tangente e cotangente?
Vamos começar desde os tempos antigos. Não se preocupe, vamos passar por todos os 20 séculos de trigonometria em 15 minutos e, imperceptivelmente para nós mesmos, vamos repetir um pedaço de geometria do 8º ano.
Desenhe um triângulo retângulo com lados a, b, c e ângulo X. Aqui está um.
Deixe-me lembrá-lo que os lados que formam um ângulo reto são chamados de pernas. a e c- patins. Existem dois deles. O outro lado é chamado de hipotenusa. com- hipotenusa.
Triângulo e triângulo, pense nisso! O que fazer com ele? Mas os povos antigos sabiam o que fazer! Vamos repetir suas ações. Vamos medir o lado dentro. Na figura, as células são especialmente desenhadas, como na USE atribuições acontece. Lateral dentroé igual a quatro células. OK. Vamos medir o lado uma. Três células.
Agora vamos dividir o comprimento do lado uma por comprimento de lado dentro. Ou, como dizem, vamos tomar a atitude uma para dentro. a/c= 3/4.
Alternativamente, você pode compartilhar dentro no uma. Recebemos 4/3. lata dentro dividido por com. hipotenusa com não conta por células, mas é igual a 5. Obtemos a/c= 4/5. Em resumo, você pode dividir os comprimentos dos lados entre si e obter alguns números.
E daí? Qual é o significado desta atividade interessante? Até agora nenhum. Um trabalho estúpido, para ser honesto.)
E agora vamos fazer isso. Vamos ampliar o triângulo. Vamos estender os lados para e de, mas para que o triângulo permaneça em ângulo reto. Injeção X, é claro, não muda. Para vê-la, passe o mouse sobre a imagem ou toque nela (se você tiver um tablet). Partidos a, b e c transformar-se em m, n, k, e, é claro, os comprimentos dos lados mudarão.
Mas o relacionamento deles não é!
Atitude a/c Era: a/c= 3/4, tornou-se s/n= 6/8 = 3/4. As relações de outras partes relevantes também não mudará . Você pode alterar arbitrariamente os comprimentos dos lados em um triângulo retângulo, aumentar, diminuir, sem alterar o ângulo x – a relação das respectivas partes não mudará . Você pode verificar, ou você pode tomar a palavra dos povos antigos.
Agora isso é muito importante! As razões dos lados em um triângulo retângulo não dependem de forma alguma dos comprimentos dos lados (para o mesmo ângulo). Isso é tão importante que as relações das partes ganharam seus nomes especiais. Seus nomes, por assim dizer.) Conheça.
Qual é o seno do ângulo x ? Esta é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
sinx = a/c
Qual é o cosseno do ângulo x ? Esta é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
comosx= a/c
Qual é a tangente do ângulo x ? Esta é a razão entre a perna oposta e a adjacente:
tgx=a/c
Qual é a cotangente do ângulo x ? Esta é a proporção da perna adjacente para o oposto:
ctgx = em/a
Tudo é muito simples. Seno, cosseno, tangente e cotangente são alguns números. Adimensional. Apenas números. Para cada canto - o seu.
Por que eu me repito tão entediante? Então, o que é preciso lembrar. Ironicamente, lembre-se. A memorização pode ser facilitada. A frase "Vamos começar de longe ..." é familiar? Então comece de longe.
Seioângulo é a razão distante do ângulo do cateto até a hipotenusa. Cossenoé a razão entre o mais próximo da hipotenusa.
Tangenteângulo é a razão distante do ângulo do cateter para o mais próximo. Co-tangente- vice-versa.
Já mais fácil, certo?
Bem, se você se lembrar de que apenas as pernas ficam na tangente e na cotangente, e a hipotenusa aparece no seno e no cosseno, tudo se tornará bastante simples.
Toda esta família gloriosa - seno, cosseno, tangente e cotangente também é chamada funções trigonométricas.
E agora uma questão para reflexão.
Por que dizemos seno, cosseno, tangente e cotangente canto? Estamos falando da relação das partes, tipo... O que tem a ver com injeção?
Vejamos a segunda foto. Exatamente igual ao primeiro.
Passe o mouse sobre a imagem. mudei o ângulo X. ampliou de x para x. Todos os relacionamentos mudaram! Atitude a/c foi de 3/4, e a proporção correspondente lata tornou-se 6/4.
E todos os outros relacionamentos se tornaram diferentes!
Portanto, as razões dos lados não dependem de forma alguma de seus comprimentos (em um ângulo x), mas dependem nitidamente desse mesmo ângulo! E só dele. Portanto, os termos seno, cosseno, tangente e cotangente referem-se a canto. O canto aqui é o principal.
Deve ser ironicamente entendido que o ângulo está inextricavelmente ligado às suas funções trigonométricas. Cada ângulo tem seu próprio seno e cosseno. E quase todo mundo tem sua própria tangente e cotangente.É importante. Acredita-se que se nos for dado um ângulo, então seu seno, cosseno, tangente e cotangente nós sabemos ! E vice versa. Dado um seno, ou qualquer outra função trigonométrica, então conhecemos o ângulo.
Existem tabelas especiais onde para cada ângulo são escritas suas funções trigonométricas. As tabelas Bradys são chamadas. Eles são feitos há muito tempo. Quando não havia calculadoras ou computadores...
É claro que as funções trigonométricas de todos os ângulos não podem ser memorizadas. Você só precisa conhecê-los por alguns ângulos, mais sobre isso mais tarde. Mas o feitiço Conheço um ângulo, então conheço suas funções trigonométricas" - sempre funciona!
Então repetimos um pedaço de geometria da 8ª série. Precisamos dele para o exame? Necessário. Aqui está um problema típico do exame. Para a solução de que a 8ª série é suficiente. Imagem dada:
Tudo. Não há mais dados. Precisamos encontrar o comprimento da perna BC.
As células ajudam pouco, o triângulo está de alguma forma localizado incorretamente .... De propósito, eu acho ... Pela informação há o comprimento da hipotenusa. 8 células. Por alguma razão, um ângulo é dado.
Aqui devemos lembrar imediatamente sobre trigonometria. Existe um ângulo, então conhecemos todas as suas funções trigonométricas. Qual função das quatro deve ser colocada em ação? Vamos ver o que sabemos? Conhecemos a hipotenusa, o ângulo, mas precisamos encontrar adjacente para este cateto da esquina! Claramente, o cosseno precisa ser colocado em ação! Aqui estamos lançando. Acabamos de escrever, por definição de cosseno (razão adjacente perna para hipotenusa):
cosC = BC/8
O ângulo C é 60 graus e seu cosseno é 1/2. Você precisa saber disso, sem nenhuma tabela! Isso é:
1/2 = sol/8
elementar equação linear. Desconhecido - sol. Quem esqueceu de resolver equações, dá uma passadinha no link, o resto resolve:
sol = 4
Quando os povos antigos perceberam que cada ângulo tem seu próprio conjunto de funções trigonométricas, eles fizeram uma pergunta razoável. O seno, cosseno, tangente e cotangente não estão de alguma forma relacionados entre si? Então, conhecendo uma função do ângulo, você pode encontrar o resto? Sem calcular o ângulo em si?
Era assim que eles estavam inquietos...)
Conexão entre funções trigonométricas de um ângulo.
Claro, o seno, cosseno, tangente e cotangente do mesmo ângulo estão relacionados. Qualquer conexão entre expressões é dada em matemática por fórmulas. Na trigonometria, há um grande número de fórmulas. Mas aqui vamos olhar para os mais básicos. Essas fórmulas são chamadas: identidades trigonométricas básicas. Aqui estão eles:
Essas fórmulas precisam conhecer o ferro. Sem eles, não há nada a fazer em trigonometria. Mais três identidades auxiliares seguem a partir dessas identidades básicas:
Eu aviso imediatamente que as últimas três fórmulas caem rapidamente da memória. Por alguma razão.) Você pode, é claro, derivar essas fórmulas das três primeiras. Mas em momento difícil... Você entende.)
Em tarefas padrão, como as abaixo, há uma maneira de contornar essas fórmulas esquecíveis. E reduzir drasticamente os erros por esquecimento, e também nos cálculos. Esse técnica prática- na Seção 555, lição "Relação entre funções trigonométricas de um ângulo."
Em quais tarefas e como as identidades trigonométricas básicas são usadas? A tarefa mais popular é encontrar alguma função do ângulo, se outra for fornecida. No exame, essa tarefa está presente de ano para ano.) Por exemplo:
Encontre o valor de senx se x é um ângulo agudo e cosx = 0,8.
A tarefa é quase elementar. Estamos procurando uma fórmula onde há seno e cosseno. Aqui está essa fórmula:
sen 2 x + cos 2 x = 1
Substituímos aqui um valor conhecido, a saber, 0,8 em vez do cosseno:
sen 2 x + 0,8 2 = 1
Bem, consideramos, como de costume:
sen 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x \u003d 1 - 0,64
Aqui, quase tudo. Calculamos o quadrado do seno, resta extrair a raiz quadrada e a resposta está pronta! A raiz de 0,36 é 0,6.
A tarefa é quase elementar. Mas a palavra "quase" não é em vão aqui... O fato é que a resposta sinx = - 0,6 também é adequada... (-0,6) 2 também será 0,36.
Duas respostas diferentes são obtidas. E você precisa de um. A segunda está errada. Como ser!? Sim, como de costume.) Leia a tarefa com atenção. Por algum motivo diz... se x é um ângulo agudo... E nas tarefas, cada palavra tem um significado, sim... Esta frase é uma informação adicional para a solução.
Um ângulo agudo é um ângulo menor que 90°. E em tais ângulos tudo funções trigonométricas - seno e cosseno e tangente com cotangente - positivo. Aqueles. simplesmente descartamos a resposta negativa aqui. Nós temos o direito.
Na verdade, os alunos da oitava série não precisam de tais sutilezas. Eles só funcionam com triângulos retângulos, onde os cantos só podem ser agudos. E eles não sabem, felizes, que existem ângulos negativos e ângulos de 1000 ° ... E todos esses ângulos de pesadelo têm suas próprias funções trigonométricas com mais e menos ...
Mas para estudantes do ensino médio sem levar em conta o sinal - de jeito nenhum. Muitos saberes multiplicam tristezas, sim...) E para decisão certa a tarefa deve conter informações adicionais (se necessário). Por exemplo, pode ser dado como:
Ou alguma outra forma. Você verá nos exemplos abaixo.) Para resolver esses exemplos, você precisa saber em que quarto cai o ângulo x dado e que sinal tem a função trigonométrica desejada neste quarto.
Esses fundamentos da trigonometria são discutidos nas lições o que é um círculo trigonométrico, a contagem de ângulos neste círculo, a medida em radianos de um ângulo. Às vezes você também precisa conhecer a tabela de senos de cossenos de tangentes e cotangentes.
Então, vamos anotar o mais importante:
1. Lembre-se das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Muito útil.
2. Nós assimilamos claramente: seno, cosseno, tangente e cotangente estão firmemente conectados com ângulos. Sabemos uma coisa, então sabemos outra.
3. Nós assimilamos claramente: o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo estão interligados pelo principal identidades trigonométricas. Conhecemos uma função, o que significa que podemos (se tivermos as informações adicionais necessárias) calcular todas as outras.
E agora vamos decidir, como de costume. Primeiro, tarefas no volume da 8ª série. Mas os alunos do ensino médio também podem ...)
1. Calcule o valor de tgA se ctgA = 0,4.
2. β - ângulo em um triângulo retângulo. Encontre o valor de tgβ se sinβ = 12/13.
3. Determine o seno de um ângulo agudo x se tgx \u003d 4/3.
4. Encontre o valor de uma expressão:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Encontre o valor de uma expressão:
(1-cosx)(1+cosx), se sinx = 0,3
Respostas (separadas por ponto e vírgula, em desordem):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Ocorrido? Multar! Alunos da oitava série já podem seguir seus A.)
Não deu tudo certo? As tarefas 2 e 3 de alguma forma não são muito...? Sem problemas! Existe uma bela técnica para tais tarefas. Tudo é decidido, praticamente, sem fórmulas! E, portanto, sem erros. Esta técnica é descrita na lição: "Relação entre funções trigonométricas de um ângulo" na Seção 555. Todas as outras tarefas também são desmontadas lá.
Eram problemas como o Exame Estadual Unificado, mas em uma versão simplificada. USO - luz). E agora quase as mesmas tarefas, mas de forma completa. Para estudantes do ensino médio sobrecarregados de conhecimento.)
6. Encontre o valor de tgβ se sinβ = 12/13 e
7. Determine senx se tgx = 4/3, e x pertence ao intervalo (- 540°; - 450°).
8. Encontre o valor da expressão sinβ cosβ se ctgβ = 1.
Respostas (em desordem):
0,8; 0,5; -2,4.
Aqui, no problema 6, o ângulo é dado de alguma forma não muito inequívoca... Mas no problema 8, ele não está definido! É de propósito). informação adicional não apenas retirado da tarefa, mas também da cabeça.) Mas se você decidir - uma tarefa correta é garantida!
E se você ainda não decidiu? Hum... Bem, a Seção 555 vai ajudar aqui. Lá, as soluções para todas essas tarefas são descritas em detalhes, é difícil não entender.
Nesta lição, um conceito muito limitado de funções trigonométricas é dado. Dentro do 8º ano. Idosos têm dúvidas...
Por exemplo, se o ângulo X(veja a segunda foto nesta página) - torná-lo burro!? O triângulo vai desmoronar! E como ser? Não haverá perna, nem hipotenusa... O seno se foi...
Se os povos antigos não tivessem encontrado uma saída para essa situação, não teríamos telefones celulares, TV ou eletricidade agora. Sim Sim! Base teórica todas essas coisas sem funções trigonométricas - zero sem varinha. Mas os povos antigos não decepcionaram. Como eles saíram - na próxima lição.
Se você gosta deste site...
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
1. Funções trigonométricas representar funções elementares, cujo argumento é injeção. Com a ajuda de funções trigonométricas, as relações entre os lados e cantos afiados em um triângulo retângulo. As áreas de aplicação das funções trigonométricas são extremamente diversas. Assim, por exemplo, quaisquer processos periódicos podem ser representados como uma soma de funções trigonométricas (série de Fourier). Essas funções geralmente aparecem ao resolver equações diferenciais e funcionais.
2. As funções trigonométricas incluem as seguintes 6 funções: seio, cosseno, tangente,co-tangente, secante e cossecante. Para cada uma dessas funções, existe uma função trigonométrica inversa.
3. É conveniente introduzir a definição geométrica de funções trigonométricas usando círculo unitário. A figura abaixo mostra um círculo com raio r = 1. O ponto M(x,y) está marcado no círculo. O ângulo entre o vetor raio OM e a direção positiva do eixo Ox é α.
4. seio o ângulo α é a razão da ordenada y do ponto M(x,y) para o raio r:
sinα=s/r.
Como r=1, então o seno é igual à ordenada do ponto M(x,y).
5. cosseno o ângulo α é a razão da abcissa x do ponto M(x,y) para o raio r:
cosα=x/r
6. tangente o ângulo α é a razão da ordenada y do ponto M(x,y) para sua abcissa x:
tanα=y/x,x≠0
7. Co-tangente o ângulo α é a razão entre a abcissa x do ponto M(x,y) e sua ordenada y:
cotα=x/y,y≠0
8. Secanteângulo α é a razão do raio r para a abcissa x do ponto M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Cossecanteângulo α é a razão do raio r para a ordenada y do ponto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. No círculo unitário da projeção x, y, os pontos M(x, y) e o raio r formam um triângulo retângulo, no qual x, y são os catetos e r é a hipotenusa. Portanto, as definições acima de funções trigonométricas aplicadas a triângulo retângulo são formulados assim:
seio o ângulo α é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
cosseno o ângulo α é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
tangenteângulo α é chamado de perna oposta à adjacente.
Co-tangente o ângulo α é chamado de cateto adjacente ao oposto.
Secante o ângulo α é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.
Cossecante o ângulo α é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.
11. gráfico de função seno
y=sinx, domínio: x∈R, domínio: −1≤sinx≤1
12. Gráfico da função cosseno
y=cosx, domínio: x∈R, intervalo: −1≤cosx≤1
13. gráfico de função tangente 14. Gráfico da função cotangente 15. Gráfico da função secante
y=tanx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domínio: −∞ 
y=cotx, domínio: x∈R,x≠kπ, domínio: −∞ 
y=secx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domínio: secx∈(−∞,−1]∪∪)