Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.

Tu ste primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x+3

Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi. IN indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Ako se odjednom X pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanje eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.

U stvari, čak i čiste eksponencijalne jednačine nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednačina koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo razmotriti.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, riješimo nešto vrlo osnovno. Na primjer:

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom selekcijom je jasno da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nijedna druga vrijednost X ne radi. Pogledajmo sada rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Šta smo uradili? Mi smo, zapravo, jednostavno izbacili iste baze (trojke). Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili nokat na glavi!

Zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i eksponenti se mogu izjednačiti. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?)

Međutim, zapamtimo čvrsto: Možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih komšija i koeficijenata. Recimo u jednačinama:

2 x +2 x+1 = 2 3, ili

dvojke se ne mogu ukloniti!

Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako preći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

"Takva su vremena!" - ti kažeš. “Ko bi održao tako primitivnu lekciju o testovima i ispitima!?”

Moram se složiti. Niko to neće dati. Ali sada znate kamo ciljati kada rješavate škakljive primjere. Mora se dovesti u formu gdje je isti osnovni broj lijevo i desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeni nas um. Po pravilima matematike, naravno.

Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su akcije sa stepenom. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.

Radnjama sa stepenom mora se dodati lično zapažanje i domišljatost. Mi zahtevamo isti brojevi-osnove? Stoga ih tražimo u primjeru u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Neka nam se da primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi pažljiv pogled je na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo

Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće napisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz operacija sa stupnjevima:

(a n) m = a nm ,

ovo odlično funkcionira:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Originalni primjer je počeo izgledati ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Mi prenosimo 2 3 (x+1) desno (niko nije otkazao elementarne operacije matematike!), dobijamo:

2 2x = 2 3(x+1)

To je praktično sve. Uklanjanje baza:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je tačan odgovor.

U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osam je šifrovana dva. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih osnova pod različiti brojevi) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednačinama! Da, i u logaritmima. Morate znati prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Činjenica je da podizanje bilo kog broja na bilo koji stepen nije problem. Umnožite, čak i na papiru, i to je to. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će ispasti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno podići na stepen, već obrnuto... Saznajte koji broj do kog stepena se krije iza broja 243, ili recimo 343... Tu vam neće pomoći nijedan kalkulator.

Morate znati moći nekih brojeva iz vida, zar ne... Hajde da vježbamo?

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (naravno u neredu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako dobro pogledate, možete vidjeti čudna činjenica. Odgovora je znatno više nego zadataka! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili k znanju informacije o poznavanju brojeva.) Dozvolite mi da vas podsjetim i da za rješavanje eksponencijalnih jednačina koristimo sve zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz mlađih i srednjih razreda. Nisi išao pravo u srednju školu, zar ne?)

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednačina, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada često pomaže (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled je na temelje! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju želja je u potpunosti ispunjena!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Koristeći ista pravila za postupanje sa diplomama:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Odlično, možete to zapisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Naveli smo primjer iz istih razloga. Dakle, šta je sljedeće!? Ne možete izbaciti trojke... Slepa ulica?

Ne sve. Zapamtite najuniverzalnije i najmoćnije pravilo odlučivanja svima matematički zadaci:

Ako ne znate šta vam treba, uradite šta možete!

Vidite, sve će uspjeti).

Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini Može učiniti? Da, na lijevoj strani samo moli da se izvuče iz zagrada! Ukupni množitelj od 3 2x to jasno nagoveštava. Hajde da probamo, pa cemo videti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Sjećamo se da nam je za eliminaciju osnova potreban čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Broj 70 nam smeta. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:

Ups! Sve je postalo bolje!

Ovo je konačan odgovor.

Dešava se, međutim, da se postigne taksiranje po istom osnovu, ali njihovo otklanjanje nije moguće. Ovo se dešava u drugim vrstama eksponencijalnih jednačina. Savladajmo ovu vrstu.

Zamjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Rešimo jednačinu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Pređimo na jednu bazu. Za dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobijamo jednačinu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovo je mjesto gdje visimo. Prethodne tehnike neće raditi, bez obzira kako na to gledate. Morat ćemo nabaviti još jednu moćnu i univerzalna metoda. To se zove varijabilna zamjena.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju - 2 x) pišemo drugu, jednostavniju (na primjer - t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

U našoj jednadžbi zamjenjujemo sve potencije sa x sa t:

Pa, da li ti je sinulo?) Jeste li već zaboravili kvadratne jednačine? Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:

Ovdje je najvažnije ne stati, kao što se dešava... Ovo još nije odgovor, treba nam x, a ne t. Vratimo se na X, tj. vršimo obrnutu zamjenu. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:

Hm... 2 x lijevo, 1 desno... Problem? Ne sve! Dovoljno je zapamtiti (iz operacija sa moćima, da...) da je jedinica bilo koji broj na nultu potenciju. Bilo koji. Šta god je potrebno, mi ćemo to instalirati. Treba nam dvojka. znači:

To je to sada. Imamo 2 korijena:

Ovo je odgovor.

At rješavanje eksponencijalnih jednačina na kraju ponekad završiš sa nekom vrstom neugodnog izraza. Vrsta:

Od sedam do dva jednostavan stepen ne radi. Nisu rođaci... Kako da budemo? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je na ovom sajtu pročitala temu “Šta je logaritam?” , samo se štedljivo nasmiješite i zapišite mirnom rukom apsolutno tačan odgovor:

Takav odgovor ne može biti u zadacima „B“ na Jedinstvenom državnom ispitu. Tamo je potreban određeni broj. Ali u zadacima "C" je lako.

Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavne tačke.

Praktični savjeti:

1. Prije svega, pogledamo osnove stepeni. Pitamo se da li je moguće da ih napravimo identičan. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa stepenom. Ne zaboravite da se brojevi bez x-a također mogu pretvoriti u stepene!

2. Pokušavamo da eksponencijalnu jednačinu dovedemo u oblik kada se s lijeve i desne strane nalaze isto brojevi u bilo kojem stepenu. Koristimo akcije sa stepenom I faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima, mi brojimo.

3. Ako drugi savjet ne uspije, pokušajte koristiti promjenjivu zamjenu. Rezultat može biti jednačina koja se može lako riješiti. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednačine, morate znati stepene nekih brojeva iz vida.

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo odlučite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Pronađite proizvod korijena:

2 3 + 2 x = 9

Desilo se?

Dobro onda najkomplikovaniji primjer(odlučeno, međutim, u mislima...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Šta je zanimljivije? Onda evo lošeg primjera za tebe. Sasvim dostojan povećane težine. Dozvolite mi da nagovijestim da vas u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih problema.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednostavniji primjer, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednadžba mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. Zašto ih razmatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednačine. Pa treba ti domišljatost... I neka ti pomogne sedmi razred (ovo je nagoveštaj!).

Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):

1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Je li sve uspješno? Odlično.

Postoji problem? Nema problema! U posebnom odjeljku 555, sve ove eksponencijalne jednadžbe su riješene sa detaljna objašnjenja. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo ove.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji smo radili sa eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednačinama je ovo, inače, veoma važna stvar...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Prvi nivo

Eksponencijalne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zdravo! Danas ćemo s vama razgovarati o tome kako riješiti jednadžbe koje mogu biti ili elementarne (i nadam se da će nakon čitanja ovog članka gotovo sve biti takve za vas), i one koje se obično daju „za popunjavanje“. Očigledno da konačno zaspim. Ali pokušat ću učiniti sve što je moguće da sada ne upadnete u nevolje kada se suočite s ovom vrstom jednačina. Neću više da lupam po grmu, ali ću ga odmah otvoriti mala tajna: danas ćemo učiti eksponencijalne jednačine.

Prije nego što pređem na analizu načina za njihovo rješavanje, odmah ću vam iznijeti niz pitanja (prilično malih) koja biste trebali ponoviti prije nego što požurite da napadnete ovu temu. Dakle, dobiti najbolji rezultat, molim, ponoviti:

1. Svojstva i
2. Rješenje i jednačine

Ponovljeno? Nevjerovatno! Tada vam neće biti teško primijetiti da je korijen jednačine broj. Da li razumete tačno kako sam to uradio? Da li je istina? Onda nastavimo. Sada odgovorite na moje pitanje, šta je jednako trećem stepenu? Potpuno si u pravu: . Koji je stepen dvojke osam? Tako je – treći! Jer. Pa, hajde sada da pokušamo da rešimo sledeći problem: Dozvolite mi da jednom pomnožim broj sam po sebi i dobijem rezultat. Pitanje je koliko sam puta sam pomnožio? Naravno, ovo možete direktno provjeriti:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Onda možete zaključiti da sam pomnožio sa sobom puta. Kako drugačije možete provjeriti ovo? Evo kako: direktno po definiciji stepena: . Ali, priznajte, kada bih vas pitao koliko puta dva treba pomnožiti samo sa sobom da dobijete, recimo, rekli biste mi: neću se zavaravati i množiti samo od sebe dok ne budem plav u licu. I bio bi potpuno u pravu. Jer kako možeš ukratko zapišite sve korake(a kratkoća je sestra talenta)

gde - to su isti "puta", kada množite samo po sebi.

Mislim da znate (a ako ne znate, hitno, vrlo hitno ponovite stepene!) da će onda moj problem biti napisan u obliku:

Kako možete razumno zaključiti da:

Tako sam, neprimjetno, zapisao najjednostavnije eksponencijalna jednačina:

I čak sam ga našao root. Ne mislite li da je sve potpuno trivijalno? Ja mislim potpuno isto. Evo još jednog primjera za vas:

Ali šta učiniti? Na kraju krajeva, ne može se napisati kao stepen (razumnog) broja. Ne očajavajmo i primijetimo da su oba ova broja savršeno izražena kroz snagu istog broja. Koji? Desno: . Tada se originalna jednadžba pretvara u oblik:

Gdje, kao što ste već shvatili, . Nemojmo više odlagati i zapisati definicija:

U našem slučaju: .

Ove jednadžbe se rješavaju svođenjem na oblik:

nakon čega slijedi rješavanje jednačine

Zapravo, u prethodnom primjeru smo uradili upravo to: dobili smo sljedeće: I riješili smo najjednostavniju jednačinu.

Čini se da ništa nije komplikovano, zar ne? Vježbajmo prvo na najjednostavnijim primjeri:

Opet vidimo da desnu i lijevu stranu jednačine treba predstaviti kao stepene jednog broja. Istina, na lijevoj strani je to već urađeno, ali desno je broj. Ali u redu je, jer će se moja jednačina čudesno transformirati u ovo:

Šta sam morao da koristim ovde? Koje pravilo? Pravilo "stepeni unutar stepeni" koji glasi:

Šta ako:

Prije nego odgovorimo na ovo pitanje, popunimo sljedeću tabelu:

Lako nam je primijetiti da što manje, to manje vrijednosti, ali svejedno su sve ove vrijednosti veće od nule. I UVIJEK ĆE BITI TAKO!!! Isto svojstvo vrijedi ZA BILO KOJU OSNOVU SA BILO KAKIM INDIKATOROM!! (za bilo koji i). Šta onda možemo zaključiti o jednačini? Evo šta je to: to nema korena! Kao i svaka jednadžba nema korijen. Sada vježbajmo i Hajde da riješimo jednostavne primjere:

hajde da proverimo:

1. Ovdje se od vas neće tražiti ništa osim poznavanje svojstava stupnjeva (što sam, usput rečeno, zamolio da ponovite!) Po pravilu, sve vodi do najmanje baze: , . Tada će originalna jednadžba biti ekvivalentna sljedećem: Sve što mi treba je da koristim svojstva potencija: Prilikom množenja brojeva sa istim osnovama, stupnjevi se sabiraju, a pri dijeljenju se oduzimaju. Onda ću dobiti: Pa, sada ću mirne savjesti preći sa eksponencijalne jednadžbe na linearnu: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(poravnaj)

2. U drugom primjeru, moramo biti oprezniji: problem je u tome što na lijevoj strani nikako ne možemo predstaviti isti broj kao stepen. U ovom slučaju ponekad je korisno predstavljaju brojeve kao proizvod potencija s različitim bazama, ali istim eksponentima:

Lijeva strana jednačine će izgledati ovako: Šta nam je ovo dalo? Evo šta: Mogu se množiti brojevi s različitim osnovama, ali istim eksponentima.U ovom slučaju, baze se množe, ali indikator se ne mijenja:

U mojoj situaciji ovo će dati:

\begin (poravnati)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(poravnaj)

Nije loše, zar ne?

3. Ne volim kada, nepotrebno, imam dva člana na jednoj strani jednačine, a nijedan na drugoj (ponekad je, naravno, to opravdano, ali sada nije tako). Pomeriću minus član udesno:

Sada ću, kao i ranije, sve napisati u smislu stepena tri:

Dodajem stepene na lijevoj strani i dobijem ekvivalentnu jednačinu

Možete lako pronaći njegov korijen:

4. Kao u primjeru tri, minus član ima mjesto na desnoj strani!

Sa moje lijeve strane je skoro sve u redu, osim čega? Da, "pogrešan stepen" od njih dvojice me muči. Ali ovo mogu lako popraviti tako što ću napisati: . Eureka - na lijevoj strani su sve baze različite, ali su svi stepeni isti! Hajde da se množimo odmah!

Ovde je opet sve jasno: (ako ne razumete kako sam magičnim putem dobio poslednju jednakost, napravite pauzu na minut, udahnite i ponovo pažljivo pročitajte svojstva stepena. Ko je rekao da možete preskočiti stepen sa negativnim eksponentom. Pa, ja sam otprilike ista stvar kao niko). Sada ću dobiti:

\begin (poravnati)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(poravnaj)

Evo nekoliko problema za uvježbavanje, na koje ću samo dati odgovore (ali u „mješovitom“ obliku). Riješite ih, provjerite, a vi i ja ćemo nastaviti naše istraživanje!

Spreman? Odgovori poput ovih:

1. bilo koji broj

Ok, ok, šalio sam se! Evo nekoliko skica rješenja (neke vrlo kratke!)

Ne mislite li da nije slučajno da je jedan razlomak lijevo drugi "obrnut"? Bio bi greh ne iskoristiti ovo:

Ovo pravilo se vrlo često koristi pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi, dobro ga zapamtite!

Tada će originalna jednačina postati ovakva:

Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe dobićete sljedeće korijene:

2. Još jedno rješenje: dijeljenje obje strane jednačine izrazom lijevo (ili desno). Podijelim sa onim što je desno, onda dobijem:

Gdje (zašto?!)

3. Ne želim ni da se ponavljam, sve je već toliko "sažvakano".

4. ekvivalentno kvadratnoj jednadžbi, korijeni

5. Trebate koristiti formulu datu u prvom zadatku, tada ćete dobiti sljedeće:

Jednačina se pretvorila u trivijalni identitet koji vrijedi za sve. Tada je odgovor bilo koji pravi broj.

Pa, sada ste vježbali rješavanje jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Sada želim da vam dam nekoliko životni primjeri, što će vam pomoći da shvatite zašto su u principu potrebni. Ovdje ću dati dva primjera. Jedna od njih je sasvim svakodnevna, ali je veća vjerovatnoća da će druga biti od naučnog, a ne praktičnog interesa.

Primjer 1 (merkantilno) Neka imate rubalja, ali želite da ih pretvorite u rublje. Banka vam nudi da uzmete ovaj novac od vas po godišnjoj stopi sa mjesečnom kapitalizacijom kamate (mjesečno obračunavanje). Postavlja se pitanje koliko mjeseci je potrebno da otvorite depozit da biste dostigli traženi konačni iznos? Prilično običan zadatak, zar ne? Ipak, njegovo rješenje je povezano s konstrukcijom odgovarajuće eksponencijalne jednadžbe: Neka je početni zbir, - konačni iznos, - kamatna stopa za period, - broj perioda. onda:

U našem slučaju (ako je stopa godišnja, onda se obračunava mjesečno). Zašto je podijeljeno po? Ako ne znate odgovor na ovo pitanje, zapamtite temu “”! Tada dobijamo ovu jednačinu:

Ova eksponencijalna jednadžba se može riješiti samo pomoću kalkulatora (njegova izgled nagovještava ovo, a za to je potrebno poznavanje logaritama, sa kojima ćemo se upoznati malo kasnije), što ću i učiniti: ... Dakle, da bismo dobili milion, morat ćemo uplatiti depozit na mjesec ( ne baš brzo, zar ne?).

Primjer 2 (prilično naučni). Uprkos izvesnoj „izolaciji“, preporučujem da obratite pažnju na njega: redovno „sklizne na Jedinstveni državni ispit!! (problem je preuzet iz “prave” verzije) Tokom raspada radioaktivnog izotopa, njegova masa se smanjuje prema zakonu, gdje je (mg) početna masa izotopa, (min.) vrijeme proteklo od početni trenutak, (min.) je vrijeme poluraspada. U početnom trenutku vremena, masa izotopa je mg. Njegovo poluvrijeme je min. Nakon koliko minuta će masa izotopa biti jednaka mg? U redu je: samo uzimamo i zamjenjujemo sve podatke u formulu koja nam je predložena:

Podijelimo oba dijela sa, "u nadi" da ćemo s lijeve strane dobiti nešto svarljivo:

Pa, mi smo veoma srećni! Nalazi se na lijevoj strani, onda idemo na ekvivalentnu jednačinu:

Gdje je min.

Kao što vidite, eksponencijalne jednadžbe imaju potpuno prava primena na praksi. Sada želim da vam pokažem još jedan (jednostavan) način rešavanja eksponencijalnih jednačina, koji se zasniva na vađenju zajedničkog faktora iz zagrada, a zatim grupisanju pojmova. Nemojte se plašiti mojih riječi, na ovu metodu ste se već susreli u 7. razredu kada ste učili polinome. Na primjer, ako trebate faktorisati izraz:

Grupirajmo: prvi i treći termin, kao i drugi i četvrti. Jasno je da su prvi i treći razlika kvadrata:

a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:

Tada je originalni izraz ekvivalentan ovome:

Odakle izvući zajednički faktor više nije teško:

dakle,

Otprilike ovako ćemo raditi pri rješavanju eksponencijalnih jednačina: tražiti “zajedništvo” među pojmovima i izvlačiti to iz zagrada, a onda – šta bude, vjerujem da ćemo imati sreće =)) Na primjer:

Desno je daleko od toga da je stepen sedmice (provjerio sam!) A lijevo - malo je bolje, možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz drugog iz prvog člana, pa onda dijeliti sa onim što imate, ali budimo oprezniji prema vama. Ne želim da se bavim razlomcima koji se neminovno formiraju prilikom "selektiranja", pa zar ne bih trebao radije da ga izvadim? Onda neću imati razlomaka: kako kažu, vukovi su hranjeni i ovce su sigurne:

Izračunajte izraz u zagradama. Magično, magično, ispada da (iznenađujuće, mada šta drugo da očekujemo?).

Zatim smanjujemo obje strane jednadžbe za ovaj faktor. Dobijamo: , od.

Evo kompliciranijeg primjera (zaista pomalo):

Kakav problem! Ovde nemamo ni jednu zajedničku osnovu! Nije sasvim jasno šta sada učiniti. Hajde da uradimo šta možemo: prvo pomerimo „četvorke“ na jednu stranu, a „petice“ na drugu:

Sada izvadimo "general" s lijeve i desne strane:

Pa, šta sad? Koja je korist od tako glupe grupe? Na prvi pogled se uopšte ne vidi, ali pogledajmo dublje:

Pa, sada ćemo se pobrinuti da na lijevoj strani imamo samo izraz c, a na desnoj - sve ostalo. Kako da ovo uradimo? Evo kako: prvo podijelite obje strane jednačine sa (tako da se riješimo eksponenta na desnoj strani), a zatim obje strane podijelite sa (tako da se riješimo brojčanog faktora s lijeve strane). Konačno dobijamo:

Nevjerovatno! Na lijevoj strani imamo izraz, a na desnoj imamo jednostavan izraz. Onda to odmah zaključujemo

Evo još jednog primjera za pojačanje:

Daću njegovo kratko rešenje (bez da se mnogo mučim sa objašnjenjima), pokušajte da sami shvatite sve „suptilnosti“ rešenja.

Sada za konačnu konsolidaciju obrađenog materijala. Pokušajte sami riješiti sljedeće probleme. Dat ću samo kratke preporuke i savjete za njihovo rješavanje:

1. Izvadimo zajednički faktor iz zagrada: Gdje:
2. Predstavimo prvi izraz u obliku: , podijelimo obje strane sa i dobijemo to
3. , onda se originalna jednadžba transformira u oblik: Pa, sad nagoveštaj - potražite gdje smo ti i ja već riješili ovu jednačinu!
4. Zamislite kako, kako, ah, pa, onda podijelite obje strane sa, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
5. Izvadite ga iz zagrada.
6. Izvadite ga iz zagrada.

EKSPONENTARNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Pretpostavljam da nakon čitanja prvog članka o kojem se govori šta su eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti, savladali ste potreban minimum znanja potrebna za rješavanje jednostavnih primjera.

Sada ću pogledati drugu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednačina, a to je

“metoda uvođenja nove varijable” (ili zamjene). On rješava većinu “teških” problema na temu eksponencijalnih jednačina (i ne samo jednačina). Ova metoda je jedna od najčešće korištenih u praksi. Prije svega, preporučujem da se upoznate s temom.

Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da će se vaša eksponencijalna jednačina čudesno transformirati u onu koju možete lako riješiti. Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednačine” je da napravite “obrnutu zamjenu”: odnosno da se vratite sa zamijenjenog na zamijenjeno. Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

Primjer 1:

Ova jednačina je riješena korištenjem "jednostavne zamjene", kako je matematičari omalovažavajuće nazivaju. Zapravo, zamjena je ovdje najočitija. To treba samo vidjeti

Tada će se originalna jednačina pretvoriti u ovo:

Ako dodatno zamislimo kako, onda je potpuno jasno šta treba zamijeniti: naravno, . Šta onda postaje originalna jednačina? Evo šta:

Njegove korijene možete lako pronaći sami: . Šta da radimo sada? Vrijeme je da se vratimo na originalnu varijablu. Šta sam zaboravio da napomenem? Naime: prilikom zamjene određenog stepena novom varijablom (tj. prilikom zamjene tipa) zanimat će me samo pozitivni koreni! I sami možete lako odgovoriti zašto. Dakle, vi i ja nismo zainteresirani, ali drugi korijen je sasvim prikladan za nas:

Odakle onda.

odgovor:

Kao što možete vidjeti, u prethodnom primjeru, zamjena je samo tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj. Međutim, ne idemo odmah na tužne stvari, već vježbajmo s još jednim primjerom s prilično jednostavnom zamjenom

Primjer 2.

Jasno je da ćemo najvjerovatnije morati napraviti zamjenu (ovo je najmanja od potencija uključenih u našu jednačinu), ali prije nego što uvedemo zamjenu, našu jednačinu treba „pripremiti“ za nju, i to: , . Tada možete zamijeniti, kao rezultat dobijam sljedeći izraz:

Oh, užas: kubična jednadžba sa apsolutno strašnim formulama za njeno rješavanje (pa, govoreći u opšti pogled). Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo šta da radimo. Predlažem varanje: znamo da da bismo dobili “lijep” odgovor, moramo ga dobiti u obliku nekog stepena trojke (zašto bi to bilo, a?). Pokušajmo pogoditi barem jedan korijen naše jednadžbe (počeću nagađati sa stepenom tri).

Prva pretpostavka. Nije korijen. jao i ah...

.
Lijeva strana je jednaka.
Desni dio: !
Jedi! Pogodio prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!

Znate li za shemu podjele "ugao"? Naravno da imate, koristite ga kada dijelite jedan broj drugim. Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti i s polinomima. Postoji jedna divna teorema:

Primjenjujući se na moju situaciju, ovo mi govori da je bez ostatka djeljivo sa. Kako se vrši podjela? Tako:

Gledam sa kojim monomom treba da pomnožim da dobijem Clearly, onda:

Oduzmem rezultirajući izraz od, dobijem:

Sada, sa čime trebam pomnožiti da bih dobio? Jasno je da na, onda ću dobiti:

i ponovo oduzmite rezultirajući izraz od preostalog:

Pa, posljednji korak je da pomnožite sa i oduzmete od preostalog izraza:

Ura, podjela je gotova! Šta smo privatno nakupili? Samo po sebi: .

Tada smo dobili sljedeću ekspanziju originalnog polinoma:

Rešimo drugu jednačinu:

Ima korijene:

Tada je originalna jednadžba:

ima tri korijena:

Mi ćemo, naravno, odbaciti posljednji korijen, jer je manji od nule. A prva dva nakon obrnute zamjene dat će nam dva korijena:

Odgovor: ..

Ovim primjerom uopće nisam želio da vas uplašim, već mi je cilj bio pokazati da iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ona je ipak dovela do prilično složene jednadžbe, čije je rješenje od nas zahtijevalo neke posebne vještine; Pa, niko nije imun od ovoga. Ali zamjena u u ovom slučaju bilo prilično očigledno.

Evo primjera s malo manje očitom zamjenom:

Uopće nije jasno što bismo trebali učiniti: problem je u tome što u našoj jednadžbi postoje dvije različite baze i jedna baza se ne može dobiti od druge uzdizanjem na bilo koju (naravno razumnu) potenciju. Međutim, šta vidimo? Obje baze se razlikuju samo po predznaku, a njihov proizvod je razlika kvadrata jednaka jedan:

definicija:

Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.

U ovom slučaju, pametan korak bi bio pomnožite obje strane jednačine konjugiranim brojem.

Na primjer, na, tada će lijeva strana jednadžbe postati jednaka, a desna. Ako izvršimo zamjenu, onda će naša originalna jednadžba postati ovakva:

njegove korene, dakle, i sećajući se toga, dobijamo to.

Odgovor: , .

Po pravilu, metoda zamjene je dovoljna za rješavanje većine “školskih” eksponencijalnih jednačina. Sljedeći zadaci preuzeti su sa Jedinstvenog državnog ispita C1 ( povećan nivo teškoće). Već ste dovoljno pismeni da sami riješite ove primjere. Dat ću samo potrebnu zamjenu.

1. Riješite jednačinu:
2. Pronađite korijene jednačine:
3. Riješite jednačinu: . Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:

A sada neka kratka objašnjenja i odgovori:

1. Ovde je dovoljno da primetimo da... Tada će originalna jednačina biti ekvivalentna ovoj: Ova jednačina se može riješiti zamjenom Izvršite dalje proračune sami. Na kraju, vaš zadatak će se svesti na rješavanje jednostavnih trigonometrijskih problema (ovisno o sinusima ili kosinusima). Pogledat ćemo rješenja sličnih primjera u drugim odjeljcima.
2. Ovdje možete čak i bez zamjene: samo pomaknite oduzetak udesno i predstavite obje baze kroz stepene dva: , a zatim idite pravo na kvadratnu jednačinu.
3. Treća jednačina je također riješena sasvim standardno: zamislimo kako. Zatim, zamjenom, dobijamo kvadratnu jednačinu: tada,

   Vi već znate šta je logaritam, zar ne? Ne? Onda hitno procitaj temu!

   Prvi korijen očito ne pripada segmentu, ali drugi je nejasan! Ali saznaćemo vrlo brzo! Pošto je, dakle, (ovo je svojstvo logaritma!) uporedimo:

   Oduzmite sa obe strane, onda dobijamo:

   Lijeva strana može se predstaviti kao:

   pomnožite obje strane sa:

   onda se može pomnožiti sa

   Zatim uporedi:

   od tada:

   Tada drugi korijen pripada traženom intervalu

   odgovor:

Kao što vidiš, odabir korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva dovoljno duboko znanje svojstva logaritama, pa vam savjetujem da budete što je moguće pažljiviji pri rješavanju eksponencijalnih jednačina. Kao što razumijete, u matematici je sve međusobno povezano! Kao što je moj profesor matematike rekao: „Matematika, kao i istorija, ne može se čitati preko noći.

Po pravilu, sve Poteškoća u rješavanju zadataka C1 je upravo odabir korijena jednačine. Vježbajmo sa još jednim primjerom:

Jasno je da se sama jednačina rješava prilično jednostavno. Izvođenjem zamjene našu originalnu jednačinu svodimo na sljedeće:

Prvo pogledajmo prvi korijen. Uporedimo i: od tada. (imovina logaritamska funkcija, at). Tada je jasno da prvi korijen ne pripada našem intervalu. Sada drugi korijen: . Jasno je da (pošto funkcija at raste). Ostaje da uporedimo i...

od tada, u isto vreme. Na ovaj način mogu "zabiti klin" između i. Ovaj klin je broj. Prvi izraz je manji, a drugi veći. Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.

Odgovor: .

Na kraju, pogledajmo još jedan primjer jednačine gdje je zamjena prilično nestandardna:

Počnimo odmah sa onim što se može učiniti i šta se - u principu može učiniti, ali bolje je ne raditi. Sve možete zamisliti kroz stepene tri, dva i šest. Gdje to vodi? To neće dovesti ni do čega: hrpu stepeni, od kojih će se nekih biti teško riješiti. Šta je onda potrebno? Zapazimo da a šta će nam ovo dati? I činjenica da rješenje ovog primjera možemo svesti na rješenje prilično jednostavne eksponencijalne jednadžbe! Prvo, prepišimo našu jednačinu kao:

Sada podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa:

Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobijamo:

E, sad je na vama red da riješite uzorne probleme, a ja ću ih samo dati kratki komentari da ne zalutaš! Sretno!

1. Najteže! Tako je teško vidjeti zamjenu ovdje! Ali ipak, ovaj primjer se može u potpunosti riješiti korištenjem isticanje kompletnog kvadrata. Da biste ga riješili, dovoljno je napomenuti da:

Onda evo vaše zamjene:

(Imajte na umu da ovdje tokom naše zamjene ne možemo odbaciti negativni korijen!!! Što mislite zašto?)

Sada da biste riješili primjer morate riješiti samo dvije jednadžbe:

I jedno i drugo je riješeno" standardna zamjena"(ali drugi u jednom primjeru!)

2. Primijetite to i napravite zamjenu.

3. Dekomponujte broj na koprime faktore i pojednostavite rezultujući izraz.

4. Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa (ili, ako želite) i napravite zamjenu ili.

5. Obratite pažnju da su brojevi i konjugirani.

EKSPONENTARNE JEDNAČINE. NAPREDNI NIVO

Uz to, pogledajmo na drugi način - rješavanje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma. Ne mogu reći da je rješavanje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom jako popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravna odluka naša jednačina. Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mješovite jednačine": to jest one u kojima se javljaju funkcije različitih tipova.

Na primjer, jednadžba oblika:

u općem slučaju, to se može riješiti samo uzimanjem logaritma obje strane (na primjer, na bazu), u kojem će se originalna jednadžba pretvoriti u sljedeće:

Pogledajmo sljedeći primjer:

Jasno je da nas prema ODZ-u logaritamske funkcije samo zanima. Međutim, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, već iz još jednog razloga. Mislim da vam neće biti teško da pogodite koji je to.

Uzmimo logaritam obje strane naše jednadžbe na bazu:

Kao što vidite, uzimanje logaritma naše originalne jednadžbe brzo nas je dovelo do tačnog (i lijepog!) odgovora. Vježbajmo sa još jednim primjerom:

Ni tu nema ništa loše: uzmimo logaritam obje strane jednadžbe na bazu, onda ćemo dobiti:

Napravimo zamjenu:

Međutim, nešto smo propustili! Jeste li primijetili gdje sam napravio grešku? Uostalom, onda:

koji ne zadovoljava zahtjev (razmislite odakle je došao!)

odgovor:

Pokušajte zapisati rješenje eksponencijalnih jednačina u nastavku:

Sada uporedite svoju odluku sa ovim:

1. Logaritujmo obje strane baze, uzimajući u obzir da:

(drugi korijen nam nije prikladan zbog zamjene)

2. Logaritam na osnovu:

Transformirajmo rezultirajući izraz u sljedeći oblik:

EKSPONENTARNE JEDNAČINE. KRATAK OPIS I OSNOVNE FORMULE

Eksponencijalna jednačina

Jednadžba oblika:

pozvao najjednostavnija eksponencijalna jednadžba.

Svojstva stepeni

Pristupi rješenju

• Svođenje na istu osnovu
• Redukcija na isti eksponent
• Varijabilna zamjena
• Pojednostavljivanje izraza i primjena jednog od gore navedenih.

Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.

Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, itd. Sposobnost rješavanja ovakvih konstrukcija je apsolutno neophodna kako se ne bi „zaglavili“ u temi o kojoj će se sada raspravljati.

Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Neki od njih vam mogu izgledati složeniji, dok su drugi, naprotiv, previše jednostavni. Ali svi imaju jednu važnu zajedničku osobinu: njihova notacija sadrži eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, hajde da uvedemo definiciju:

Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim naznačene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.

Uredu onda. Sredili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen.

Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva podučavanja mnogih učenika, mogu reći da većina njih mnogo lakše pronalazi eksponencijalne jednačine nego iste logaritme, a još više trigonometriju.

Ali ima loših vijesti: ponekad pisce zadataka za sve vrste udžbenika i ispita pogodi "inspiracija", a njihov mozak napaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i za mnoge nastavnike zaglavite na takvim problemima.

Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.

Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen morate podići broj 2 da biste dobili broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, Cap, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je riješi :)

Pogledajmo sljedeću jednačinu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ali ovdje je sve malo komplikovanije. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Konačno, samo nekolicina odabranih shvata da se ove činjenice mogu kombinovati i daju sledeći rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ali ovo je već potpuno rješivo! S lijeve strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, s desne strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, nigdje osim njih nema ničega drugog. Stoga možemo "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:

\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

Ako ne razumijete šta se dešavalo u zadnja četiri reda, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine“i ponovi. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.

\[((9)^(x))=-3\]

Pa kako to možemo riješiti? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati na sljedeći način:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Zatim se prisjetimo da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti množe:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer, sa smirenošću Pokemona, poslali smo znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. Ali to ne možete učiniti. I zato. Pogledajte različite moći troje:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Prilikom sastavljanja ovog tableta, trudio sam se koliko sam mogao da izbjegnem perverziju: i pozitivnim stepenima smatra se i negativnim, pa čak i razlomcima... pa, gdje je barem jedan negativan broj? Otišao je! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti (bez obzira koliko se jedna pomnoži ili podijeli sa dva, ona će i dalje biti pozitivan broj), i drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!

Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ali nema šanse: nema korijena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim jednadžbama - možda i nema korijena. Ali ako uđete kvadratne jednačine broj korijena određuje diskriminanta (pozitivna diskriminanta - 2 korijena, negativna - nema korijena), tada u eksponencijalima sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.

Dakle, hajde da formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. Vrijedi li to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.

Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali odlučiti više složeni zadaci. Za sada dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Prema „naivnom“ algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:

Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu koja se već može riješiti. Na primjer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]

I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Pa, na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? Prvi? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. Sekunda? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Koji onda?

Upućeni učenici su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada se to ne može riješiti “lijepo”, u igru ​​dolazi “teška artiljerija” – logaritmi. Da vas podsjetim da se korištenjem logaritma svaki pozitivan broj može predstaviti kao potencija bilo kojeg drugog pozitivnog broja (osim jednog):

Sjećate se ove formule? Kada svojim učenicima govorim o logaritmima, uvijek upozoravam: ova formula (također glavna logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas proganjati jako dugo i „iskakati“ na najneočekivanijim mjestima. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:

\[\begin(poravnaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnaj) \]

Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj s desne strane, a $b=2$ sama baza eksponencijalne funkcije na koju želimo svesti desnu stranu, dobićemo sljedeće:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku mnogi bi imali nedoumice s takvim odgovorom i počeli bi još jednom provjeravati svoje rješenje: šta ako se negdje uvukla greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)

Sada analogno riješimo preostale dvije jednadžbe:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:

Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne brani da dodamo ovaj faktor bazi:

Štaviše, sve tri opcije su tačne - jednostavno je različitih oblika evidencije istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je da odlučite.

Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. Međutim, surova realnost našeg svijeta je takva jednostavni zadaci sretaćete se veoma, veoma retko. Češće nego ne naići ćete na nešto poput ovoga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Pa kako to možemo riješiti? Može li se ovo uopće riješiti? I ako da, kako?

Ne paničite. Sve ove jednačine se mogu brzo i lako svesti na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo treba da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ne postoje pravila za rad sa diplomama. Sad ću vam reći o svemu ovome. :)

Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi

Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora se svesti na najjednostavnije jednadžbe - one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema rješenja za bilo koju eksponencijalnu jednačinu izgleda ovako:

1. Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Uradi neka čudna sranja. Ili čak neko sranje zvano "pretvori jednačinu";
3. Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze oblika $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.

Sve je jasno sa prvom tačkom - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i treća tačka manje-više jasna - već smo riješili čitavu gomilu takvih jednačina iznad.

Ali šta je sa drugom tačkom? Kakve transformacije? Pretvoriti šta u šta? I kako?

Pa, hajde da saznamo. Prije svega, želio bih napomenuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:

1. Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim bazama. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.

Izolacija stabilnog izraza

Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(poravnati)\]

Jednostavno rečeno, sabiranje se može pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se može lako pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na stupnjeve iz naše jednadžbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]

Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim sakupimo sve članove s lijeve strane:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]

Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ - izvadimo ga iz zagrade:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]

Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobijamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Originalnu jednačinu smo sveli na njen najjednostavniji oblik i dobili konačni odgovor.

Istovremeno, u procesu rješavanja otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete pažljivo izraziti i dobiti odgovor. u svakom slučaju, ključni princip Rješenja su sljedeća:

Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.

Dobra vest je da vam skoro svaka eksponencijalna jednačina omogućava da izolujete tako stabilan izraz.

Ali loša vijest je da ovi izrazi mogu biti prilično zeznuti i da ih je prilično teško identificirati. Pa pogledajmo još jedan problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze – 5 i 0,2.” Ali hajde da pokušamo pretvoriti snagu u bazu 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka tako što ćemo ga svesti na običan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. A sada da se prisjetimo jednog od njih najvažnija pravila rad sa diplomama:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ovdje sam, naravno, malo lagao. Jer za potpuno razumijevanje, formula za otklanjanje negativnih pokazatelja morala je biti napisana ovako:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo sa razlomcima:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\left(x+1 \desno)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Ali u ovom slučaju, morate biti u mogućnosti da povećate snagu na drugu snagu (da vas podsjetim: u ovom slučaju, indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao "obrnuti" razlomke - možda će nekome ovo biti lakše :)

U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će biti prepisana kao:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]

Tako se ispostavilo da se originalna jednadžba može riješiti još jednostavnije od one koja je prethodno razmatrana: ovdje čak ni ne morate odabrati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, od čega dobijamo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku ​​koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:

U eksponencijalnim jednačinama, obavezno ih se riješite decimale, pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.

Idemo sada na više složene jednačine, u kojem postoje različite baze koje uopće nisu svodive jedna na drugu korištenjem stupnjeva.

Korištenje svojstva stupnjeva

Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Glavna poteškoća je u tome što nije jasno šta dati i na osnovu čega. Gdje postaviti izraze? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.

Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nema spremnih identične osnove, možete ih pokušati pronaći faktoringom postojećih baza.

Počnimo s prvom jednačinom:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]

Ali možete učiniti suprotno - napravite broj 21 od brojeva 7 i 3. Ovo je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Uzeli ste eksponent izvan proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.

Pogledajmo sada drugu jednačinu. Ovde je sve mnogo komplikovanije:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

U ovom slučaju, razlomci su se pokazali nesvodljivim, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. Često će se pojaviti zanimljivi razlozi s kojima već možete raditi.

Nažalost, za nas se ništa posebno nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti s lijeve strane u proizvodu suprotni:

Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]

U drugom redu, jednostavno smo izvadili ukupni eksponent iz proizvoda iz zagrade prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, a u posljednjem su jednostavno pomnožili broj 100 s razlomkom.

Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno je: to su moći istog broja! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

U ovom slučaju, na desnoj strani također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno jednostavno "preokrenuti" razlomak:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Naša jednačina će konačno poprimiti oblik:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]

To je rešenje. Njegova glavna ideja se svodi na činjenicu da čak i sa po različitim osnovama mi pokušavamo, na udicu ili na prevaru, svesti ove osnove na istu stvar. Oni nam pomažu u tome elementarne transformacije jednadžbe i pravila za rad sa potencijama.

Ali koja pravila i kada koristiti? Kako shvatiti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti s nečim, a u drugoj morate rastaviti bazu eksponencijalne funkcije?

Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Isprva se okušaj jednostavne jednačine, a zatim postepeno komplikujte zadatke - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe sa istog Jedinstvenog državnog ispita ili bilo kojeg samostalnog/testnog rada.

I da vam pomognem u ovoj teškoj stvari, predlažem da preuzmete skup jednadžbi za nezavisna odluka. Sve jednačine imaju odgovore, tako da se uvijek možete testirati.

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije

: čas generalizacije i složene primjene znanja, vještina i sposobnosti na temu „Eksponencijalne jednadžbe i metode za njihovo rješavanje“.

Ciljevi lekcije.

edukativni:

ponoviti i sistematizovati glavni materijal teme „Eksponencijalne jednačine, njihova rješenja“; konsolidovati sposobnost korištenja odgovarajućih algoritama pri rješavanju eksponencijalnih jednačina različitih tipova; priprema za Jedinstveni državni ispit.

edukativni:

razvijati logičko i asocijativno mišljenje učenika; promovirati razvoj vještina samoupotrebu znanje.

edukativni:

neguju posvećenost, pažnju i tačnost prilikom rešavanja jednačina.

Oprema:

kompjuter i multimedijalni projektor.

Koristi se u nastavi informacione tehnologije : metodička podrška času – prezentacija u Microsoft Power Pointu.

Tokom nastave

Svaka vještina dolazi uz naporan rad

I. Postavljanje cilja lekcije(Slajd broj 2 )

U ovoj lekciji ćemo rezimirati i generalizirati temu “Eksponencijalne jednadžbe, njihova rješenja”. Hajde da se upoznamo sa tipičnim Zadaci objedinjenog državnog ispita različitih godina na ovu temu.

Zadaci o rješavanju eksponencijalnih jednačina mogu se naći u bilo kojem dijelu zadataka Jedinstvenog državnog ispita. U dijelu “ U " Obično nude rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi. U dijelu “ SA " Možete pronaći složenije eksponencijalne jednadžbe čije je rješenje obično jedna od faza izvršavanja zadatka.

Na primjer ( Slajd broj 3 ).

• Jedinstveni državni ispit - 2007

Q 4 – Pronađite najveću vrijednost izraza x y, Gdje ( X; at) – rješenje sistema:

• Jedinstveni državni ispit - 2008

P 1 – Riješite jednačine:

A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• Jedinstveni državni ispit - 2009

P 4 – Pronađite značenje izraza x + y, Gdje ( X; at) – rješenje sistema:

• Jedinstveni državni ispit - 2010

– Riješite jednačinu: 7 X– 2 = 49. – Pronađite korijene jednačine: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Riješite sistem jednačina:

II. Ažuriranje osnovnih znanja. Ponavljanje

(Slajdovi br. 4 – 6 prezentacije za lekciju)

Prikazano na ekranu osnovni sažetak teorijskog materijala na ovu temu.

Raspravlja se o sljedećim pitanjima:

1. Kako se jednačine nazivaju indikativno?
2. Navedite glavne načine za njihovo rješavanje. Navedite primjere njihovih vrsta ( Slajd broj 4 )

(Samostalno riješite predložene jednadžbe za svaku metodu i izvršite samotestiranje pomoću slajda)

3. Koja se teorema koristi pri rješavanju jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi oblika: i f(x) = a g(x) ?
4. Koje druge metode za rješavanje eksponencijalnih jednačina postoje? ( Slajd broj 5 )

• Metoda faktorizacije
(na osnovu svojstava moći sa identične osnove, tehnika: stepen sa najnižim indikatorom se vadi iz zagrada).
• Tehnika dijeljenja (množenja) eksponencijalnim izrazom drugačijim od nule pri rješavanju homogenih eksponencijalnih jednadžbi
.

• savjet:

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi, korisno je prvo izvršiti transformacije, dobivajući potencije sa istim osnovama na obje strane jednačine.

1. Rješavanje jednadžbi pomoću posljednje dvije metode uz naknadne komentare

(Slajd broj 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2h – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2h – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita 2010

Učenici samostalno rješavaju zadatke predložene na početku časa na slajdu br. 3, koristeći upute za rješenje, provjeravaju napredak u rješavanju i odgovore na njih pomoću prezentacije ( Slajd broj 7). Tokom rada se raspravlja o opcijama i rješenjima, skreće se pažnja moguće greške prilikom odlučivanja.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7 x = 36. odgovor: A) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Može se zamijeniti sa 0,5 = 4 – 0,5)

Rješenje. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

odgovor: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, na cos y< 0.

Upute za rješenje

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y – 1 = 0. Neka X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Od tg y= -1 i cos y< 0, onda at II koordinatni kvartal

odgovor: at= 3/4 + 2k, k N.

IV. Timski rad u odboru

Razmatra se visok nivo zadatka obuke - Slajd broj 8. Uz pomoć ovog slajda dolazi do dijaloga između nastavnika i učenika koji olakšava razvoj rješenja.

– Na kom parametru A jednačina 2 2 X – 3 2 X + A 2 – 4A= 0 ima dva korijena?

Neka t= 2 X, Gdje t > 0 . Dobijamo t 2 – 3t + (A 2 – 4A) = 0 .

1). Pošto jednačina ima dva korijena, onda je D > 0;

2). Jer t 1,2 > 0, onda t 1 t 2 > 0, tj A 2 – 4A> 0 (?...).

odgovor: A(– 0,5; 0) ili (4; 4,5).

V. Testni rad

(Slajd broj 9 )

Učenici nastupaju testni rad na papirima, uvežbavanje samopraćenja i samoevaluacije obavljenog rada putem prezentacije, učvršćivanje u temi. Oni samostalno određuju za sebe program za regulaciju i ispravljanje znanja na osnovu grešaka u radnim sveskama. Listovi sa urađenim samostalnim radom predaju se nastavniku na provjeru.

podvučeni brojevi – osnovni nivo, sa zvjezdicom – povećana složenost.

Rješenje i odgovori.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (ne odgovara),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Domaći zadatak

(Slajd broj 10 )

• Ponovite § 11, 12.
• Iz materijala Jedinstvenog državnog ispita 2008. - 2010. odaberite zadatke na temu i riješite ih.
• Kućni testni rad
:

U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!

Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizovali i predstavili sve što je potrebno za uspješan završetak Materijal za Jedinstveni državni ispit u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.

Osnovne definicije i formule su predstavljene u odeljku „Teorijska pozadina“.

Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.

Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!