Problemi aritmetičke progresije postoje od davnina. Pojavili su se i tražili rješenje, jer su imali praktičnu potrebu.

Dakle, u jednom od papirusa drevni egipat, koji ima matematički sadržaj - Rajndov papirus (XIX vek pne) - sadrži sledeći zadatak: podeliti deset mera hleba na deset ljudi, s tim da je razlika između svake od njih jedna osmina mere.

A u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmetičku progresiju. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. vek, koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim „Elementima“), formulisao ideju: „U aritmetičkoj progresiji sa parnim brojem članova, zbir članova 2. pol. više od iznosačlanovi 1. na kvadrat 1/2 broja članova.

Niz an je označen. Brojevi niza nazivaju se njegovi članovi i obično se označavaju slovima sa indeksima koji označavaju serijski broj ovog člana (a1, a2, a3 ... on glasi: „a 1.“, „a 2.“, „a 3. ” i tako dalje).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

Šta je aritmetička progresija? Podrazumijeva se da se dobije dodavanjem prethodnog člana (n) sa istim brojem d, što je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda se smatra da se takva progresija povećava.

Aritmetička progresija naziva se konačnim ako se uzme u obzir samo nekoliko njegovih prvih članova. U vrlo u velikom brojučlanova je već beskonačna progresija.

Bilo koja aritmetička progresija data je sljedećom formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Tvrdnja, koja je suprotna, apsolutno je tačna: ako je niz zadan sličnom formulom, onda je to upravo aritmetička progresija, koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
2. Suprotno: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog člana i sljedećeg, tj. ako je uslov ispunjen, tada je dati niz aritmetička progresija. Ova jednakost je istovremeno i znak progresije, pa se obično naziva karakterističnim svojstvom progresije.
   Na isti način, teorema koja odražava ovo svojstvo je tačna: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost tačna za bilo koji od članova niza, počevši od 2.

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji neophodan (N-ti) član se može pronaći primjenom sljedeće formule:

Na primjer: prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji je dat i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) nam omogućava da odredimo n-ti član aritmetičku progresiju kroz bilo koji njen k-ti član, pod uslovom da je poznat.

Zbir članova aritmetičke progresije (pod pretpostavkom da je 1. n članova konačne progresije) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je i 1. član poznat, onda je druga formula pogodna za izračunavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbir aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za proračun zavisi od uslova zadataka i početnih podataka.

Prirodni nizovi bilo kojih brojeva kao što su 1,2,3,...,n,...- najjednostavniji primjer aritmetička progresija.

Pored aritmetičke progresije postoji i geometrijska, koja ima svoja svojstva i karakteristike.

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrite šta je niz brojeva, budući da je aritmetička progresija poseban slučaj numerički niz.

Numerički niz je numerički skup čiji svaki element ima svoj serijski broj. Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Redni broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji zavisnost između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga, možemo smatrati niz kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, to se može reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može odrediti na tri načina:

1 . Redoslijed se može specificirati korištenjem tabele. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, neko je odlučio upravljati osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, on će dobiti niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele sadrži broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a u petak samo 15.

2 . Redoslijed se može specificirati korištenjem formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza od njegovog broja izražava se direktno kao formula.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu za n-ti član.

Isto radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Umjesto toga zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbi funkcije:

ako npr. , onda

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljnog numerička funkcija, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza sa brojem n o vrijednosti prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ovaj način sekvenciranja se zove ponavljajuća, od latinske riječi recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj numeričkog niza.

Aritmetička progresija naziva se numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodanom istim brojem.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili nula.

Ako title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; osam; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadanje.

Na primjer, 2; -jedan; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

.

Podijelite obje strane jednačine sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, jer

, i istovremeno

, onda

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije počinje sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula th člana.

Vidimo da za članove aritmetičke progresije vrijede sljedeće relacije:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti u terminima i . Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova koji su jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedni drugima:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbroj n članova ove progresije jednak .

Rasporedite pojmove progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Hajde da ga uparimo:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmislite rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Dobili smo da razlika dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

a) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , Zbog toga

Mnogi su čuli za aritmetičku progresiju, ali nisu svi dobro svjesni šta je to. U ovom članku dat ćemo odgovarajuću definiciju, a također ćemo razmotriti pitanje kako pronaći razliku aritmetičke progresije i dati niz primjera.

Matematička definicija

Sta ako mi pričamo o aritmetičkoj ili algebarskoj progresiji (ovi koncepti definiraju istu stvar), to znači da postoji numeričke serije, koji zadovoljava sljedeći zakon: svaka dva susjedna broja u nizu razlikuju se za istu vrijednost. Matematički, ovo se piše ovako:

Ovdje n označava broj elementa a n u nizu, a broj d je razlika progresije (njegov naziv slijedi iz predstavljene formule).

Šta znači znati razliku d? O tome koliko su susjedni brojevi udaljeni. Međutim, poznavanje d je neophodan, ali ne i dovoljan uslov za određivanje (obnavljanje) cjelokupne progresije. Morate znati još jedan broj, koji može biti apsolutno bilo koji element serije koja se razmatra, na primjer, 4, a10, ali se u pravilu koristi prvi broj, odnosno 1.

Formule za određivanje elemenata progresije

Općenito, gore navedene informacije su već dovoljne da se pređe na rješenje specifične zadatke. Ipak, prije nego što se zada aritmetička progresija, te će biti potrebno pronaći njenu razliku, predstavljamo nekoliko korisnih formula, čime se olakšava kasniji proces rješavanja problema.

Lako je pokazati da se bilo koji element niza s brojem n može pronaći na sljedeći način:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Zaista, svako može provjeriti ovu formulu jednostavnim nabrajanjem: ako zamijenite n = 1, onda ćete dobiti prvi element, ako zamijenite n = 2, onda izraz daje zbir prvog broja i razlike, i tako dalje .

Uslovi mnogih zadataka sastavljeni su na način da je za poznati par brojeva, čiji su brojevi takođe dati u nizu, potrebno vratiti čitav niz brojeva (naći razliku i prvi element). Sada ćemo riješiti ovaj problem u opšti pogled.

Dakle, recimo da su nam data dva elementa sa brojevima n i m. Koristeći gornju formulu, možemo sastaviti sistem od dvije jednačine:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Da bismo pronašli nepoznate količine, koristimo poznate jednostavan trik rješenja takvog sistema: oduzimamo parno lijevi i desni dio, dok jednakost ostaje važeća. Imamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo eliminisali jednu nepoznatu (a 1). Sada možemo napisati konačni izraz za određivanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdje je n > m

Primili smo veoma jednostavna formula: za izračunavanje razlike d u skladu sa uslovima zadatka potrebno je samo uzeti omjer razlika samih elemenata i njihovih serijskih brojeva. Treba se fokusirati na jedno važna tačka pažnja: uzimaju se razlike između "starijih" i "mlađih" članova, odnosno n > m ("stariji" - što znači da stoji dalje od početka niza, njegov apsolutna vrijednost može biti veći ili manji od "mlađeg" elementa).

Izraz za razliku d progresije treba zamijeniti u bilo koju od jednadžbi na početku rješenja zadatka da bi se dobila vrijednost prvog člana.

U našem dobu razvoja kompjuterska tehnologija mnogi školarci pokušavaju pronaći rješenja za svoje zadatke na internetu, pa se često postavljaju pitanja ovog tipa: pronaći razliku aritmetičke progresije na internetu. Na takav zahtjev pretraživač će prikazati određeni broj web stranica, odlaskom na koje ćete morati unijeti podatke poznate iz uvjeta (mogu biti ili dva člana progresije ili zbir nekog od njih) i odmah dobiti odgovor. Ipak, takav pristup rješavanju problema je neproduktivan u smislu razvoja učenika i razumijevanja suštine zadatka koji mu je dodijeljen.

Rješenje bez korištenja formula

Hajde da riješimo prvi problem, a nećemo koristiti nijednu od gornjih formula. Neka su dati elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Nađi razliku aritmetičke progresije.

Poznati elementi su blizu jedan drugom u nizu. Koliko puta se razlika d mora dodati najmanjoj da bi se dobila najveća? Tri puta (prvi put dodavanjem d dobijamo 7. element, drugi put - osmi, na kraju, treći put - deveti). Koji broj treba dodati tri puta da dobijemo 18? Ovo je broj pet. stvarno:

Dakle, nepoznata razlika je d = 5.

Naravno, rješenje bi se moglo napraviti pomoću odgovarajuće formule, ali to nije učinjeno namjerno. Detaljno objašnjenje rješavanje problema treba biti jasno i odličan primjerŠta je aritmetička progresija.

Zadatak sličan prethodnom

Sada ćemo riješiti sličan problem, ali promijenimo ulazne podatke. Dakle, trebali biste pronaći ako je a3 = 2, a9 = 19.

Naravno, možete ponovo posegnuti za metodom rješavanja "na čelo". Ali budući da su elementi serije dati, koji su relativno udaljeni jedan od drugog, takva metoda nije baš zgodna. Ali korištenje rezultirajuće formule brzo će nas dovesti do odgovora:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Ovdje smo zaokružili konačan broj. Koliko je ovo zaokruživanje dovelo do greške može se procijeniti provjerom rezultata:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ovaj rezultat se razlikuje za samo 0,1% od vrijednosti date u uvjetu. Stoga se zaokruživanje na stotinke može smatrati dobrim izborom.

Zadaci za primjenu formule za člana

Razmislite klasičan primjer zadaci za određivanje nepoznate d: pronaći razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 12, a5 = 40.

Kada su data dva broja nepoznatog algebarskog niza, a jedan od njih je element a 1, onda ne morate dugo razmišljati, već odmah treba primijeniti formulu za a n član. AT ovaj slučaj imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Tačan broj smo dobili prilikom dijeljenja, tako da nema smisla provjeravati tačnost izračunatog rezultata, kao što je to urađeno u prethodnom pasusu.

Rešimo još jedan sličan problem: trebalo bi da pronađemo razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 16, a8 = 37.

Koristimo sličan pristup prethodnom i dobijamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Šta još trebate znati o aritmetičkoj progresiji

Pored zadataka pronalaženja nepoznate razlike odn pojedinačni elementi, često je potrebno riješiti probleme sume prvih članova niza. Razmatranje ovih problema je izvan okvira teme članka, ali, radi potpunosti informacija, donosimo opšta formula za zbir n brojeva serije:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Online kalkulator.
Rješenje aritmetičke progresije.
Dato: a n , d, n
Pronađite: a 1

Ovaj matematički program pronalazi \(a_1\) aritmetičke progresije na osnovu korisničkih brojeva \(a_n, d \) i \(n \).
Brojevi \(a_n\) i \(d \) mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci. Štaviše, razlomak broj može se unijeti kao decimalni (\(2,5 \)) i kao običan razlomak(\(-5\frac(2)(7) \)).

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan srednjoškolcima opšteobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je prije moguće? zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili trenirati svoje mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate sa njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi \(a_n\) i \(d \) mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Broj \(n\) može biti samo pozitivan cijeli broj.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomak u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale tako 2,5 ili tako 2,5

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Kada uđete numerički razlomak Brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Unos:
Rezultat: \(-\frac(2)(3) \)

cijeli dio odvojeno od razlomka ampersandom: &
Unos:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3) \)

Unesite brojeve a n , d, n

Pronađite 1

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Numerički niz

Numeracija se često koristi u svakodnevnoj praksi. razne predmete da naznače njihov redosled. Na primjer, kuće u svakoj ulici su numerisane. U biblioteci se čitalačke pretplate numerišu, a zatim raspoređuju prema dodijeljenim brojevima u posebne kartoteke.

U štedionici, po broju ličnog računa deponenta, lako možete pronaći ovaj račun i vidjeti kakav je depozit. Neka bude depozit od a1 rublje na račun br. 1, depozit od a2 rublje na račun br. 2, itd. Ispada numerički niz
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
gdje je N broj svih računa. Ovdje je svakom prirodnom broju n od 1 do N dodijeljen broj a n.

Matematika takođe studira beskonačni nizovi brojeva:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Broj a 1 se zove prvi član niza, broj a 2 - drugi član niza, broj a 3 - treći član niza itd.
Poziva se broj a n n-ti (n-ti) član niza, a prirodni broj n je njegov broj.

Na primjer, u nizu kvadrata prirodni brojevi 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... i 1 = 1 je prvi član niza; i n = n 2 je n-ti član sekvence; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-ti (en plus prvi) član niza. Često se niz može specificirati formulom njegovog n-tog člana. Na primjer, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) daje niz \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetička progresija

Dužina godine je otprilike 365 dana. Više tačna vrijednost jednako \(365\frac(1)(4) \) dana, tako da se svake četiri godine akumulira greška od jednog dana.

Da bi se objasnila ova greška, svakoj četvrtoj godini dodaje se dan, a produžena godina se naziva prijestupnom.

Na primjer, u trećem milenijumu prijestupne godine godine su 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

U ovom nizu, svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, dodanom sa istim brojem 4. Takvi nizovi se nazivaju aritmetičke progresije.

Definicija.
Numerički niz a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... naziva se aritmetička progresija, ako je za sve prirodne n jednakost
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
gdje je d neki broj.

Iz ove formule slijedi da je a n+1 - a n = d. Broj d naziva se razlika aritmetička progresija.

Po definiciji aritmetičke progresije, imamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
gdje
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), gdje je \(n>1 \)

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna člana. Ovo objašnjava naziv "aritmetička" progresija.

Imajte na umu da ako su dati a 1 i d, onda se preostali članovi aritmetičke progresije mogu izračunati korištenjem rekurzivne formule a n+1 = a n + d. Na ovaj način nije teško izračunati prvih nekoliko članova progresije, međutim, na primjer, za 100 će već biti potrebno mnogo proračuna. Obično se za to koristi formula n-tog pojma. Prema definiciji aritmetičke progresije
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
itd.
općenito,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
pošto se n-ti član aritmetičke progresije dobija od prvog člana zbrajanjem (n-1) puta broja d.
Ova formula se zove formula n-tog člana aritmetičke progresije.

Zbir prvih n članova aritmetičke progresije

Nađimo zbir svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Ovu sumu zapisujemo na dva načina:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Ove jednakosti dodajemo pojam po član:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
U ovoj sumi ima 100 pojmova.
Dakle, 2S = 101 * 100, odakle je S = 101 * 50 = 5050.

Razmotrimo sada proizvoljnu aritmetičku progresiju
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Neka je S n zbir prvih n članova ove progresije:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Onda zbir prvih n članova aritmetičke progresije je
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Budući da \(a_n=a_1+(n-1)d \), onda zamjenom a n u ovoj formuli, dobijamo drugu formulu za pronalaženje sume prvih n članova aritmetičke progresije:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova na mreži Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

Uputstvo

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Broj d korak progresije.Očigledno, zbir proizvoljnog n-og člana aritmetike progresije ima oblik: An = A1+(n-1)d. Zatim poznavanje jednog od članova progresije, član progresije i korak progresije, može biti , odnosno broj progresijskog člana. Očigledno, to će biti određeno formulom n = (An-A1+d)/d.

Neka sada bude poznat m-ti pojam progresije i još neki član progresije- n-ti, ali n , kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju. Korak progresije može se izračunati po formuli: d = (An-Am)/(n-m). Tada je n = (An-Am+md)/d.

Ako je zbir nekoliko elemenata aritmetike progresije, kao i njegov prvi i zadnji , tada se može odrediti i broj ovih elemenata. progresijeće biti jednako: S = ((A1+An)/2)n. Tada su n = 2S/(A1+An) chdenov progresije. Koristeći činjenicu da je An = A1+(n-1)d, ova formula se može prepisati kao: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz ovoga se može izraziti n rješavanjem kvadratna jednačina.

Aritmetički niz je takav uređeni skup brojeva čiji se svaki član, osim prvog, razlikuje od prethodnog za isti iznos. Ova konstanta se naziva razlika progresije ili njenog koraka i može se izračunati iz poznatih članova aritmetičke progresije.

Uputstvo

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uslova zadatka, da biste izračunali razliku (d), jednostavno oduzmite prethodni član od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivna ili negativan broj- zavisi od toga da li se progresija povećava. AT opšti oblik napišite rješenje za proizvoljan par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par članova takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi bilo koji drugi proizvoljno izabran, može se napraviti i formula za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju, serijski broj (i) proizvoljno izabranog člana niza mora biti poznat. Da biste izračunali razliku, saberite oba broja, a rezultat podijelite rednim brojem proizvoljnog člana smanjenom za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ako je pored proizvoljnog člana aritmetičke progresije sa rednim brojem i poznat još jedan član sa rednim brojem u, u skladu s tim promijenite formulu iz prethodnog koraka. U ovom slučaju, razlika (d) progresije će biti zbir ova dva člana podijeljen s razlikom u njihovim rednim brojevima: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) postaje nešto složenija ako se, u uvjetima problema, vrijednost njegovog prvog člana (a₁) i zbroj (Sᵢ) datog broja (i) prvih članova grupe dat je aritmetički niz. Da biste dobili željenu vrijednost, podijelite zbroj s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite sa brojem članova koji su činili zbroj umanjenim za jedan. Općenito, zapišite formulu za izračunavanje diskriminanta na sljedeći način: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).