Definicija osnovnog razlomka logaritma. Definicija logaritma, osnovni logaritamski identitet
Pročitajte također
Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Imajte na umu da logaritam nepozitivnog broja nije definiran. Također, osnova logaritma mora biti pozitivan broj, ne jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobićemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam baze -2 od 4 2.
Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Važno je da se domeni definicije desnog i lijevog dijela ove formule razlikuju. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b, i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednačina i nejednačina može dovesti do promjene DPV-a.
Dvije očigledne posljedice definicije logaritma
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Zaista, kada broj a podignemo na prvi stepen, dobijamo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen dobijamo jedan.
Logaritam proizvoda i logaritam kvocijenta
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Želio bih upozoriti školarce na nepromišljenu primjenu ovih formula prilikom rješavanja logaritamske jednačine i nejednakosti. Kada se koriste "s lijeva na desno", ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbira ili razlike logaritama na logaritam proizvoda ili količnika, ODZ se širi.
Zaista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne ili kada su f(x) i g(x) oba manje od nule.
Transformirajući ovaj izraz u zbir log a f (x) + log a g (x), primorani smo da se ograničimo samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Dolazi do sužavanja područja dozvoljene vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).
Stepen se može izvaditi iz predznaka logaritma
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)I opet bih želeo da pozovem na tačnost. Razmotrite sljedeći primjer:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Lijeva strana jednakosti je očito definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Uzimajući snagu iz logaritma, ponovo sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona dozvoljenih vrijednosti. Sve ove napomene ne odnose se samo na stepen 2, već i na svaku parnu potenciju.
Formula za prelazak u novu bazu
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tokom konverzije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivna i nije jednaka 1), formula za prelazak na novu bazu je savršeno sigurna.
Ako odaberemo broj b kao novu bazu c, dobijamo važnu poseban slučaj formule (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima
Primjer 1 Izračunajte: lg2 + lg50.
Odluka. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbir logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.
Primjer 2 Izračunajte: lg125/lg5.
Odluka. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo novu formulu baznog prelaza (8).
Tabela formula vezanih za logaritme
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Počnimo sa svojstva logaritma jedinice. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak je nuli, tj. log a 1=0 za bilo koje a>0 , a≠1 . Dokaz je jednostavan: pošto je a 0 =1 za bilo koje a koje zadovoljava gornje uslove a>0 i a≠1, onda dokazana jednakost log a 1=0 odmah slijedi iz definicije logaritma.
Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0 , lg1=0 i .
Idemo dalje slijedeća nekretnina: logaritam broja jednakog osnovici jednak je jedan, tj. log a a=1 za a>0 , a≠1 . Zaista, pošto je a 1 =a za bilo koje a , onda je po definiciji logaritma log a a=1 .
Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su log 5 5=1 , log 5.6 5.6 i lne=1 .
Na primjer, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i 
.
Logaritam proizvoda dva pozitivna broja x i y jednak je proizvodu logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma proizvoda. Zbog svojstava stepena a log a x+log a y =a log a x a log a y, i pošto je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y , onda je log a x a log a y =x y . Dakle, log a x+log a y =x y , odakle tražena jednakost slijedi iz definicije logaritma.
Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma proizvoda: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i 
.
Svojstvo logaritma proizvoda može se generalizirati na proizvod konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ova jednakost se lako dokazuje.
Na primjer, prirodni logaritam proizvoda može se zamijeniti zbirom tri prirodna logaritma brojeva 4 , e i .
Logaritam količnika dva pozitivna broja x i y jednaka je razlici između logaritama ovih brojeva. Svojstvo kvocijentnog logaritma odgovara formuli oblika , gdje su a>0, a≠1, x i y neki pozitivni brojevi. Valjanost ove formule dokazuje se kao formula za logaritam proizvoda: pošto 
, zatim po definiciji logaritma .
Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: 
.
Idemo dalje svojstvo logaritma stepena. Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta i logaritma modula baze ovog stepena. Ovo svojstvo logaritma stepena zapisujemo u obliku formule: log a b p =p log a |b|, gdje su a>0, a≠1, b i p brojevi takvi da stepen b p ima smisla i b p >0.
Prvo ćemo dokazati ovo svojstvo za pozitivno b . Main logaritamski identitet omogućava nam da broj b predstavimo kao log a b , zatim b p =(a log a b) p , a rezultirajući izraz, na osnovu svojstva snage, jednak je a p log a b . Tako dolazimo do jednakosti b p =a p log a b , iz koje, po definiciji logaritma, zaključujemo da je log a b p =p log a b .
Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativan b . Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativan b ima smisla samo za parne eksponente p (pošto vrijednost stepena b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), a u ovom slučaju b p =|b| p . Onda b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odakle log a b p =p log a |b| .
Na primjer, 
i ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
To proizilazi iz prethodnog svojstva svojstvo logaritma iz korijena: logaritam korijena n-tog stepena jednak je proizvodu razlomka 1/n i logaritma korijenskog izraza, tj. 
, gdje je a>0 , a≠1 , n – prirodni broj, veći od jedan, b>0 .
Dokaz se zasniva na jednakosti (vidi ), koja vrijedi za bilo koji pozitivan b , i svojstvu logaritma stepena: 
.
Evo primjera korištenja ovog svojstva: 
.
Sada dokažimo formulu konverzije u novu bazu logaritma vrsta 
. Da biste to učinili, dovoljno je dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b log c a . Osnovni logaritamski identitet nam omogućava da broj b predstavimo kao log a b, zatim log c b=log c a log a b. Ostaje koristiti svojstvo logaritma stepena: log c a log a b = log a b log c a. Time je dokazana jednakost log c b=log a b log c a, što znači da je dokazana i formula za prelazak na novu bazu logaritma.
Pokažimo nekoliko primjera primjene ovog svojstva logaritama: i 
.
Formula za prelazak na novu bazu omogućava vam da pređete na rad s logaritmima koji imaju "prikladnu" bazu. Na primjer, može se koristiti za prebacivanje na prirodne ili decimalne logaritme tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prijelaz na novu bazu logaritma također u nekim slučajevima omogućava pronalaženje vrijednosti datog logaritma, kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.
Često se koristi poseban slučaj formule tranzicije na novu bazu logaritma za c=b oblika 
. Ovo pokazuje da su log a b i log b a – . Na primjer, 
.
Često se koristi i formula 
, što je korisno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili naše riječi, pokazat ćemo kako se pomoću njega izračunava vrijednost logaritma obrasca. Imamo 
. Da dokažem formulu 
dovoljno je koristiti formulu prijelaza na novu bazu logaritma a: 
.
Ostaje dokazati svojstva poređenja logaritama.
Dokažimo da je za bilo koje pozitivne brojeve b 1 i b 2 , b 1 log a b 2 , a za a>1, nejednakost log a b 1 Konačno, ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava logaritama. Ograničavamo se na dokazivanje njegovog prvog dijela, odnosno dokazujemo da ako je a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 je tačno log a 1 b>log a 2 b . Preostale tvrdnje ovog svojstva logaritama dokazuju se sličnim principom. Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da je za a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je tačno. Po svojstvima logaritma, ove nejednačine se mogu prepisati kao 
i 
respektivno, a iz njih proizilazi da je log b a 1 ≤log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2, respektivno. Tada, prema svojstvima stepena sa istim bazama, moraju biti zadovoljene jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, odnosno a 1 ≥a 2 . Dakle, došli smo do kontradikcije sa uslovom a 1
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).
(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) se zove takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Drugim riječima logaritam brojevi b razumom a formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).
Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.
Na primjer:
log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .
Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki sa. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepen broja.
Pominje se izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzme logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvod faktora.
Često se koriste realni logaritmi sa osnovama 2 (binarni), e Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalni).
U ovoj fazi, vredi razmisliti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer se u prvom od njih stavlja negativan broj ispod znaka logaritma, u drugom - negativan broj u bazu, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.
Uslovi za određivanje logaritma.
Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto se uzimaju ova ograničenja. Ovo će nam pomoći sa jednakošću oblika x = log α b, koji se naziva osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz gore date definicije logaritma.
Uzmite uslov a≠1. Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.
Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda shodno tome log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen koji nije nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uslov a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, jer je eksponent sa racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Iz tog razloga je stanje a>0.
I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, budući da je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.
Osobine logaritama.
Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšala mukotrpna izračunavanja. U prelasku "u svijet logaritama" množenje se pretvara u mnogo lakše sabiranje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.
Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tabele, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronski kalkulatori i računari.
U vezi sa
može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Dato je a, a zatim se N nalazi eksponencijacijom. Ako je zadano N, a onda se a nađe izvlačenjem korijena stepena x (ili eksponencijacije). Sada razmotrite slučaj kada je, dato a i N, potrebno pronaći x.
Neka je broj N pozitivan: broj a je pozitivan i nije jednak jedinici: .
Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji trebate podići a da biste dobili broj N; logaritam je označen sa
Dakle, u jednakosti (26.1), eksponent se nalazi kao logaritam od N prema bazi a. Unose
imaju isto značenje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva osnovnim identitetom teorije logaritama; u stvari, izražava definiciju koncepta logaritma. Prema ovoj definiciji, baza logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, inače zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za sve vrijednosti x i y.
Primjer 1. Pronađite
Odluka. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na stepen.
Prilikom rješavanja takvih primjera možete snimati u sljedećem obliku:
Primjer 2. Pronađite .
Odluka. Imamo
U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući logaritamski broj kao stepen baze sa racionalnim eksponentom. U opštem slučaju, na primjer, za itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U § 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvođenje logaritama, koji generalno mogu biti iracionalni brojevi.
Razmotrimo neka svojstva logaritama.
Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedan, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.
Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle
Obrnuto, neka Onda po definiciji
Svojstvo 2. Logaritam jedinice bilo koje baze jednak je nuli.
Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde
Q.E.D.
Obrnuta izjava je također tačna: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .
Prije nego što navedemo sljedeće svojstvo logaritma, slažemo se reći da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda kažemo da leže na suprotnim stranama od c.
Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; ako broj i baza leže na suprotnim stranama jedinice, tada je logaritam negativan.
Dokaz svojstva 3 zasniva se na činjenici da je stepen a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan, ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Stepen je manji od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan, ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.
Postoje četiri slučaja koja treba razmotriti:
Ograničavamo se na analizu prvog od njih, ostalo će čitalac razmotriti sam.
Neka eksponent u jednakosti nije ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj. što je i trebalo dokazati.
Primjer 3. Saznajte koji su od sljedećih logaritama pozitivni, a koji negativni:
Rešenje, a) pošto se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedinice;
b) , budući da se 1000 i 2 nalaze na istoj strani jedinice; istovremeno, nije bitno da je baza veća od logaritamskog broja;
c), pošto 3.1 i 0.8 leže na suprotnim stranama jedinice;
G) ; zašto?
e) ; zašto?
Sljedeća svojstva 4-6 se često nazivaju pravilima logaritma: ona omogućavaju, znajući logaritme nekih brojeva, da se pronađu logaritmi njihovog proizvoda, količnik, stepen svakog od njih.
Svojstvo 4 (pravilo za logaritam proizvoda). Logaritam proizvoda više pozitivnih brojeva u datoj bazi jednak je zbiru logaritama ovih brojeva u istoj bazi.
Dokaz. Neka su dati pozitivni brojevi.
Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:
Odavde nalazimo
Upoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo traženu jednakost:
Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativna broja ima smisla, ali u ovom slučaju dobijamo
Općenito, ako je proizvod više faktora pozitivan, onda je njegov logaritam jednak zbiru logaritama modula ovih faktora.
Svojstvo 5 (pravilo kvocijentnog logaritma). Logaritam količnika pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja, uzetih u istoj osnovi. Dokaz. Konzistentno pronađite
Q.E.D.
Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženog sa eksponentom.
Dokaz. Ponovo pišemo glavni identitet (26.1) za broj:
Q.E.D.
Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu korijenskog broja podijeljenom sa eksponentom korijena:
Možemo dokazati valjanost ove posljedice tako što ćemo predstaviti kako i koristeći svojstvo 6.
Primjer 4. Logaritam na osnovu a:
a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);
b) (pretpostavlja se da ).
Rješenje, a) Zgodno je ovaj izraz prijeći na razlomke:
Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7) sada možemo napisati:
Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva se zbrajaju njihovi logaritmi, pri dijeljenju oduzimaju itd.
Zbog toga su logaritmi korišćeni u računarskoj praksi (videti odeljak 29).
Radnja inverzna logaritmu naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam taj broj pronalazi datim logaritmom broja. U suštini, potenciranje nije neka posebna radnja: ona se svodi na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" može se smatrati sinonimom za termin "potenciranje".
Prilikom potenciranja potrebno je koristiti pravila koja su inverzna pravilima logaritma: zamijeniti zbir logaritama logaritmom umnoška, razliku logaritama logaritmom količnika itd. Posebno, ako postoji bilo koji faktor ispred predznaka logaritma, tada se tokom potenciranja mora prenijeti na indikatorske stupnjeve ispod predznaka logaritma.
Primjer 5. Naći N ako je to poznato
Odluka. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktori 2/3 i 1/3, koji se nalaze ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti, biće prebačeni u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo
Sada zamjenjujemo razliku logaritama logaritmom kvocijenta:
da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (odjeljak 25).
Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, tada veći broj ima veći logaritam (a manji manji), ako je baza manja od jedan, onda veći broj ima manji logaritam (i manji jedan ima veći).
Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za logaritam nejednačina, čija su oba dijela pozitivna:
Kada se logaritam nejednačina uzme na osnovu veću od jedan, čuva se predznak nejednakosti, a kada se logaritam uzme na bazu manju od jedan, predznak nejednakosti se obrće (vidi i tačku 80).
Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , onda i, uzimajući logaritam, dobijamo
(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde
Slučaj a slijedi, čitalac će to sam shvatiti.
Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i demonstrirati primjeri rješenja.
Oni sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula na rješenje, podsjećamo za vas, prvo sva svojstva:
Sada, na osnovu ovih formula (osobina), prikazujemo primjeri rješavanja logaritama.
Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.
Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.
Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, pa log a a x = x.
Logaritmi, primjeri:
log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8
log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritam je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.
log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100
prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali s bazom e (e = 2,71828 ... - iracionalan broj). Pominje se kao ln.
Poželjno je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Proradimo još jednom svaku formulu s primjerima.
- Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Svojstva stepena logaritamskog broja i osnove logaritma
Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b
Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prelazak na novu osnovu
log a b = log c b / log c a,ako je c = b, dobijamo log b b = 1
tada je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!
Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.
Napomena: odlučio sam se kao opciju školovati na drugom razrednom studiju u inostranstvu.