Jak odejmować ułamki całkowite o różnych mianownikach. Odejmowanie ułamków zwykłych: zasady, przykłady, rozwiązania

Na tej lekcji omówione zostanie dodawanie i odejmowanie. ułamki algebraiczne z tymi samymi mianownikami. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Nauka pracy z ułamkami zwykłymi o podobnych mianownikach jest jednym z kamieni węgielnych nauki pracy z ułamkami algebraicznymi. W szczególności zrozumienie tego tematu ułatwi opanowanie bardziej złożonego tematu - dodawania i odejmowania ułamków za pomocą różne mianowniki. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach, a także przeanalizujemy cała linia typowe przykłady

Zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih ułamki od jeden na ciebie -mi know-me-na-te-la-mi (zbiega się to z analogiczną zasadą dla zwykłych uderzeń strzałowych): czyli do dodawania lub obliczania ułamków al-geb-ra-i-che-skih z jeden do ciebie know-me-on-the-la-mi konieczne -ho-di-mo-kompiluj odpowiednią al-geb-ra-i-che-sumę liczb, a znak-me-na-tel wyjdź bez żadnych.

Rozumiemy tę zasadę zarówno na przykładzie zwykłych losowań ven, jak i na przykładzie trafienia al-geb-ra-i-che-dres.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków zwykłych

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Dodajmy liczbę ułamków i zostawmy znak bez zmian. Następnie rozkładamy liczbę i podpisujemy na proste wielokrotności i kombinacje. Chodźmy po to: .

Uwaga: standardowy błąd dozwolony przy rozwiązywaniu podobnych typów przykładów dla -klu-cha-et-sya w następującym możliwym rozwiązaniu: . Jest to rażący błąd, ponieważ znak pozostaje taki sam, jak w pierwotnych ułamkach.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Ten nie różni się niczym od poprzedniego: .

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków algebraicznych

Od zwykłych dro-beatów przechodzimy do al-geb-ra-i-che-skim.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie: jak już wspomniano powyżej, skład frakcji al-geb-ra-i-che w niczym nie różni się od słowa to samo, co zwykłe strzelaniny. Dlatego metoda rozwiązania jest taka sama: .

Przykład 4. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie

You-chi-ta-nie frakcji al-geb-ra-i-che-skih z dodawania tylko przez fakt, że w liczbie pi-sy-va-et-sya różnica w liczbie użytych frakcji. Dlatego .

Przykład 5. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie: .

Przykład 6. Uprość: .

Rozwiązanie: .

Przykłady zastosowania reguły, po której następuje redukcja

W ułamku, który ma to samo znaczenie w wyniku składania lub obliczania, możliwe są kombinacje nia. Ponadto nie należy zapominać o ODZ frakcji al-geb-ra-i-che-skih.

Przykład 7. Uprość: .

Rozwiązanie: .

W której . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ODZ początkowych ułamków pokrywa się z ODZ całości, to można go pominąć (w końcu ułamek będący w odpowiedzi również nie będzie istniał z odpowiednimi znaczącymi zmianami). Jeśli jednak ODZ użytych frakcji i odpowiedź nie są zgodne, należy wskazać ODZ.

Przykład 8. Uprość: .

Rozwiązanie: . Jednocześnie y (ODZ frakcji początkowych nie pokrywa się z ODZ wyniku).

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodać i odczytać ułamki al-geb-ra-i-che z różnymi know-me-on-la-mi, wykonujemy ana-lo -giyu z ułamkami zwykłymi-ven-ny i przenosimy je do al-geb -ra-i-che-ułamki.

Spójrzmy na najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadach dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamek należy doprowadzić go do wspólnego znaku. W roli znaku ogólnego dla ułamków zwykłych działasz najmniejsza wspólna wielokrotność(NOK) znaki początkowe.

Definicja

Najmniejsza liczba, która jest jednocześnie podzielona na liczby i.

Aby znaleźć NOC, należy rozbić wiedzę na proste zbiory, a następnie wybrać wszystko, czego jest wiele, co wchodzi w zakres podziału obu znaków.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wiedzy ogólnej konieczne jest, aby każdy z ułamków znalazł pełnego rezydenta krotności (w rzeczywistości wylał wspólny znak na znak odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez półpełny współczynnik. Znajdźmy kilka ułamków zwykłych, które znamy, dodajmy je i odczytajmy – omówiliśmy to na poprzednich lekcjach.

Jedzmy: .

Odpowiedź:.

Przyjrzyjmy się teraz składowi ułamków al-geb-ra-i-che o różnych znakach. Teraz spójrzmy na ułamki i zobaczmy, czy są jakieś liczby.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Al-go-rytm decyzji abs-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen do poprzedniego przykładu. Łatwo jest wziąć wspólny znak danych ułamków: i dodatkowe mnożniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

A więc formujmy al-go-rytm dodawania i obliczania ułamków al-geb-ra-i-che-skih o różnych znakach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny znak ułamka.

2. Znajdź dodatkowe mnożniki dla każdego z ułamków (w rzeczywistości podany jest wspólny znak znaku -ty ułamek).

3. Liczby do wielu na odpowiadających im wielokrotnościach do pełnych.

4. Dodawaj lub obliczaj ułamki, korzystając z dodawania praw do mniejszości i obliczając ułamki z tą samą wiedzą -me-na-te-la-mi.

Spójrzmy teraz na przykład z ułamkami zwykłymi, w znaku których znajdują się litery ty -nia.

Jak wiemy z matematyki, liczba ułamkowa składa się z licznika i mianownika. Licznik znajduje się na górze, a mianownik na dole.

Wykonywanie operacji matematycznych polegających na dodawaniu lub odejmowaniu wielkości ułamkowych o tym samym mianowniku jest dość proste. Wystarczy, że będziesz mógł dodawać lub odejmować liczby w liczniku (powyżej), a ta sama dolna liczba pozostanie niezmieniona.

Weźmy na przykład liczbę ułamkową 7/9 tutaj:

• liczba „siedem” na górze to licznik;
• liczba „dziewięć” poniżej jest mianownikiem.

Przykład 1. Dodatek:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Przykład 2. Odejmowanie:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Odejmowanie prostych wartości ułamkowych, które mają różne mianowniki

Aby wykonać operację matematyczną polegającą na odejmowaniu wielkości o różnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić je do jednego mianownika. Wykonując to zadanie należy przestrzegać zasady, że to wspólny mianownik powinno być najmniej możliwe opcje.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę dwie proste wielkości o różnych mianownikach (niższe liczby): 7/8 i 2/9.

Konieczne jest odjęcie drugiej wartości od pierwszej wartości.

Rozwiązanie składa się z kilku kroków:

1. Znajdź wspólną niższą liczbę, tj. coś, co jest podzielne zarówno przez niższą wartość pierwszego ułamka, jak i drugiego. Będzie to liczba 72, ponieważ jest wielokrotnością liczb osiem i dziewięć.

2. Dolna cyfra każdego ułamka wzrosła:

• liczba „osiem” w ułamku 7/8 wzrosła dziewięciokrotnie - 8*9=72;
• liczba „dziewięć” w ułamku 2/9 wzrosła ośmiokrotnie - 9*8=72.

3. Jeżeli zmienił się mianownik (dolna cyfra), to licznik (górna cyfra) również musi się zmienić. Zgodnie z istniejącą regułą matematyczną, górną liczbę należy zwiększyć dokładnie o tę samą kwotę, co dolna. To jest:

• licznik „siedem” w pierwszym ułamku (7/8) mnoży się przez liczbę „dziewięć” - 7*9=63;
• Licznik „dwa” w drugim ułamku (2/9) mnożymy przez liczbę „osiem” - 2*8=16.

4. W wyniku naszych działań otrzymaliśmy dwie nowe ilości, które jednak są identyczne z pierwotnymi.

• pierwszy: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• druga: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Teraz można odjąć jedną liczbę ułamkową od drugiej:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Wykonując tę ​​czynność, wracamy do tematu odejmowania ułamków o tych samych dolnych cyfrach (mianownikach). Oznacza to, że akcja odejmowania zostanie przeprowadzona na górze, w liczniku, a dolna cyfra zostanie przeniesiona bez zmian.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Przykład 4

Skomplikujmy problem, biorąc do rozwiązania kilka ułamków z różnymi, ale wieloma liczbami na dole.

Podane wartości to: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Należy je od siebie oddalić w tej kolejności.

1. Sprowadzamy ułamki powyższą metodą do wspólnego mianownika, którym będzie liczba „24”:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - tę ostatnią wartość pozostawiamy bez zmian, ponieważ mianownik jest Łączna„24”.

2. Odejmujemy wszystkie ilości:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Ponieważ licznik i mianownik powstałego ułamka są podzielne przez jedną liczbę, można je zmniejszyć, dzieląc przez liczbę „trzy”:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Odpowiedź piszemy w ten sposób:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Przykład 5

Dane są trzy ułamki zwykłe o niewielokrotnych mianownikach: 3/4; 2/7; 1/13.

Musisz znaleźć różnicę.

1. Sprowadzamy dwie pierwsze liczby do wspólnego mianownika, będzie to liczba „28”:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Odejmij od siebie dwa pierwsze ułamki:

¾-2/7 = 21/28-8/28 = (21-8) / 28 = 13/28.

3. Odejmij trzeci podany ułamek od otrzymanej wartości:

4. Sprowadzamy liczby do wspólnego mianownika. Jeśli nie jest możliwe wybranie tego samego mianownika więcej łatwa droga, wystarczy wykonać czynności, mnożąc kolejno wszystkie mianowniki przez siebie, nie zapominając o zwiększeniu wartości licznika o tę samą liczbę. W tym przykładzie robimy to:

• 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, gdzie 13 to dolna cyfra 5/13;
• 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, gdzie 28 to niższa liczba od 13/28.

5. Odejmij powstałe ułamki:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Odpowiedź: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Frakcje mieszane

W omówionych powyżej przykładach użyto tylko frakcji właściwych.

Jako przykład:

• 8/9 to ułamek właściwy;
• 9/8 jest błędne.

Nie da się zamienić ułamka niewłaściwego na ułamek właściwy, ale można go zamienić mieszany. Dlaczego dzielisz górną liczbę (licznik) przez dolną (mianownik), aby otrzymać liczbę z resztą? Liczbę całkowitą wynikającą z dzielenia zapisuje się w ten sposób, resztę wpisuje się w liczniku na górze, a mianownik na dole pozostaje taki sam. Aby było jaśniej, rozważmy konkretny przykład:

Przykład 6

Zamień ułamek niewłaściwy 9/8 na prawidłowy.

Aby to zrobić, podziel liczbę „dziewięć” przez „osiem”, uzyskując ułamek mieszany z liczbą całkowitą i resztą:

9:8 = 1 i 1/8 (można to zapisać inaczej jako 1+1/8), gdzie:

• liczba 1 to liczba całkowita wynikająca z dzielenia;
• kolejna liczba 1 to reszta;
• liczba 8 jest mianownikiem, który pozostaje niezmieniony.

Liczba całkowita nazywana jest także liczbą naturalną.

Reszta i mianownik to nowy, ale właściwy ułamek.

Liczbę 1 zapisuje się przed ułamkiem właściwym 1/8.

Odejmowanie liczb mieszanych o różnych mianownikach

Z powyższego podajemy definicję liczby ułamkowej mieszanej: "Pomieszane numery - jest to wielkość będąca sumą liczby całkowitej i ułamka zwykłego zwykłego. W tym przypadku nazywana jest cała część Liczba naturalna, a liczba, która pozostała, jest jego część ułamkowa».

Przykład 7

Dane: dwie mieszane wielkości ułamkowe składające się z liczby całkowitej i ułamka właściwego:

• pierwsza wartość to 9 i 4/7, czyli (9+4/7);
• druga wartość to 3 i 5/21, czyli (3+5/21).

Konieczne jest znalezienie różnicy między tymi wielkościami.

1. Aby odjąć 3+5/21 od 9+4/7, należy najpierw odjąć od siebie wartości całkowite:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Wynikowy wynik różnicy między dwiema liczbami mieszanymi będzie składał się z liczby naturalnej (całkowitej) 6 i ułamka właściwego 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematycy ze wszystkich krajów zgodzili się, że znak „+” przy zapisywaniu ilości mieszanych można pominąć i przed ułamkiem pozostawić tylko liczbę całkowitą bez znaku.

Jeden z najważniejszych nauk, którego zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie zwykłe ułamki, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

• Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

• Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widzimy, wiedząc proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.



Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam numer otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że ​​obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.



Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Te same operacje wykonujemy z pozostałymi ułamkami.

• 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:



Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

• Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
• Liczba 15 składa się z 5 x 3.
• Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą konieczne będzie pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika. Aby to zrobić, podziel znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego należy określić dodatkowe współczynniki.

• 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
• 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.



To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma cała część? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Mówienie w prostych słowach, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która wyjdzie po tych działaniach, jest licznikiem ułamka niewłaściwego. Mianownik pozostaje niezmieniony.
• Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
• Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.



Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków pełnych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.



Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz przekonwertować liczbę całkowitą na ułamek i z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) przedstawione w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.

W tej lekcji omówimy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach jest jednym z najważniejszych i trudne tematy w klasie 8. Co więcej, temat ten pojawi się w wielu tematach kursu algebry, którego będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów.

Rozważmy najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadzie dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) oryginalnych mianowników.

Definicja

Najmniej Liczba naturalna, który jest jednocześnie podzielny przez liczby i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybierz wszystkie czynniki pierwsze, które są uwzględnione w rozwinięciu obu mianowników.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika musisz znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Każdy ułamek jest następnie mnożony przez uzyskany dodatkowy współczynnik. Otrzymujemy ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, które nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw przyjrzyjmy się ułamkom, których mianownikami są liczby.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

Sformułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (podzielając wspólny mianownik przez mianownik danego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe współczynniki.

4. Dodawaj lub odejmij ułamki zwykłe, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, których mianownik zawiera wyrażenia literowe.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia literowe w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Zatem rozwiązanie tego przykładu wygląda następująco:.

Odpowiedź:.

Przykład 4. Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów na mnożenie), to musisz przyjąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najbardziej trudne zadanie jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Znajdując wspólny mianownik, należy najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (w celu uproszczenia wspólnego mianownika).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Ustalmy teraz zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

.

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodawane są nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla więcej ułamki pozostają takie same).

Przykład 8. Uproszczać: .

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci całkowitej liczby części lub udziałów jakiejś miary; Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.

Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Jednak celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnożone są ułamki mieszane o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:

• prawidłowy;
• błędny;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynik mnożenia ułamki proste o tych samych mianownikach jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków. Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z pierwotnie istniejących.

Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:

A/B * C/D = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że wynikowa liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i, oczywiście, kwadratu jednego wyrażenie numeryczne nie da się tego nazwać.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko z liczbami w mianownikach; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.

Razem z prostym liczby ułamkowe, istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia podano kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:

A* B/C = a*b /C.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

D* mi/F = mi/f: d.

Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy metody prezentacji frakcja mieszana błędnie, można to również przedstawić w formie ogólna formuła:

A BC = a*b+ c/c, gdzie jest mianownik nowy ułamek powstaje poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie jej przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.

Mnożenie ułamki niewłaściwe produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.

W Internecie jest wiele pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych różne odmiany programy. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczby mieszane. Łatwo z nim pracować; wypełniasz odpowiednie pola na stronie internetowej, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.

Temat działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych jest aktualny w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze się nauczył podstawowa wiedza obdarzyć całkowitym zaufaniem pomyślna decyzja bardzo złożone zadania.

Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Nie w mocy człowieka jest zwiększanie swojego licznika - swoich zasług - ale każdy może zmniejszyć swój mianownik - swoją opinię o sobie i przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.