Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Odejmowanie ułamków zwykłych: zasady, przykłady, rozwiązania

Na tej lekcji omówione zostanie dodawanie i odejmowanie. ułamki algebraiczne Z różne mianowniki. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach jest jednym z najważniejszych i trudne tematy w klasie 8. Co więcej, temat ten pojawi się w wielu tematach kursu algebry, którego będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy cała linia typowe przykłady.

Rozważmy najprostszy przykład Dla zwykłe ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadzie dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. W roli wspólny mianownik dla ułamków zwykłych najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) oryginalnych mianowników.

Definicja

Najmniej Liczba naturalna, który jest jednocześnie podzielny przez liczby i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybierz wszystkie czynniki pierwsze, które są uwzględnione w rozwinięciu obu mianowników.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika musisz znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Każdy ułamek jest następnie mnożony przez uzyskany dodatkowy współczynnik. Otrzymujemy ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, które nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw przyjrzyjmy się ułamkom, których mianownikami są liczby.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

Sformułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (podzielając wspólny mianownik przez mianownik danego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe współczynniki.

4. Dodawaj lub odejmij ułamki zwykłe, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, których mianownik zawiera wyrażenia literowe.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia literowe w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Zatem rozwiązanie tego przykładu wygląda następująco:.

Odpowiedź:.

Przykład 4. Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów na mnożenie), to musisz przyjąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najbardziej trudne zadanie jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Znajdując wspólny mianownik, należy najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (w celu uproszczenia wspólnego mianownika).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Ustalmy teraz zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

.

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodawane są nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla więcej ułamki pozostają takie same).

Przykład 8. Uproszczać: .

Jeden z najważniejszych nauk, którego zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie ułamków zwykłych, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

• Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

• Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widzimy, wiedząc proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.



Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam numer otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że ​​obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.



Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

To samo robimy z pozostałymi ułamkami.

• 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:



Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

• Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
• Liczba 15 składa się z 5 x 3.
• Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą trzeba będzie pomnożyć nie tylko mianownik, ale także licznik. Aby to zrobić, dzielimy znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego musimy określić dodatkowe czynniki.

• 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
• 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem przez 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.



To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma cała część? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Mówienie w prostych słowach, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która pojawi się po tych działaniach, jest licznikiem ułamek niewłaściwy. Mianownik pozostaje niezmieniony.
• Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
• Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.



Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków całkowitych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.



Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz zamienić całą liczbę na ułamek i to z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) przedstawione w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.

Twoje dziecko przyniosło Praca domowa ze szkoły i nie wiesz jak sobie z tym poradzić? Zatem ta mini lekcja jest dla Ciebie!

Jak dodać ułamki dziesiętne

Wygodniej jest dodawać ułamki dziesiętne w kolumnie. Aby wykonać dodawanie miejsca dziesiętne, musisz przestrzegać jednej prostej zasady:

• Miejsce musi znajdować się pod miejscem, przecinek pod przecinkiem.

Jak widać na przykładzie całe jednostki znajdują się pod sobą, cyfry dziesiątych i setnych znajdują się pod sobą. Teraz dodajemy liczby, ignorując przecinek. Co zrobić z przecinkiem? Przecinek zostaje przeniesiony na miejsce, w którym stał w kategorii całkowitej.

Dodawanie ułamków o równych mianownikach

Aby wykonać dodawanie o wspólnym mianowniku, należy zachować mianownik bez zmian, znaleźć sumę liczników i otrzymać ułamek, który będzie sumą całkowitą.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach metodą wspólnej wielokrotności

Pierwszą rzeczą, na którą musisz zwrócić uwagę, są mianowniki. Mianowniki są różne, czy nie są przez siebie podzielne, prawda liczby pierwsze. Najpierw musisz sprowadzić to do jednego wspólnego mianownika, można to zrobić na kilka sposobów:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, aby rozwiązać ten przykład, musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM), która będzie podzielna przez 2 mianowniki. Aby oznaczyć najmniejszą wielokrotność aib – LCM (a;b). W tym przykładzie LCM (3;4)=12. Sprawdzamy: 12:3=4; 12:4=3.
• Mnożymy czynniki i dodajemy powstałe liczby, otrzymujemy 13/12 - ułamek niewłaściwy.

• Aby zamienić ułamek niewłaściwy na właściwy, należy podzielić licznik przez mianownik, otrzymamy liczbę całkowitą 1, reszta 1 to licznik, a 12 to mianownik.

Dodawanie ułamków metodą krzyżową

Aby dodać ułamki o różnych mianownikach, istnieje inna metoda wykorzystująca formułę „krzyż na krzyż”. Jest to gwarantowany sposób na wyrównanie mianowników; aby to zrobić, musisz pomnożyć liczniki przez mianownik jednego ułamka i odwrotnie. Jeśli dopiero zaczynasz etap początkowy studiując ułamki, wówczas ta metoda jest najprostszym i najdokładniejszym sposobem uzyskania prawidłowego wyniku podczas dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki zajmuje Achillesowi pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ...dyskusje trwają do dziś, a środowisko naukowe nie zdołało jeszcze dojść do wspólnego stanowiska co do istoty paradoksów... zaangażowało się w badanie tego zagadnienia; Analiza matematyczna, teoria mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). Na co chcę zwrócić uwagę Specjalna uwaga, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ zapewniają różne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Odpowiedni teoria matematyczna zestawy dla samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...

A teraz mam ich najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest linia, poza którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że ​​mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Więc w różne systemy W rachunku różniczkowym suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem; już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli prowadzą do tych samych działań z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości różne wyniki po ich porównaniu wynika, że ​​nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopnia). I nie uważam, że ta dziewczyna jest głupia, nie znający się na fizyce. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.

Licznik i to, co jest dzielone przez, jest mianownikiem.

Aby zapisać ułamek, najpierw wpisz licznik, następnie narysuj poziomą linię pod liczbą i wpisz mianownik pod tą linią. Linię poziomą oddzielającą licznik od mianownika nazywa się linią ułamkową. Czasami jest przedstawiany jako ukośny „/” lub „∕”. W takim przypadku licznik jest zapisywany po lewej stronie linii, a mianownik po prawej stronie. Na przykład ułamek „dwie trzecie” zostanie zapisany jako 2/3. Dla jasności licznik jest zwykle zapisywany na górze linii, a mianownik na dole, czyli zamiast 2/3 można znaleźć: ⅔.

Aby obliczyć iloczyn ułamków, najpierw pomnóż licznik przez jeden ułamki do licznika jest inny. Wynik zapisz w liczniku nowego ułamki. Następnie pomnóż mianowniki. Wprowadź całkowitą wartość w nowym ułamki. Na przykład 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Aby podzielić ułamek przez drugi, należy najpierw pomnożyć licznik pierwszego przez mianownik drugiego. Zrób to samo z drugim ułamkiem (dzielnikiem). Lub przed wykonaniem wszystkich czynności najpierw „odwróć” dzielnik, jeśli jest to dla Ciebie wygodniejsze: mianownik powinien pojawić się zamiast licznika. Następnie pomnóż mianownik dywidendy przez nowy mianownik dzielnika i pomnóż liczniki. Na przykład 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Źródła:

• Podstawowe problemy ułamkowe

Liczby ułamkowe można wyrazić w w różnych formach Dokładna wartość wielkie ilości. Na ułamkach zwykłych możesz wykonywać te same operacje matematyczne, co na liczbach całkowitych: odejmowanie, dodawanie, mnożenie i dzielenie. Aby nauczyć się decydować ułamki, musimy pamiętać o niektórych ich cechach. Zależą od rodzaju ułamki, obecność części całkowitej, wspólny mianownik. Niektóre operacje arytmetyczne wymagają zmniejszenia części ułamkowej wyniku po wykonaniu.

Będziesz potrzebować

• - kalkulator

Instrukcje

Przyjrzyj się uważnie liczbom. Jeśli wśród ułamków zwykłych znajdują się ułamki dziesiętne i nieregularne, czasami wygodniej jest najpierw wykonać operacje na ułamkach dziesiętnych, a następnie przekształcić je do postaci nieregularnej. Możesz przetłumaczyć ułamki początkowo w tej formie, zapisując wartość po przecinku w liczniku i wstawiając 10 w mianowniku. Jeśli to konieczne, zmniejsz ułamek, dzieląc liczby powyżej i poniżej przez jeden dzielnik. Ułamki, w których wyodrębniona jest część całkowita, należy przekształcić do niewłaściwej postaci, mnożąc ją przez mianownik i dodając licznik do wyniku. Wartość ta stanie się nowym licznikiem ułamki. Aby wybrać całą część z początkowo nieprawidłowej ułamki, musisz podzielić licznik przez mianownik. Zapisz cały wynik z ułamki. A pozostała część dzielenia stanie się nowym licznikiem i mianownikiem ułamki to się nie zmienia. W przypadku ułamków zawierających część całkowitą możliwe jest wykonanie działań oddzielnie, najpierw dla liczby całkowitej, a następnie dla części ułamkowych. Na przykład można obliczyć sumę 1 2/3 i 2 ¾:
- Zamiana ułamków zwykłych na złą formę:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Sumowanie oddzielnie części całkowitych i ułamkowych terminów:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Przepisz je, używając separatora „:” i kontynuuj normalny podział.

Aby uzyskać wynik końcowy, zmniejsz uzyskany ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez jedną liczbę całkowitą, największą możliwą w w tym przypadku. W tym przypadku powyżej i poniżej linii muszą znajdować się liczby całkowite.

notatka

Nie wykonuj działań arytmetycznych na ułamkach, których mianowniki są różne. Wybierz taką liczbę, że pomnożenie przez nią licznika i mianownika każdego ułamka spowoduje, że mianowniki obu ułamków będą równe.

Pomocna rada

Podczas nagrywania liczby ułamkowe Dywidenda jest zapisana powyżej linii. Ilość tę wyznacza się jako licznik ułamka. Dzielnik lub mianownik ułamka zapisuje się pod linią. Na przykład półtora kilograma ryżu jako ułamek zostanie zapisane w następujący sposób: 1 ½ kg ryżu. Jeżeli mianownik ułamka wynosi 10, ułamek ten nazywamy ułamkiem dziesiętnym. W tym przypadku licznik (dywidenda) wpisuje się po prawej stronie całej części, oddzielając przecinkiem: 1,5 kg ryżu. Dla ułatwienia obliczeń taki ułamek zawsze można zapisać w niewłaściwej formie: 1 2/10 kg ziemniaków. Dla uproszczenia możesz zmniejszyć wartości licznika i mianownika, dzieląc je przez jedną liczbę całkowitą. W tym przykładzie możesz podzielić przez 2. Otrzymasz 1 1/5 kg ziemniaków. Upewnij się, że liczby, na których będziesz wykonywać arytmetykę, są przedstawione w tej samej formie.