1 z 30

Prezentacja na ten temat: Wzór Newtona-Leibniza

slajd numer 1

Opis slajdu:

slajd numer 2

Opis slajdu:

slajd numer 3

Opis slajdu:

slajd numer 4

Opis slajdu:

Newton i Leibniz Z zachowanych dokumentów historycy nauki odkryli, że Newton odkrył rachunek różniczkowy i całkowy już w latach 1665-1666, ale opublikował go dopiero w 1704 roku. Leibniz rozwijał swoją wersję analizy samodzielnie (od 1675 r.), chociaż początkowy bodziec do jego myśli pochodził prawdopodobnie z pogłosek, że Newton już taki rachunek posiadał, a także dzięki rozmowom naukowym w Anglii i korespondencji z Newtonem. W przeciwieństwie do Newtona, Leibniz natychmiast opublikował swoją wersję, a później, wraz z Jacobem i Johannem Bernoullim, szeroko promował to przełomowe odkrycie w całej Europie. Większość naukowców na kontynencie nie miała wątpliwości, że Leibniz odkrył analizę.

slajd numer 5

Opis slajdu:

Idąc za namową przyjaciół, którzy odwoływali się do jego patriotyzmu, Newton w II księdze swoich „Zasad” (1687) napisał: W listach, które wymieniłem około dziesięć lat temu z bardzo uzdolnionym matematykiem, Pan metoda określania maksimów i minimów , rysując styczne i rozwiązując podobne pytania, mające jednakowe zastosowanie zarówno do wyrażeń racjonalnych, jak i irracjonalnych, i ukryłem metodę, przestawiając litery w następującym zdaniu: „gdy podane zostanie równanie zawierające dowolną liczbę bieżących wielkości, znajdź fluksje i z powrotem”. Najsłynniejszy mąż odpowiedział mi, że też zaatakował taką metodę i zakomunikował mi swoją metodę, która okazała się niewiele różniąca się od mojej, i to tylko terminami i formułami.

slajd numer 6

Opis slajdu:

W 1693 roku, kiedy Newton w końcu opublikował pierwszą streszczenie swoją wersję analizy, wymienił przyjacielskie listy z Leibnizem. Newton powiedział: Nasz Wallis dołączył do swojej „Algebry”, która właśnie się pojawiła, niektóre z listów, które napisałem do Ciebie w swoim czasie. Jednocześnie zażądał ode mnie, abym otwarcie określił metodę, którą w tym czasie przed Państwem ukrywałem, przestawiając litery; Zrobiłem to tak krótko, jak tylko mogłem. Mam nadzieję, że nie napisałem niczego, co było dla Ciebie nieprzyjemne, ale jeśli tak się stało, to daj mi znać, bo moi przyjaciele są mi drożsi niż odkrycia matematyczne.

slajd numer 7

Opis slajdu:

Po ukazaniu się pierwszej szczegółowej publikacji analizy newtonowskiej (matematyczny dodatek do „Optyki”, 1704) w czasopiśmie Leibniza „Acta eruditorum” ukazała się anonimowa recenzja z obraźliwymi aluzjami do Newtona. Recenzja wyraźnie wskazywała, że ​​autorem nowego rachunku był Leibniz. Sam Leibniz stanowczo zaprzeczał, jakoby recenzja była przez niego napisana, ale historykom udało się znaleźć szkic napisany jego charakterem pisma. Newton zignorował artykuł Leibniza, ale jego uczniowie zareagowali z oburzeniem, po czym wybuchła ogólnoeuropejska wojna priorytetowa, „najbardziej haniebna sprzeczka w całej historii matematyki”.

slajd numer 8

Opis slajdu:

31 stycznia 1713 r. Towarzystwo Królewskie otrzymało list od Leibniza zawierający pojednawcze sformułowanie: zgadza się, że Newton sam przyszedł do analizy „w sprawie ogólne zasady jak nasz”. Wściekły Newton zażądał powołania międzynarodowej komisji, która miałaby wyjaśnić priorytet. Komisja nie zajęła wiele czasu: półtora miesiąca później, po przestudiowaniu korespondencji Newtona z Oldenburgiem i innymi dokumentami, jednogłośnie uznała priorytet Newtona w sformułowaniu tym razem obraźliwym dla Leibniza. Decyzję komisji wydrukowano w postępowaniu Towarzystwa wraz z załączonymi dokumentami uzupełniającymi.

slajd numer 9

Opis slajdu:

W odpowiedzi od lata 1713 Europa została zalana anonimowymi broszurami, które broniły priorytetu Leibniza i zapewniały, że „Newton przywłaszcza sobie honor, który należy do kogoś innego”. Broszury oskarżyły również Newtona o kradzież wyników Hooke'a i Flamsteeda. Z kolei przyjaciele Newtona oskarżyli samego Leibniza o plagiat; według ich wersji podczas pobytu w Londynie (1676) Leibniz in Towarzystwo Królewskie zapoznał się z niepublikowanymi pracami i listami Newtona, po czym Leibniz opublikował przedstawione tam idee i przekazał je jako własne.

slajd numer 10

Opis slajdu:

slajd numer 11

Opis slajdu:

slajd numer 12

Opis slajdu:

Ustaw dowolną wartość x € (a.b) i zdefiniuj nową funkcję, która jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x € (a.b) , ponieważ wiemy, że jeśli jest całka ʄ na (a,b) , to jest także całka z ʄ na (a ,b) , gdzie Przypomnijmy, że przyjmujemy z definicji

slajd numer 13

Opis slajdu:

slajd numer 14

Opis slajdu:

Zatem F jest ciągłe na (a, b) niezależnie od tego, czy ʄ ma nieciągłości; ważne jest, aby ʄ było całkowalne na (a,b) Rysunek przedstawia wykres ʄ . Pole zmiennej figury aABx jest równe F(X) Jej przyrost F(X+h)-F(x) jest równy powierzchni figury xBC(x+h) , która ze względu na Ograniczenie ʄ, oczywiście dąży do zera, ponieważ h → 0, niezależnie od tego, czy x będzie punktem ciągłości, czy zerwania ʄ np. kropka x-d

slajd numer 15

Opis slajdu:

slajd numer 16

Opis slajdu:

numer slajdu 17

Opis slajdu:

Przejście do granicy w as h→0 wskazuje na istnienie pochodnej F w punkcie i ważność równości. Dla x=a,b mówimy odpowiednio o prawej i lewej pochodnej. Jeżeli funkcja ʄ jest ciągła na (a,b) , to z powyższego wynika, że ​​odpowiadająca jej funkcja ma pochodną równą Dlatego funkcja F(x) jest funkcją pierwotną dla ʄ (a,b)

slajd numer 18

Opis slajdu:

Udowodniliśmy, że dowolna funkcja ciągła ʄ na odcinku (a,b) ma funkcję pierwotną na tym odcinku zdefiniowaną przez równość. Dowodzi to istnienia funkcji pierwotnej dla dowolnej funkcji ciągłej na przedziale. Teraz niech będzie dowolna pierwotna funkcja ʄ(x) na (a,b) . Wiemy, że Where C jest pewną stałą. Zakładając w tej równości x=a i biorąc pod uwagę, że F(a)=0 otrzymujemy Ф(a)=C Tak więc, Ale

numer slajdu 19

Opis slajdu:

numer slajdu 20

Opis slajdu:

Całka Całka funkcji jest naturalnym analogiem sumy ciągu. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem analizy integracja jest operacją odwrotną do różniczkowania. Proces znajdowania całki nazywa się całkowaniem. Jest ich kilka różne definicje operacje integracyjne różniące się między sobą szczegóły techniczne. Jednak wszystkie są kompatybilne, to znaczy, że dowolne dwie metody całkowania, jeśli można je zastosować do danej funkcji, dadzą ten sam wynik.

slajd numer 21

Opis slajdu:

slajd numer 22

Opis slajdu:

Historia Znaki całki ʃ z wyprowadzenia dx zostały po raz pierwszy użyte przez Leibniza pod koniec XVII wieku. Symbol całki powstał z litery S - skrótu od słowa łac. suma (suma). Integralna w starożytności Starożytny Egipt, około 1800 pne. e. moskiewski papirus matematyczny demonstruje znajomość wzoru na objętość ściętej piramidy. Pierwszy znana metoda do obliczania całek służy metoda wyczerpywania Eudoksosa (około 370 pne), który próbował znaleźć pola i objętości, dzieląc je na nieskończony zestaw części, dla których powierzchnia lub objętość są już znane. Metoda ta została podjęta i rozwinięta przez Archimedesa i służyła do obliczania pól parabol i przybliżania pola koła. Podobne metody zostały opracowane niezależnie w Chinach w III wieku naszej ery przez Liu Hui, który wykorzystał je do wyznaczenia obszaru koła. Metoda ta została następnie użyta przez Ju Chongshi do określenia objętości kuli.

numer slajdu 23

Opis slajdu:

Historyczne znaczenie i filozoficzne znaczenie wzoru Newtona-Leibniza Jednym z najważniejszych narzędzi badawczych tej serii jest wzór Newtona-Leibniza i stojąca za nim metoda znajdowania funkcji pierwotnej przez całkowanie jej pochodnej. Historyczne znaczenie formuły polega na wykorzystaniu nieskończenie małych ilości i absolutnie dokładnej odpowiedzi na postawione pytanie. Dobrze znane są zalety stosowania tej metody do rozwiązywania problemów matematycznych, fizycznych i innych nauk przyrodniczych, na przykład klasycznego problemu kwadratury koła - zbudowania kwadratu o równej wielkości z danym okręgiem. Filozoficzne znaczenie - w zauważonej wcześniej możliwości uzyskania informacji o całości z jej nieskończenie małej części - jest wyraźnie realizowane w medycynie i biologii, czego przykładem może być sukces Inżynieria genetyczna w klonowaniu - tworzenie wzajemnie podobnych istot żywych. Historia pozostaje rzadkim wyjątkiem na liście nauk, które wykorzystywały formułę Newtona-Leibniza. Niemożność udzielenia informacji źródła historyczne w postaci liczb - argumenty formuły - jest tradycyjna. Zatem do tej pory filozoficzne znaczenie formuły nie jest całkowicie filozoficzne, ponieważ realizuje się tylko w wiedza przyrodnicza pozostawienie wiedzy społecznej i humanitarnej bez tak potężnego narzędzia. Chociaż jeśli będziesz się trzymać tradycyjne cechy wiedza społeczna i humanitarna, jej słabości, że tak powiem, to zależy od niego.

numer slajdu 24

Opis slajdu:

Ale dalsza analiza naukowa w naszych czasach daje nowy, inny obraz zachodzącego procesu. Poglądy atomistyczne dominujące obecnie w nauce rozkładają materię na wiązkę maleńkich cząstek lub regularnie rozmieszczonych ośrodków sił, które są w wiecznie różnych ruchach. Podobnie materia przenikająca eter jest nieustannie wzbudzana i falowo oscyluje. Wszystkie te ruchy materii i eteru są w najbliższym i ciągłym połączeniu z przestrzenią świata, która dla nas jest nieskończona. Takie przedstawienie, niedostępne naszej konkretnej wyobraźni, wynika z danych fizyki.

numer slajdu 25

Opis slajdu:

Nawet prądy mistyczne i magiczne muszą liczyć się z tym stanowiskiem, chociaż mogą, nadając pojęciu czasu inne znaczenie, całkowicie zniszczyć znaczenie tego faktu w ogólnym światopoglądzie. Dopóki więc pytanie dotyczy zjawisk postrzeganych zmysłowo, nawet te dziedziny filozofii i religii, które są najbardziej odległe od dokładnej wiedzy, muszą liczyć się z naukowo udowodnionym faktem, tak jak powinny liczyć się z tym, że dwa razy dwa cztery w obszarze podlegającym zmysłom i umysłowi.

numer slajdu 26

Opis slajdu:

Jednocześnie ilość wiedzy zgromadzonej przez ludzkość jest już wystarczająca, aby złamać tę tradycję. Rzeczywiście, nie ma potrzeby w pitagorejski sposób szukać korespondencji liczbowej ze stwierdzeniami „Piotr odwiedziłem Wenecję podczas Wielkiej Ambasady” oraz „Piotrum nie było mnie w Wenecji podczas Wielkiej Ambasady”, skoro same te wyrażenia mogą z łatwością służyć jako argumenty algebry logiki George'a Boole'a. Rezultatem każdego badania historycznego jest w istocie zestaw takich argumentów. Moim zdaniem zatem zasadne jest wykorzystanie jako całki zbioru badań historycznych, przedstawionych w postaci argumentów algebry logiki, w celu uzyskania odpowiadającej mu funkcji pierwotnej - najbardziej prawdopodobnej rekonstrukcji badanego wydarzenie historyczne. Po drodze jest wiele wyzwań. W szczególności: przedstawienie konkretnego opracowania historycznego – będącego pochodną zrekonstruowanego wydarzenia – w postaci zestawu wyrażeń logicznych – operacja jest oczywiście bardziej skomplikowana niż np. elektroniczne katalogowanie prostego archiwum bibliotecznego. Jednak przełom informacyjny końca XX - początek XXI wiek (wyjątkowo wysoki stopień integracja bazy elementów i wzrost mocy informacji) sprawiają, że realizacja takiego zadania staje się całkiem realna.

numer slajdu 27

Opis slajdu:

W związku z powyższym, włączony obecny etap analiza historyczna to analiza matematyczna z teorią prawdopodobieństwa i algebrą logiki, a pożądaną funkcją pierwotną jest prawdopodobieństwo zdarzenia historycznego, które na ogół jest dość spójne, a nawet uzupełnia ideę nauki na obecnym etapie , ponieważ zastąpienie pojęcia istoty pojęciem funkcji jest najważniejsze w rozumieniu nauki w nowych czasach - uzupełnione o ocenę tej funkcji. Dlatego nowoczesny znaczenie historyczne formuły w możliwości realizacji marzenia Leibniza „o czasach, gdy dwaj filozofowie zamiast niekończących się sporów, jak dwaj matematycy, wezmą do ręki pióra i siadając przy stole, zamienią spór na kalkulację” . Każde badanie-wniosek historyczny ma prawo istnieć, odzwierciedla rzeczywiste wydarzenie i uzupełnia informacyjny obraz historyczny. Niebezpieczeństwo degeneracji nauka historyczna w zbiór bezbarwnych fraz-stwierdzeń - w wyniku zastosowania proponowanej metody nie ma już niebezpieczeństwa degeneracji muzyki na zbiór dźwięków i malowania na zbiór barw na obecnym etapie rozwoju człowieka. Tak widzę nowe znaczenie filozoficzne formuły Newtona-Leibniza, podanej po raz pierwszy pod koniec XVII - na początku XVIII wieku.

numer slajdu 28

Opis slajdu:

W rzeczywistości formuła, ze względu na specyfikę postrzegania symboli matematycznych przez nośników wiedzy społecznej i humanitarnej, wyrażającą się w panice tych nośników lęku przed jakąkolwiek reprezentacją takich znaków, zostanie podana w formie werbalnej: całka oznaczona pochodnej funkcji jest funkcją pierwotną tej funkcji. Pewna różnica formalna między podanym przykładem problemu kwadratury koła a zwykłym edukacyjno-matematycznym przykładem obliczania pola pod dowolną krzywą w kartezjańskim układzie współrzędnych nie zmienia oczywiście istoty.

numer slajdu 29

Opis slajdu:

LITERATURA UŻYWANA: 1. Brodsky I.A. Prace w czterech tomach. T.3. SPb., 1994. 2. Vernadsky V.I. Biosfera i noosfera. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Wprowadzenie do filozofii. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Ewolucja pojęcia nauki. M., 1980. 5. Kartezjusz, Rene. Refleksje na temat filozofii prymitywnej. SPb., 1995. 6. Karpow G.M. Wielka Ambasada Piotra I. Kaliningrad, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Filozofia: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovskiy V.S. Wybrane rozdziały historii matematyki. Kaliningrad, 2002. 9. Natanson I.P. Krótki kurs wyższa matematyka. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Szeremietewski W.P. Eseje z historii matematyki. M., 2004 Zasoby internetowe http://ru.wikipedia.org

numer slajdu 30

Opis slajdu:

Wzór Newtona - Leibniza

Główne twierdzenie analizy lub Wzór Newtona-Leibniza podaje związek między dwiema operacjami: wzięciem całki oznaczonej i obliczeniem funkcji pierwotnej

Sformułowanie

Rozważ całkę funkcji tak = f(x) w stałej liczbie a do liczby x, którą rozważymy jako zmienną. Całkę zapisujemy w następujący formularz:

Ten typ całki nazywa się całką ze zmienną górną granicą. Korzystając z twierdzenia o całce średniej nieoznaczonej, łatwo wykazać, że podana funkcja ciągły i różniczkowalny. A także pochodna tej funkcji w punkcie x jest równa samej funkcji całkowalnej. Stąd wynika, że ​​każda ciągła funkcja ma funkcję pierwotną w postaci kwadratury: . A ponieważ klasa funkcji pierwotnych funkcji f różni się o stałą, łatwo wykazać, że: całka oznaczona funkcji f jest równa różnicy między wartościami funkcji pierwotnych w punktach b i a

Fundacja Wikimedia. 2010 .

• Wzór na całkowite prawdopodobieństwo
• Wzór Rayleigha-Jeans

Zobacz, czym jest „formuła Newtona-Leibniza” w innych słownikach:

Wzór Newtona-Leibniza- Główne twierdzenie analizy lub wzór Newtona-Leibniza podaje związek między dwiema operacjami: wzięciem całki oznaczonej i obliczeniem pierwotnej formuły Rozważ całkę funkcji y \u003d f (x) w zakresie od stałej liczby a do .. ... Wikipedia

Formuła skończonego przyrostu- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Twierdzenie Lagrange'a. Formuła skończonego przyrostu lub twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej stwierdza, że ​​jeśli funkcja jest ciągła na segmencie i ... Wikipedia

Formuła Stokesa- Twierdzenie Stokesa jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii różniczkowej i Analiza matematyczna na integracji form różniczkowych, który uogólnia kilka twierdzeń analizy. Nazwany na cześć J.G. Stokesa. Spis treści 1 Ogólne sformułowanie 2 ... ... Wikipedia

NEWTON - FORMUŁA LEIBNIZA- wzór wyrażający wartość całki oznaczonej podana funkcja f wzdłuż odcinka w postaci różnicy wartości​​na końcach odcinka dowolnej pierwotnej F tej funkcji Nazwany na cześć I. Newtona (I. Newtona) i G. Leibniza (G. Leibniza), ponieważ zasada, ... ... Encyklopedia matematyczna

FORMUŁA NEWTONA-LEIBNIZA- podstawowy wzór rachunku całkowego. Wyraża związek między całką oznaczoną funkcji f (x) a dowolną z jej funkcji pierwotnych F (x) ... Wielki słownik encyklopedyczny

Wzór Leibniza- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Lista obiektów nazwanych imieniem Leibniza. Termin ten ma inne znaczenia, patrz formuła Leibniza (znaczenia). Formuła Leibniza w rachunku całkowym jest regułą ... ... Wikipedia

Wzór Newtona-Leibniza- Wzór Newtona Leibniza, podstawowy wzór rachunku całkowego. Wyraża związek między całką oznaczoną funkcji f(x) a dowolną z jej funkcji pierwotnych F(x). . * * * FORMUŁA NEWTONA LEIBNIZA FORMUŁA NEWTONA LEIBNIZA, formuła podstawowa ... ... słownik encyklopedyczny

Formuła prostokąta

Formuła trapezowa - Określona całka jako obszar figury Całkowanie numeryczne ( historyczna nazwa: kwadratura) obliczenie wartości całki oznaczonej (zwykle przybliżonej), na podstawie faktu, że wartość całki jest liczbowo równa powierzchni ... ... Wikipedia

twierdzenie Newtona- Wzór Newtona Leibniza, czyli główne twierdzenie analizy, podaje związek między dwoma operacjami: wzięciem całki oznaczonej i obliczeniem funkcji pierwotnej. Jeśli jest ciągła w segmencie i jego dowolna pierwotna w tym segmencie, to ma ... Wikipedia

Niech jakaś funkcja ciągła f będzie dana na jakimś odcinku osi Ox. Zakładamy, że funkcja ta nie zmienia swojego znaku na całym przedziale.

Jeżeli f jest funkcją ciągłą i nieujemną na pewnym segmencie, a F jest jedną z jego funkcji pierwotnych na tym segmencie, to pole powierzchni trapezu krzywoliniowego S jest równe przyrostowi funkcji pierwotnej na tym segmencie.

Twierdzenie to można zapisać wzorem:

S = F(b) - F(a)

Całka funkcji f(x) od a do b będzie równa S. Tutaj i poniżej, aby oznaczyć całkę oznaczoną pewnej funkcji f(x), z granicami całkowania od a do b, użyjemy następującego zapisu (a;b)∫f(x). Poniżej przykład, jak by to wyglądało.

Wzór Newtona-Leibniza

Możemy więc zrównać te dwa wyniki. Otrzymujemy: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), pod warunkiem, że F jest funkcją pierwotną funkcji f on . Ta formuła nazywa się Wzory Newtona-Leibniza. Będzie to prawdziwe dla każdej funkcji ciągłej f na przedziale.

Do obliczania całek używa się wzoru Newtona-Leibniza. Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1: obliczyć całkę. Znajdź funkcję pierwotną dla całki x 2 . Jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja (x 3)/3.

Teraz używamy wzoru Newtona-Leibniza:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Odpowiedź: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Przykład 2: oblicz całkę (0;pi)∫sin(x)dx.

Znajdź funkcję pierwotną dla całki sin(x). Jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja -cos(x). Użyjmy wzoru Newtona-Leibniza:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Odpowiedź: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Czasami, dla uproszczenia i wygody notacji, przyrost funkcji F na odcinku (F(b)-F(a)) zapisuje się w następujący sposób:

Używając tego zapisu dla przyrostu, wzór Newtona-Leibniza można przepisać w następujący sposób:

Jak wspomniano powyżej, jest to tylko skrót ułatwiający nagrywanie, nic innego nie ma wpływu na to nagranie. Ten zapis i wzór (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) będą równoważne.

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz dla siebie konto ( rachunek) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Całka. Wzór Newtona-Leibniza. kompilator: nauczyciel matematyki GOUNPO PU nr 27 p. Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Cel zajęć: Wprowadzenie pojęcia całki i jej obliczania za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, wykorzystując wiedzę o funkcji pierwotnej i zasadach jej obliczania; Zilustruj praktyczne zastosowanie całki przykładami znajdowania obszaru trapezu krzywoliniowego; Wzmocnij to, czego nauczyłeś się poprzez ćwiczenia.

Definicja: Niech Dana pozytywna funkcja f(x) zdefiniowane na skończonym przedziale [ a;b ] . Całka funkcji f(x) na [ a;b ] jest polem jej trapezu krzywoliniowego. y=f(x) b a 0 x y

Oznaczenie:  „całka od a do b ef od x de x”

Odniesienie do historii: Leibniz wyprowadził notację całki z pierwszej litery słowa „Summa” (Summa). Newton w swoich pracach nie oferował alternatywnej symboliki całki, chociaż próbował różne opcje. Termin całka został ukuty przez Jacoba Bernoulliego. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Notację całki nieoznaczonej wprowadził Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier wynalazł sformułowanie całki oznaczonej w postaci, do której jesteśmy przyzwyczajeni.

Wzór Newtona - Leibniza

Przykład 1. Oblicz całkę oznaczoną: = Rozwiązanie:

Przykład 2. Oblicz całe całki oznaczone: 5 9 1

Przykład 3 . S y x Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osią x. Zacząć znajdź punkty przecięcie osi x z wykresem funkcji. Aby to zrobić, rozwiążemy równanie. = Rozwiązanie: S =

yx S A B D C Przykład 4 . Oblicz obszar figury ograniczony liniami i znajdź punkty przecięcia (odcięta) tych linii, rozwiązując równanie S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5

RULES OF SINQWINE 1 linia - temat syncwine 1 słowo 2 linia - 2 przymiotniki opisujące cechy i właściwości tematu 3 linia - 3 czasowniki opisujące charakter działania 4 linia - krótka oferta z 4 słów, pokazujący Twój osobisty stosunek do tematu. 5 linii - 1 słowo, synonim lub Twoje skojarzenie z tematem.

Całka 2. Określona, ​​dodatnia Policz, dodaj, pomnóż 4. Oblicz ze wzoru Newtona-Leibniza 5. Pole

Lista wykorzystanej literatury: podręcznik Kolmagorov A.N. i inne Algebra i początek analizy 10 - 11 komórek.

Dziękuję za uwagę! „TALENT to 99% pracy i 1% zdolności” ludowa mądrość

Przykład 1. Oblicz całkę oznaczoną: = Rozwiązanie: przykład 4

Zapowiedź:

Temat: matematyka (algebra i początek analizy), ocena: klasa 11.

Temat lekcji: "Całka. Formuła Newtona-Leibniza.

Rodzaj lekcji: Nauka nowego materiału.

Czas trwania lekcji: 45 minut.

Cele Lekcji: wprowadzić pojęcie całki i jej obliczania za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, wykorzystując wiedzę o funkcji pierwotnej i zasadach jej obliczania; zilustrują praktyczne zastosowanie całki na przykładach znajdowania obszaru trapezu krzywoliniowego; wzmocnij to, czego nauczyłeś się podczas ćwiczeń.

Cele Lekcji:

Edukacyjny:

1. tworzą pojęcie całki;
2. kształtowanie umiejętności obliczania pewnej całki;
3. kształtowanie umiejętności praktyczne zastosowanie integralna, aby znaleźć obszar trapezu krzywoliniowego.

Rozwijanie:

1. rozwój zainteresowanie poznawcze studentów, rozwijanie mowy matematycznej, umiejętność obserwacji, porównywania, wyciągania wniosków;
2. rozwijać zainteresowanie tematem za pomocą technologii informacyjno-komunikacyjnych.

Edukacyjny:

1. zintensyfikować zainteresowanie zdobywaniem nowej wiedzy, kształtowaniem dokładności i dokładności w obliczaniu całki i wykonywaniu rysunków.

Ekwipunek: komputer, system operacyjny Microsoft Windows 2000/XP, program MS Office 2007: punkt mocy, Microsoft Word; projektor multimedialny, ekran.

Literatura: podręcznik Kolmagorova A.N. i inne Algebra i początek analizy 10-11 komórek.

Technologie: ICT, szkolenie indywidualne.

PODCZAS ZAJĘĆ

Zapowiedź:

Streszczenie referencyjne na temat „Całka. Formuła Newtona-Leibniza.

Rozwiązanie zastosowanych problemów sprowadza się do obliczenia całki, ale nie zawsze jest to możliwe dokładnie. Czasami konieczne jest poznanie wartości całki oznaczonej z pewnym stopniem dokładności, na przykład z dokładnością do tysięcznej.

Są zadania, w których należałoby znaleźć przybliżoną wartość pewnej całki z wymaganą dokładnością, wtedy stosuje się całkowanie numeryczne np. metodę Simposna, trapezy, prostokąty. Nie wszystkie przypadki pozwalają nam to obliczyć z pewną dokładnością.

W tym artykule omówiono zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza. Jest to konieczne do dokładnego obliczenia całki oznaczonej. Otrzyma szczegółowe przykłady, rozważamy zmianę zmiennej w całce oznaczonej i znajdujemy wartości całki oznaczonej przy całkowaniu przez części.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wzór Newtona-Leibniza

Gdy funkcja y = y (x) jest ciągła od odcinka [ a ; b ] , a F (x) jest jednym z funkcje pierwotne w takim razie w tej sekcji Wzór Newtona-Leibniza uważane za sprawiedliwe. Napiszmy to tak ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ta formuła rozważać podstawowa formuła rachunku całkowego.

Aby udowodnić tę formułę, należy posłużyć się pojęciem całki z dostępną zmienną górną granicą.

Gdy funkcja y = f (x) jest ciągła od odcinka [ a ; b ] , to wartość argumentu x ∈ a ; b , a całka ma postać ∫ a x f (t) d t i jest uważana za funkcję Górna granica. Należy przyjąć zapis, że funkcja przyjmie postać ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , jest ciągła, a nierówność postaci ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) jest dla niego ważny.

Ustalamy, że przyrost funkcji Φ (x) odpowiada przyrostowi argumentu ∆ x , konieczne jest użycie piątej własności głównej całki oznaczonej i uzyskanie

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

gdzie wartość c ∈ x ; x + ∆x .

Równość ustalamy w postaci Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Z definicji pochodnej funkcji należy przejść do granicy jako ∆ x → 0, to otrzymujemy wzór postaci znajdującej się na [ a ; b ] W przeciwnym razie wyrażenie można zapisać

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , gdzie wartość C jest stała.

Obliczmy F (a) używając pierwszej własności całki oznaczonej. Wtedy to rozumiemy

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , stąd C = F (a) . Wynik ma zastosowanie przy obliczaniu F (b) i otrzymujemy:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , innymi słowy, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a). Równość dowodzi wzoru Newtona-Leibniza ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Przyrost funkcji jest przyjmowany jako F x a b = F (b) - F (a) . Za pomocą notacji formuła Newtona-Leibniza staje się ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Aby zastosować wzór, trzeba znać jedną z funkcji pierwotnych y = F (x) całki y = f (x) z odcinka [ a ; b ] , oblicz przyrost funkcji pierwotnej z tego segmentu. Rozważ kilka przykładów obliczeń przy użyciu wzoru Newtona-Leibniza.

Przykład 1

Oblicz całkę oznaczoną ∫ 1 3 x 2 d x korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.

Decyzja

Rozważmy, że całka postaci y = x 2 jest ciągła z przedziału [1 ; 3] , to i jest całkowalna na tym przedziale. Zgodnie z tabelą całki nieoznaczone widzimy, że funkcja y \u003d x 2 ma zestaw funkcji pierwotnych dla wszystkich wartości rzeczywistych x, co oznacza, że ​​x ∈ 1; 3 zostanie zapisane jako F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Konieczne jest wzięcie funkcji pierwotnej z C \u003d 0, wtedy otrzymujemy, że F (x) \u003d x 3 3.

Użyjmy wzoru Newtona-Leibniza i zdobądźmy, że obliczenie całki oznaczonej przyjmie postać ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Odpowiedź:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Przykład 2

Oblicz całkę oznaczoną ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.

Decyzja

Podana funkcja jest ciągła od odcinka [ - 1 ; 2 ], co oznacza, że ​​jest na nim całkowalny. Konieczne jest znalezienie wartości całki nieoznaczonej ∫ x e x 2 + 1 d x metodą sumowania pod znakiem różniczkowym, wtedy otrzymujemy ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

Stąd mamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji y = x · e x 2 + 1 , które są ważne dla wszystkich x , x ∈ - 1 ; 2.

Należy wziąć pierwotną przy C = 0 i zastosować wzór Newtona-Leibniza. Wtedy otrzymujemy wyraz formy

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Odpowiedź:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Przykład 3

Oblicz całki ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Decyzja

Segment - 4; - 1 2 mówi, że funkcja pod znakiem całkowym jest ciągła, co oznacza, że ​​jest całkowalna. Stąd znajdujemy zbiór funkcji pierwotnych funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 . Rozumiemy to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Konieczne jest wzięcie pierwotnej F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, a następnie, stosując wzór Newtona-Leibniza, otrzymujemy całkę, którą obliczamy:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Przechodzimy do obliczenia drugiej całki.

Z segmentu [ - 1 ; 1 ] mamy, że podcałka jest uważana za nieograniczoną, ponieważ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , to z tego wynika, że warunek konieczny integrowalność z segmentu. Wtedy F(x) = 2 x 2 - 2 x nie jest funkcją pierwotną dla y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; 1 ] , ponieważ punkt O należy do odcinka, ale nie należy do dziedziny definicji. Oznacza to, że istnieje całka oznaczona Riemanna i Newtona-Leibniza dla funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; jeden ] .

Odpowiedź: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, istnieje całka oznaczona Riemanna i Newtona-Leibniza dla funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; jeden ] .

Zanim użyjesz wzoru Newtona-Leibniza, musisz dokładnie wiedzieć o istnieniu całki oznaczonej.

Zmiana zmiennej w całce oznaczonej

Gdy funkcja y = f (x) jest zdefiniowana i ciągła z odcinka [ a ; b ] , to istniejący zestaw [ a ; b ] jest uważany za przedział funkcji x = g (z) określony na przedziale α ; β z istniejącą pochodną ciągłą, gdzie g (α) = a i g β = b , stąd otrzymujemy, że ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) dz .

Ten wzór jest używany, gdy konieczne jest obliczenie całki ∫ a b f (x) d x , gdzie całka nieoznaczona ma postać ∫ f (x) d x , obliczamy metodą podstawienia.

Przykład 4

Oblicz całkę oznaczoną postaci ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Decyzja

Całka jest uważana za ciągłą na przedziale całkowania, co oznacza, że ​​istnieje całka oznaczona. Podajmy zapis, że 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Wartość x \u003d 9 oznacza, że ​​z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, a dla x \u003d 18 otrzymujemy, że z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, a następnie g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Podstawiając otrzymane wartości do wzoru ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, otrzymujemy, że

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dni z

Zgodnie z tabelą całek nieoznaczonych mamy, że jedna z funkcji pierwotnych funkcji 2 z 2 + 9 przyjmuje wartość 2 3 a r c t g z 3 . Następnie stosując wzór Newtona-Leibniza otrzymujemy, że

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Odkrycia można dokonać bez użycia wzoru ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Jeśli metoda zamiany używa całki postaci ∫ 1 x 2 x - 9 d x , to możemy otrzymać wynik ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Stąd wykonamy obliczenia za pomocą wzoru Newtona-Leibniza i obliczymy całkę oznaczoną. Rozumiemy to

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Wyniki się zgadzały.

Odpowiedź: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Całkowanie przez części w obliczaniu całki oznaczonej

Jeśli na segmencie [ a ; b ] funkcje u (x) i v (x) są zdefiniowane i ciągłe, to ich pochodne pierwszego rzędu v " (x) u (x) są całkowalne, a więc z tego przedziału dla funkcji całkowalnej u " (x) v ( x) równość ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x jest prawdziwa.

Można więc zastosować wzór, trzeba obliczyć całkę ∫ a b f (x) d x , a ∫ f (x) d x trzeba było ją znaleźć za pomocą całkowania przez części.

Przykład 5

Oblicz całkę oznaczoną ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Decyzja

Funkcja x sin x 3 + π 6 jest całkowalna na odcinku - π 2; 3 π 2 , więc jest ciągła.

Niech u (x) \u003d x, a następnie d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, i d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x i v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Ze wzoru ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x otrzymujemy to

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Rozwiązanie tego przykładu można zrobić w inny sposób.

Znajdź zbiór funkcji pierwotnych funkcji x sin x 3 + π 6 wykorzystując całkowanie przez części ze wzoru Newtona-Leibniza:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Odpowiedź: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter