Prvi nivo

eksponencijalne jednačine. Sveobuhvatan vodič (2019)

Hej! Danas ćemo s vama razgovarati o tome kako riješiti jednadžbe koje mogu biti i elementarne (a nadam se da će nakon čitanja ovog članka gotovo sve biti takve za vas), i one koje se obično "zasipaju". Očigledno, da u potpunosti zaspim. Ali pokušaću da dam sve od sebe da sada ne upadnete u nevolje kada se suočite sa ovakvom vrstom jednačine. Neću više tući po grmu, ali ću odmah otvoriti mala tajna: danas ćemo raditi eksponencijalne jednačine.

Prije nego što pređemo na analizu načina na koji ih možete riješiti, odmah ću vam skicirati krug pitanja (prilično mali) koje biste trebali ponoviti prije nego što požurite da jurišate na ovu temu. Dakle, dobiti najbolji rezultat molim te ponoviti:

1. svojstva i
2. Rješenje i jednačine

Ponovljeno? Nevjerovatno! Tada vam neće biti teško primijetiti da je korijen jednadžbe broj. Jesi li siguran da razumiješ kako sam to uradio? Istina? Onda nastavljamo. Sada mi odgovorite na pitanje, šta je jednako trećem stepenu? Potpuno si u pravu: . Koji je stepen dvojke osam? Tako je – treći! Jer. Pa, hajde sada da pokušamo da rešimo sledeći problem: Dozvolite mi da jednom pomnožim broj sam po sebi i dobijem rezultat. Pitanje je koliko sam puta sam pomnožio? Naravno, ovo možete direktno provjeriti:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Onda možete zaključiti da sam sam po sebi pomnožio puta. Kako se to drugačije može provjeriti? A evo kako: direktno po definiciji stepena: . Ali, priznajte, kada bih pitao koliko se puta dva mora pomnožiti samo sa sobom da bi se dobilo, recimo, rekli biste mi: neću se zavaravati i množiti sam od sebe dok ne budem plav u licu. I bio bi potpuno u pravu. Jer kako možeš ukratko zapišite sve radnje(a kratkoća je sestra talenta)

gde - ovo je ono "puta" kada se množi sam po sebi.

Mislim da znate (a ako ne znate, hitno, vrlo hitno ponovite stepene!) da će onda moj problem biti napisan u obliku:

Kako možete razumno zaključiti da:

Tako sam, tiho, zapisao najjednostavnije eksponencijalna jednačina:

Čak ga i našao root. Ne mislite li da je sve sasvim trivijalno? Upravo to i ja mislim. Evo još jednog primjera za vas:

Ali šta učiniti? Na kraju krajeva, ne može se napisati kao stepen (razumnog) broja. Ne očajavajmo i primijetimo da su oba ova broja savršeno izražena u smislu snage istog broja. Šta? Desno: . Tada se originalna jednadžba pretvara u oblik:

Odakle, kao što ste već shvatili, . Nemojmo više vući i zapisivati definicija:

U našem slučaju sa vama: .

Ove jednadžbe se rješavaju svođenjem na oblik:

uz naknadno rješenje jednačine

Mi smo, zapravo, uradili ovo u prethodnom primjeru: dobili smo to. A mi smo s vama riješili najjednostavniju jednačinu.

Čini se da nije ništa komplikovano, zar ne? Vježbajmo prvo na najjednostavnijem. primjeri:

Ponovo vidimo da desna i lijeva strana jednačine moraju biti predstavljene kao stepen jednog broja. Istina, to je već urađeno na lijevoj strani, ali desno je broj. Ali, u redu je, na kraju krajeva, i moja se jednadžba čudesno pretvara u ovo:

Šta sam morao da radim ovde? Koje pravilo? Pravilo moći do moći koji glasi:

Šta ako:

Prije nego odgovorimo na ovo pitanje, popunimo sljedeću tabelu sa vama:

Nije nam teško primijetiti da što manje, to manje vrijednosti, ali svejedno, sve ove vrijednosti su veće od nule. I UVIJEK ĆE BITI TAKO!!! Isto svojstvo vrijedi ZA BILO KOJU BAZU SA BILO KOJIM INDEKSOM!! (za bilo koji i). Šta onda možemo zaključiti o jednačini? A evo jednog: ono nema korijena! Kao i svaka jednadžba nema korijen. Sada vježbajmo i Hajde da riješimo nekoliko jednostavnih primjera:

hajde da proverimo:

1. Ovdje se od vas ne traži ništa osim poznavanja svojstava snaga (koje sam, usput rečeno, zamolio da ponovite!) Po pravilu, sve vodi do najmanje baze: , . Tada će originalna jednadžba biti ekvivalentna sljedećem: Sve što mi treba je da koristim svojstva potencija: pri množenju brojeva sa istom osnovom eksponenti se sabiraju, a pri dijeljenju oduzimaju. Onda ću dobiti: Pa, sada ću mirne savjesti preći sa eksponencijalne jednadžbe na linearnu: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(poravnati)

2. U drugom primjeru, morate biti oprezniji: problem je što na lijevoj strani nećemo moći prikazati isti broj kao stepen. U ovom slučaju ponekad je korisno predstavljaju brojeve kao proizvod potencija sa različite osnove, ali sa istim pokazateljima:

Lijeva strana jednačine će imati oblik: Šta nam je ovo dalo? A evo šta: Mogu se množiti brojevi s različitim osnovama, ali istim eksponentom.U ovom slučaju, baze se množe, ali eksponent se ne mijenja:

Primijenjeno na moju situaciju, ovo će dati:

\begin (poravnati)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(poravnati)

Nije loše, zar ne?

3. Ne volim kada imam dva člana na jednoj strani jednačine, a nijedan na drugoj (ponekad je, naravno, to opravdano, ali sada nije tako). Pomaknite minus član udesno:

Sada ću, kao i ranije, sve pisati kroz moći trojke:

Dodajem stepene na lijevoj strani i dobijem ekvivalentnu jednačinu

Možete lako pronaći njegov korijen:

4. Kao u primjeru tri, izraz sa minusom - mjesto na desnoj strani!

Na lijevoj strani, sa mnom je skoro sve u redu, osim čega? Da, smeta mi "pogrešan stepen" dvojke. Ali ovo mogu lako popraviti tako što ću napisati: . Eureka - na lijevoj strani, sve baze su različite, ali svi stepeni su isti! Brzo se razmnožavamo!

Ovde je opet sve jasno: (ako niste razumeli kako sam magično dobio poslednju jednakost, napravite pauzu na minut, pauzujte i ponovo pažljivo pročitajte svojstva stepena. Ko je rekao da možete preskočiti stepen sa negativnim eksponentom? Pa, ja sam otprilike isti kao niko). Sada ću dobiti:

\begin (poravnati)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(poravnati)

Evo zadataka za uvježbavanje, na koje ću samo dati odgovore (ali u “mješovitom” obliku). Riješite ih, provjerite, a mi ćemo nastaviti naše istraživanje!

Spreman? Odgovori poput ovih:

1. bilo koji broj

Ok, ok, šalio sam se! Ovdje su nacrti rješenja (neka su prilično kratka!)

Ne mislite li da nije slučajno da je jedan razlomak s lijeve strane "obrnuti" drugi? Bio bi greh ne iskoristiti ovo:

Ovo pravilo se često koristi u rješavanju eksponencijalne jednačine zapamtite to dobro!

Tada originalna jednadžba postaje:

Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe dobićete sljedeće korijene:

2. Drugo rješenje: dijeljenje oba dijela jednačine izrazom lijevo (ili desno). Podijeliću sa onim što je desno, onda ću dobiti:

Gdje (zašto?!)

3. Ne želim ni da se ponavljam, sve je već toliko "sažvakano".

4. ekvivalent kvadratna jednačina, korijeni

5. Morate koristiti formulu datu u prvom zadatku, tada ćete dobiti:

Jednačina se pretvorila u trivijalni identitet, što vrijedi za bilo koji. Tada je odgovor bilo koji pravi broj.

Pa, evo vas i vježbajte da odlučite najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Sada želim da ti dam neke životni primjeri, što će vam pomoći da shvatite zašto su u principu potrebni. Ovdje ću dati dva primjera. Jedan od njih je sasvim svakodnevni, ali drugi je više od naučnog nego praktičnog interesa.

Primjer 1 (merkantilno) Neka imate rubalja, ali želite da ih pretvorite u rublje. Banka vam nudi da uzmete ovaj novac od vas po godišnjoj kamatnoj stopi sa mjesečnom kapitalizacijom kamate (mjesečno obračunavanje). Postavlja se pitanje na koliko mjeseci je potrebno otvoriti depozit da biste prikupili željeni konačni iznos? Prilično svakodnevni zadatak, zar ne? Ipak, njegovo rješenje je povezano s konstrukcijom odgovarajuće eksponencijalne jednadžbe: Neka je početni zbir, konačni iznos, - kamatna stopa za period, - broj perioda. onda:

U našem slučaju (ako je stopa godišnja, onda se obračunava mjesečno). Zašto se dijeli na? Ako ne znate odgovor na ovo pitanje, zapamtite temu ""! Tada dobijamo sljedeću jednačinu:

Ova eksponencijalna jednačina se već može riješiti samo pomoću kalkulatora (njegova izgled nagoveštava ovo, a za to je potrebno poznavanje logaritama, sa kojima ćemo se upoznati malo kasnije), što ću i učiniti: ... Dakle, da bismo dobili milion, moramo da uplatimo depozit na mesec dana (ne veoma brzo, zar ne?).

Primjer 2 (prilično naučni). Uprkos njegovoj, nekoj "izolaciji", preporučujem da obratite pažnju na njega: redovno "sklizne na ispit!! (zadatak je preuzet iz “prave” verzije) Tokom raspada radioaktivnog izotopa, njegova masa se smanjuje po zakonu, gdje je (mg) početna masa izotopa, (min.) vrijeme proteklo od početni trenutak, (min.) je vrijeme poluraspada. U početnom trenutku vremena, masa izotopa je mg. Njegovo poluvrijeme je min. Za koliko minuta će masa izotopa biti jednaka mg? U redu je: samo uzimamo i zamjenjujemo sve podatke u formuli koja nam je predložena:

Podijelimo oba dijela sa, "u nadi" da ćemo s lijeve strane dobiti nešto svarljivo:

Pa, mi smo veoma srećni! Stoji na lijevoj strani, onda idemo na ekvivalentnu jednačinu:

Gdje min.

Kao što vidite, eksponencijalne jednadžbe imaju dosta prava primena na praksi. Sada želim s vama razgovarati o drugom (jednostavnom) načinu rješavanja eksponencijalnih jednačina, koji se zasniva na vađenju zajedničkog faktora iz zagrada, a zatim grupisanju pojmova. Ne plašite se mojih reči, već ste se susreli sa ovom metodom u 7. razredu kada ste učili polinome. Na primjer, ako trebate faktorizirati izraz:

Grupirajmo: prvi i treći termin, kao i drugi i četvrti. Jasno je da su prvi i treći razlika kvadrata:

a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:

Tada je originalni izraz ekvivalentan ovome:

Gdje izvaditi zajednički faktor više nije teško:

dakle,

Otprilike ovako ćemo postupiti pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi: potražiti „zajedništvo“ među pojmovima i izvaditi to iz zagrada, a onda - šta bude, vjerujem da ćemo imati sreće =)) Na primjer:

Desno je daleko od stepena sedam (provjerio sam!) A lijevo - malo bolje, možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz prvog i iz drugog člana, pa se onda baviti šta imaš, ali hajde da postupamo opreznije s tobom. Ne želim da se bavim razlomcima koji se neizbežno proizvode "selekcijama", pa zar ne bi trebalo bolje da izdržim? Onda neću imati razlomke: kako kažu, i vukovi su siti i ovce su sigurne:

Izbrojite izraz u zagradama. Magično, magično, ispada da (iznenađujuće, mada šta drugo možemo očekivati?).

Zatim smanjujemo obje strane jednačine za ovaj faktor. Dobijamo: gde.

Evo kompliciranijeg primjera (zaista pomalo):

Evo problema! Ovde nemamo zajednički jezik! Nije sasvim jasno šta sada učiniti. I učinimo što možemo: prvo ćemo pomjeriti „četvorke“ u jednom smjeru, a „petice“ u drugom:

Sada izvadimo "zajedničko" s lijeve i desne strane:

Pa, šta sad? Koja je korist od tako glupe grupe? Na prvi pogled se uopšte ne vidi, ali pogledajmo dublje:

Pa, napravimo sada tako da na lijevoj strani imamo samo izraz c, a na desnoj - sve ostalo. Kako to možemo učiniti? A evo kako: prvo podijelite obje strane jednačine sa (tako da se riješimo eksponenta na desnoj strani), a zatim obje strane podijelite sa (tako da ćemo se riješiti brojčanog faktora s lijeve strane). Konačno dobijamo:

Nevjerovatno! Na lijevoj strani imamo izraz, a na desnoj - samo. Onda to odmah zaključujemo

Evo još jednog primjera za pojačanje:

Dat ću njegovo kratko rješenje (nemam se truda da objašnjavam), pokušajte sami da shvatite sve „suptilnosti“ rješenja.

Sada konačna konsolidacija obrađenog materijala. Pokušajte sami riješiti sljedeće probleme. Dat ću samo kratke preporuke i savjete za njihovo rješavanje:

1. Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:
2. Prvi izraz predstavljamo u obliku: , podijelimo oba dijela sa i dobijemo to
3. , onda se originalna jednačina pretvara u oblik: Pa, sad nagoveštaj - potražite gdje smo ti i ja već riješili ovu jednačinu!
4. Zamislite kako, kako, ah, pa, onda podijelite oba dijela sa, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
5. Izvadite ga iz zagrada.
6. Izvadite ga iz zagrada.

EKSPOZICIONALNE JEDNAČINE. SREDNJI NIVO

Pretpostavljam da nakon čitanja prvog članka, koji je rekao šta su eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti savladali ste neophodni minimum znanja potrebna za rješavanje jednostavnih primjera.

Sada ću analizirati još jednu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednačina, a to je

"metoda uvođenja nove varijable" (ili zamjene). On rješava većinu "teških" problema, na temu eksponencijalnih jednačina (i ne samo jednačina). Ova metoda je jedna od najčešće korištenih u praksi. Prvo, preporučujem da se upoznate s temom.

Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da će se vaša eksponencijalna jednačina čudesno transformirati u onu koju već možete lako riješiti. Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednačine” je da napravite “obrnutu zamjenu”: odnosno da se vratite sa zamijenjenog na zamijenjeno. Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

Primjer 1:

Ova jednačina se rješava "jednostavnom zamjenom", kako je matematičari omalovažavajuće nazivaju. Zaista, zamjena je ovdje najočitija. To samo treba da se vidi

Tada originalna jednadžba postaje:

Ako dodatno zamislimo kako, onda je sasvim jasno šta treba zamijeniti: naravno, . Šta onda postaje originalna jednačina? A evo šta:

Njegove korijene možete lako pronaći sami:. Šta da radimo sada? Vrijeme je da se vratimo na originalnu varijablu. Šta sam zaboravio uključiti? Naime: prilikom zamjene određenog stepena novom varijablom (tj. prilikom zamjene tipa) zanimat će me samo pozitivni koreni! I sami možete lako odgovoriti zašto. Dakle, nismo zainteresirani za vas, ali drugi korijen je sasvim prikladan za nas:

Onda gde.

odgovor:

Kao što vidite, u prethodnom primjeru, zamjena je tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj. Međutim, ne idemo odmah na tužno, već vježbajte na još jednom primjeru s prilično jednostavnom zamjenom

Primjer 2

Jasno je da će najvjerovatnije biti potrebno zamijeniti (ovo je najmanja od potencija uključenih u našu jednačinu), međutim, prije uvođenja zamjene, našu jednačinu treba „pripremiti“ za nju, i to: , . Tada možete zamijeniti, kao rezultat ću dobiti sljedeći izraz:

Oh užas: kubična jednadžba sa apsolutno strašnim formulama za njeno rješenje (pa, govoreći općenito). Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo šta da radimo. Predlažem varanje: znamo da za dobijanje "lepog" odgovora moramo da dobijemo formu nekog stepena trojke (zašto bi to bilo, ha?). I hajde da pokušamo da pogodimo barem jedan koren naše jednačine (počeću da pogađam od stepena tri).

Prva pretpostavka. Nije korijen. ajme i ah...

.
Lijeva strana je jednaka.
Desni dio: !
Tu je! Pogodio sam prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!

Znate li za shemu "ugla" podjele? Naravno da znate, koristite ga kada dijelite jedan broj drugim. Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti s polinomima. Postoji jedna divna teorema:

Primjenjivo na moju situaciju, govori mi s čim je djeljivo bez ostatka. Kako se vrši podjela? Tako:

Gledam koji monom treba da pomnožim da dobijem Clear, zatim:

Oduzmem rezultirajući izraz od, dobijem:

E sad, šta treba da pomnožim da dobijem? Jasno je da na, onda ću dobiti:

i ponovo oduzmite rezultirajući izraz od preostalog:

Pa, posljednji korak, množim sa i oduzimam od preostalog izraza:

Ura, podjela je gotova! Šta smo privatno nakupili? Samo po sebi: .

Tada smo dobili sljedeću ekspanziju originalnog polinoma:

Rešimo drugu jednačinu:

Ima korijene:

Tada je originalna jednadžba:

ima tri korijena:

Mi, naravno, odbacujemo posljednji korijen, jer je manji od nule. A prva dva nakon obrnute zamjene će nam dati dva korijena:

Odgovor: ..

Ovim primjerom nisam uopće htio da vas uplašim, već sam sebi postavio cilj da pokažem da iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ipak je to dovelo do prilično složena jednačina, čije je rješenje od nas zahtijevalo neke posebne vještine. Pa, niko nije imun od ovoga. Ali zamjena u ovaj slučaj bilo prilično očigledno.

Evo primjera s malo manje očitom zamjenom:

Uopšte nije jasno šta bi trebalo da radimo: problem je u tome što u našoj jednačini postoje dve različite baze i jedna baza se ne može dobiti od druge podizanjem na bilo koji (razuman, prirodan) stepen. Međutim, šta vidimo? Obje baze se razlikuju samo po predznaku, a njihov proizvod je razlika kvadrata jednaka jedan:

definicija:

Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.

U tom slučaju, pametan potez bi bio pomnožite obje strane jednačine konjugiranim brojem.

Na primjer, na, tada će lijeva strana jednačine postati jednaka, a desna strana. Ako izvršimo zamjenu, tada će naša originalna jednadžba s vama postati ovakva:

njegove korene, dakle, ali sećajući se toga, dobijamo to.

Odgovor: , .

U pravilu, metoda zamjene je dovoljna za rješavanje većine "školskih" eksponencijalnih jednačina. Sljedeći zadaci preuzeti su iz USE C1 ( povišen nivo teškoće). Već ste dovoljno pismeni da sami riješite ove primjere. Dat ću samo potrebnu zamjenu.

1. Riješite jednačinu:
2. Pronađite korijene jednačine:
3. Riješite jednačinu: . Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:

A sada neka brza objašnjenja i odgovore:

1. Ovdje je dovoljno napomenuti da i. Tada će originalna jednačina biti ekvivalentna ovoj: Ova jednačina se rješava zamjenom. Uradite sljedeće proračune sami. Na kraju, vaš će se zadatak svesti na rješavanje najjednostavnije trigonometrije (ovisno o sinusu ili kosinusu). O rješenju takvih primjera raspravljat ćemo u drugim poglavljima.
2. Ovdje možete čak i bez zamjene: samo pomaknite oduzetak udesno i predstavite obje baze kroz stepen dva: a zatim odmah prijeđite na kvadratnu jednačinu.
3. Treća jednačina je također riješena na prilično standardan način: zamislite kako. Zatim, zamjenom dobijamo kvadratnu jednačinu: tada,

   Da li već znate šta je logaritam? Ne? Onda hitno pročitajte temu!

   Prvi korijen, očigledno, ne pripada segmentu, a drugi je neshvatljiv! Ali saznaćemo vrlo brzo! Pošto, dakle (ovo je svojstvo logaritma!) uporedimo:

   Oduzmimo od oba dijela, onda dobijemo:

   lijeva strana može se predstaviti kao:

   pomnožite obje strane sa:

   onda se može pomnožiti sa

   Onda uporedimo:

   od tada:

   Tada drugi korijen pripada željenom intervalu

   odgovor:

Kao što vidiš, odabir korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva dovoljno duboko znanje svojstva logaritama, pa vam savjetujem da budete što je moguće pažljiviji pri rješavanju eksponencijalnih jednačina. Kao što znate, u matematici je sve međusobno povezano! Kao što je moj profesor matematike govorio: "Ne možete čitati matematiku kao istoriju preko noći."

Po pravilu, sve teškoća u rješavanju problema C1 je upravo odabir korijena jednačine. Vježbajmo sa još jednim primjerom:

Jasno je da se sama jednačina rješava prilično jednostavno. Nakon što smo izvršili zamjenu, našu originalnu jednačinu svodimo na sljedeće:

Pogledajmo prvo prvi korijen. Uporedite i: od tada. (imovina logaritamska funkcija, at). Tada je jasno da ni prvi korijen ne pripada našem intervalu. Sada drugi korijen: . Jasno je da (pošto funkcija raste). Ostaje da uporedimo i

od tada, u isto vreme. Tako mogu "zabiti klin" između i. Ovaj klin je broj. Prvi izraz je manji od, a drugi veći od. Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.

Odgovor: .

U zaključku, pogledajmo još jedan primjer jednadžbe u kojoj je zamjena prilično nestandardna:

Krenimo odmah od toga šta možete, a šta – u principu možete, ali bolje je ne raditi. Moguće je – sve predstaviti kroz stepene tri, dva i šest. Kuda to vodi? Da, i neće dovesti ni do čega: hrpu stupnjeva, od kojih će se nekih biti prilično teško riješiti. Šta je onda potrebno? Zapazimo da a šta će nam to dati? I činjenica da rješenje ovog primjera možemo svesti na rješenje prilično jednostavne eksponencijalne jednadžbe! Prvo, prepišimo našu jednačinu kao:

Sada dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine na:

Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobijamo:

E, sad je na vama red da rješavate probleme za demonstracije, a ja ću ih samo dovesti kratki komentari da ne zalutaš! Sretno!

1. Najteže! Vidjeti zamjenu ovdje je oh, kako je ružno! Ipak, ovaj primjer se može u potpunosti riješiti korištenjem izbor punog kvadrata. Da biste ga riješili, dovoljno je napomenuti da:

Dakle, evo vaše zamjene:

(Imajte na umu da ovdje, sa našom zamjenom, ne možemo odbaciti negativni korijen!!! A zašto, što mislite?)

Sada, da biste riješili primjer, morate riješiti dvije jednadžbe:

I jedno i drugo je riješeno standardna zamjena”(ali drugi u jednom primjeru!)

2. Zapazite to i izvršite zamjenu.

3. Proširite broj u koprime faktore i pojednostavite rezultirajući izraz.

4. Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa (ili ako želite) i napravite zamjenu ili.

5. Imajte na umu da su brojevi i konjugirani.

EKSPOZICIONALNE JEDNAČINE. NAPREDNI NIVO

Uz to, pogledajmo na drugi način - rješenje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma. Ne mogu reći da je rješenje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom jako popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravna odluka naša jednačina. Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mješovite jednačine': to jest one u kojima postoje funkcije različitih tipova.

Na primjer, jednačina poput:

u općem slučaju, može se riješiti samo uzimanjem logaritma oba dijela (na primjer, po osnovi), u kojem se originalna jednačina pretvara u sljedeće:

Razmotrimo sljedeći primjer:

Jasno je da nas zanima samo ODZ logaritamske funkcije. Međutim, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, već iz drugog razloga. Mislim da vam neće biti teško pogoditi koji.

Uzmimo logaritam obje strane naše jednadžbe na bazu:

Kao što vidite, uzimanje logaritma naše originalne jednadžbe brzo nas je dovelo do tačnog (i lijepog!) odgovora. Vježbajmo sa još jednim primjerom:

I ovdje nema razloga za brigu: uzmemo logaritam obje strane jednadžbe u smislu baze, onda dobijemo:

Napravimo zamjenu:

Međutim, nešto smo propustili! Jeste li primijetili gdje sam napravio grešku? Uostalom, onda:

koji ne zadovoljava zahtjev (razmislite odakle je došao!)

odgovor:

Pokušajte zapisati rješenje eksponencijalnih jednačina u nastavku:

Sada provjerite svoje rješenje s ovim:

1. Oba dijela logaritam na osnovu, s obzirom da je:

(drugi korijen nam ne odgovara zbog zamjene)

2. Logaritam na bazu:

Transformirajmo rezultirajući izraz u sljedeći oblik:

EKSPOZICIONALNE JEDNAČINE. KRATAK OPIS I OSNOVNA FORMULA

eksponencijalna jednačina

Jednačina tipa:

pozvao najjednostavnija eksponencijalna jednačina.

Svojstva diploma

Pristupi rješenja

• Redukcija na istu bazu
• Redukcija na isti eksponent
• Zamjena varijable
• Pojednostavite izraz i primijenite nešto od gore navedenog.

eksponencijalne jednačine. Kao što znate, USE uključuje jednostavne jednačine. Neke smo već razmotrili - to su logaritamske, trigonometrijske, racionalne. Evo eksponencijalnih jednačina.

U nedavnom članku radili smo s eksponencijalnim izrazima, to će biti korisno. Same jednadžbe se rješavaju jednostavno i brzo. Potrebno je samo znati svojstva eksponenata i ... O ovomeDalje.

Navodimo svojstva eksponenata:

Nulta snaga bilo kojeg broja jednaka je jedinici.

Posljedica ove imovine:

Još malo teorije.

Eksponencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži varijablu u eksponentu, odnosno ova jednačina je oblika:

f(x) izraz koji sadrži varijablu

Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina

1. Kao rezultat transformacija, jednačina se može svesti na oblik:

Zatim primjenjujemo svojstvo:

2. Prilikom dobijanja jednačine oblika a f (x) = b ako se koristi definicija logaritma, dobijamo:

3. Kao rezultat transformacija, možete dobiti jednačinu oblika:

Primjenjuje se logaritam:

Izrazite i pronađite x.

U zadacima KORISTI opcije biće dovoljno koristiti prvu metodu.

Odnosno, potrebno je prikazati lijevu i desnu stranu kao moć sa istu bazu, a zatim izjednačavamo indikatore i rješavamo uobičajenu linearnu jednačinu.

Razmotrite jednadžbe:

Pronađite korijen jednačine 4 1-2x = 64.

Potrebno je paziti da se u lijevom i desnom dijelu nalaze eksponencijalni izrazi sa istom osnovom. Možemo predstaviti 64 kao 4 na stepen 3. Dobijamo:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

pregled:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Odgovor: -1

Pronađite korijen jednačine 3 x-18 = 1/9.

To je poznato

Dakle 3 x-18 = 3 -2

Osnove su jednake, možemo izjednačiti indikatore:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

pregled:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Odgovor: 16

Pronađite korijen jednačine:

Predstavimo razlomak 1/64 kao jednu četvrtinu na treći stepen:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

pregled:

Odgovor: 11

Pronađite korijen jednačine:

Predstavimo 1/3 kao 3 -1, a 9 kao 3 na kvadrat, dobićemo:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2h) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Sada možemo izjednačiti indikatore:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

pregled:

Odgovor: 5

26654. Pronađite korijen jednadžbe:

Odluka:

Odgovor: 8,75

Zaista, bez obzira na koji stepen dižemo pozitivan broj a, ni na koji način ne možemo dobiti negativan broj.

Svaka eksponencijalna jednadžba nakon odgovarajućih transformacija svodi se na rješavanje jedne ili više jednostavnih jednadžbi.U ovom dijelu ćemo također razmotriti rješenje nekih jednačina, nemojte ga propustiti!To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.

primjeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Prilikom rješavanja bilo koje eksponencijalne jednadžbe nastojimo da je dovedemo u oblik \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), a zatim izvršimo prijelaz na jednakost indikatora, odnosno:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primjer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Bitan! Iz iste logike slijede dva zahtjeva za takav prijelaz:
- broj u lijevo i desno trebaju biti iste;
- stepeni lijevo i desno moraju biti "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd.

Na primjer:

Za dovođenje jednačine u oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\) koriste se i.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Odluka:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Znamo da je \(27 = 3^3\). Imajući to na umu, transformiramo jednačinu.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Svojstvom korijena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobijamo da je \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dalje, koristeći svojstvo stepena \((a^b)^c=a^(bc)\), dobijamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Također znamo da je \(a^b a^c=a^(b+c)\). Primjenjujući ovo na lijevu stranu, dobijamo: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sada zapamtite to: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ova formula se takođe može koristiti u poleđina: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada je \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Primjenom svojstva \((a^b)^c=a^(bc)\) na desnu stranu, dobijamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		I sada imamo jednake baze i nema interferentnih koeficijenata itd. Tako da možemo napraviti tranziciju.
		Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Odluka: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Opet koristimo svojstvo stepena \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) u suprotnom smjeru. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sada zapamtite da je \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Koristeći svojstva stepena, transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Pažljivo posmatramo jednačinu i vidimo da se zamena \(t=2^x\) ovde sugeriše. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Međutim, pronašli smo vrijednosti \(t\), i treba nam \(x\). Vraćamo se na X, praveći obrnutu zamjenu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformirajte drugu jednačinu koristeći svojstvo negativne snage... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i rješavaj do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovori : \(-1; 1\). Ostaje pitanje - kako razumjeti kada primijeniti koju metodu? Dolazi sa iskustvom. U međuvremenu, niste zaslužili, koristite opšta preporuka za rješenja izazovni zadaci“Ako ne znaš šta da radiš, uradi ono što možeš.” Odnosno, potražite kako možete transformirati jednačinu u principu i pokušajte to učiniti - šta ako izađe? Glavna stvar je raditi samo matematički opravdane transformacije. eksponencijalne jednadžbe bez rješenja Pogledajmo još dvije situacije koje često zbunjuju učenike: - pozitivan broj na stepen jednak je nuli, na primjer, \(2^x=0\); - pozitivan broj na stepen je jednak negativan broj, na primjer, \(2^x=-4\). Pokušajmo to riješiti grubom silom. Ako je x pozitivan broj, onda kako x raste, cijela snaga \(2^x\) samo će rasti: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Takođe prošlost. Postoje negativni x-ovi. Sjećajući se svojstva \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), provjeravamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Uprkos činjenici da se broj svakim korakom smanjuje, nikada neće dostići nulu. Dakle, ni negativan stepen nas nije spasio. Dolazimo do logičnog zaključka: Pozitivan broj na bilo koji stepen ostat će pozitivan broj. Dakle, obje gornje jednačine nemaju rješenja. eksponencijalne jednadžbe sa različitim bazama U praksi ponekad postoje eksponencijalne jednadžbe s različitim bazama koje nisu svodive jedna na drugu, a istovremeno s istim eksponentima. Oni izgledaju ovako: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdje su \(a\) i \(b\) pozitivni brojevi. Na primjer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takve jednadžbe se lako mogu riješiti dijeljenjem s bilo kojim dijelom jednačine (obično dijeljenjem desnom stranom, odnosno sa \ (b ^ (f (x)) \). Možete podijeliti na ovaj način, jer je pozitivna broj je pozitivan u bilo kom stepenu (tj. ne delimo sa nulom.) Dobijamo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Odluka: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ovdje ne možemo peticu pretvoriti u trojku, ili obrnuto (barem bez upotrebe). Dakle, ne možemo doći do oblika \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Istovremeno, indikatori su isti. Podijelimo jednačinu desnom stranom, odnosno sa \(3^(x+7)\) (to možemo, jer znamo da trojka neće biti nula ni u jednom stepenu). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sada zapamtite svojstvo \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i koristite ga s lijeve strane u suprotnom smjeru. S desne strane jednostavno smanjujemo razlomak. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Činilo se da nije bilo bolje. Ali zapamtite još jedno svojstvo stepena: \(a^0=1\), drugim riječima: "bilo koji broj na nulti stepen jednak je \(1\)". I obrnuto: "jedinica se može predstaviti kao bilo koji broj podignut na stepen nule." Ovo koristimo tako što napravimo bazu na desnoj strani kao i onu na lijevoj strani. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Riješimo se temelja. Pišemo odgovor. Odgovori : \(-7\). Ponekad "istost" eksponenata nije očigledna, ali vješto korištenje svojstava stepena rješava ovaj problem. Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Odluka: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Jednačina izgleda veoma tužno... Ne samo to, baze se ne mogu svesti na isti broj(sedam neće biti jednako \(\frac(1)(3)\)), tako da su i indikatori različiti... Ipak, stavimo dva u levi indikator stepena. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Imajući na umu svojstvo \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformirajte s lijeve strane: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sada, prisjećajući se svojstva negativne snage \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo desno: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Rezultati su isti! Postupajući prema shemi koja nam je već poznata, odlučujemo prije odgovora. Odgovori : \(2\).

Predavanje: "Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina."

1 . eksponencijalne jednačine.

Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentu nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0 i a ≠ 1.

1) Za b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 eksponencijalna funkcija, nema rješenja.

2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedan korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljen kao b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.

eksponencijalne jednačine po algebarske transformacije dovesti do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju korištenjem sljedećih metoda:

1) način svođenja na jednu osnovu;

2) način ocjenjivanja;

3) grafički metod;

4) način uvođenja novih varijabli;

5) metod faktorizacije;

6) eksponencijalne - jednačine stepena;

7) eksponencijalni sa parametrom.

2 . Metoda svođenja na jednu osnovu.

Metoda se zasniva na slijedeća nekretnina stepeni: ako su dva stepena jednaka i njihove baze jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. jednačina se mora pokušati svesti na oblik

Primjeri. Riješite jednačinu:

1 . 3x=81;

Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> i prijeđite na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odgovor: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Imajte na umu da su brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 potenci od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:

, odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo jednačinu kao 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle, x - 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku e. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Banka zadataka br.1.

Riješite jednačinu:

Test broj 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena
	1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda ocjenjivanja.

Teorema o korijenu: ako se funkcija f (x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f (x) = a ima jedan korijen na intervalu I.

Prilikom rješavanja jednadžbi metodom estimacije koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.

Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 - x.

Odluka. Prepišimo jednačinu kao 4x + x = 5.

1. ako je x = 1, tada je 41 + 1 = 5, 5 = 5 istina, tada je 1 korijen jednadžbe.

Funkcija f(x) = 4x raste na R i g(x) = x raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R kao zbir rastućih funkcija, pa je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

2.

Odluka. Prepisujemo jednačinu u formu .

1. ako je x = -1, onda , 3 = 3-tačno, pa je x = -1 korijen jednačine.

2. dokazati da je jedinstven.

3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x - opada na R => h(x) = f(x) + g(x) - opada na R, kao zbir opadajućih funkcija. Dakle, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.

Banka zadataka br.2. riješi jednačinu

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda uvođenja novih varijabli.

Metoda je opisana u odjeljku 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Razmotrite primjere.

Primjeri. R jedi jednačinu: 1. .

Prepišimo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" visina = "45">

Odluka. Zapišimo jednačinu drugačije:

Označite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednačina. Primećujemo to

Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, pa je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.

Odluka. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, dakle..png" width="118" height="56">

Korijeni kvadratne jednadžbe - t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Odluka . Prepisujemo jednačinu u formu

i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.

Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo

Zamijenite https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0.5.

Banka zadataka #3. riješi jednačinu

b)

G)

Test #3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena

5. Metoda faktorizacije.

1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Odluka. Uzmimo 6x na lijevoj strani jednadžbe, a 2x na desnoj strani. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha da ćemo izgubiti rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.

3.

Odluka. Jednačinu rješavamo faktoringom.

Odabiremo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je korijen jednadžbe.

Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Opšti nivo.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponencijalno - jednadžbe snaga.

Eksponencijalnim jednačinama pridružene su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).

Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja jednadžbe eksponencijalne snage.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Odluka. x2 +2x-8 - ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, pa je jednadžba ekvivalentna skupu

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.

1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?

Odluka. Uvedemo promjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta jednačine (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.

1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.

2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Skup sistema zadovoljava uslov problema

Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Odluka. Neka bude tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)

Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.

Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratni trinom f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako

D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. Ovo je moguće ako

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Dakle, pri a 0 jednačina (4) ima jedan pozitivan korijen . Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje

Za< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;

ako je a  0, onda

Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta pun kvadrat; dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati po formuli korijena kvadratne jednačine, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.

Hajde da riješimo složenije jednačine.

Zadatak 3. Riješite jednačinu

Odluka. ODZ: x1, x2.

Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će, kao rezultat transformacija, jednadžba poprimiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Pronađite vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: ako je a > - 13, a  11, a  5, onda ako je a - 13,

a = 11, a = 5, tada nema korijena.

Bibliografija.

1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.

2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.

M. "Upravnik" br. 4, 1996

3. Guzeev i organizacione forme učenje.

4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.

M." javno obrazovanje“, 2001

5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.

Matematika u školi br. 2, 1987, str. 9 - 11.

6. Selevko obrazovne tehnologije.

M. "Narodno obrazovanje", 1998

7. Episheva školarci uče matematiku.

M. "Prosvjeta", 1990

8. Ivanov pripremiti lekcije - radionice.

Matematika u školi br. 6, 1990, str. 37-40.

9. Smirnov model nastave matematike.

Matematika u školi br. 1, 1997, str. 32-36.

10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.

Matematika u školi br. 1, 1993, str. 27 - 28.

11. O jednoj od vrsta individualnog rada.

Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 - 64.

12. Khazankin Kreativne vještineškolska djeca.

Matematika u školi br. 2, 1989, str. deset.

13. Scanavi. Izdavač, 1997

14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za

15. Krivonogov zadaci iz matematike.

M. "Prvi septembar", 2002

16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i

upis na univerzitete. "A S T - press škola", 2002

17. Zhevnyak za kandidate za univerzitete.

Minsk i RF "Review", 1996

18. Pismeni D. Priprema za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. i dr. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.

M. "Intelekt - Centar", 2003

20. i dr. Edukativni materijali i materijali za obuku za pripremu za E G E.

M. "Intelekt - Centar", 2003 i 2004

21 i dr. Varijante CMM. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003

22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.

Matematika, 1997 br. 3.

24 Okunev za lekciju, djeco! M. Prosvjeta, 1988

25. Yakimanskaya - orijentisano učenje u školi.

26. Liimets radi na lekciji. M. Znanje, 1975

U fazi pripreme za završno testiranje srednjoškolci treba da usavrše svoja znanja na temu „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Stoga srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju pažljivo savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose sa ovom vrstom zadataka, maturanti će moći da računaju na visoke rezultate prilikom polaganja ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje zajedno sa Školkovom!

Prilikom ponavljanja obrađenog gradiva mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Studirajući na našoj stranici, moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju upravo na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Nastavnici "Školkova" prikupili su, sistematizovali i predstavili sve što je potrebno za uspješna isporuka KORISTITE materijal na najjednostavniji i najpristupačniji način.

Glavne definicije i formule predstavljene su u odjeljku "Teorijske reference".

Za bolju asimilaciju gradiva preporučujemo da uvježbate zadatke. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici kako biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga nastavite sa zadacima u odjeljku "Katalozi". Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u "Favorite". Tako da ih možete brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa nastavnikom.

Da biste uspješno položili ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!