Exemplos de resolução de desigualdades logarítmicas de complexidade aumentada. Tudo sobre desigualdades logarítmicas. Exemplos de análise

14.10.2019

O que é ODZ? DPV para desigualdades logarítmicas

A abreviatura significa área valores permitidos. Nas tarefas para o exame, essa redação geralmente aparece. DPV é útil para você não apenas no caso de desigualdades logarítmicas.

Observe novamente o exemplo acima. Vamos considerar a ODZ com base nela, para que você entenda o princípio, e a solução de desigualdades logarítmicas não levanta questões. Segue da definição do logaritmo que 2x+4 deve ser maior que zero. No nosso caso, isso significa o seguinte.

Este número deve ser positivo por definição. Resolva a desigualdade apresentada acima. Isso pode ser feito até oralmente, aqui fica claro que X não pode ser menor que 2. A solução da inequação será a definição do intervalo de valores aceitáveis.
Agora vamos resolver a desigualdade logarítmica mais simples.

Descartamos os próprios logaritmos de ambas as partes da desigualdade. O que nos resta como resultado? simples desigualdade.

É fácil de resolver. X deve ser maior que -0,5. Agora combinamos os dois valores obtidos no sistema. Por isso,

Esta será a região de valores admissíveis para a desigualdade logarítmica considerada.

Por que o ODZ é necessário? Esta é uma oportunidade para eliminar respostas incorretas e impossíveis. Se a resposta não estiver dentro da faixa de valores aceitáveis, então a resposta simplesmente não faz sentido. Vale a pena lembrar por um longo tempo, pois no exame muitas vezes é necessário procurar ODZ, e não se trata apenas de desigualdades logarítmicas.

Algoritmo para resolver a desigualdade logarítmica

A solução consiste em várias etapas. Primeiro, é necessário encontrar a faixa de valores aceitáveis. Haverá dois valores na ODZ, consideramos isso acima. O próximo passo é resolver a própria desigualdade. Os métodos de solução são os seguintes:

método de substituição do multiplicador;
decomposição;
método de racionalização.

Dependendo da situação, um dos métodos acima deve ser usado. Vamos direto à solução. Vamos revelar o método mais popular que é adequado para resolver tarefas USE em quase todos os casos. Em seguida, consideraremos o método de decomposição. Pode ajudar se você se deparar com uma desigualdade particularmente "complicada". Então, o algoritmo para resolver a desigualdade logarítmica.

Exemplos de soluções :

Não é em vão que tomamos precisamente tal desigualdade! Preste atenção na base. Lembre-se: se for maior que um, o sinal permanece o mesmo ao encontrar o intervalo de valores válidos; caso contrário, o sinal de desigualdade deve ser alterado.

Como resultado, obtemos a desigualdade:

Agora apresentamos lado esquerdo para a forma da equação igual a zero. Em vez do sinal de “menor que”, colocamos “igual”, resolvemos a equação. Assim, encontraremos a ODZ. Esperamos que com a solução de tal equação simples você não terá problema. As respostas são -4 e -2. Isso não é tudo. Você precisa exibir esses pontos no gráfico, coloque "+" e "-". O que precisa ser feito para isso? Substitua os números dos intervalos na expressão. Onde os valores são positivos, colocamos "+" lá.

Responda: x não pode ser maior que -4 e menor que -2.

Encontramos o intervalo de valores válidos apenas para o lado esquerdo, agora precisamos encontrar o intervalo de valores válidos para o lado direito. Isso não é nada mais fácil. Resposta: -2. Cruzamos ambas as áreas recebidas.

E só agora começamos a resolver a própria desigualdade.

Vamos simplificar o máximo possível para facilitar a decisão.

Usamos novamente o método intervalar na solução. Vamos pular os cálculos, com ele tudo já está claro do exemplo anterior. Responda.

Mas este método é adequado se a desigualdade logarítmica tiver as mesmas bases.

Resolvendo equações logarítmicas e desigualdades com motivos diferentes pressupõe uma redução inicial a uma base. Em seguida, use o método acima. Mas há mais caso difícil. Considere um dos mais tipos complexos desigualdades logarítmicas.

Desigualdades logarítmicas com base variável

Como resolver inequações com tais características? Sim, e isso pode ser encontrado no exame. Resolver as desigualdades da seguinte maneira também terá um efeito benéfico em seu processo educacional. Vamos entender a questão em detalhe. Vamos deixar a teoria de lado e ir direto para a prática. Para resolver desigualdades logarítmicas, basta familiarizar-se uma vez com o exemplo.

Para resolver a desigualdade logarítmica da forma apresentada, é necessário reduzir o lado direito ao logaritmo de mesma base. O princípio se assemelha a transições equivalentes. Como resultado, a desigualdade ficará assim.

Na verdade, resta criar um sistema de desigualdades sem logaritmos. Usando o método de racionalização, passamos para um sistema equivalente de desigualdades. Você entenderá a própria regra quando substituir os valores apropriados e acompanhar suas alterações. O sistema terá as seguintes desigualdades.

Usando o método de racionalização ao resolver desigualdades, você precisa se lembrar do seguinte: você precisa subtrair um da base, x, por definição do logaritmo, é subtraído de ambas as partes da desigualdade (a direita da esquerda), os dois expressões são multiplicadas e definidas sob o sinal original em relação a zero.

A solução adicional é realizada pelo método de intervalo, tudo é simples aqui. É importante que você entenda as diferenças nos métodos de solução, então tudo começará a funcionar facilmente.

Existem muitas nuances nas desigualdades logarítmicas. Os mais simples deles são fáceis de resolver. Como fazer para resolver cada um deles sem problemas? Você já recebeu todas as respostas neste artigo. Agora você tem uma longa prática pela frente. Pratique constantemente a resolução dos problemas mais tarefas diferentes dentro do exame e você será capaz de obter a pontuação mais alta. Boa sorte em seu trabalho difícil!

Entre toda a variedade de desigualdades logarítmicas, as desigualdades de base variável são estudadas separadamente. Eles são resolvidos de acordo com uma fórmula especial, que por algum motivo raramente é ensinada na escola:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Em vez de uma gralha "∨", você pode colocar qualquer sinal de desigualdade: mais ou menos. O principal é que em ambas as desigualdades os sinais são os mesmos.

Assim, nos livramos dos logaritmos e reduzimos o problema para desigualdade racional. O último é muito mais fácil de resolver, mas ao descartar logaritmos, raízes extras podem aparecer. Para cortá-los, basta encontrar a faixa de valores admissíveis. Se você esqueceu o ODZ do logaritmo, recomendo fortemente repeti-lo - consulte "O que é um logaritmo".

Tudo relacionado ao intervalo de valores aceitáveis deve ser escrito e resolvido separadamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Essas quatro desigualdades constituem um sistema e devem ser preenchidas simultaneamente. Quando o intervalo de valores aceitáveis for encontrado, resta cruzá-lo com a solução de uma desigualdade racional - e a resposta está pronta.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

Primeiro, vamos escrever a ODZ do logaritmo:

As duas primeiras desigualdades são executadas automaticamente, e a última terá que ser escrita. Como o quadrado de um número é zero se e somente se o próprio número for zero, temos:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Acontece que a ODZ do logaritmo são todos os números, exceto zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Agora resolvemos a desigualdade principal:

Realizamos a transição da desigualdade logarítmica para a racional. A desigualdade original tem um sinal de “menor que”, o que significa que a desigualdade resultante também deve ter um sinal de “menor que”. Nós temos:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zeros desta expressão: x = 3; x = -3; x = 0. Além disso, x = 0 é a raiz da segunda multiplicidade, o que significa que ao passar por ela, o sinal da função não muda. Nós temos:

Obtemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está completamente contido na ODZ do logaritmo, então esta é a resposta.

Transformação de desigualdades logarítmicas

Muitas vezes, a desigualdade original difere da anterior. Isso é fácil de corrigir de acordo com as regras padrão para trabalhar com logaritmos - consulte "Propriedades básicas dos logaritmos". Nomeadamente:

Qualquer número pode ser representado como um logaritmo com uma determinada base;
A soma e a diferença de logaritmos com a mesma base podem ser substituídas por um único logaritmo.

Separadamente, quero lembrá-lo sobre o intervalo de valores aceitáveis. Como pode haver vários logaritmos na desigualdade original, é necessário encontrar o DPV de cada um deles. Por isso, esquema geral A solução das desigualdades logarítmicas é a seguinte:

Encontre a ODZ de cada logaritmo incluído na desigualdade;
Reduza a desigualdade ao padrão usando as fórmulas para somar e subtrair logaritmos;
Resolva a desigualdade resultante de acordo com o esquema acima.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

Encontre o domínio de definição (ODZ) do primeiro logaritmo:

Resolvemos pelo método intervalar. Encontrando os zeros do numerador:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Então - os zeros do denominador:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcamos zeros e sinais na seta de coordenadas:

Obtemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). O segundo logaritmo da ODZ será o mesmo. Se você não acredita em mim, você pode verificar. Agora transformamos o segundo logaritmo para que a base seja dois:

Como você pode ver, as triplas na base e antes do logaritmo encolheram. Obtenha dois logaritmos com a mesma base. Vamos juntá-los:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Obtivemos a desigualdade logarítmica padrão. Nós nos livramos dos logaritmos pela fórmula. Como há um sinal de “menor que” na desigualdade original, o resultado expressão racional também deve ser menor que zero. Nós temos:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Temos dois conjuntos:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Candidato a resposta: x ∈ (−1; 3).

Resta cruzar esses conjuntos - obtemos a resposta real:

Estamos interessados na interseção dos conjuntos, então escolhemos os intervalos sombreados em ambas as setas. Obtemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos os pontos são perfurados.

Definição de logaritmo A maneira mais fácil de escrever matematicamente é:

A definição do logaritmo pode ser escrita de outra forma:

Preste atenção às restrições que são impostas na base do logaritmo ( uma) e na expressão sublogarítmica ( x). No futuro, essas condições se transformarão em restrições importantes para a ODZ, que precisarão ser levadas em consideração ao resolver qualquer equação com logaritmos. Então, agora, além das condições padrão que levam a restrições na ODZ (positividade de expressões sob raízes de graus pares, não igualdade do denominador a zero, etc.), as seguintes condições também devem ser levadas em consideração:

A expressão sublogarítmica só pode ser positiva.
A base do logaritmo só pode ser positiva e não igual a um..

Observe que nem a base do logaritmo nem a expressão sublogarítmica podem ser iguais a zero. Observe também que o valor do próprio logaritmo pode assumir todos os valores possíveis, ou seja, logaritmo pode ser positivo, negativo ou zero. Os logaritmos têm muito várias propriedades, que decorrem das propriedades das potências e da definição do logaritmo. Vamos listá-los. Então, as propriedades dos logaritmos:

O logaritmo do produto:

Logaritmo de fração:

Tirando o grau do sinal do logaritmo:

Preste especial atenção às das últimas propriedades listadas em que o sinal do módulo aparece após o pronunciamento do grau. Não se esqueça que ao tomar um grau par além do sinal do logaritmo, abaixo do logaritmo ou na base, deve-se deixar o sinal do módulo.

Outro características benéficas logaritmos:

A última propriedade é muito usada em equações logarítmicas complexas e desigualdades. Deve ser lembrado como todos os outros, embora muitas vezes seja esquecido.

As equações logarítmicas mais simples são:

E sua solução é dada por uma fórmula que segue diretamente da definição do logaritmo:

Outras equações logarítmicas mais simples são aquelas que, usando transformações algébricas e as fórmulas e propriedades dos logaritmos acima, podem ser reduzidas à forma:

A solução de tais equações, levando em consideração a ODZ, é a seguinte:

Alguns outros equações logarítmicas com uma variável na base pode ser resumido como:

Em tais equações logarítmicas Forma geral a solução também segue diretamente da definição do logaritmo. Somente neste caso, existem restrições adicionais para DHS que precisam ser levadas em consideração. Como resultado, para resolver uma equação logarítmica com uma variável na base, você precisa resolver o seguinte sistema:

Ao resolver equações logarítmicas mais complexas que não podem ser reduzidas a uma das equações acima, também é usado ativamente método de mudança de variável. Como de costume, ao aplicar este método, deve-se lembrar que após a introdução da substituição, a equação deve ser simplificada e não conter mais a antiga incógnita. Você também precisa se lembrar de realizar a substituição reversa de variáveis.

Às vezes, ao resolver equações logarítmicas, também é preciso usar método gráfico . Este métodoé construir com a maior precisão possível no mesmo plano de coordenadas os gráficos das funções que estão nos lados esquerdo e direito da equação e, em seguida, encontrar as coordenadas de seus pontos de interseção de acordo com o desenho. As raízes assim obtidas devem ser verificadas por substituição na equação original.

Ao resolver equações logarítmicas, muitas vezes também é útil método de agrupamento. Ao usar este método, o principal a lembrar é que: para que o produto de vários fatores seja igual a zero, é necessário que pelo menos um deles seja igual a zero, e o resto existiu. Quando os fatores são logaritmos ou colchetes com logaritmos, e não apenas colchetes com variáveis como em equações racionais, muitos erros podem ocorrer. Uma vez que os logaritmos têm muitas restrições na área onde existem.

Ao decidir sistemas de equações logarítmicas na maioria das vezes você tem que usar o método de substituição ou o método de substituição de variável. Se houver tal possibilidade, então, ao resolver sistemas de equações logarítmicas, deve-se esforçar para garantir que cada uma das equações do sistema seja individualmente reduzida a tal forma na qual seja possível fazer a transição de uma equação logarítmica para um racional.

As desigualdades logarítmicas mais simples são resolvidas da mesma maneira que equações semelhantes. Primeiro, com a ajuda de transformações algébricas e as propriedades dos logaritmos, deve-se tentar trazê-los para uma forma em que os logaritmos dos lados esquerdo e direito da desigualdade tenham as mesmas bases, ou seja, obtenha uma inequação da forma:

Depois disso, você precisa ir para uma desigualdade racional, visto que essa transição deve ser realizada da seguinte forma: se a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade não precisa ser alterado e se a base do logaritmo logaritmo for menor que um, então você precisa mudar o sinal de desigualdade para o oposto (isso significa mudar "menos" para "maior" ou vice-versa). Ao mesmo tempo, os sinais de menos para mais, ignorando as regras estudadas anteriormente, não precisam ser alterados em nenhum lugar. Vamos escrever matematicamente o que obtemos como resultado de tal transição. Se a base for maior que um, teremos:

Se a base do logaritmo for menor que um, mude o sinal de desigualdade e obtenha o seguinte sistema:

Como podemos ver, ao resolver desigualdades logarítmicas, como de costume, a ODZ também é levada em consideração (esta é a terceira condição nos sistemas acima). Além disso, neste caso é possível não exigir a positividade de ambas as expressões sublogarítmicas, mas é suficiente exigir a positividade apenas da menor delas.

Ao decidir desigualdades logarítmicas com uma variável na base logaritmo, é necessário considerar independentemente ambas as opções (quando a base for menor que um e mais de um) e combinar as soluções desses casos no agregado. Ao mesmo tempo, não se deve esquecer o ODZ, ou seja, sobre o fato de que tanto a base quanto todas as expressões sublogarítmicas devem ser positivas. Assim, ao resolver uma inequação da forma:

Obtemos o seguinte conjunto de sistemas:

Desigualdades logarítmicas mais complexas também podem ser resolvidas usando uma mudança de variáveis. Algumas outras desigualdades logarítmicas (assim como equações logarítmicas) requerem o procedimento de tomar o logaritmo de ambas as partes da desigualdade ou equação por a mesma base. Então, ao realizar tal procedimento com desigualdades logarítmicas, há uma sutileza. Observe que ao obter um logaritmo com base maior que um, o sinal da desigualdade não muda e, se a base for menor que um, o sinal da desigualdade é invertido.

Se a desigualdade logarítmica não pode ser reduzida a uma racional ou resolvida por substituição, então neste caso deve-se aplicar método de intervalo generalizado, que é o seguinte:

Determinar a ODZ;
Transforme a desigualdade para que haja zero no lado direito (no lado esquerdo, se possível, leve a denominador comum, fatorar, etc.);
Encontre todas as raízes do numerador e do denominador e coloque-as na reta numérica, e se a desigualdade não for estrita, pinte as raízes do numerador, mas em qualquer caso, deixe as raízes do denominador como pontos;
Encontre o sinal da expressão inteira em cada um dos intervalos, substituindo um número do intervalo dado na desigualdade transformada. Ao mesmo tempo, não é mais possível alternar os sinais de forma alguma passando por pontos no eixo. É necessário determinar o sinal da expressão em cada intervalo substituindo o valor do intervalo nessa expressão e assim por diante para cada intervalo. Nada mais pode ser feito (isso é o que, de acordo com em geral, a diferença entre o método do intervalo generalizado e o usual);
Encontre a interseção da ODZ e os intervalos que satisfazem a desigualdade, sem perder pontos individuais que satisfazem a desigualdade (raízes do numerador em desigualdades não estritas), e não se esqueça de excluir todas as raízes do denominador em todas as desigualdades da resposta.

Costas
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A implementação bem-sucedida, diligente e responsável desses três pontos permitirá que você mostre na VU excelente resultado, o máximo do que você é capaz.

Encontrou um erro?

Se você acha que encontrou um erro no materiais de treinamento, então escreva, por favor, sobre isso pelo correio. Você também pode relatar um bug em rede social(). Na carta, indique o assunto (física ou matemática), o nome ou número do tópico ou teste, o número da tarefa ou o local no texto (página) onde, na sua opinião, há um erro. Descreva também qual é o suposto erro. Sua carta não passará despercebida, o erro será corrigido ou você será explicado por que não é um erro.

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Desigualdades logarítmicas

Nas lições anteriores, conhecemos as equações logarítmicas e agora sabemos o que são e como resolvê-las. E a lição de hoje será dedicada ao estudo das desigualdades logarítmicas. Quais são essas desigualdades e qual é a diferença entre resolver uma equação logarítmica e desigualdades?

Desigualdades logarítmicas são desigualdades que possuem uma variável sob o sinal do logaritmo ou em sua base.

Ou, também, pode-se dizer que uma desigualdade logarítmica é uma desigualdade em que seu valor desconhecido, como na equação logarítmica, estará sob o sinal do logaritmo.

As desigualdades logarítmicas mais simples são assim:

onde f(x) eg(x) são algumas expressões que dependem de x.

Vejamos isso usando o seguinte exemplo: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Resolvendo inequações logarítmicas

Antes de resolver as desigualdades logarítmicas, vale a pena notar que quando elas são resolvidas, elas são semelhantes a desigualdades exponenciais, a saber:

Primeiro, ao passar de logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, também precisamos comparar a base do logaritmo com um;

Em segundo lugar, ao resolver uma desigualdade logarítmica usando uma mudança de variáveis, precisamos resolver as desigualdades em relação à mudança até obtermos a desigualdade mais simples.

Mas fomos nós que consideramos os momentos semelhantes de resolução de desigualdades logarítmicas. Agora vamos olhar para uma diferença bastante significativa. Você e eu sabemos disso função logarítmica tem área limitada definições, portanto, ao passar de logaritmos para expressões sob o signo do logaritmo, é necessário levar em consideração a faixa de valores aceitáveis (ODV).

Ou seja, deve-se levar em conta que equação logarítmica podemos primeiro encontrar as raízes da equação e, em seguida, verificar esta solução. Mas resolver a desigualdade logarítmica não funcionará dessa maneira, pois passando de logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, será necessário escrever a ODZ da desigualdade.

Além disso, vale lembrar que a teoria das desigualdades consiste em números reais, que são positivos e números negativos, bem como o número 0.

Por exemplo, quando o número "a" é positivo, deve-se usar a seguinte notação: a > 0. Nesse caso, tanto a soma quanto o produto desses números também serão positivos.

O princípio básico da solução de uma inequação é substituí-la por uma inequação mais simples, mas o principal é que ela seja equivalente à dada. Além disso, também obtivemos uma inequação e novamente a substituímos por uma que tem uma forma mais simples e assim por diante.

Resolvendo inequações com uma variável, você precisa encontrar todas as suas soluções. Se duas inequações têm a mesma variável x, então tais inequações são equivalentes, desde que suas soluções sejam as mesmas.

Ao realizar tarefas para resolver desigualdades logarítmicas, é necessário lembrar que quando a > 1, a função logarítmica aumenta e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Formas de resolver inequações logarítmicas

Agora vamos ver alguns dos métodos que ocorrem ao resolver desigualdades logarítmicas. Para uma melhor compreensão e assimilação, tentaremos entendê-los usando exemplos específicos.

Sabemos que a desigualdade logarítmica mais simples tem a seguinte forma:

Nesta desigualdade, V - é um dos sinais de desigualdade como:<,>, ≤ ou ≥.

Quando a base deste logaritmo for maior que um (a>1), fazendo a transição de logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, então nesta versão o sinal de desigualdade é preservado, e a desigualdade ficará assim:

que é equivalente ao seguinte sistema:

No caso em que a base do logaritmo é maior que zero e menor que um (0

Isso é equivalente a este sistema:

Vejamos mais exemplos de como resolver as desigualdades logarítmicas mais simples mostradas na figura abaixo:

Solução de exemplos

Exercício. Vamos tentar resolver essa desigualdade:

A decisão da área de valores admissíveis.

Agora vamos tentar multiplicar seu lado direito por:

Vamos ver o que podemos fazer:

Agora, vamos passar para a transformação de expressões sublogarítmicas. Como a base do logaritmo é 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

E daí segue que o intervalo que obtivemos pertence inteiramente à ODZ e é uma solução para tal desigualdade.

Aqui está a resposta que obtivemos:

O que é necessário para resolver desigualdades logarítmicas?

Agora vamos tentar analisar o que precisamos para resolver com sucesso as desigualdades logarítmicas?

Primeiro, concentre toda a sua atenção e tente não cometer erros ao realizar as transformações que são dadas nessa desigualdade. Além disso, deve-se lembrar que ao resolver tais desigualdades, é necessário evitar expansões e estreitamentos da desigualdade ODZ, o que pode levar à perda ou aquisição de soluções estranhas.

Em segundo lugar, ao resolver desigualdades logarítmicas, você precisa aprender a pensar logicamente e entender a diferença entre conceitos como um sistema de desigualdades e um conjunto de desigualdades, para que você possa selecionar facilmente soluções para uma desigualdade, enquanto é guiado por seu DHS.

Em terceiro lugar, para resolver com sucesso tais desigualdades, cada um de vocês deve conhecer perfeitamente todas as propriedades funções elementares e compreender claramente o seu significado. Tais funções incluem não apenas logarítmica, mas também racional, potência, trigonométrica, etc., em uma palavra, todas aquelas que você estudou ao longo escolaridadeálgebra.

Como você pode ver, tendo estudado o tema das desigualdades logarítmicas, não há nada difícil em resolver essas desigualdades, desde que você esteja atento e persistente em alcançar seus objetivos. Para evitar problemas na resolução de desigualdades, você precisa treinar o máximo possível, resolvendo várias tarefas e, ao mesmo tempo, memorizar as principais formas de resolver tais desigualdades e seus sistemas. Com soluções malsucedidas para desigualdades logarítmicas, você deve analisar cuidadosamente seus erros para não voltar a eles novamente no futuro.

Trabalho de casa

Para melhor assimilação do tema e consolidação do material abordado, resolva as seguintes desigualdades: