A área de um triângulo com três lados conhecidos. Como calcular a área de um triângulo

17.10.2019

Tipos de triângulos

Você pode absolutamente encontrar a área de um triângulo jeitos diferentes, pois na geometria existe mais de um tipo de figura contendo três ângulos. Esses tipos incluem:

obtuso.
Equilátero (correto).
Triângulo reto.
Isósceles.

Vamos dar uma olhada mais de perto em cada um tipos existentes triângulos.

Tal figura geométrica é considerada a mais comum na resolução de problemas geométricos. Quando se torna necessário desenhar um triângulo arbitrário, esta opção vem em socorro.

Em um triângulo agudo, como o nome indica, todos os ângulos são agudos e somam 180°.

Tal triângulo também é muito comum, mas é um pouco menos comum do que um de ângulo agudo. Por exemplo, ao resolver triângulos (ou seja, você conhece vários de seus lados e ângulos e precisa encontrar os elementos restantes), às vezes você precisa determinar se o ângulo é obtuso ou não. Cosseno é um número negativo.

Se o valor de um dos ângulos for superior a 90°, os dois ângulos restantes podem assumir valores pequenos (por exemplo, 15° ou até 3°).

Para encontrar a área de um triângulo deste tipo, você precisa conhecer algumas das nuances, sobre as quais falaremos mais tarde.

Triângulos regulares e isósceles

polígono regular Uma figura é chamada de figura que inclui n ângulos, nos quais todos os lados e ângulos são iguais. Este é o triângulo retângulo. Como a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180°, cada um dos três ângulos é 60°.

O triângulo retângulo, devido à sua propriedade, também é chamado de figura equilátero.

Também vale a pena notar que apenas um círculo pode ser inscrito em um triângulo regular e apenas um círculo pode ser circunscrito em torno dele, e seus centros estão localizados em um ponto.

Além do tipo equilátero, também se pode distinguir um triângulo isósceles, que difere ligeiramente dele. Em tal triângulo, dois lados e dois ângulos são iguais entre si, e o terceiro lado (ao qual ângulos iguais) é a base.

A figura mostra um triângulo isósceles DEF, cujos ângulos D e F são iguais, e DF é a base.

Triângulo reto

Um triângulo retângulo é assim chamado porque um de seus ângulos é um ângulo reto, ou seja, igual a 90°. Os outros dois ângulos somam 90°.

A maioria grande festa de tal triângulo, oposta a um ângulo de 90 ° é a hipotenusa, enquanto os outros dois de seus lados são os catetos. Para este tipo de triângulos, o teorema de Pitágoras é aplicável:

A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.

A figura mostra um triângulo retângulo BAC com hipotenusa AC e catetos AB e BC.

Para encontrar a área de um triângulo com um ângulo reto, você precisa conhecer os valores numéricos de suas pernas.

Vamos passar para as fórmulas para encontrar a área de uma determinada figura.

Fórmulas básicas para encontrar a área

Na geometria, podem ser distinguidas duas fórmulas que são adequadas para encontrar a área da maioria dos tipos de triângulos, ou seja, para triângulos de ângulo agudo, ângulo obtuso, regular e isósceles. Vamos analisar cada um deles.

Por lado e altura

Esta fórmulaé universal para encontrar a área da figura que estamos considerando. Para fazer isso, basta conhecer o comprimento do lado e o comprimento da altura desenhada para ele. A fórmula em si (metade do produto da base pela altura) é a seguinte:

onde A é o lado do triângulo dado e H é a altura do triângulo.

Por exemplo, para encontrar a área de um triângulo de ângulo agudo ACB, você precisa multiplicar seu lado AB pela altura CD e dividir o valor resultante por dois.

No entanto, nem sempre é fácil encontrar a área de um triângulo dessa maneira. Por exemplo, para usar esta fórmula para um triângulo obtuso, você precisa continuar um de seus lados e só então desenhar uma altura para ele.

Na prática, esta fórmula é usada com mais frequência do que outras.

Dois lados e um canto

Esta fórmula, como a anterior, é adequada para a maioria dos triângulos e em seu significado é uma consequência da fórmula para encontrar a área pelo lado e a altura de um triângulo. Ou seja, a fórmula em consideração pode ser facilmente derivada da anterior. Sua redação fica assim:

S = ½*senO*A*B,

onde A e B são os lados do triângulo e O é o ângulo entre os lados A e B.

Lembre-se de que o seno de um ângulo pode ser visto em uma tabela especial com o nome do notável matemático soviético V. M. Bradis.

E agora vamos passar para outras fórmulas que são adequadas apenas para tipos excepcionais de triângulos.

Área de um triângulo retângulo

Além da fórmula universal, que inclui a necessidade de desenhar uma altura em um triângulo, a área de um triângulo contendo um ângulo reto pode ser encontrada em suas pernas.

Assim, a área de um triângulo contendo um ângulo reto é metade do produto de seus catetos, ou seja:

onde a e b são pernas triângulo retângulo.

triângulo retângulo

Esse tipo figuras geométricas difere em que sua área pode ser encontrada com o valor especificado de apenas um de seus lados (já que todos os lados de um triângulo regular são iguais). Então, tendo encontrado a tarefa de “encontrar a área de um triângulo quando os lados são iguais”, você precisa usar a seguinte fórmula:

S = A 2 *√3 / 4,

onde A é o lado de um triângulo equilátero.

Fórmula de Heron

Última opção Para encontrar a área de um triângulo, esta é a fórmula de Heron. Para usá-lo, você precisa saber os comprimentos dos três lados da figura. A fórmula de Heron fica assim:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

onde a, b e c são os lados do triângulo dado.

Às vezes, a tarefa é dada: "a área de um triângulo regular é encontrar o comprimento de seu lado". NO este caso você precisa usar a fórmula já conhecida por nós para encontrar a área de um triângulo regular e derivar dela o valor do lado (ou seu quadrado):

A 2 \u003d 4S / √3.

Problemas no exame

Existem muitas fórmulas nas tarefas do GIA em matemática. Além disso, muitas vezes é necessário encontrar a área de um triângulo em papel quadriculado.

Nesse caso, é mais conveniente desenhar uma altura para um dos lados da figura, determinar seu comprimento por células e usar fórmula universal para encontrar a área:

Portanto, depois de estudar as fórmulas apresentadas no artigo, você não terá problemas para encontrar a área de um triângulo de qualquer tipo.

Às vezes, na vida, há situações em que você precisa mergulhar na memória em busca de conhecimentos escolares há muito esquecidos. Por exemplo, você precisa determinar a área de um terreno de forma triangular, ou chegou a vez do próximo reparo em um apartamento ou casa particular, e precisa calcular quanto material restará para a superfície com forma triangular. Houve um tempo em que você poderia resolver esse problema em alguns minutos e agora está tentando desesperadamente se lembrar de como determinar a área de um triângulo?

Você não precisa se preocupar com isso! Afinal, é bastante normal quando o cérebro humano decide transferir um conhecimento há muito não utilizado para algum canto remoto, do qual às vezes não é tão fácil extraí-lo. Para que você não tenha que sofrer com a busca de saberes escolares esquecidos para resolver tal problema, este artigo contém vários métodos, que facilitam encontrar a área desejada do triângulo.

Sabe-se que um triângulo é um tipo de polígono limitado pelo número mínimo possível de lados. Em princípio, qualquer polígono pode ser dividido em vários triângulos conectando seus vértices com segmentos que não interceptam seus lados. Portanto, conhecendo o triângulo, você pode calcular a área de quase qualquer figura.

Entre todos os possíveis triângulos que ocorrem na vida, podem ser distinguidos os seguintes tipos particulares: e retangular.

A maneira mais fácil de calcular a área de um triângulo é quando um de seus vértices é reto, ou seja, no caso de um triângulo retângulo. É fácil ver que é meio retângulo. Portanto, sua área é igual à metade do produto dos lados, que formam um ângulo reto entre eles.

Se conhecemos a altura do triângulo, abaixado de um de seus vértices para o lado oposto, e o comprimento desse lado, que é chamado de base, a área é calculada como metade do produto da altura pela base. Isso é escrito usando a seguinte fórmula:

S = 1/2*b*h, em que

S é a área desejada do triângulo;

b, h - respectivamente, a altura e a base do triângulo.

É tão fácil calcular a área Triângulo isósceles, uma vez que a altura irá bissectar o lado oposto e pode ser facilmente medida. Se a área for determinada, é conveniente tomar o comprimento de um dos lados formando um ângulo reto como a altura.

Tudo isso é certamente bom, mas como determinar se um dos vértices de um triângulo é reto ou não? Se o tamanho da nossa figura é pequeno, então você pode usar ângulo de construção, desenho de triângulo, cartão postal ou outro objeto com forma retangular.

Mas e se tivermos um triângulo Lote de terreno? Neste caso, proceda da seguinte forma: conte a partir do topo da proposta ângulo certo de um lado, uma distância múltipla de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), e do outro lado, uma distância múltipla de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) é medida na mesma proporção. Agora você precisa medir a distância entre os pontos finais desses dois segmentos. Se o valor for um múltiplo de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), então pode-se argumentar que o ângulo está correto.

Se o valor do comprimento de cada um dos três lados da nossa figura for conhecido, a área do triângulo poderá ser determinada usando a fórmula de Heron. Para que tenha uma forma mais simples, é utilizado um novo valor, que é chamado de semi-perímetro. Esta é a soma de todos os lados do nosso triângulo, dividido ao meio. Depois que o semiperímetro é calculado, você pode começar a determinar a área usando a fórmula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), onde

quadrado- Raiz quadrada;

p é o valor do semi-perímetro (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - arestas (lados) do triângulo.

Mas e se o triângulo tiver forma irregular? Há duas maneiras possíveis aqui. A primeira delas é tentar dividir essa figura em dois triângulos retângulos, cuja soma das áreas é calculada separadamente e depois adicionada. Ou, se o ângulo entre os dois lados e o tamanho desses lados forem conhecidos, aplique a fórmula:

S = 0,5 * ab * sinC, onde

a,b - lados do triângulo;

c é o ângulo entre esses lados.

O último caso é raro na prática, mas, no entanto, tudo é possível na vida, portanto, a fórmula acima não será supérflua. Boa sorte com seus cálculos!

O triângulo é uma figura bem conhecida. E isso, apesar da rica variedade de suas formas. Retangular, equilátero, agudo, isósceles, obtuso. Cada um deles é um pouco diferente. Mas para qualquer é necessário conhecer a área do triângulo.

Fórmulas comuns para todos os triângulos que usam os comprimentos dos lados ou alturas

As designações adotadas neles: lados - a, b, c; alturas nos lados correspondentes em a, n in, n s.

1. A área de um triângulo é calculada como o produto de ½, o lado e a altura baixado sobre ele. S = ½ * a * n a. Da mesma forma, deve-se escrever fórmulas para os outros dois lados.

2. Fórmula de Heron, na qual aparece o semi-perímetro (costuma-se denotá-lo com uma letra p minúscula, em contraste com o perímetro total). O semiperímetro deve ser calculado da seguinte forma: some todos os lados e divida-os por 2. A fórmula do semiperímetro: p \u003d (a + b + c) / 2. Então a igualdade para a área de \u200b\u200ba figura se parece com isso: S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. Se você não quiser usar um semiperímetro, essa fórmula será útil, na qual apenas os comprimentos dos lados estão presentes: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). É um pouco mais longo que o anterior, mas ajudará se você esquecer como encontrar o semiperímetro.

Fórmulas gerais em que os ângulos de um triângulo aparecem

A notação necessária para ler as fórmulas: α, β, γ - ângulos. Eles ficam em lados opostos a, b, c, respectivamente.

1. Segundo ele, metade do produto de dois lados e o seno do ângulo entre eles é igual à área do triângulo. Ou seja: S = ½ a * b * sin γ. As fórmulas para os outros dois casos devem ser escritas de forma semelhante.

2. A área de um triângulo pode ser calculada a partir de um lado e três ângulos conhecidos. S \u003d (a 2 * sen β * sen γ) / (2 sen α).

3. Existe também uma fórmula com um lado conhecido e dois ângulos adjacentes a ele. Fica assim: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

As duas últimas fórmulas não são as mais simples. É muito difícil lembrá-los.

Fórmulas gerais para a situação em que os raios de círculos inscritos ou circunscritos são conhecidos

Designações adicionais: r, R — raios. O primeiro é usado para o raio do círculo inscrito. O segundo é para o descrito.

1. A primeira fórmula pela qual a área de um triângulo é calculada está relacionada ao semiperímetro. S = r * r. De outra forma, pode ser escrito da seguinte forma: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. No segundo caso, você precisará multiplicar todos os lados do triângulo e dividi-los pelo raio quádruplo do círculo circunscrito. Em termos literais, fica assim: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. A terceira situação permite que você faça sem conhecer os lados, mas você precisa dos valores dos três ângulos. S \u003d 2 R 2 * sen α * sen β * sen γ.

Caso especial: triângulo retângulo

Este é o mais situação simples, uma vez que apenas os comprimentos de ambas as pernas são necessários. Eles são indicados pelas letras latinas a e b. A área de um triângulo retângulo é igual à metade da área do retângulo adicionado a ele.

Matematicamente, fica assim: S = ½ a * b. Ela é a mais fácil de lembrar. Por se parecer com a fórmula da área de um retângulo, aparece apenas uma fração, denotando metade.

Caso especial: triângulo isósceles

Como seus dois lados são iguais, algumas fórmulas para sua área parecem um tanto simplificadas. Por exemplo, a fórmula de Heron, que calcula a área de um triângulo isósceles, tem a seguinte forma:

S = ½ pol √((a + ½ pol)*(a - ½ pol)).

Se você convertê-lo, ele ficará mais curto. Neste caso, a fórmula de Heron para um triângulo isósceles é escrita da seguinte forma:

S = ¼ em √(4 * a 2 - b 2).

A fórmula da área parece um pouco mais simples do que para um triângulo arbitrário se os lados e o ângulo entre eles forem conhecidos. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Caso especial: triângulo equilátero

Normalmente, em problemas sobre ele, o lado é conhecido ou pode ser reconhecido de alguma forma. Então a fórmula para encontrar a área de tal triângulo é a seguinte:

S = (a 2 √3) / 4.

Tarefas para encontrar a área se o triângulo estiver representado em papel quadriculado

A situação mais simples é quando um triângulo retângulo é desenhado de modo que suas pernas coincidam com as linhas do papel. Então você só precisa contar o número de células que cabem nas pernas. Em seguida, multiplique-os e divida por dois.

Quando o triângulo é agudo ou obtuso, deve ser desenhado para um retângulo. Então, na figura resultante, haverá 3 triângulos. Um é aquele dado na tarefa. E os outros dois são auxiliares e retangulares. As áreas dos dois últimos devem ser determinadas pelo método descrito acima. Em seguida, calcule a área do retângulo e subtraia dela os calculados para os auxiliares. A área do triângulo é determinada.

Muito mais difícil é a situação em que nenhum dos lados do triângulo coincide com as linhas do papel. Em seguida, deve ser inscrito em um retângulo de modo que os vértices da figura original fiquem em seus lados. Nesse caso, haverá três triângulos retângulos auxiliares.

Um exemplo de um problema na fórmula de Heron

Doença. Algum triângulo tem lados. Eles são iguais a 3, 5 e 6 cm, você precisa conhecer sua área.

Agora você pode calcular a área de um triângulo usando a fórmula acima. Sob a raiz quadrada está o produto de quatro números: 7, 4, 2 e 1. Ou seja, a área é √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Se você não precisar de mais precisão, poderá obter a raiz quadrada de 14. É 3,74. Então a área será igual a 7,48.

Responda. S \u003d 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Um exemplo de um problema com um triângulo retângulo

Doença. Uma perna de um triângulo retângulo é 31 cm mais longa que a segunda. É necessário descobrir seus comprimentos se a área do triângulo for 180 cm 2.
Solução. Você tem que resolver um sistema de duas equações. A primeira tem a ver com a área. A segunda é com a proporção das pernas, que é dada no problema.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Primeiro, o valor de "a" deve ser substituído na primeira equação. Acontece: 180 \u003d ½ (in + 31) * pol. Tem apenas uma quantidade desconhecida, por isso é fácil de resolver. Após abrir os parênteses, obtemos Equação quadrática: em 2 + 31 em - 360 = 0. Dá dois valores para "in": 9 e - 40. O segundo número não é adequado como resposta, pois o comprimento do lado do triângulo não pode ser negativo valor.

Resta calcular a segunda perna: adicione 31 ao número resultante, resulta em 40. Essas são as quantidades procuradas no problema.

Responda. Os catetos do triângulo medem 9 e 40 cm.

A tarefa de encontrar o lado através da área, lado e ângulo de um triângulo

Doença. A área de algum triângulo é 60 cm2. É necessário calcular um de seus lados se o segundo lado for de 15 cm e o ângulo entre eles for de 30º.

Solução. Com base nas designações aceitas, o lado desejado é “a”, o conhecido “b”, o ângulo dado é “γ”. Então a fórmula da área pode ser reescrita da seguinte forma:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Aqui o seno de 30 graus é 0,5.

Após as transformações, "a" é igual a 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Isso é 16.

Responda. O lado desejado é de 16 cm.

O problema de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo

Doença. O vértice de um quadrado de lado 24 cm coincide com o ângulo reto do triângulo. Os outros dois ficam nas pernas. A terceira pertence à hipotenusa. O comprimento de uma das pernas é de 42 cm. Qual é a área de um triângulo retângulo?

Solução. Considere dois triângulos retângulos. O primeiro é especificado na tarefa. O segundo é baseado na perna conhecida do triângulo original. Eles são semelhantes porque têm um ângulo comum e são formados por linhas paralelas.

Então as proporções de suas pernas são iguais. Os catetos do triângulo menor têm 24 cm (lado do quadrado) e 18 cm (perto dado 42 cm menos o lado do quadrado 24 cm). As pernas correspondentes do triângulo grande são 42 cm e x cm. É esse "x" que é necessário para calcular a área do triângulo.

18/42 \u003d 24 / x, ou seja, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Então a área é igual ao produto de 56 por 42, dividido por dois, ou seja, 1176 cm 2.

Responda. A área desejada é 1176 cm 2.

Para determinar a área de um triângulo, você pode usar diferentes fórmulas. De todos os métodos, o mais fácil e mais utilizado é a multiplicação da altura pelo comprimento da base e depois dividir o resultado por dois. No entanto este método longe de ser o único. Abaixo você pode ler como encontrar a área de um triângulo usando diferentes fórmulas.

Separadamente, consideraremos métodos para calcular a área de tipos específicos de triângulo - retangular, isósceles e equilátero. Acompanhamos cada fórmula com uma breve explicação que o ajudará a entender sua essência.

Maneiras universais de encontrar a área de um triângulo

As fórmulas abaixo usam notação especial. Vamos decifrar cada um deles:

a, b, c são os comprimentos dos três lados da figura que estamos considerando;
r é o raio de um círculo que pode ser inscrito em nosso triângulo;
R é o raio do círculo que pode ser descrito em torno dele;
α - o valor do ângulo formado pelos lados b e c;
β é o ângulo entre a e c;
γ - o valor do ângulo formado pelos lados a e b;
h é a altura do nosso triângulo, abaixada do ângulo α para o lado a;
p é metade da soma dos lados a, b e c.

É logicamente claro por que você pode encontrar a área de um triângulo dessa maneira. O triângulo é facilmente completado em um paralelogramo, no qual um lado do triângulo atuará como uma diagonal. A área de um paralelogramo é encontrada multiplicando o comprimento de um de seus lados pelo valor da altura desenhada para ele. A diagonal divide este paralelogramo condicional em 2 triângulos idênticos. Portanto, é bastante óbvio que a área do nosso triângulo original deve ser igual à metade da área desse paralelogramo auxiliar.

S=½ a b sen γ

De acordo com essa fórmula, a área de um triângulo é encontrada multiplicando os comprimentos de seus dois lados, ou seja, a e b, pelo seno do ângulo que eles formam. Esta fórmula é logicamente derivada da anterior. Se abaixarmos a altura do ângulo β para o lado b, então, de acordo com as propriedades de um triângulo retângulo, ao multiplicar o comprimento do lado a pelo seno do ângulo γ, obtemos a altura do triângulo, ou seja, h.

A área da figura em consideração é encontrada multiplicando-se a metade do raio do círculo, que pode ser inscrito nele, por seu perímetro. Em outras palavras, encontramos o produto do semiperímetro e o raio do círculo mencionado.

S= a b c/4R

De acordo com esta fórmula, o valor que precisamos pode ser encontrado dividindo o produto dos lados da figura por 4 raios do círculo circunscrito ao seu redor.

Essas fórmulas são universais, pois permitem determinar a área de qualquer triângulo (escalênico, isósceles, equilátero, retângulo). Também pode ser feito com mais cálculos complexos, que não entraremos em detalhes.

Áreas de triângulos com propriedades específicas

Como encontrar a área de um triângulo retângulo? Uma característica desta figura é que seus dois lados são simultaneamente suas alturas. Se a e b são catetos e c se torna a hipotenusa, então a área é encontrada da seguinte forma:

Como encontrar a área de um triângulo isósceles? Tem dois lados com comprimento a e um lado com comprimento b. Portanto, sua área pode ser determinada dividindo por 2 o produto do quadrado do lado a pelo seno do ângulo γ.

Como encontrar a área de um triângulo equilátero? Nele, o comprimento de todos os lados é a, e o valor de todos os ângulos é α. Sua altura é metade do produto do comprimento do lado pela raiz quadrada de 3. Para encontrar a área de um triângulo regular, você precisa do quadrado do lado a multiplicado pela raiz quadrada de 3 e dividido por 4.