Ângulos centrais e inscritos e suas propriedades. Círculo. Ângulo central e inscrito

canto centralé o ângulo formado por dois raios círculos. Um exemplo de ângulo central é o ângulo AOB, BOC, COE e assim por diante.

SOBRE canto central E arco concluído entre suas partes, eles dizem que corresponder uns aos outros.

1. se cantos centrais arcos são iguais.

2. se cantos centrais não são iguais, então o maior deles corresponde ao maior arco.

Seja AOB e COD dois cantos centrais, iguais ou desiguais. Gire o setor AOB em torno do centro na direção indicada pela seta de forma que o raio OA coincida com OC Então, se os ângulos centrais forem iguais, então o raio OA coincide com OD e o arco AB coincide com o arco CD.

Portanto, esses arcos serão iguais.

Se cantos centrais não são iguais, então o raio OB não irá ao longo de OD, mas ao longo de alguma outra direção, por exemplo, ao longo de OE ou OF. Em ambos os casos, um ângulo maior obviamente corresponde a um arco maior.

O teorema que provamos para um círculo permanece verdadeiro para círculos iguais, porque tais círculos não diferem entre si, exceto por sua posição.

ofertas reversas também será verdade . Em um círculo ou círculos iguais:

1. se arcos são iguais, então o correspondente cantos centrais são iguais.

2. se arcos não são iguais, então o maior deles corresponde ao maior canto central.

No mesmo círculo ou em círculos iguais, os ângulos centrais estão relacionados como seus arcos correspondentes. Ou, parafraseando, obtemos que o ângulo central proporcional arco correspondente a ele.

Ângulo inscrito, teoria do problema. Amigos! Neste artigo falaremos sobre tarefas, para cuja solução é necessário conhecer as propriedades de um ângulo inscrito. Esse todo grupo tarefas, elas são incluídas no exame. A maioria deles é resolvida de forma muito simples, em uma única etapa.

Existem tarefas mais difíceis, mas não apresentarão muita dificuldade para você, você precisa conhecer as propriedades do ângulo inscrito. Aos poucos, vamos analisar todos os protótipos de tarefas, convido você ao blog!

Agora a teoria necessária. Lembre-se do que é um ângulo central e inscrito, corda, arco, no qual esses ângulos dependem:

O ângulo central em um círculo é chamado de ângulo plano compináculo em seu centro.

A parte de um círculo que está dentro de um canto planochamado de arco de círculo.

A medida em grau de um arco de círculo é a medida em grauângulo central correspondente.

Um ângulo é chamado inscrito em um círculo se o vértice do ângulo estáem um círculo, e os lados do ângulo interceptam esse círculo.

Chama-se segmento de recta que une dois pontos de uma circunferênciaacorde. A corda mais longa passa pelo centro do círculo e é chamadadiâmetro.

Para resolver problemas de ângulos inscritos em um círculo,você precisa conhecer as seguintes propriedades:

1. O ângulo inscrito é igual à metade do ângulo central baseado no mesmo arco.

2. Todos os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais.

3. Todos os ângulos inscritos com base na mesma corda, cujos vértices estão do mesmo lado dessa corda, são iguais.

4. Qualquer par de ângulos com base na mesma corda, cujos vértices estão ao longo lados diferentes os acordes somam 180°.

Corolário: Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em um círculo somam 180 graus.

5. Todos os ângulos inscritos com base no diâmetro são retos.

Em geral, esta propriedade é consequência da propriedade (1), esta é sua caso especial. Veja - o ângulo central é igual a 180 graus (e esse ângulo desenvolvido nada mais é do que um diâmetro), o que significa que, de acordo com a primeira propriedade, o ângulo inscrito C é igual à sua metade, ou seja, 90 graus.

Conhecimento determinada propriedade ajuda a resolver muitos problemas e muitas vezes permite evitar cálculos desnecessários. Tendo dominado bem, você será capaz de resolver oralmente mais da metade deste tipo de problemas. Duas consequências que podem ser feitas:

Corolário 1: se um triângulo está inscrito em um círculo e um de seus lados coincide com o diâmetro desse círculo, então o triângulo é retângulo (vértice ângulo certo encontra-se no círculo).

Corolário 2: o centro do descrito sobre triângulo retângulo circunferência coincide com o ponto médio de sua hipotenusa.

Muitos protótipos de problemas estereométricos também são resolvidos usando essa propriedade e esses corolários. Lembre-se do fato em si: se o diâmetro de um círculo é um lado de um triângulo inscrito, esse triângulo é retângulo (o ângulo oposto ao diâmetro é de 90 graus). Você mesmo pode tirar todas as outras conclusões e consequências, não precisa ensiná-las.

Como regra, metade dos problemas para um ângulo inscrito é dado com um esboço, mas sem notação. Para entender o processo de raciocínio ao resolver problemas (abaixo no artigo), são introduzidas as designações de vértices (cantos). No exame, você não pode fazer isso.Considere as tarefas:

Qual é o ângulo agudo inscrito que intercepta a corda igual ao raio círculos? Dê sua resposta em graus.

Vamos construir um ângulo central para um determinado ângulo inscrito, denote os vértices:

De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito em um círculo:

O ângulo AOB é igual a 60 0, pois o triângulo AOB é equilátero, e em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais a 60 0 . Os lados do triângulo são iguais, pois a condição diz que a corda é igual ao raio.

Assim, o ângulo inscrito DIA é 30 0 .

Resposta: 30

Encontre a corda na qual repousa o ângulo 30 0, inscrito em um círculo de raio 3.

Este é essencialmente o problema inverso (do anterior). Vamos construir um canto central.

É duas vezes maior que o inscrito, ou seja, o ângulo AOB é 60 0 . A partir disso, podemos concluir que o triângulo AOB é equilátero. Assim, a corda é igual ao raio, ou seja, três.

Resposta: 3

O raio do círculo é 1. Encontre o valor do ângulo inscrito obtuso com base na corda, igual a raiz de dois. Dê sua resposta em graus.

Vamos construir o ângulo central:

Conhecendo o raio e a corda, podemos encontrar o ângulo central DIA. Isso pode ser feito usando a lei dos cossenos. Conhecendo o ângulo central, podemos encontrar facilmente o ângulo inscrito ACB.

Teorema do cosseno: o quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, sem dobrar o produto desses lados vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Portanto, o segundo ângulo central é 360 0 – 90 0 = 270 0 .

De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito, o ângulo DIA é igual à sua metade, ou seja, 135 graus.

Resposta: 135

Encontre a corda na qual o ângulo de 120 graus, a raiz de três, está inscrito em um círculo de raio.

Conecte os pontos A e B com o centro do círculo. Vamos chamá-lo de O:

Conhecemos o raio e o ângulo inscrito DIA. Podemos encontrar o ângulo central AOB (maior que 180 graus), então encontrar o ângulo AOB no triângulo AOB. E então, usando o teorema do cosseno, calcule AB.

Pela propriedade do ângulo inscrito, o ângulo central AOB (que é maior que 180 graus) será igual ao dobro do ângulo inscrito, ou seja, 240 graus. Isso significa que o ângulo AOB no triângulo AOB é 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Pela lei dos cossenos:

Resposta:3

Encontre o ângulo inscrito com base no arco que é 20% do círculo. Dê sua resposta em graus.

Pela propriedade de um ângulo inscrito, ele tem metade do tamanho do ângulo central baseado no mesmo arco, em este caso Estamos falando do arco AB.

Diz-se que o arco AB é 20 por cento da circunferência. Isso significa que o ângulo central AOB também é 20% de 360 ​​0 .* Um círculo é um ângulo de 360 ​​graus. Significa,

Assim, o ângulo inscrito ACB é de 36 graus.

Resposta: 36

arco de um círculo CA, não contendo pontos B, é de 200 graus. E o arco do círculo BC, que não contém pontos A, é de 80 graus. Encontre o ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.

Vamos denotar para maior clareza os arcos cujas medidas angulares são dadas. Arco correspondente a 200 graus - Cor azul, o arco correspondente a 80 graus é vermelho, o resto do círculo é amarelo.

Assim, a medida em grau do arco AB (amarelo) e, portanto, o ângulo central AOB é: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

O ângulo inscrito DAB é a metade do ângulo central AOB, ou seja, igual a 40 graus.

Resposta: 40

Qual é o ângulo inscrito com base no diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.

canto centralé o ângulo cujo vértice está no centro da circunferência.
Ângulo inscrito Um ângulo cujo vértice está no círculo e cujos lados o interceptam.

A figura mostra os ângulos centrais e inscritos, bem como suas propriedades mais importantes.

Então, o valor do ângulo central é igual ao valor angular do arco sobre o qual repousa. Isso significa que um ângulo central de 90 graus terá como base um arco igual a 90°, ou seja, um círculo. O ângulo central, igual a 60°, baseia-se em um arco de 60 graus, ou seja, na sexta parte do círculo.

O valor do ângulo inscrito é duas vezes menor que o central baseado no mesmo arco.

Além disso, para resolver problemas, precisamos do conceito de "acorde".

Ângulos centrais iguais são suportados por cordas iguais.

1. Qual é o ângulo inscrito com base no diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.

Um ângulo inscrito com base em um diâmetro é um ângulo reto.

2. O ângulo central é 36° maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.

Seja x o ângulo central e y o ângulo inscrito baseado no mesmo arco.

Sabemos que x = 2y.
Portanto, 2y = 36 + y,
y = 36.

3. O raio do círculo é 1. Encontre o valor de um ângulo inscrito obtuso com base em uma corda igual a . Dê sua resposta em graus.

Seja a corda AB . Um ângulo inscrito obtuso baseado nesta corda será denotado por α.
No triângulo AOB, os lados AO e OB são iguais a 1, o lado AB é igual a . Já vimos esses triângulos antes. Obviamente, o triângulo AOB é retângulo e isósceles, ou seja, o ângulo AOB é de 90°.
Então o arco ASV é igual a 90°, e o arco AKB é igual a 360° - 90° = 270°.
O ângulo inscrito α repousa sobre o arco AKB e é igual à metade magnitude angular este arco, ou seja, 135°.

Resposta: 135.

4. A corda AB divide o círculo em duas partes, cujos valores de grau são relacionados como 5:7. Em que ângulo essa corda é visível a partir do ponto C, que pertence ao arco menor do círculo? Dê sua resposta em graus.

O principal nesta tarefa é desenho correto e compreender as condições. Como você entende a pergunta: “Em que ângulo a corda é visível a partir do ponto C?”
Imagine que você está sentado no ponto C e precisa ver tudo o que acontece na corda AB. Então, como se o acorde AB fosse uma tela de cinema :-)
Obviamente, você precisa encontrar o ângulo ACB.
A soma dos dois arcos em que a corda AB divide o círculo é 360°, ou seja,
5x + 7x = 360°
Portanto x = 30°, e então o ângulo inscrito ACB repousa sobre um arco igual a 210°.
O valor do ângulo inscrito é igual à metade do valor angular do arco sobre o qual repousa, o que significa que o ângulo ACB é igual a 105°.

A planimetria é um ramo da geometria que estuda as propriedades das figuras planas. Eles incluem não apenas todos triângulos famosos, quadrados, retângulos, mas também linhas retas e ângulos. Na planimetria, também existem conceitos como ângulos em um círculo: central e inscrito. Mas o que eles significam?

O que é um ângulo central?

Para entender o que é um ângulo central, você precisa definir um círculo. Um círculo é uma coleção de todos os pontos equidistantes de um determinado ponto (o centro do círculo).

É muito importante distingui-lo de um círculo. Deve ser lembrado que o círculo é linha fechada, e o círculo é a parte do plano limitada por ele. Um círculo pode ser inscrito com um polígono ou um ângulo.

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice coincide com o centro do círculo e cujos lados interceptam o círculo em dois pontos. O arco que um ângulo delimita por seus pontos de interseção é chamado de arco sobre o qual repousa o ângulo dado.

Considere o exemplo #1.

Na figura, o ângulo AOB é central, porque o vértice do ângulo e o centro do círculo são um ponto O. Ele repousa sobre o arco AB, que não contém o ponto C.

Como um ângulo inscrito é diferente de um ângulo central?

Porém, além dos centrais, também existem os ângulos inscritos. Qual é a diferença deles? Assim como o central, o ângulo inscrito em um círculo repousa sobre um determinado arco. Mas seu vértice não coincide com o centro do círculo, mas repousa sobre ele.

vamos trazer próximo exemplo.

O ângulo ACB é chamado de ângulo inscrito em um círculo centrado no ponto O. O ponto C pertence ao círculo, ou seja, está sobre ele. O ângulo repousa sobre o arco AB.

Para lidar com sucesso com tarefas em geometria, não é suficiente ser capaz de distinguir entre ângulos inscritos e centrais. Via de regra, para resolvê-los, você precisa saber exatamente como encontrar o ângulo central de um círculo e saber calcular seu valor em graus.

Assim, o ângulo central é igual à medida em grau do arco sobre o qual repousa.

Na foto, o ângulo AOB tem como base o arco AB, igual a 66°. Portanto, o ângulo AOB também é igual a 66°.

Assim, os ângulos centrais baseados em arcos iguais são iguais.

Na figura, o arco DC é igual ao arco AB. Então ângulo AOB igual ao ângulo DOC.

Pode parecer que o ângulo inscrito no círculo é igual ao ângulo central, que repousa sobre o mesmo arco. No entanto, este é um erro grosseiro. Na verdade, mesmo olhando para o desenho e comparando esses ângulos entre si, você pode ver que suas medidas de grau terão Significados diferentes. Então, qual é o ângulo inscrito no círculo?

A medida em grau de um ângulo inscrito é igual à metade do arco sobre o qual repousa, ou metade do ângulo central, se repousarem sobre o mesmo arco.

Considere um exemplo. O ângulo ACB é baseado em um arco igual a 66°.

Portanto, o ângulo ACB = 66°: 2 = 33°

Vamos considerar algumas consequências desse teorema.

• Ângulos inscritos, se forem baseados no mesmo arco, corda ou arcos iguais, são iguais.
• Se os ângulos inscritos são baseados na mesma corda, mas seus vértices estão em lados opostos dela, a soma dos graus de tais ângulos é 180°, pois neste caso ambos os ângulos são baseados em arcos, a medida total dos graus de que é 360° (todo o círculo), 360°: 2 = 180°
• Se o ângulo inscrito for baseado no diâmetro do círculo dado, sua medida de grau é 90°, pois o diâmetro subentende um arco igual a 180°, 180°: 2 = 90°
• Se os ângulos centrais e inscritos em um círculo forem baseados no mesmo arco ou corda, o ângulo inscrito será igual à metade do ângulo central.

Onde pode haver tarefas neste tópico? Seus tipos e soluções

Como o círculo e suas propriedades são uma das seções mais importantes da geometria, da planimetria em particular, os ângulos inscritos e centrais do círculo são um tópico amplamente e detalhadamente estudado em curso escolar. Tarefas dedicadas às suas propriedades são encontradas no exame de estado principal (OGE) e no exame de estado unificado (USE). Como regra, para resolver esses problemas, você deve encontrar os ângulos do círculo em graus.

Ângulos baseados em um arco

Este tipo de problema é talvez um dos mais fáceis, já que para resolvê-lo você precisa conhecer apenas duas propriedades simples: se ambos os ângulos estão inscritos e se apoiam na mesma corda, eles são iguais, se um deles é central, então o correspondente ângulo inscrito é a sua metade. Porém, ao resolvê-los, é preciso ter muito cuidado: às vezes é difícil perceber essa propriedade, e os alunos, ao resolver problemas tão simples, ficam parados. Considere um exemplo.

Tarefa #1

Dado um círculo centrado no ponto O. O ângulo AOB é 54°. Encontre a medida em graus do ângulo DIA.

Esta tarefa é resolvida em uma etapa. A única coisa que você precisa para encontrar a resposta rapidamente é perceber que o arco sobre o qual repousam os dois cantos é comum. Vendo isso, você pode aplicar a propriedade já familiar. O ângulo ACB é a metade do ângulo AOB. Significa,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Resposta: 54°.

Ângulos baseados em diferentes arcos do mesmo círculo

Às vezes, nas condições do problema, a magnitude do arco no qual se baseia o ângulo desejado não é diretamente prescrita. Para calculá-lo, você precisa analisar a magnitude desses ângulos e compará-los com as propriedades conhecidas do círculo.

Tarefa 2

Em um círculo centrado em O, o ângulo AOC é de 120° e o ângulo AOB é de 30°. Encontre o ângulo VOCÊ.

Para começar, vale dizer que é possível resolver esse problema usando propriedades triângulos isósceles, no entanto, isso exigirá grande quantidade ações matemáticas. Portanto, aqui analisaremos a solução usando as propriedades dos ângulos centrais e inscritos em um círculo.

Assim, o ângulo AOC repousa sobre o arco AC e é central, o que significa que o arco AC é igual ao ângulo AOC.

Da mesma forma, o ângulo AOB repousa sobre o arco AB.

Sabendo disso e da medida de grau de todo o círculo (360°), pode-se facilmente encontrar a magnitude do arco BC.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

O vértice do ângulo CAB, ponto A, pertence ao círculo. Portanto, o ângulo CAB está inscrito e é igual à metade do arco CB.

Ângulo CAB = 210°: 2 = 110°

Resposta: 110°

Problemas baseados na razão de arcos

Alguns problemas não contêm dados sobre ângulos, portanto, eles precisam ser pesquisados ​​​​com base apenas em teoremas conhecidos e propriedades de um círculo.

Tarefa 1

Encontre o ângulo inscrito em um círculo que é suportado por uma corda igual ao raio do círculo dado.

Se você desenhar mentalmente linhas conectando as extremidades do segmento com o centro do círculo, obterá um triângulo. Depois de examiná-lo, você pode ver que essas linhas são os raios do círculo, o que significa que todos os lados do triângulo são iguais. Sabemos que todos os ângulos de um triângulo equilátero medem 60°. Portanto, o arco AB que contém o vértice do triângulo é igual a 60°. A partir daqui encontramos o arco AB, sobre o qual repousa o ângulo requerido.

AB = 360° - 60° = 300°

Ângulo ABC = 300°: 2 = 150°

Resposta: 150°

Tarefa 2

Em um círculo centrado no ponto O, os arcos são relacionados como 3:7. Encontre o menor ângulo inscrito.

Para a solução, denotamos uma parte como X, então um arco é 3X e o segundo, respectivamente, 7X. Sabendo que a medida em grau de um círculo é 360°, faremos uma equação.

3X + 7X = 360°

De acordo com a condição, você precisa encontrar um ângulo menor. Obviamente, se o ângulo for diretamente proporcional ao arco sobre o qual repousa, então o ângulo necessário (menor) corresponde a um arco igual a 3X.

Então o menor ângulo é (36° * 3): 2 = 108°: 2 = 54°

Resposta: 54°

Em um círculo centrado no ponto O, o ângulo AOB é 60° e o comprimento do arco menor é 50. Calcule o comprimento do arco maior.

Para calcular o comprimento de um arco maior, você precisa fazer uma proporção - como o arco menor se relaciona com o maior. Para fazer isso, calculamos a magnitude de ambos os arcos em graus. O arco menor é igual ao ângulo que repousa sobre ele. Sua medida de grau é 60°. O arco maior é igual à diferença entre a medida do grau do círculo (é igual a 360° independentemente de outros dados) e o arco menor.

O arco principal é 360° - 60° = 300°.

Como 300°: 60° = 5, o arco maior é 5 vezes o menor.

Arco grande = 50 * 5 = 250

Portanto, é claro, existem outras abordagens para resolver problemas semelhantes, mas todas elas são de alguma forma baseadas nas propriedades de ângulos centrais e inscritos, triângulos e círculos. Para resolvê-los com sucesso, você deve estudar cuidadosamente o desenho e compará-lo com os dados do problema, além de poder aplicar seus conhecimentos teóricos na prática.

Na maioria das vezes, o processo de preparação para o exame de matemática começa com a repetição das definições básicas, fórmulas e teoremas, incluindo o tópico "Central e ângulo inscrito em um círculo". Via de regra, esta seção da planimetria é estudada em ensino médio. Não surpreendentemente, muitos alunos se deparam com a necessidade de repetir Conceitos Básicos e teoremas sobre o tema "O ângulo central do círculo". Tendo descoberto o algoritmo para resolver tais problemas, os alunos poderão contar com a obtenção de pontos competitivos com base nos resultados da aprovação no exame estadual unificado.

Como se preparar de forma fácil e eficaz para o teste de certificação?

Alcançando antes de render um único Exame de estado, muitos alunos do ensino médio se deparam com o problema de encontrar as informações corretas sobre o tema "Ângulos centrais e inscritos em um círculo". Nem sempre um livro escolar está à mão. E procurar fórmulas na Internet às vezes leva muito tempo.

Para "bombear" habilidades e melhorar o conhecimento em uma seção tão difícil da geometria como a planimetria, portal educacional. Shkolkovo convida alunos do ensino médio e seus professores a construir o processo de preparação para o exame estadual unificado de uma nova maneira. Todo o material básico é apresentado por nossos especialistas da forma mais acessível. Depois de revisar as informações na seção "Referência Teórica", os alunos aprenderão quais propriedades possui o ângulo central de um círculo, como encontrar seu valor etc.

De seguida, para consolidar os conhecimentos adquiridos e desenvolver competências, recomendamos a realização dos exercícios adequados. Uma grande variedade de tarefas para encontrar o valor de um ângulo inscrito em um círculo e outros parâmetros é apresentada na seção Catálogo. Para cada exercício, nossos especialistas escreveram um curso detalhado da solução e indicaram a resposta correta. A lista de tarefas no site é constantemente complementada e atualizada.

Os alunos do ensino médio podem se preparar para o exame praticando exercícios, por exemplo, encontrar o valor do ângulo central e o comprimento do arco de um círculo, online, estando em qualquer região da Rússia.

Se necessário, a tarefa concluída pode ser salva na seção "Favoritos" para retornar a ela posteriormente e analisar novamente o princípio de sua solução.