Como você pode desenhar uma linha com três pontos. Um polígono é uma linha quebrada fechada. Uma linha reta é uma linha que não se curva, não tem começo nem fim, pode se estender indefinidamente em ambas as direções

Neste artigo, abordaremos em detalhes um dos principais conceitos da geometria - o conceito de uma linha reta em um plano. Primeiro, vamos definir os termos básicos e a notação. Em seguida, discutimos a posição relativa de uma linha e um ponto, bem como duas linhas em um plano, e fornecemos os axiomas necessários. Em conclusão, consideraremos maneiras de definir uma linha reta em um plano e fornecer ilustrações gráficas.

Navegação da página.

Uma linha reta em um plano é um conceito.

Antes de dar o conceito de uma linha reta em um plano, deve-se entender claramente o que é um plano. Representação do avião permite obter, por exemplo, Superfície lisa mesa ou parede da casa. No entanto, deve-se ter em mente que as dimensões da mesa são limitadas, e o plano se estende além desses limites até o infinito (como se tivéssemos uma mesa arbitrariamente grande).

Se pegarmos um lápis bem afiado e tocarmos seu núcleo na superfície da “mesa”, obteremos uma imagem de um ponto. Então nós obtemos representação de um ponto em um plano.

Agora você pode ir para conceito de uma linha reta em um plano.

Vamos colocar na superfície da mesa (no avião) uma folha de papel limpo. Para traçar uma linha reta, precisamos pegar uma régua e traçar uma linha com um lápis até onde as dimensões da régua e da folha de papel utilizadas permitirem. Deve-se notar que, desta forma, obtemos apenas uma parte da linha reta. Uma linha reta em sua totalidade, estendendo-se ao infinito, só podemos imaginar.

Posição mútua de uma linha e um ponto.

Você deve começar com um axioma: há pontos em cada linha reta e em cada plano.

Os pontos são geralmente indicados por letras latinas maiúsculas, por exemplo, pontos A e F. Por sua vez, as linhas retas são denotadas por pequenas letras latinas, por exemplo, as linhas retas a e d.

Possível duas opções posição relativa reta e pontos no plano: ou o ponto está na linha (neste caso, a linha também passa pelo ponto), ou o ponto não está na linha (também é dito que o ponto não pertence à linha, ou a linha não passa pelo ponto).

Para indicar que um ponto pertence a uma determinada linha, o símbolo "" é usado. Por exemplo, se o ponto A estiver na linha a, você poderá escrever. Se o ponto A não pertence à linha a, então anote.

A seguinte afirmação é verdadeira: por quaisquer dois pontos há apenas uma linha reta.

Esta afirmação é um axioma e deve ser aceita como um fato. Além disso, isso é bastante óbvio: marcamos dois pontos no papel, aplicamos uma régua a eles e desenhamos uma linha reta. Uma reta que passa por dois pontos dados (por exemplo, pelos pontos A e B), pode ser denotada por essas duas letras (no nosso caso, reta AB ou BA).

Deve-se entender que em uma linha reta dada em um plano, existem infinitamente muitos pontos diferentes, e todos esses pontos estão no mesmo plano. Esta afirmação é estabelecida pelo axioma: se dois pontos de uma linha estão em algum plano, então todos os pontos dessa linha estão nesse plano.

O conjunto de todos os pontos localizados entre dois pontos dados em uma linha reta, juntamente com esses pontos, é chamado linha reta ou simplesmente segmento. Os pontos que limitam o segmento são chamados de extremidades do segmento. Um segmento é denotado por duas letras correspondentes aos pontos das extremidades do segmento. Por exemplo, sejam os pontos A e B as extremidades de um segmento, então este segmento pode ser denotado por AB ou BA. Observe que esta designação de um segmento é a mesma que a designação de uma linha reta. Para evitar confusão, recomendamos adicionar a palavra "segmento" ou "reto" à designação.

Para um pequeno registro de pertencimento e não pertencimento a um determinado ponto a um determinado segmento, todos os mesmos símbolos e são usados. Para mostrar que um segmento está ou não em uma linha reta, os símbolos e são usados, respectivamente. Por exemplo, se o segmento AB pertence à linha a, você pode anotar brevemente.

Devemos também nos deter no caso em que três pontos diferentes pertencem à mesma linha. Neste caso, um, e apenas um ponto, está entre os outros dois. Esta afirmação é outro axioma. Deixe os pontos A, B e C estarem na mesma linha reta, e o ponto B esteja entre os pontos A e C. Então podemos dizer que os pontos A e C estão localizados ao longo lados diferentes do ponto B. Você também pode dizer que os pontos B e C estão do mesmo lado do ponto A, e os pontos A e B estão do mesmo lado do ponto C.

Para completar o quadro, notamos que qualquer ponto de uma linha reta divide essa linha reta em duas partes - duas feixe. Para este caso, um axioma é dado: um ponto arbitrário O, pertencente a uma linha, divide esta linha em dois raios, e quaisquer dois pontos de um raio estão do mesmo lado do ponto O, e quaisquer dois pontos de raios diferentes situam-se em lados opostos do ponto O.

Arranjo mútuo de linhas retas em um plano.

Agora vamos responder à pergunta: "Como duas linhas podem ser localizadas em um plano em relação uma à outra"?

Primeiro, duas linhas em um plano podem coincidir.

Isso é possível quando as linhas têm pelo menos dois pontos em comum. De fato, em virtude do axioma expresso no parágrafo anterior, uma única linha reta passa por dois pontos. Em outras palavras, se duas linhas passam por dois pontos dados, então elas coincidem.

Em segundo lugar, duas linhas em um plano podem Cruz.

Neste caso, as linhas têm um ponto comum, que é chamado de ponto de interseção das linhas. A interseção das linhas é indicada pelo símbolo "", por exemplo, o registro significa que as linhas a e b se cruzam no ponto M. As linhas de interseção nos levam ao conceito de ângulo entre as linhas de interseção. Separadamente, vale a pena considerar a localização de linhas retas em um plano quando o ângulo entre elas é de noventa graus. Neste caso, as linhas são chamadas perpendicular(recomendamos o artigo linhas perpendiculares, perpendicularidade das linhas). Se a linha a é perpendicular à linha b, então a notação curta pode ser usada.

Terceiro, duas linhas em um plano podem ser paralelas.

Uma linha reta em um plano com ponto prático de vista é conveniente considerar em conjunto com vetores. Significado especial têm vetores diferentes de zero em uma determinada linha ou em qualquer uma das linhas paralelas, eles são chamados vetores de direção da linha reta. O artigo vetor de direção de uma linha reta em um plano dá exemplos de vetores de direção e mostra opções para seu uso na resolução de problemas.

Você também deve prestar atenção aos vetores diferentes de zero situados em qualquer uma das linhas perpendiculares ao dado. Esses vetores são chamados vetores normais da linha. O uso de vetores normais de uma linha reta é descrito no artigo vetor normal de uma linha reta em um plano.

Quando três ou mais retas são dadas em um plano, então surge um conjunto várias opções sua posição relativa. Todas as linhas podem ser paralelas, caso contrário, algumas ou todas elas se cruzam. Neste caso, todas as linhas podem se cruzar em um único ponto (veja o artigo lápis de linhas), ou podem ter diferentes pontos de interseção.

Não nos deteremos em detalhes, mas citaremos vários fatos notáveis ​​e muito usados ​​sem provas:

• se duas linhas são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas entre si;
• se duas linhas são perpendiculares a uma terceira linha, então elas são paralelas entre si;
• se em um plano uma linha intercepta uma de duas linhas paralelas, então ela também intercepta a segunda linha.

Métodos para definir uma linha reta em um plano.

Agora vamos listar as principais maneiras pelas quais você pode definir uma linha específica no plano. Este conhecimento é muito útil do ponto de vista prático, pois nele se baseia a solução de tantos exemplos e problemas.

Primeiro, uma linha reta pode ser definida especificando dois pontos no plano.

De fato, do axioma considerado no primeiro parágrafo deste artigo, sabemos que uma linha reta passa por dois pontos e, além disso, apenas por um.

Se as coordenadas de dois pontos não coincidentes são indicadas em um sistema de coordenadas retangular em um plano, então é possível escrever a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados.

Em segundo lugar, uma linha pode ser especificada especificando o ponto pelo qual ela passa e a linha à qual ela é paralela. Este método está correto, pois dado ponto Existe apenas uma linha no plano que é paralela à linha dada. A comprovação desse fato foi realizada nas aulas de geometria no ensino médio.

Se uma linha reta em um plano é definida dessa maneira em relação ao sistema de coordenadas cartesianas retangular introduzido, então é possível compor sua equação. Isso está escrito no artigo a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto paralelo a uma determinada linha reta.

Em terceiro lugar, uma linha pode ser definida especificando o ponto pelo qual ela passa e seu vetor de direção.

Se uma linha reta é dada em um sistema de coordenadas retangular desta forma, então é fácil compor sua equação canônica de uma linha reta em um plano e equações paramétricas de uma linha reta em um plano.

A quarta maneira de especificar uma linha é especificar o ponto pelo qual ela passa e a linha à qual ela é perpendicular. Com efeito, através dado ponto Existe apenas uma linha no plano que é perpendicular à linha dada. Vamos deixar este fato sem provas.

Finalmente, uma linha no plano pode ser especificada especificando o ponto pelo qual ela passa e o vetor normal da linha.

Se as coordenadas de um ponto situado em uma determinada linha e as coordenadas do vetor normal da linha são conhecidas, então é possível escrever a equação geral da linha.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Grades 7 - 9: um livro para instituições de ensino.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 anos do ensino médio.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. matemática superior. Volume Um: Elementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analítica.

Direitos autorais de estudantes inteligentes

Todos os direitos reservados.
Protegido pela lei de direitos autorais. Nenhuma parte do www.website, incluindo materiais internos e projeto externo, não pode ser reproduzido de qualquer forma ou usado sem a permissão prévia por escrito do detentor dos direitos autorais.