Zależność liniowa i liniowa niezależność wektorów.
Baza wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a każdy dzisiejszy gość otrzyma słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule zostaną omówione dwie sekcje jednocześnie. wyższa matematyka i zobaczymy, jak poradzą sobie w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twix! ... cholera, co za bzdury. Chociaż ok, nie będę punktować, ostatecznie powinieneś mieć pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, niezależność wektora liniowego, baza wektorów i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dowodów nie trzeba szukać daleko, spróbuj narysować wektor przestrzeni pięciowymiarowej . Albo wektor pogodowy, po który właśnie pojechałem do Gismeteo: – temperatura i Ciśnienie atmosferyczne odpowiednio. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, niemniej jednak nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę Was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadaniem jest to zrobić zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale zostaną podane przykłady geometryczne. Dzięki temu wszystko jest proste, dostępne i przejrzyste. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy także niektóre typowe zadania algebra Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaska i afiniczny układ współrzędnych

Rozważ płaszczyznę swojego biurko komputerowe(tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, co tylko chcesz). Zadanie będzie składać się z następujących działań:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza rzecz biorąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne będą dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim obiektom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić palec wskazujący lewa ręka na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce mały palec prawa ręka w ten sam sposób na krawędzi stołu - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co możemy powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowy wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest pewna liczba różna od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tego działania w klasie. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce postawią podstawę na płaszczyźnie biurka komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe podróżować tam i z powrotem sam kierunku, a płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywane są liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach i wyrażeniach matematycznych nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole tak, aby powstał między nimi kąt inny niż 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowy Nie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc uzyskano podstawę. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „przekrzywiona” nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego konstrukcji odpowiedni jest nie tylko kąt 90 stopni i nie tylko wektory jednostkowe o jednakowej długości

Każdy wektor samolotu jedyny sposób rozwija się według podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są nazywane współrzędne wektora na tej podstawie.

Mówi się też, że wektorprzedstawiony jako kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowywedług podstawy Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład możemy powiedzieć, że wektor jest rozłożony wzdłuż ortonormalnej podstawy płaszczyzny lub możemy powiedzieć, że jest on reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy definicja podstawy formalnie: Podstawa samolotu nazywa się parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotnym punktem definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. Bazy – to dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, nie można zastąpić małego palca lewej ręki małym palcem prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne każdemu elementowi na biurku komputera. Dlaczego to nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych brudnych miejsc na stole pozostałych po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A taki punkt orientacyjny to punkt znany wszystkim - pochodzenie współrzędnych. Rozumiemy układ współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem pewne różnice pomiędzy prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

Kiedy o tym mówią prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej mają na myśli początek współrzędnych, osie współrzędnych i skaluj wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł podpowie Ci o osiach współrzędnych znanych z V-VI klasy i o tym, jak nanosić punkty na płaszczyznę.

Z drugiej strony wydaje się, że prostokątny układ współrzędnych można całkowicie zdefiniować w oparciu o bazę ortonormalną. I to prawie prawda. Sformułowanie jest następujące:

pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny prostokątnej . Oznacza to prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w zadaniach geometrycznych często (ale nie zawsze) rysowane są zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.

Myślę, że każdy to rozumie, używając punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT na płaszczyźnie i DOWOLNY WEKTOR na płaszczyźnie można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na płaszczyźnie można policzyć”.

Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa wektory ortogonalne o dowolnej niezerowej długości:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami jest określony przez siatkę współrzędnych, a każdy punkt na płaszczyźnie, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych ogólnie mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jedności, wówczas uzyskuje się zwykłą podstawę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w zasady afiniczne brane są pod uwagę jednostki płaszczyzny i przestrzeni wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na osi x zawiera 4 cm, jedna jednostka na osi rzędnych zawiera 2 cm. Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby zamienić „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

Drugie pytanie, na które właściwie już udzielono odpowiedzi, brzmi: czy kąt między wektorami bazowymi musi wynosić 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. Odpowiednio kąt może wynosić dowolna wartość z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowy wektory, , ustawić układ współrzędnych płaszczyzny afinicznej :

Czasami nazywany jest taki układ współrzędnych skośny system. Jako przykład, rysunek pokazuje punkty i wektory:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny; wzory na długości wektorów i odcinków, które omówiliśmy w drugiej części lekcji, nie działają w nim. Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych Iloczyn skalarny wektorów. Ale zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie odcinka w tej relacji, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

I wniosek jest taki, że najwygodniejszy przypadek specjalny układ afiniczny współrzędne to kartezjański układ prostokątny. Dlatego najczęściej musisz ją widywać, moja droga. ...Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których kąt skośny (lub jakiś inny, np. polarny) system współrzędnych. A humanoidom mogą spodobać się takie systemy =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy z tej lekcji obowiązują zarówno dla prostokątnego układu współrzędnych, jak i dla ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. Aby uzyskać dwa wektory płaskie były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to szczegółowy opis oczywistej relacji współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe .
b) Czy wektory tworzą bazę? ?

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje dla wektorów współczynnik proporcjonalności, taki, że równości są spełnione:

Na pewno opowiem Ci o aplikacji typu „foppish”. tej zasady, co w praktyce sprawdza się całkiem nieźle. Chodzi o to, żeby od razu uzupełnić proporcję i sprawdzić, czy się zgadza:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

Skróćmy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, zatem

Zależność można odwrócić; jest to równoważna opcja:

Do autotestu można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo względem siebie. W w tym przypadku istnieją równości . Ich zasadność można łatwo zweryfikować poprzez elementarne operacje na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem kolinearności . Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Zróbmy proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Zazwyczaj opcja ta nie jest odrzucana przez recenzentów, jednak problem pojawia się w przypadku, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tu zastosować proporcję? (w rzeczywistości nie można dzielić przez zero). Z tego powodu uproszczone rozwiązanie nazwałem „fantastycznym”.

Odpowiedź: a), b) forma.

Mały kreatywny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Przy jakiej wartości parametru znajdują się wektory czy będą współliniowe?

W przykładowym rozwiązaniu parametr znajduje się poprzez proporcję.

Jest pełen wdzięku metoda algebraiczna sprawdzanie wektorów pod kątem kolinearności Usystematyzujmy naszą wiedzę i dodajmy to jako punkt piąty:

Dla dwóch wektorów płaskich poniższe stwierdzenia są równoważne:

2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.

Odpowiednio, poniższe przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią bazy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.

Naprawdę mam taką nadzieję ten moment rozumiesz już wszystkie terminy i stwierdzenia, z którymi się spotykasz.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Aby zastosować tę funkcję, oczywiście musisz to zrobić znaleźć determinanty.

Zdecydujmy Przykład 1 w drugi sposób:

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych :
, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Odpowiedź: a), b) forma.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków i linii prostych. Rozważmy kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby tworzenia rysunku w zadaniu, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Przypomnijmy definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Należy zatem udowodnić:
1) równoległość przeciwnych stron i;
2) równoległość przeciwnych stron i.

Udowodnimy:

1) Znajdź wektory:

2) Znajdź wektory:

Wynikiem jest ten sam wektor („według szkoły” – wektory równe). Kolinearność jest dość oczywista, ale lepiej sformalizować decyzję jasno, z układem. Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe, oraz .

Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są równoległe parami, co oznacza, że ​​z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej dobrych i różnych liczb:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście uzyskać definicję trapezu, ale wystarczy po prostu przypomnieć sobie, jak on wygląda.

To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie na końcu lekcji.

A teraz czas powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić kolinearność wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

A) ;
B)
V)

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczenie” jest sformalizowane poprzez sprawdzenie proporcji. W tym przypadku:
– odpowiadające im współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania kolinearności wektorów przestrzennych poprzez wyznacznik trzeciego rzędu, Ta metoda omówione w artykule Iloczyn wektorowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia można wykorzystać do badania równoległości odcinków przestrzennych i prostych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
Baza przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele wzorów, które sprawdziliśmy w samolocie, będzie miało zastosowanie także w przestrzeni kosmicznej. Starałem się zminimalizować notatki z teorii, ponieważ lwia część informacji została już przeżuta. Zalecam jednak uważne przeczytanie części wprowadzającej, gdyż pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz zamiast płaszczyzny biurka komputerowego eksplorujemy trójwymiarową przestrzeń. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne będą trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę i rozłożyć ją różne strony kciuk, indeks i środkowy palec . Będą to wektory, patrzą w różne strony, mają różną długość i mają różne kąty pomiędzy nimi. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Swoją drogą, nie ma potrzeby demonstrować tego nauczycielom, bez względu na to, jak mocno kręcisz palcami, ale od definicji nie ma ucieczki =)

Dalej, zapytajmy ważna kwestia, czy dowolne trzy wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej? Naciśnij mocno trzema palcami na blat biurka komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, z grubsza rzecz biorąc, straciliśmy jeden z wymiarów - wysokość. Takie wektory są współpłaszczyznowy i jest całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie jest tworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, w której mogą się znajdować płaszczyzny równoległe(tylko nie rób tego palcami, tylko Salvador Dali poradził sobie w ten sposób =)).

Definicja: wektory są nazywane współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe. Logiczne jest tutaj dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy wektory współpłaszczyznowe są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie jeszcze raz, że leżą one w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, mogą być również współliniowe, wtedy dowolny wektor można wyrazić poprzez dowolny wektor. W drugim przypadku, jeśli np. wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor wyraża się przez nie w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo zgadnąć z materiałów w poprzedniej sekcji).

Odwrotna sytuacja jest również prawdą: trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo niezależne to znaczy nie wyrażają się one poprzez siebie nawzajem. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawa przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnymi (niewspółpłaszczyznowymi) wektorami, podjęte w określonej kolejności i dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób jest rozkładany na zadaną bazę, gdzie są współrzędne wektora w tej bazie

Przypomnę, że możemy również powiedzieć, że wektor jest przedstawiony w postaci kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie w taki sam sposób, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:

pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Oczywiście siatka współrzędnych jest „ukośna” i niewygodna, ale mimo to skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam zdecydowanie określić współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni.

Najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

Punkt w przestrzeni zwany pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański prostokątny układ współrzędnych przestrzeni . Znajomy obrazek:

Zanim przejdziemy do zadań praktycznych, ponownie usystematyzujmy informacje:

Dla trzy wektory space poniższe stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Myślę, że przeciwne stwierdzenia są zrozumiałe.

Liniową zależność/niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (punkt 5). Pozostałe zadania praktyczne będą miały wyraźny charakter algebraiczny. Czas odłożyć kij do geometrii i chwycić kij baseballowy algebry liniowej:

Trzy wektory przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zero: .

Zwracam uwagę na mały szczegół niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisywać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się od tego - patrz właściwości wyznaczników). Ale jest znacznie lepszy w kolumnach, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli o metodach obliczania wyznaczników, a może w ogóle ich nie rozumieją, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Tak naprawdę całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych (wyznacznik ujawnia się w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiedź: te wektory tworzą bazę

b) Jest to punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją również zadania twórcze:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo musisz rozwiązać równanie z wyznacznikiem. Spadamy na zera niczym latawce na skoczkach - najlepiej otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego:

Odpowiedź: Na

Łatwo to tutaj sprawdzić; aby to zrobić, musisz podstawić otrzymaną wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się , otwierając je ponownie.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze jedno typowe zadanie, która ma charakter bardziej algebraiczny i jest tradycyjnie uwzględniana w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na własny temat:

Udowodnić, że 3 wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź na tej podstawie współrzędne czwartego wektora

Przykład 8

Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę w przestrzeni trójwymiarowej i znajdź na tej bazie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podano cztery wektory i, jak widać, mają one już w jakiejś bazie współrzędne. Nie interesuje nas, jaka jest ta podstawa. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą stanowić nową bazę. A pierwszy etap całkowicie pokrywa się z rozwiązaniem z Przykładu 6, należy sprawdzić, czy wektory są naprawdę liniowo niezależne:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie w łańcuchach. W przeciwnym razie w dalszym algorytmie rozwiązania wystąpi zamieszanie.

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rozwiązanie. Szuka wspólna decyzja układy równań

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Metoda Gaussa. Aby to zrobić, zapisujemy ten jednorodny układ we współrzędnych:

Matryca systemu

Dozwolony system ma postać: (r A = 2, N= 3). System jest kooperatywny i niepewny. Jego rozwiązanie ogólne ( X 2 – zmienna wolna): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Na przykład obecność niezerowego rozwiązania konkretnego wskazuje, że wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo zależne.

Przykład 2.

Dowiedz się czy ten system wektory liniowo zależne lub liniowo niezależne:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Rozwiązanie. Rozważmy jednorodny układ równań A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

lub w formie rozwiniętej (według współrzędnych)

System jest jednorodny. Jeśli nie jest zdegenerowany, to ma unikalne rozwiązanie. W przypadku układu jednorodnego istnieje rozwiązanie zerowe (trywialne). Oznacza to, że w tym przypadku układ wektorów jest niezależny. Jeśli układ jest zdegenerowany, to ma rozwiązania niezerowe i dlatego jest zależny.

Sprawdzamy system pod kątem degeneracji:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Układ jest niezdegenerowany, a co za tym idzie i wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo niezależny.

Zadania. Dowiedz się, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny czy liniowo niezależny:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Udowodnij, że układ wektorów będzie liniowo zależny, jeżeli zawiera:

a) dwa równe wektory;

b) dwa wektory proporcjonalne.

Wektory, ich właściwości i działania z nimi

Wektory, działania z wektorami, liniowa przestrzeń wektorowa.

Wektory są uporządkowanym zbiorem skończonej liczby liczb rzeczywistych.

Działania: 1.Mnożenie wektora przez liczbę: lambda*wektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Dodawanie wektorów (należących do tej samej przestrzeni wektorowej) wektor x + wektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Wektor 0=(0,0…0)---n E n – n-wymiarowy (przestrzeń liniowa) wektor x + wektor 0 = wektor x

Twierdzenie. Aby układ n wektorów, n-wymiarowa przestrzeń liniowa, był liniowo zależny, konieczne i wystarczające jest, aby jeden z wektorów był liniową kombinacją pozostałych.

Twierdzenie. Dowolny zbiór n+ pierwszych wektorów n-wymiarowej przestrzeni liniowej zjawisk. liniowo zależne.

Dodawanie wektorów, mnożenie wektorów przez liczby. Odejmowanie wektorów.

Suma dwóch wektorów jest wektorem skierowanym od początku wektora do końca wektora, pod warunkiem, że początek pokrywa się z końcem wektora. Jeżeli wektory są dane przez ich rozwinięcia w wektorach jednostek bazowych, to przy dodawaniu wektorów dodawane są odpowiadające im współrzędne.

Rozważmy to na przykładzie kartezjańskiego układu współrzędnych. Pozwalać

Pokażmy to

Z rysunku 3 jasno wynika, że

Sumę dowolnej skończonej liczby wektorów można obliczyć korzystając z reguły wielokąta (ryc. 4): aby skonstruować sumę skończonej liczby wektorów, wystarczy połączyć początek każdego kolejnego wektora z końcem poprzedniego i skonstruuj wektor łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego.

Właściwości operacji dodawania wektorów:

W tych wyrażeniach m, n są liczbami.

Różnica między wektorami nazywana jest wektorem. Drugi człon jest wektorem przeciwnym do kierunku wektora, ale o równej długości.

Zatem operację odejmowania wektorów zastępuje się operacją dodawania

Wektor, którego początek znajduje się w początku, a kończy w punkcie A (x1, y1, z1) nazywany jest wektorem promienia punktu A i jest po prostu oznaczany. Ponieważ jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu A, jego rozwinięcie w wektory jednostkowe ma postać

Wektor rozpoczynający się w punkcie A(x1, y1, z1) i kończący się w punkcie B(x2, y2, z2) można zapisać jako

gdzie r 2 jest wektorem promienia punktu B; r 1 - wektor promienia punktu A.

Dlatego rozwinięcie wektora w wektorach jednostkowych ma postać

Jego długość jest równa odległości między punktami A i B

MNOŻENIE

Zatem w przypadku problemu płaskiego iloczyn wektora przez a = (ax; ay) przez liczbę b oblicza się ze wzoru

a b = (ax b; ay b)

Przykład 1. Znajdź iloczyn wektora a = (1; 2) przez 3.

3 za = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Zatem w przypadku problemu przestrzennego iloczyn wektora a = (ax; ay; az) przez liczbę b można znaleźć według wzoru

a b = (ax b; ay b; az b)

Przykład 1. Znajdź iloczyn wektora a = (1; 2; -5) przez 2.

2 za = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Iloczyn skalarny wektorów i gdzie jest kątem między wektorami i ; jeśli jedno, to

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że

gdzie, na przykład, jest wielkością rzutu wektora na kierunek wektora.

Skalarny kwadrat wektora:

Właściwości iloczynu skalarnego:

Iloczyn skalarny we współrzędnych

Jeśli To

Kąt między wektorami

Kąt między wektorami - kąt między kierunkami tych wektorów (najmniejszy kąt).

Iloczyn krzyżowy (Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów.) - jest to pseudowektor prostopadły do ​​płaszczyzny zbudowanej z dwóch czynników, będący wynikiem operacji binarnej „mnożenia wektorów” po wektorach w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Iloczyn nie jest ani przemienny, ani łączny (jest antyprzemienny) i różni się od iloczynu skalarnego wektorów. W wielu zadaniach inżynierskich i fizycznych trzeba umieć skonstruować wektor prostopadły do ​​dwóch istniejących - iloczyn wektorowy zapewnia taką możliwość. Iloczyn krzyżowy jest przydatny do „pomiaru” prostopadłości wektorów - długość iloczynu krzyżowego dwóch wektorów jest równa iloczynowi ich długości, jeśli są one prostopadłe i maleje do zera, jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Iloczyn krzyżowy definiuje się tylko w przestrzeniach trójwymiarowych i siedmiwymiarowych. Wynik iloczynu wektorowego, podobnie jak iloczynu skalarnego, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej.

W przeciwieństwie do wzoru na obliczanie wektorów iloczynu skalarnego ze współrzędnych w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych, wzór na iloczyn poprzeczny zależy od orientacji prostokątnego układu współrzędnych, czyli innymi słowy od jego „chiralności”

Kolinearność wektorów.

Dwa niezerowe (nierówne 0) wektory nazywane są współliniowymi, jeśli leżą na prostych równoległych lub na tej samej prostej. Dopuszczalnym, ale nie zalecanym synonimem są wektory „równoległe”. Wektory współliniowe mogą być skierowane identycznie („współkierunkowo”) lub przeciwnie (w tym drugim przypadku są czasami nazywane „antywspółliniowymi” lub „antyrównoległymi”).

Mieszany iloczyn wektorów ( a, b, c)- iloczyn skalarny wektora a oraz iloczyn wektorowy wektorów b i c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

czasami nazywa się to iloczynem potrójnej kropki wektorów, najwyraźniej dlatego, że wynikiem jest skalar (a dokładniej pseudoskalar).

Znaczenie geometryczne: Moduł zmieszanego produktu jest liczbowo równy objętości równoległościanu utworzonego przez wektory (ABC) .

Nieruchomości

Mieszany kawałek skośno-symetryczny w odniesieniu do wszystkich swoich argumentów: tj. e. przestawienie dowolnych dwóch czynników zmienia znak iloczynu. Wynika z tego, że iloczyn mieszany w prawym kartezjańskim układzie współrzędnych (w bazie ortonormalnej) jest równy wyznacznikowi macierzy złożonej z wektorów i:

Iloczyn mieszany w lewym kartezjańskim układzie współrzędnych (w bazie ortonormalnej) jest równy wyznacznikowi macierzy złożonej z wektorów i wzięty ze znakiem minus:

W szczególności,

Jeśli dowolne dwa wektory są równoległe, to z dowolnym trzecim wektorem tworzą iloczyn mieszany równy zero.

Jeśli trzy wektory są liniowo zależne (to znaczy współpłaszczyznowe, leżące w tej samej płaszczyźnie), to ich iloczyn mieszany jest równy zero.

Zmysł geometryczny - Produkt mieszany wg całkowita wartość równa objętości równoległościanu (patrz rysunek) utworzonej przez wektory i; znak zależy od tego, czy ta trójka wektorów jest prawoskrętna, czy lewoskrętna.

Współpłaszczyznowość wektorów.

Trzy wektory (lub więcej) nazywane są współpłaszczyznowymi, jeśli po sprowadzeniu ich do wspólnego początku leżą w tej samej płaszczyźnie

Własności współpłaszczyznowości

Jeśli co najmniej jeden z trzech wektorów ma wartość zero, wówczas te trzy wektory są również uważane za współpłaszczyznowe.

Trójka wektorów zawierających parę współliniowych wektorów jest współpłaszczyznowa.

Iloczyn mieszany wektorów współpłaszczyznowych. Jest to kryterium współpłaszczyznowości trzech wektorów.

Wektory współpłaszczyznowe są liniowo zależne. Jest to również kryterium współpłaszczyznowości.

W przestrzeni trójwymiarowej podstawą są 3 niewspółpłaszczyznowe wektory

Wektory liniowo zależne i liniowo niezależne.

Liniowo zależne i niezależne układy wektorowe.Definicja. Nazywa się system wektorowy liniowo zależne, jeśli istnieje co najmniej jedna nietrywialna kombinacja liniowa tych wektorów równa wektorowi zerowemu. W przeciwnym razie, tj. jeśli tylko trywialna kombinacja liniowa danych wektorów jest równa wektorowi zerowemu, wektory są wywoływane liniowo niezależny.

Twierdzenie (kryterium zależności liniowej). Aby układ wektorów w przestrzeni liniowej był liniowo zależny, konieczne i wystarczające jest, aby przynajmniej jeden z tych wektorów był liniową kombinacją pozostałych.

1) Jeżeli wśród wektorów znajduje się co najmniej jeden wektor zerowy, to cały układ wektorów jest liniowo zależny.

Faktycznie, jeśli np. , to zakładając , mamy nietrywialną kombinację liniową .▲

2) Jeżeli wśród wektorów niektóre tworzą się liniowo układ zależny, to cały układ jest liniowo zależny.

Rzeczywiście, niech wektory , , będą liniowo zależne. Oznacza to, że istnieje nietrywialna kombinacja liniowa równa wektorowi zerowemu. Ale wtedy, zakładając , otrzymujemy także nietrywialną kombinację liniową równą wektorowi zerowemu.

2. Podstawa i wymiar. Definicja. Układ wektorów liniowo niezależnych nazywa się przestrzeń wektorową podstawa tej przestrzeni, jeśli dowolny wektor z można przedstawić jako kombinację liniową wektorów tego układu, tj. dla każdego wektora istnieją liczby rzeczywiste tak, że zachodzi równość. Ta równość nazywa się rozkład wektorowy według podstawy i liczb są nazywane współrzędne wektora względem podstawy(Lub w podstawie) .

Twierdzenie (o jednoznaczności rozwinięcia względem bazy). Każdy wektor w przestrzeni można rozwinąć w bazę w jedyny sposób, tj. współrzędne każdego wektora w bazie są określone jednoznacznie.

W tym artykule omówimy:

• czym są wektory współliniowe;
• jakie są warunki kolinearności wektorów;
• jakie istnieją właściwości wektorów współliniowych;
• jaka jest liniowa zależność wektorów współliniowych.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Wektory współliniowe to wektory, które są równoległe do jednej linii lub leżą na jednej linii.

Przykład 1

Warunki współliniowości wektorów

Dwa wektory są współliniowe, jeśli spełniony jest którykolwiek z poniższych warunków:

• warunek 1 . Wektory aib są współliniowe, jeśli istnieje liczba λ taka, że ​​a = λ b;
• warunek 2 . Wektory a i b są współliniowe, gdy równe traktowanie współrzędne:

za = (za 1 ; za 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ za ∥ b ⇔ za 1 b 1 = za 2 b 2

• warunek 3 . Wektory aib są współliniowe pod warunkiem, że iloczyn poprzeczny i wektor zerowy są równe:

za ∥ b ⇔ za, b = 0

Notatka 1

Warunek 2 nie ma zastosowania, jeśli jedna ze współrzędnych wektora wynosi zero.

Uwaga 2

Warunek 3 dotyczy tylko tych wektorów, które są określone w przestrzeni.

Przykłady problemów badania kolinearności wektorów

Przykład 1

Sprawdzamy kolinearność wektorów a = (1; 3) i b = (2; 1).

Jak rozwiązać?

W takim przypadku konieczne jest zastosowanie drugiego warunku współliniowości. Dla podanych wektorów wygląda to następująco:

Równość jest fałszywa. Z tego możemy wywnioskować, że wektory aib są niewspółliniowe.

Odpowiedź : za | | B

Przykład 2

Jaka wartość m wektora a = (1; 2) i b = (- 1; m) jest konieczna, aby wektory były współliniowe?

Jak rozwiązać?

Korzystając z drugiego warunku współliniowości, wektory będą współliniowe, jeśli ich współrzędne są proporcjonalne:

To pokazuje, że m = - 2.

Odpowiedź: m = - 2 .

Kryteria zależności liniowej i liniowej niezależności układów wektorowych

Twierdzenie

Układ wektorów w przestrzeni wektorowej jest liniowo zależny tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu można wyrazić w postaci pozostałych wektorów tego układu.

Dowód

Niech system e 1 , e 2 , . . . , e n jest liniowo zależne. Zapiszmy kombinację liniową tego układu równą wektorowi zerowemu:

za 1 mi 1 + za 2 mi 2 + . . . + za n mi n = 0

w którym co najmniej jeden ze współczynników kombinacji nie jest równy zero.

Niech a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N.

Obie strony równości dzielimy przez niezerowy współczynnik:

za k - 1 (ak - 1 za 1) mi 1 + (ak - 1 za k) e k + . . . + (a k - 1 za n) mi n = 0

Oznaczmy:

A k - 1 a m , gdzie m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , rz

W tym przypadku:

β 1 mi 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n mi n = 0

lub mi k = (- β 1) mi 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) i n

Wynika z tego, że jeden z wektorów układu wyraża się poprzez wszystkie pozostałe wektory układu. To właśnie należało udowodnić (itp.).

Adekwatność

Niech jeden z wektorów będzie wyrażony liniowo przez wszystkie pozostałe wektory układu:

mi k = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n mi n

Przesuwamy wektor e k na prawą stronę tej równości:

0 = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n mi n

Ponieważ współczynnik wektora e k jest równy - 1 ≠ 0, otrzymujemy nietrywialną reprezentację zera za pomocą układu wektorów e 1, e 2, . . . , e n , a to z kolei oznacza, że ​​ten układ wektorów jest liniowo zależny. To właśnie należało udowodnić (itp.).

Konsekwencja:

• Układ wektorów jest liniowo niezależny, gdy żaden z jego wektorów nie może być wyrażony w postaci wszystkich innych wektorów układu.
• Układ wektorów zawierający wektor zerowy lub dwa równe wektory jest liniowo zależny.

Własności wektorów liniowo zależnych

1. Dla wektorów 2- i 3-wymiarowych spełniony jest warunek: dwa wektory liniowo zależne są współliniowe. Dwa współliniowe wektory są liniowo zależne.
2. Dla wektorów trójwymiarowych spełniony jest warunek: trzy wektory liniowo zależne są współpłaszczyznowe. (3 wektory współpłaszczyznowe są liniowo zależne).
3. Dla wektorów n-wymiarowych spełniony jest warunek: wektory n + 1 są zawsze liniowo zależne.

Przykłady rozwiązywania problemów z liniową zależnością lub liniową niezależnością wektorów

Przykład 3

Sprawdźmy wektory a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pod kątem liniowej niezależności.

Rozwiązanie. Wektory są liniowo zależne, ponieważ wymiar wektorów jest mniejszy niż liczba wektorów.

Przykład 4

Sprawdźmy wektory a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pod kątem liniowej niezależności.

Rozwiązanie. Znajdujemy wartości współczynników, przy których kombinacja liniowa będzie równa wektorowi zerowemu:

x 1 za + x 2 b + x 3 do 1 = 0

Równanie wektora zapisujemy w postaci liniowej:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Rozwiązujemy ten układ metodą Gaussa:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od drugiej linii odejmujemy pierwszą, od trzeciej - pierwszą:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od pierwszej linii odejmujemy drugą, do trzeciej dodajemy drugą:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Z rozwiązania wynika, że ​​układ ma wiele rozwiązań. Oznacza to, że istnieje niezerowa kombinacja wartości takich liczb x 1, x 2, x 3, dla których kombinacja liniowa a, b, c jest równa wektorowi zerowemu. Dlatego wektory a, b, c są liniowo zależne.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Definicja. Liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., an o współczynnikach x 1 , ..., x n nazywa się wektorem

x 1 za 1 + ... + x n za n .

trywialny, jeśli wszystkie współczynniki x 1 , ..., x n są równe zero.

Definicja. Nazywa się kombinację liniową x 1 a 1 + ... + x n a n nietrywialne, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników x 1, ..., x n nie jest równy zero.

liniowo niezależny, jeśli nie ma nietrywialnej kombinacji tych wektorów równej wektorowi zerowemu.

Oznacza to, że wektory a 1, ..., a n są liniowo niezależne, jeśli x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definicja. Nazywa się wektory a 1, ..., an liniowo zależne, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja tych wektorów równa wektorowi zerowemu.

Własności wektorów liniowo zależnych:

Dla wektorów 2 i 3 wymiarowych.

Dwa liniowo zależne wektory są współliniowe. (Wektory współliniowe są liniowo zależne.)

Dla wektorów trójwymiarowych.

Trzy liniowo zależne wektory są współpłaszczyznowe. (Trzy współpłaszczyznowe wektory są liniowo zależne.)

• Dla wektorów n-wymiarowych.

  wektory n + 1 są zawsze liniowo zależne.

Przykładowe problemy liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów:

Przykład 1. Sprawdź, czy wektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) są liniowo niezależne .

Rozwiązanie:

Wektory będą liniowo zależne, ponieważ wymiar wektorów jest mniejszy niż liczba wektorów.

Przykład 2. Sprawdź, czy wektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

odejmij drugą od pierwszej linii; dodaj drugą linię do trzeciej linii:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Rozwiązanie to pokazuje, że układ ma wiele rozwiązań, czyli istnieje niezerowa kombinacja wartości liczb x 1, x 2, x 3 taka, że ​​kombinacja liniowa wektorów a, b, c jest równa wektor zerowy, na przykład:

A + b + do = 0

co oznacza, że ​​wektory a, b, c są liniowo zależne.

Odpowiedź: wektory a, b, c są liniowo zależne.

Przykład 3. Sprawdź, czy wektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie: Znajdźmy wartości współczynników, przy których kombinacja liniowa tych wektorów będzie równa wektorowi zerowemu.

x 1 za + x 2 b + x 3 do 1 = 0

To równanie wektorowe można zapisać w postaci układu równania liniowe

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2 x 3 = 0

Rozwiążmy ten układ metodą Gaussa

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

odejmij pierwszą od drugiej linii; odejmij pierwszą od trzeciej linii:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

odejmij drugą od pierwszej linii; dodaj drugą do trzeciej linii.