Qual é o período principal da função y sinx. Periodicidade das funções y \u003d sin x, y \u003d cos x - Hipermercado do Conhecimento

Objetivo: generalizar e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre o tema "Periodicidade das funções"; formar habilidades na aplicação das propriedades de uma função periódica, encontrar o menor período positivo de uma função, traçar funções periódicas; promover o interesse pelo estudo da matemática; cultivar observação, precisão.

Equipamentos: computador, projetor multimídia, cartões de tarefas, slides, relógios, mesas de enfeites, elementos de artesanato popular

“Matemática é o que as pessoas usam para controlar a natureza e a si mesmas”
A. Kolmogorov

Durante as aulas

I. Fase organizacional.

Verificar a prontidão dos alunos para a aula. Apresentação do tema e objetivos da aula.

II. Verificando a lição de casa.

Verificamos a lição de casa de acordo com as amostras, a mais momentos difíceis discutindo.

III. Generalização e sistematização do conhecimento.

1. Trabalho frontal oral.

Questões de teoria.

1) Forme a definição do período da função
2) Qual é o menor período positivo das funções y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual é o menor período positivo das funções y=tg(x), y=ctg(x)
4) Use o círculo para provar a exatidão das relações:

y=sen(x) = sen(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sen(x+2π n)=senx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Como traçar uma função periódica?

exercícios orais.

1) Prove as seguintes relações

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Prove que o ângulo de 540º é um dos períodos da função y= cos(2x)

3. Prove que o ângulo de 360º é um dos períodos da função y=tg(x)

4. Transforme essas expressões para que os ângulos nelas incluídos não ultrapassem 90º em valor absoluto.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Onde você encontrou as palavras PERIOD, PERIODICITY?

Respostas dos alunos: Um período na música é uma construção em que se afirma um pensamento musical mais ou menos completo. Período geológico- parte de uma era e é dividido em épocas com um período de 35 a 90 milhões de anos.

A meia-vida de uma substância radioativa. Fração periódica. Periódicos são publicações impressas que aparecem em datas estritamente definidas. Sistema periódico Mendeleiev.

6. As figuras mostram partes dos gráficos de funções periódicas. Defina o período da função. Determine o período da função.

Responda: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Onde em sua vida você se deparou com a construção de elementos repetitivos?

Os alunos respondem: Elementos de ornamentos, arte popular.

4. Resolução coletiva de problemas.

(Resolução de problemas em slides.)

Vamos considerar uma das maneiras de estudar uma função para periodicidade.

Este método contorna as dificuldades associadas a provar que um ou outro período é o menor, e também não há necessidade de tocar em questões sobre operações aritméticas em funções periódicas e sobre periodicidade. função complexa. O raciocínio é baseado apenas na definição de uma função periódica e no seguinte fato: se T é o período da função, então nT(n? 0) é seu período.

Problema 1. Encontre o menor período positivo da função f(x)=1+3(x+q>5)

Solução: Vamos supor que o T-período desta função. Então f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), i.e.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Seja x=-0,25 obtemos

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Obtivemos que todos os períodos da função considerada (se existirem) estão entre inteiros. Escolha entre esses números o menor número positivo. Isso é 1 . Vamos verificar se é realmente um período 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Como (T+1)=(T) para qualquer T, então f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), ou seja, 1 - período f. Como 1 é o menor de todos os inteiros positivos, então T=1.

Tarefa 2. Mostre que a função f(x)=cos 2 (x) é periódica e encontre seu período principal.

Tarefa 3. Encontre o período principal da função

f(x)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)

Assuma o período T da função, então para qualquer X a proporção

sen1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)

Se x=0 então

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sen0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Se x=-T, então

sin0+5cos0=sen(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

Somando, temos:

10cos(0,75T)=10

2π n, n€ Z

Vamos escolher entre todos os números "suspeitos" para o período o menor positivo e verificar se é um período para f. Este número

f(x+)=sen(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Portanto, é o período principal da função f.

Tarefa 4. Verifique se a função f(x)=sin(x) é periódica

Seja T o período da função f. Então para qualquer x

sen|x+T|=sen|x|

Se x=0, então sen|T|=sen0, sen|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Suponha. Que para algum n o número π n é um período

função considerada π n>0. Então sen|π n+x|=sen|x|

Isso implica que n deve ser par e ímpar ao mesmo tempo, o que é impossível. então determinada função não é periódica.

Tarefa 5. Verifique se a função é periódica

f(x)=

Seja T o período f, então

, portanto sinT=0, T=π n, n € Z. Vamos supor que para algum n o número π n seja de fato o período da função dada. Então o número 2π n também será um período

Como os numeradores são iguais, seus denominadores também são, então

Portanto, a função f não é periódica.

Trabalho em equipe.

Tarefas para o grupo 1.

Tarefas para o grupo 2.

Verifique se a função f é periódica e encontre seu período principal (se existir).

f(x)=cos(2x)+2sen(2x)

Tarefas para o grupo 3.

Ao final do trabalho, os grupos apresentam suas soluções.

VI. Resumindo a lição.

Reflexão.

O professor dá aos alunos cartões com desenhos e se oferece para pintar parte do primeiro desenho de acordo com o grau em que, ao que parece, eles dominam os métodos de estudo da função da periodicidade e em parte do segundo desenho , de acordo com sua contribuição para o trabalho na lição.

VII. Trabalho de casa

1). Verifique se a função f é periódica e encontre seu período principal (se existir)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). A função y=f(x) tem um período T=2 ef(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encontre o valor da expressão -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovitch A. G.Álgebra e o início da análise com estudo aprofundado.
2. Matemática. Preparação para o exame. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A.Álgebra e análise inicial para as séries 10-11.

Centrado em um ponto UMA.
α é um ângulo expresso em radianos.

Definição
Seioé uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto triângulo retângulo, igual à razão o comprimento da perna oposta |BC| ao comprimento da hipotenusa |AC|.

Cosseno (cos α)é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão do comprimento do cateto adjacente |AB| ao comprimento da hipotenusa |AC|.

Designações aceitas

;
;
.

;
;
.

Gráfico da função seno, y = sen x

Gráfico da função cosseno, y = cos x

Propriedades do seno e cosseno

Periodicidade

Funções y= pecado x e y= cos x periódica com um período 2 π.

Paridade

A função seno é ímpar. A função cosseno é par.

Domínio de definição e valores, extremos, aumento, diminuição

As funções seno e cosseno são contínuas em seu domínio de definição, ou seja, para todo x (veja a prova de continuidade). Suas principais propriedades são apresentadas na tabela (n - inteiro).

Fórmulas básicas

Soma de seno e cosseno ao quadrado

Fórmulas de seno e cosseno para soma e diferença

;
;

Fórmulas para o produto de senos e cossenos

Fórmulas de soma e diferença

Expressão do seno através do cosseno

;
;
;
.

Expressão do cosseno pelo seno

;
;
;
.

Expressão em termos de tangente

; .

Para , temos:
; .

No :
; .

Tabela de senos e cossenos, tangentes e cotangentes

Esta tabela mostra os valores de senos e cossenos para alguns valores do argumento.

Expressões através de variáveis ​​complexas

;

Fórmula de Euler

Expressões em termos de funções hiperbólicas

;
;

Derivativos

; . Derivação de fórmulas > > >

Derivadas de ordem n:
{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cossecante

Funções inversas

Funções inversas para seno e cosseno são o arcseno e o arcoseno, respectivamente.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arcos

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

Instrução

Para encontrar o período de uma função trigonométrica elevada a uma potência, avalie a uniformidade da potência. Para reduzir o período padrão pela metade. Por exemplo, se você receber uma função y \u003d 3 cos ^ 2x, o período padrão 2P diminuirá 2 vezes, portanto, o período será igual a P. Observe que as funções tg, ctg são periódicas em qualquer grau de P.

Se você receber uma equação que contém ou é um quociente de duas funções trigonométricas, primeiro encontre o período para cada uma delas separadamente. Em seguida, encontre o número mínimo que caberia em uma quantidade inteira de ambos. Por exemplo, dada a função y=tgx*cos5x. Para a tangente, o período é P, para o cosseno 5x, o período é 2P/5. O número mínimo que pode caber nesses dois períodos é 2P, portanto, o período necessário é 2P.

Se você achar difícil agir da forma proposta ou duvidar da resposta, tente agir por definição. Tome T como o período da função, é maior que zero. Substitua (x + T) na equação por x e resolva a equação resultante como se T fosse um parâmetro ou um número. Como resultado, você encontrará o valor da função trigonométrica e poderá escolher o período mínimo. Por exemplo, como resultado da simplificação, você obtém a identidade sen (T / 2) \u003d 0. Valor mínimo T em que é realizado, 2P, esta será a tarefa.

Origens:

• período de pecado

Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número cuja adição ao argumento da função não altera o valor da função.

Você vai precisar

• Conhecimento em matemática elementar e o início da análise.

Instrução

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Nota

Tudo funções trigonométricas são periódicos e todos os polinômios com grau maior que 2 são aperiódicos.

Conselho util

O período de uma função que consiste em dois funções periódicas, é o mínimo múltiplo comum dos períodos dessas funções.

Equações trigonométricas são equações que contêm funções de um argumento desconhecido (por exemplo: 5sinx-3cosx =7). Para aprender a resolvê-los - você precisa conhecer alguns métodos para isso.

Instrução

Decomposição da equação em fatores. Primeiro, transferimos todos os termos para a esquerda e fatoramos.

É importante lembrar que funções pares e ímpares possuem uma linha reta com o domínio da função. Se, por exemplo, um par não função par não para x=5, então não existe para x=-5, o que não pode ser dito sobre a função visão geral. Ao estabelecer par e ímpar, preste atenção ao domínio da função.

O estudo da função para par e ímpar correlaciona-se com encontrar o conjunto de valores da função. Para encontrar o conjunto de valores de uma função par, basta considerar a metade da função, à direita ou à esquerda de zero. Se para x>0 uma função par y(x) leva de A para B, então ela terá os mesmos valores para x<0.
Para encontrar o conjunto de valores tomados por uma função ímpar, também é suficiente considerar apenas uma função. Se para x>0 a função ímpar y(x) assume um intervalo de valores de A a B, então para x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonométricas" uma vez começaram a ser chamadas de funções que são determinadas pela dependência de ângulos agudos em um triângulo retângulo dos comprimentos de seus lados. Essas funções incluem, em primeiro lugar, o seno e o cosseno e, em segundo lugar, a secante e a cossecante, que são inversas a essas funções, as derivadas tangente e cotangente delas, bem como as funções inversas arcseno, arcoseno, etc. mais correto falar não sobre a “solução” de tais funções, mas sobre seu “cálculo”, ou seja, sobre encontrar um valor numérico.

Instrução

Se o argumento trigonométrico for desconhecido, seu valor poderá ser calculado indiretamente com base nas definições dessas funções. Para fazer isso, você precisa conhecer os comprimentos dos lados do triângulo, o trigonométrico de um dos ângulos que deseja calcular. Por exemplo, o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. Segue-se que, para um ângulo, é suficiente conhecer os comprimentos desses dois lados. Analogous diz que o seno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento da perna adjacente a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. A tangente de um ângulo agudo pode ser calculada dividindo o comprimento da perna oposta pelo comprimento da adjacente, e requer a divisão do comprimento da perna adjacente pelo comprimento da perna oposta. Para calcular a secante de um ângulo agudo, é necessário encontrar a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto adjacente ao ângulo desejado, e a cossecante é determinada pela razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento da perna oposta.

Se o argumento da função trigonométrica for conhecido, você não precisará conhecer os comprimentos dos lados do triângulo - você pode usar as tabelas de valores ou calculadoras de funções trigonométricas. Este é um dos programas padrão do sistema operacional Windows. Para executá-lo, você pode pressionar a combinação de teclas Win + R, digitar o comando calc e clicar no botão OK. Na interface do programa, abra a seção "Visualizar" e o item "Engenharia" ou "Científico". Depois disso, você pode inserir o argumento da função trigonométrica. Para calcular as funções seno, cosseno, e depois de inserir o valor, basta clicar no botão da interface correspondente (sin, cos, tg), e encontrar suas inversas do arco seno, arcoseno, e, primeiro, verificar o Caixa de seleção Inv.

Existem também formas alternativas. Uma delas é ir ao site do motor de busca Nigma ou Google e inserir a função desejada e seu argumento como consulta de pesquisa (por exemplo, sin 0,47). Esses mecanismos de pesquisa possuem calculadoras embutidas, portanto, após enviar tal solicitação, você receberá o valor da função trigonométrica inserida.

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As funções trigonométricas surgiram pela primeira vez como ferramentas para cálculos matemáticos abstratos das dependências das magnitudes dos ângulos agudos em um triângulo retângulo em relação aos comprimentos de seus lados. Agora eles são amplamente utilizados em campos científicos e técnicos da atividade humana. Para cálculos práticos de funções trigonométricas a partir de argumentos fornecidos, você pode usar ferramentas diferentes - algumas das mais acessíveis estão descritas abaixo.

Instrução

Use, por exemplo, o programa de calculadora instalado por padrão com o sistema operacional. Ele abre selecionando o item "Calculadora" na pasta "Utilitários" da subseção "Padrão", localizada na seção "Todos os programas". Esta seção pode ser aberta clicando no botão "Iniciar" no menu principal da sala de cirurgia. Se você estiver usando a versão do Windows 7, basta digitar "Calculadora" na caixa "Pesquisar programas e arquivos" no menu principal e clicar no link correspondente nos resultados da pesquisa.

Digite o ângulo para o qual você deseja calcular a função trigonométrica e clique no botão apropriado para isso - sin, cos ou tan. Se você estiver interessado em funções trigonométricas inversas (arco-seno, arco-cosseno ou ), primeiro clique no botão Inv - ele inverte as funções atribuídas aos botões de controle.

Em versões anteriores do sistema operacional (por exemplo, Windows XP), para acessar as funções trigonométricas, abra a seção "Exibir" no menu da calculadora e selecione a linha "Engenharia". Além disso, em vez do botão Inv na interface de versões mais antigas do programa, há uma caixa de seleção com a mesma inscrição.

Você pode fazer isso sem uma calculadora se tiver acesso à Internet. Existem muitos serviços na rede que oferecem calculadoras de funções trigonométricas organizadas de forma diferente. Um dos mais convenientes está embutido no mecanismo de busca Nigma. Ao acessar sua página principal, basta inserir o valor em que você está interessado no campo de consulta de pesquisa - por exemplo, " arctangent 30». Depois de clicar no botão "Localizar!" o mecanismo de pesquisa calculará e mostrará o resultado do cálculo - 0,482347907101025.

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A trigonometria é um ramo da matemática para estudar, expressando várias dependências dos lados de um triângulo retângulo nas magnitudes dos ângulos agudos na hipotenusa. Tais funções são chamadas trigonométricas e, para simplificar o trabalho com elas, foram derivadas funções trigonométricas. identidades.

conceito identidades in significa igualdade, que é satisfeita para quaisquer valores dos argumentos das funções incluídas nele. Trigonométrico identidades- estas são as igualdades de funções trigonométricas, comprovadas e aceitas para facilitar o trabalho com fórmulas trigonométricas. Uma função trigonométrica é uma função elementar da dependência de um dos catetos de um triângulo retângulo da magnitude de um ângulo agudo na hipotenusa . As seis funções trigonométricas básicas mais comumente usadas são sen (seno), cos (cosseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) e cosec (cossecante). Essas funções são chamadas diretas, também existem

Um número T tal que para qualquer x F(x + T) = F(x). Esse número T é chamado de período da função.

Pode haver vários períodos. Por exemplo, a função F = const assume o mesmo valor para quaisquer valores do argumento e, portanto, qualquer número pode ser considerado seu período.

Geralmente interessado no menor período diferente de zero da função. Por brevidade, é simplesmente chamado de período.

Um exemplo clássico de funções periódicas é a trigonométrica: seno, cosseno e tangente. Seu período é o mesmo e igual a 2π, ou seja, sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) e assim por diante. No entanto, é claro, as funções trigonométricas não são as únicas periódicas.

Com relação às funções simples e básicas, a única forma de estabelecer sua periodicidade ou não é por meio de cálculos. Mas para funções complexas, já existem algumas regras simples.

Se F(x) tem período T, e uma derivada é definida para ela, então esta derivada f(x) = F′(x) também é uma função periódica com período T. Afinal, o valor da derivada no ponto o ponto x é igual à tangente da tangente do gráfico de sua antiderivada neste ponto ao eixo x, e como se repete periodicamente, deve se repetir. Por exemplo, a derivada da função sin(x) é cos(x), e é periódica. Derivando de cos(x) você obtém -sin(x). A periodicidade permanece inalterada.

No entanto, o inverso nem sempre é verdadeiro. Assim, a função f(x) = const é periódica, mas sua antiderivada F(x) = const*x + C não é.

Se F(x) é uma função periódica com período T, então G(x) = a*F(kx + b), onde a, b e k são constantes e k não é igual a zero - também uma função periódica, e seu período é T/k. Por exemplo, sin(2x) é uma função periódica e seu período é π. Visualmente, isso pode ser representado da seguinte forma: multiplicando x por algum número, você comprime as funções horizontalmente exatamente quantas vezes

Se F1(x) e F2(x) são funções periódicas e seus períodos são iguais a T1 e T2, respectivamente, então a soma dessas funções também pode ser periódica. No entanto, seu período não será uma simples soma dos períodos T1 e T2. Se o resultado da divisão T1/T2 for um número racional, então a soma das funções é periódica e seu período é igual ao mínimo múltiplo comum (MCM) dos períodos T1 e T2. Por exemplo, se o período da primeira função for 12 e o período da segunda for 15, então o período de sua soma será LCM (12, 15) = 60.

Visualmente, isso pode ser representado da seguinte forma: as funções vêm com diferentes “larguras de passo”, mas se a proporção de suas larguras for racional, mais cedo ou (mais precisamente, através do LCM de etapas), elas se tornarão iguais novamente e sua soma começará um novo período.

No entanto, se a razão de períodos , então a função total não será periódica. Por exemplo, seja F1(x) = x mod 2 (o resto de x dividido por 2) e F2(x) = sin(x). T1 aqui será igual a 2, e T2 é igual a 2π. A razão de períodos é igual a π - um número irracional. Portanto, a função sin(x) + x mod 2 não é periódica.

Origens:

• Teoria da Função

Muitas funções matemáticas têm um recurso que facilita sua construção - isso é periodicidade, ou seja, a repetibilidade do gráfico na grade de coordenadas em intervalos regulares.

Instrução

As funções periódicas mais famosas da matemática são a onda senoidal e a onda cosseno. Essas funções têm um período ondulatório e básico igual a 2P. Também um caso especial de uma função periódica é f(x)=const. Qualquer número é adequado para a posição x, esta função não possui ponto principal, pois é uma linha reta.

Em geral, uma função é periódica se houver um inteiro N diferente de zero e que satisfaça a regra f(x)=f(x+N), garantindo assim a repetibilidade. O período da função é o menor número N, mas não zero. Ou seja, por exemplo, a função sen x é igual à função sen (x + 2PN), onde N \u003d ± 1, ± 2, etc.

Às vezes, uma função pode ter um multiplicador (por exemplo, sen 2x), que aumentará ou diminuirá o período da função. Para encontrar o período