Se a função é par ou ímpar. Funções pares e ímpares

A dependência da variável y em relação à variável x, na qual cada valor de x corresponde a um único valor de y, é chamada de função. A notação é y=f(x). Cada função tem uma série de propriedades básicas, como monotonicidade, paridade, periodicidade e outras.

Considere a propriedade de paridade com mais detalhes.

Uma função y=f(x) é chamada mesmo que satisfaça as duas condições a seguir:

2. O valor da função no ponto x pertencente ao escopo da função deve ser igual ao valor da função no ponto -x. Ou seja, para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d f (-x) deve ser verdadeira.

Gráfico de uma função par

Se você construir um gráfico de uma função par, ele será simétrico em relação ao eixo y.

Por exemplo, a função y=x^2 é par. Vamos dar uma olhada. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Tome um x=3 arbitrário. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Portanto, f(x) = f(-x). Assim, ambas as condições são satisfeitas para nós, o que significa que a função é par. Abaixo está um gráfico da função y=x^2.

A figura mostra que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Gráfico de uma função ímpar

Uma função y=f(x) é chamada ímpar se satisfizer as duas condições a seguir:

1. O domínio da função dada deve ser simétrico em relação ao ponto O. Ou seja, se algum ponto a pertence ao domínio da função, então o ponto correspondente -a também deve pertencer ao domínio da função dada.

2. Para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d -f (x) deve ser satisfeita.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao ponto O - a origem. Por exemplo, a função y=x^3 é ímpar. Vamos dar uma olhada. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Tome um x=2 arbitrário. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Portanto f(x) = -f(x). Assim, ambas as condições são satisfeitas para nós, o que significa que a função é ímpar. Abaixo está um gráfico da função y=x^3.

A figura mostra claramente que a função ímpar y=x^3 é simétrica em relação à origem.

até, se para todo \(x\) de seu domínio for verdadeiro: \(f(-x)=f(x)\) .

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo \(y\):

Exemplo: a função \(f(x)=x^2+\cos x\) é par, pois \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) A função \(f(x)\) é chamada chance, se para todo \(x\) de seu domínio for verdadeiro: \(f(-x)=-f(x)\) .

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem:

Exemplo: a função \(f(x)=x^3+x\) é ímpar porque \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funções que não são nem pares nem ímpares são chamadas de funções visão geral. Tal função sempre pode ser representada exclusivamente como a soma de uma função par e ímpar.

Por exemplo, a função \(f(x)=x^2-x\) é a soma de uma função par \(f_1=x^2\) e uma função ímpar \(f_2=-x\) .

\(\triângulopretoàdireita\) Algumas propriedades:

1) O produto e quociente de duas funções de mesma paridade é uma função par.

2) O produto e o quociente de duas funções de paridade diferente é uma função ímpar.

3) A soma e a diferença de funções pares é uma função par.

4) A soma e a diferença de funções ímpares é uma função ímpar.

5) Se \(f(x)\) é uma função par, então a equação \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) tem raiz única se e somente se, quando \(x=0\) .

6) Se \(f(x)\) for uma função par ou ímpar, e a equação \(f(x)=0\) tiver uma raiz \(x=b\) , então esta equação terá necessariamente um segundo raiz \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Uma função \(f(x)\) é chamada periódica em \(X\) se para algum número \(T\ne 0\) temos \(f(x)=f(x+ T) \) , onde \(x, x+T\em X\) . O menor \(T\) , para o qual essa igualdade vale, é chamado de período principal (básico) da função.

No função periódica qualquer número da forma \(nT\) , onde \(n\in \mathbb(Z)\) também será um ponto.

Exemplo: qualquer função trigonométricaé periódico;
as funções \(f(x)=\sen x\) e \(f(x)=\cos x\) período principalé igual a \(2\pi\) , o período principal das funções \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) e \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x \) é \ (\pi\) .

Para plotar uma função periódica, você pode plotar seu gráfico em qualquer segmento de comprimento \(T\) (período principal); então o gráfico da função inteira é completado deslocando a parte construída por um número inteiro de períodos para a direita e para a esquerda:

\(\blacktriangleright\) O domínio \(D(f)\) da função \(f(x)\) é o conjunto formado por todos os valores do argumento \(x\) para os quais a função faz sentido (é definido).

Exemplo: a função \(f(x)=\sqrt x+1\) tem um domínio de definição: \(x\in

Tarefa 1 #6364

Nível da tarefa: Igual ao Exame do Estado Unificado

Para quais valores do parâmetro \(a\) a equação

tem uma solução única?

Observe que, como \(x^2\) e \(\cos x\) são funções pares, se a equação tiver uma raiz \(x_0\) , ela também terá uma raiz \(-x_0\) .
De fato, seja \(x_0\) uma raiz, ou seja, a igualdade \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) certo. Substituir \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Assim, se \(x_0\ne 0\) , então a equação já terá pelo menos duas raízes. Portanto, \(x_0=0\) . Então:

Temos dois valores de parâmetro \(a\) . Observe que usamos o fato de que \(x=0\) é exatamente a raiz da equação original. Mas nunca usamos o fato de que ele é o único. Portanto, é necessário substituir os valores resultantes do parâmetro \(a\) na equação original e verificar para qual exatamente \(a\) a raiz \(x=0\) será de fato única.

1) Se \(a=0\) , então a equação terá a forma \(2x^2=0\) . Obviamente, esta equação tem apenas uma raiz \(x=0\) . Portanto, o valor \(a=0\) nos convém.

2) Se \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , então a equação assume a forma \ Reescrevemos a equação na forma \ Porque \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Que \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Portanto, os valores do lado direito da equação (*) pertencem ao segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Desde \(x^2\geqslant 0\) , então lado esquerdo equação (*) é maior ou igual a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Assim, a igualdade (*) só pode ocorrer quando ambos os lados da equação são iguais a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . E isso significa que \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Portanto, o valor \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nos convém.

Responder:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tarefa 2 #3923

Nível da tarefa: Igual ao Exame do Estado Unificado

Encontre todos os valores do parâmetro \(a\) , para cada um dos quais o gráfico da função \

simétrica em relação à origem.

Se o gráfico de uma função é simétrico em relação à origem, então tal função é ímpar, ou seja, \(f(-x)=-f(x)\) é satisfeita para qualquer \(x\) da domínio da função. Assim, é necessário encontrar os valores dos parâmetros para os quais \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(alinhado)\]

A última equação deve valer para todo \(x\) do domínio \(f(x)\) , portanto \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Responder:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tarefa 3 #3069

Nível da tarefa: Igual ao Exame do Estado Unificado

Encontre todos os valores do parâmetro \(a\) , para cada um dos quais a equação \ tem 4 soluções, onde \(f\) é uma função periódica par com período \(T=\dfrac(16)3\) definido em toda a linha real , e \(f(x)=ax^2\) para \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tarefa dos assinantes)

Como \(f(x)\) é uma função par, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, portanto, quando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Assim, em \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), e este é um segmento de comprimento \(\dfrac(16)3\) , a função \(f(x)=ax^2\) .

1) Seja \(a>0\) . Então o gráfico da função \(f(x)\) ficará assim:


Então, para que a equação tenha 4 soluções, é necessário que o gráfico \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passe pelo ponto \(A\):


Por isso, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunido)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(alinhado) \end(reunido)\certo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(recolhido)\begin(alinhado) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alinhado) \end( reunidos)\certo.\] Como \(a>0\) , então \(a=\dfrac(18)(23)\) está bom.

2) Seja \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Precisamos que o gráfico \(g(x)\) passe pelo ponto \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alinhado) \end(reunido)\certo.\] Desde um<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) O caso em que \(a=0\) não é adequado, porque então \(f(x)=0\) para todo \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) e The equação terá apenas 1 raiz.

Responder:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tarefa 4 #3072

Nível da tarefa: Igual ao Exame do Estado Unificado

Encontre todos os valores \(a\) , para cada um dos quais a equação \

tem pelo menos uma raiz.

(Tarefa dos assinantes)

Reescrevemos a equação na forma \ e considere duas funções: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) e \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
A função \(g(x)\) é par, tem um ponto mínimo \(x=0\) (e \(g(0)=49\) ).
A função \(f(x)\) para \(x>0\) é decrescente, e para \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
De fato, para \(x>0\) o segundo módulo se expande positivamente (\(|x|=x\) ), portanto, independentemente de como o primeiro módulo se expande, \(f(x)\) será igual a \ ( kx+A\) , onde \(A\) é uma expressão de \(a\) , e \(k\) é igual a \(-9\) ou \(-3\) . Para \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Encontre o valor \(f\) no ponto máximo: \

Para que a equação tenha pelo menos uma solução, é necessário que os gráficos das funções \(f\) e \(g\) tenham pelo menos um ponto de interseção. Portanto, você precisa: \ \\]

Responder:

\(a\em \(-7\)\copo\)

Tarefa 5 #3912

Nível da tarefa: Igual ao Exame do Estado Unificado

Encontre todos os valores do parâmetro \(a\) , para cada um dos quais a equação \

tem seis soluções diferentes.

Vamos fazer a substituição \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Então a equação terá a forma \ Escreveremos gradualmente as condições sob as quais a equação original terá seis soluções.
Note que a equação de segundo grau \((*)\) pode ter no máximo duas soluções. Qualquer equação cúbica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) pode ter no máximo três soluções. Portanto, se a equação \((*)\) tem duas soluções diferentes (positivo!, pois \(t\) deve ser maior que zero) \(t_1\) e \(t_2\) , então, feito o inverso substituindo, obtemos: \[\left[\begin(recolhido)\begin(alinhado) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(alinhado)\end(reunido)\certo.\] Como qualquer número positivo pode ser representado como \(\sqrt2\) até certo ponto, por exemplo, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), então a primeira equação do conjunto será reescrita na forma \ Como já dissemos, qualquer equação cúbica não tem mais que três soluções, portanto, cada equação do conjunto não terá mais que três soluções. Isso significa que todo o conjunto não terá mais do que seis soluções.
Isso significa que para que a equação original tenha seis soluções, a equação quadrática \((*)\) deve ter duas soluções diferentes, e cada equação cúbica resultante (do conjunto) deve ter três soluções diferentes (e não uma única solução de uma equação deve coincidir com qual - ou pela decisão da segunda!)
Obviamente, se a equação quadrática \((*)\) tiver uma solução, não obteremos seis soluções para a equação original.

Assim, o plano de solução fica claro. Vamos escrever as condições que devem ser atendidas ponto por ponto.

1) Para que a equação \((*)\) tenha duas soluções diferentes, seu discriminante deve ser positivo: \

2) Também precisamos que ambas as raízes sejam positivas (porque \(t>0\) ). Se o produto de duas raízes for positivo e sua soma for positiva, as próprias raízes serão positivas. Portanto, você precisa: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Assim, já nos fornecemos duas raízes positivas distintas \(t_1\) e \(t_2\) .

3) Vejamos esta equação \ Para que \(t\) haverá três soluções diferentes?
Considere a função \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Pode ser multiplicado: \ Portanto, seus zeros são: \(x=-1;2\) .
Se encontrarmos a derivada \(f"(x)=3x^2-6x\) , obteremos dois pontos extremos \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Portanto, o gráfico fica assim:


Vemos que qualquer linha horizontal \(y=k\) , onde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) tem três soluções diferentes, é necessário que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Assim, você precisa: \[\begin(casos) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Observemos também de imediato que se os números \(t_1\) e \(t_2\) forem diferentes, então os números \(\log_(\sqrt2)t_1\) e \(\log_(\sqrt2)t_2\) serão ser diferente, então as equações \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) E \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) terão raízes diferentes.
O sistema \((**)\) pode ser reescrito assim: \[\begin(casos) 1

Assim, determinamos que ambas as raízes da equação \((*)\) devem estar no intervalo \((1;4)\) . Como escrever esta condição?
Não escreveremos explicitamente as raízes.
Considere a função \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Seu gráfico é uma parábola com ramos ascendentes, que tem dois pontos de interseção com o eixo das abcissas (escrevemos essa condição no parágrafo 1)). Como deve ser seu gráfico para que os pontos de interseção com o eixo das abcissas estejam no intervalo \((1;4)\) ? Então:


Em primeiro lugar, os valores \(g(1)\) e \(g(4)\) da função nos pontos \(1\) e \(4\) devem ser positivos e, em segundo lugar, o vértice de a parábola \(t_0\ ) também deve estar no intervalo \((1;4)\) . Portanto, o sistema pode ser escrito: \[\begin(casos) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) sempre tem pelo menos uma raiz \(x=0\) . Assim, para cumprir a condição do problema, é necessário que a equação \

tinha quatro raízes diferentes de zero distintas, representando junto com \(x=0\) uma progressão aritmética.

Observe que a função \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) é par, então se \(x_0\) é a raiz da equação \((* )\ ) , então \(-x_0\) também será sua raiz. Então é necessário que as raízes desta equação sejam números ordenados em ordem crescente: \(-2d, -d, d, 2d\) (então \(d>0\) ). É então que esses cinco números formarão uma progressão aritmética (com a diferença \(d\) ).

Para que essas raízes sejam os números \(-2d, -d, d, 2d\) , é necessário que os números \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) sejam as raízes de a equação \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Então pelo teorema de Vieta:

Reescrevemos a equação na forma \ e considere duas funções: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) e \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
A função \(g(x)\) tem ponto máximo \(x=0\) (e \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivada zero: \(x=0\) . Para \(x<0\) имеем: \(g">0\) , para \(x>0\): \(g"<0\) .
A função \(f(x)\) para \(x>0\) é crescente e para \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
De fato, para \(x>0\) o primeiro módulo se expande positivamente (\(|x|=x\) ), portanto, independentemente de como o segundo módulo se expande, \(f(x)\) será igual a \ ( kx+A\) , onde \(A\) é uma expressão de \(a\) , e \(k\) é \(13-10=3\) ou \(13+10=23\) . Para \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Vamos encontrar o valor \(f\) no ponto mínimo: \

Para que a equação tenha pelo menos uma solução, é necessário que os gráficos das funções \(f\) e \(g\) tenham pelo menos um ponto de interseção. Portanto, você precisa: \ Resolvendo este conjunto de sistemas, obtemos a resposta: \\]

Responder:

\(a\em \(-2\)\copo\)

As funções pares e ímpares são uma de suas principais propriedades, e a paridade ocupa uma parte impressionante do curso escolar de matemática. Ele determina em grande parte a natureza do comportamento da função e facilita muito a construção do gráfico correspondente.

Vamos definir a paridade da função. De um modo geral, a função em estudo é considerada mesmo que para valores opostos da variável independente (x) localizada em seu domínio, os valores correspondentes de y (função) sejam iguais.

Vamos dar uma definição mais rigorosa. Considere alguma função f(x), que está definida no domínio D. Será par se para qualquer ponto x localizado no domínio de definição:

• -x (ponto oposto) também está no escopo especificado,

• f(-x) = f(x).

Da definição acima decorre a condição necessária para o domínio de definição de tal função, a saber, a simetria em relação ao ponto O, que é a origem das coordenadas, pois se algum ponto b está contido no domínio de definição de uma função par, então o ponto correspondente - b também está neste domínio. Do exposto, portanto, segue-se a conclusão: uma função par tem uma forma que é simétrica em relação ao eixo de ordenadas (Oy).

Como determinar a paridade de uma função na prática?

Seja dado usando a fórmula h(x)=11^x+11^(-x). Seguindo o algoritmo que segue diretamente da definição, primeiro estudamos seu domínio de definição. Obviamente, ela é definida para todos os valores do argumento, ou seja, a primeira condição é satisfeita.

O próximo passo é substituir o argumento (x) pelo seu valor oposto (-x).
Nós temos:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Como a adição satisfaz a lei comutativa (deslocamento), é óbvio que h(-x) = h(x) e a dependência funcional dada é par.

Vamos verificar a igualdade da função h(x)=11^x-11^(-x). Seguindo o mesmo algoritmo, obtemos h(-x) = 11^(-x) -11^x. Tirando o menos, como resultado, temos
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=-h(x). Portanto, h(x) é ímpar.

A propósito, deve-se lembrar que existem funções que não podem ser classificadas de acordo com esses critérios, elas são chamadas nem pares nem ímpares.

As funções pares têm várias propriedades interessantes:

• como resultado da adição de funções semelhantes, obtém-se um par;
• como resultado da subtração de tais funções, um par é obtido;
• mesmo, também mesmo;
• como resultado da multiplicação de duas dessas funções, uma par é obtida;
• como resultado da multiplicação de funções ímpares e pares, obtém-se uma ímpar;
• como resultado da divisão das funções pares e ímpares, obtém-se uma ímpar;
• a derivada de tal função é ímpar;
• Se elevarmos ao quadrado uma função ímpar, obtemos uma função par.

A paridade de uma função pode ser usada na resolução de equações.

Para resolver uma equação como g(x) = 0, onde o lado esquerdo da equação é uma função par, será suficiente encontrar sua solução para valores não negativos da variável. As raízes obtidas da equação devem ser combinadas com números opostos. Um deles está sujeito a verificação.

O mesmo é usado com sucesso para resolver problemas fora do padrão com um parâmetro.

Por exemplo, existe algum valor para o parâmetro a que faria a equação 2x^6-x^4-ax^2=1 ter três raízes?

Se levarmos em conta que a variável entra na equação em potências pares, fica claro que substituir x por -x não mudará a equação dada. Segue-se que, se um certo número é sua raiz, o mesmo acontece com o número oposto. A conclusão é óbvia: as raízes da equação, diferentes de zero, estão incluídas no conjunto de suas soluções em “pares”.

É claro que o número 0 em si não é, ou seja, o número de raízes de tal equação só pode ser par e, naturalmente, para qualquer valor do parâmetro ela não pode ter três raízes.

Mas o número de raízes da equação 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 pode ser ímpar, e para qualquer valor do parâmetro. De fato, é fácil verificar que o conjunto de raízes de uma dada equação contém soluções em "pares". Vamos verificar se 0 é uma raiz. Ao substituí-lo na equação, obtemos 2 = 2. Assim, além de "pareado", o 0 também é uma raiz, o que prova seu número ímpar.

Para fazer isso, use papel milimetrado ou uma calculadora gráfica. Selecione qualquer número de valores numéricos para a variável independente x (\displaystyle x) e plugá-los na função para calcular os valores da variável dependente y (\displaystyle y). Coloque as coordenadas encontradas dos pontos no plano de coordenadas e, em seguida, conecte esses pontos para construir um gráfico da função.

• Substitua valores numéricos positivos na função x (\displaystyle x) e valores numéricos negativos correspondentes. Por exemplo, dada uma função. Substitua os seguintes valores nele x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Tem um ponto com coordenadas (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Tem um ponto com coordenadas (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Tem um ponto com coordenadas (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Verifique se o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y. Simetria refere-se à imagem espelhada do gráfico sobre o eixo y. Se a parte do gráfico à direita do eixo y (valores positivos da variável independente) corresponder à parte do gráfico à esquerda do eixo y (valores negativos da variável independente), o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Se a função é simétrica em relação ao eixo y, a função é par.

• Você pode verificar a simetria do gráfico por pontos individuais. Se o valor y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), corresponde ao valor y (\displaystyle y), que corresponde ao valor − x (\displaystyle -x), a função é par. No nosso exemplo com a função f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) obtivemos as seguintes coordenadas dos pontos:
  • (1.3) e (-1.3)
  • (2,9) e (-2,9)
• Observe que para x=1 e x=-1 a variável dependente é y=3, e para x=2 e x=-2 a variável dependente é y=9. Então a função é par. Na verdade, mais de dois pontos devem ser considerados para determinar com precisão a forma da função, mas o método descrito é uma boa aproximação.

Verifique se o gráfico da função é simétrico em relação à origem. A origem é o ponto com coordenadas (0,0). Simetria sobre a origem significa que um valor positivo y (\displaystyle y)(com valor positivo x (\displaystyle x)) corresponde a um valor negativo y (\displaystyle y)(com valor negativo x (\displaystyle x)), e vice versa. As funções ímpares têm simetria em relação à origem.

• Se substituirmos vários valores positivos e negativos correspondentes na função x (\displaystyle x), valores y (\displaystyle y) será diferente em sinal. Por exemplo, dada uma função f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Substitua vários valores nele x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Obteve um ponto com coordenadas (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Obteve um ponto com coordenadas (-2,-10).
• Assim, f(x) = -f(-x), ou seja, a função é ímpar.

Verifique se o gráfico da função tem alguma simetria. O último tipo de função é uma função cujo gráfico não possui simetria, ou seja, não há imagem especular tanto em relação ao eixo y quanto em relação à origem. Por exemplo, dada uma função.

• Substitua vários valores positivos e negativos correspondentes na função x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Obteve um ponto com coordenadas (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Obteve um ponto com coordenadas (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Temos um ponto com coordenadas (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Obteve um ponto com coordenadas (2,-2).
• De acordo com os resultados obtidos, não há simetria. valores y (\displaystyle y) para valores opostos x (\displaystyle x) não combinam e não são opostos. Assim, a função não é nem par nem ímpar.
• Observe que a função f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) pode ser escrito assim: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Escrita dessa forma, a função parece ser par porque há um expoente par. Mas este exemplo prova que a forma de uma função não pode ser determinada rapidamente se a variável independente estiver entre parênteses. Nesse caso, você precisa abrir os colchetes e analisar os expoentes resultantes.

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Metas:

• formar o conceito de funções pares e ímpares, ensinar a habilidade de determinar e usar essas propriedades no estudo de funções, plotagem;
• desenvolver a atividade criativa dos alunos, o pensamento lógico, a capacidade de comparar, generalizar;
• cultivar diligência, cultura matemática; desenvolver habilidades de comunicação .

Equipamento: instalação multimídia, lousa interativa, apostilas.

Formas de trabalho: frontal e grupo com elementos de busca e atividades de pesquisa.

Fontes de informação:

1. Aula de álgebra 9 A.G. Mordkovich. Livro didático.
2. Álgebra Grau 9 A.G. Mordkovich. Livro de tarefas.
3. Álgebra 9ª série. Tarefas para aprendizagem e desenvolvimento dos alunos. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE AS AULAS

1. Momento organizacional

Definição de metas e objetivos da aula.

2. Verificando o dever de casa

nº 10.17 (Livro de problemas da 9ª série A.G. Mordkovich).

A) no = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 para x ~ 0,4
4. f(x) >0 em x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. A função aumenta com x € [– 2; + ∞)
6. A função é limitada por baixo.
7. no contratar = - 3, no naib não existe
8. A função é contínua.

(Você usou o algoritmo de exploração de recursos?) Deslizar.

2. Vamos verificar a tabela que lhe foi perguntada no slide.

Preencha a tabela
	Domínio	zeros de função	Intervalos de constância		Coordenadas dos pontos de interseção do gráfico com Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. atualização de conhecimento

– Funções são dadas.
– Especifique o domínio de definição para cada função.
– Compare o valor de cada função para cada par de valores de argumento: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Para qual das funções dadas no domínio de definição são as igualdades f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (coloque os dados na tabela) Deslizar

		f(1) e f(– 1)	f(2) e f(– 2)	gráficos	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		e não definido.

4. novo material

– Atuando Este trabalho, pessoal, revelamos mais uma propriedade da função, desconhecida para vocês, mas não menos importante que as demais - esta é a função par e ímpar. Anote o tema da lição: “Funções pares e ímpares”, nossa tarefa é aprender a determinar as funções pares e ímpares, descobrir o significado dessa propriedade no estudo de funções e plotagem.
Então, vamos encontrar as definições no livro didático e ler (p. 110) . Deslizar

Def. 1 Função no = f (x) definido no conjunto X é chamado até, se para qualquer valor xЄ X em andamento igualdade f (–x) = f (x). Dar exemplos.

Def. 2 Função y = f(x), definido no conjunto X é chamado chance, se para qualquer valor xЄ X a igualdade f(–х)= –f(х) é satisfeita. Dar exemplos.

Onde encontramos os termos "par" e "ímpar"?
Qual dessas funções será par, você acha? Por que? Quais são estranhos? Por que?
Para qualquer função da forma no= x n, Onde né um número inteiro, pode-se argumentar que a função é ímpar para né ímpar e a função é par para n- até.
- Ver funções no= e no = 2x– 3 não é par nem ímpar, porque igualdades não são satisfeitas f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

O estudo da questão de saber se uma função é par ou ímpar é chamado de estudo de uma função para paridade. Deslizar

As definições 1 e 2 trataram dos valores da função em x e - x, portanto, assume-se que a função também está definida no valor x, e em - x.

AOD 3. Se um conjunto de números com cada um de seus elementos x contiver o elemento oposto x, então o conjunto xé chamado de conjunto simétrico.

Exemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) são conjuntos simétricos, e , [–5;4] são assimétricos.

- VOCÊ funções pares o domínio de definição é um conjunto simétrico? Os estranhos?
- Se D( f) é um conjunto assimétrico, então qual é a função?
– Assim, se a função no = f(x) é par ou ímpar, então seu domínio de definição é D( f) é um conjunto simétrico. Mas o inverso é verdadeiro, se o domínio de uma função é um conjunto simétrico, então é par ou ímpar?
- Portanto, a presença de um conjunto simétrico do domínio de definição é uma condição necessária, mas não suficiente.
– Então, como podemos investigar a função de paridade? Vamos tentar escrever um algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para examinar uma função de paridade

1. Determine se o domínio da função é simétrico. Caso contrário, a função não é nem par nem ímpar. Se sim, vá para a etapa 2 do algoritmo.

2. Escreva uma expressão para f(–x).

3. Compare f(–x).E f(x):

• Se f(–x).= f(x), então a função é par;
• Se f(–x).= – f(x), então a função é ímpar;
• Se f(–x) ≠ f(x) E f(–x) ≠ –f(x), então a função não é nem par nem ímpar.

Exemplos:

Investigue a função de paridade a) no= x 5 +; b) no= ; V) no= .

Solução.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e função h(x)= x 5 + ímpar.

b) y =,

no = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), conjunto assimétrico, então a função não é nem par nem ímpar.

V) f(x) = , y = f(x),

1)D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opção 2

1. O conjunto dado é simétrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examine a função para paridade:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na fig. traçado no = f(x), para todos x, satisfazendo a condição x? 0.
Plotar a função no = f(x), Se no = f(x) é uma função par.

3. Na fig. traçado no = f(x), para todo x satisfazendo x? 0.
Plotar a função no = f(x), Se no = f(x) é uma função ímpar.

Verificação mútua deslizar.

6. Trabalho de casa: №11.11, 11.21,11.22;

Prova do significado geométrico da propriedade de paridade.

*** (Atribuição da opção USE).

1. A função ímpar y \u003d f (x) é definida em toda a linha real. Para qualquer valor não negativo da variável x, o valor desta função coincide com o valor da função g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Encontre o valor da função h( x) = em x = 3.

7. Resumindo