1. Impuls momentowy, Mdt, działający na korpus obrotowy, jest równa zmianie jego pędu dL:
Mdt = d(J ω) lub Mdt = dL
Gdzie: Mdt – impuls momentu siły (iloczyn momentu siły M przez przedział czasu dt)
Jdω = d(Jω) – zmiana momentu pędu ciała,
Jω = L - moment pędu ciała jest iloczynem momentu bezwładności J i prędkości kątowej ω ω, a d(Jω) wynosi dL.

2. Charakterystyka kinematyczna Obrót ciała sztywnego jako całości charakteryzuje się kątem φ, mierzona w stopniach kątowych lub radianach, prędkość kątowa
ω = dφ/dt(mierzone w rad/s)
i przyspieszenie kątowe
ε = d²φ/dt² (mierzone w rad/s²).
Przy równomiernym obrocie (T obrotów na sekundę) Częstotliwość rotacji to liczba obrotów ciała w jednostce czasu:
f = 1/T =ω/2
Okres obrotu to czas jednego pełnego obrotu. Okres rotacji T i jego częstotliwość f są powiązane zależnością
T = 1/f

Prędkość liniowa punktu znajdującego się w odległości R od osi obrotu

Prędkość kątowa obrotu ciała
ω = f/Dt = 2/T

Charakterystyka dynamiczna Właściwości ciała sztywnego podczas jego obrotu opisuje moment bezwładności solidny. Ta funkcja jest zawarta w równania różniczkowe, otrzymane z równań Hamiltona lub Lagrange'a. Energię kinetyczną obrotu można zapisać jako:
E=

We wzorze tym rolę masy pełni moment bezwładności i prędkość kątowa normalna prędkość. Moment bezwładności wyraża geometryczny rozkład masy w ciele i można go wyznaczyć ze wzoru:

Moment bezwładności układu mechanicznego względem stałej osi a („osiowy moment bezwładności”) jest wielkością fizyczną Ja równą sumie iloczynów mas wszystkich n punkty materialne układy według kwadratów ich odległości od osi:
= ∑

Gdzie: mi to masa i-tego punktu, ri to odległość i-tego punktu od osi. Osiowy moment bezwładności ciała Ja jest miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym wokół osi a, tak jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym.

3. Wahadło reprezentuje zamknięty system.
Jeśli wahadło jest w środku skrajny punkt, jego energia potencjalna jest maksymalna, a energia kinetyczna wynosi zero.
Gdy wahadło zaczyna się poruszać, jego energia potencjalna maleje, a energia kinetyczna wzrasta.
W dolnym punkcie energia kinetyczna jest maksymalna, a energia potencjalna jest minimalna. Następnie rozpoczyna się proces odwrotny. Nagromadzona energia kinetyczna przesuwa wahadło w górę, zwiększając w ten sposób energię potencjalną wahadła. Energia kinetyczna maleje, aż wahadło zatrzyma się ponownie w drugim skrajnym punkcie.
Można powiedzieć, że podczas ruchu wahadła następuje przejście energia potencjalna na kinetyczny i odwrotnie.

Suma energii kinetycznej i potencjalnej ciał tworzących układ zamknięty i oddziałujących ze sobą siłami grawitacji i sprężystości pozostaje stała.
Albo tak: Całkowita energia mechaniczna zamkniętego układu ciał oddziałujących z siłami grawitacyjnymi i sprężystymi pozostaje niezmieniona.
(Suma energii kinetycznej i potencjalnej ciał nazywana jest całkowitą energią mechaniczną)

Aby wyprowadzić to prawo, rozważmy najprostszy przypadek ruchu obrotowego punktu materialnego. Rozłóżmy siłę działającą na punkt materialny na dwie składowe: normalną - i styczną - (ryc. 4.3). Składowa normalna siły doprowadzi do pojawienia się przyspieszenia normalnego (dośrodkowego): ; , gdzie r = OA - promień okręgu.

Siła styczna spowoduje pojawienie się przyspieszenia stycznego. Zgodnie z drugim prawem Newtona F t =ma t lub F cos a=ma t.

Wyraźmy przyspieszenie styczne w postaci przyspieszenia kątowego: a t =re. Wtedy F cos a=mre. Pomnóżmy to wyrażenie przez promień r: Fr cos a=mr 2 e. Wprowadźmy zapis r cos a = l , Gdzie l - dźwignia siły, tj. długość prostopadłej obniżonej od osi obrotu do linii działania siły. Od 2 =ja - moment bezwładności punktu materialnego i iloczyn = Fl = M - moment siły, wtedy

Iloczyn momentu siły M przez okres jego ważności dt nazywa się impulsem momentowym. Iloczyn momentu bezwładności I przez prędkość kątową w nazywamy momentem pędu ciała: L=Iw. Wówczas podstawowe prawo dynamiki ruchu obrotowego w postaci (4.5) można sformułować następująco: pęd momentu siły jest równy zmianie momentu pędu ciała. W tym sformułowaniu prawo to jest podobne do drugiego prawa Newtona w postaci (2.2).

Koniec pracy -

Ten temat należy do działu:

Krótki kurs fizyki

Ministerstwo Oświaty i Nauki Ukrainy.. Narodowa Akademia Morska w Odessie..

Jeśli potrzebujesz dodatkowy materiał na ten temat lub nie znalazłeś tego, czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Ćwierkać

Wszystkie tematy w tym dziale:

Podstawowe jednostki SI
Obecnie powszechnie przyjmuje się Międzynarodowy Układ Jednostek Miar – SI. Układ ten zawiera siedem podstawowych jednostek: metr, kilogram, sekundę, mol, amper, kelwin, kandela oraz dwie dodatkowe -

Mechanika
Mechanika - nauka o ruchu mechanicznym ciała materialne oraz interakcje zachodzące pomiędzy nimi. Pod ruch mechaniczny zrozumieć zmiany we wzajemnej płci w czasie

Przyspieszenie normalne i styczne
Ryż. 1.4 Ruch punktu materialnego po zakrzywionej ścieżce

Prawa Newtona
Dynamika to dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu ciał materialnych pod wpływem przyłożonych do nich sił. Mechanika opiera się na prawach Newtona. Pierwsze prawo Newtona

Prawo zachowania pędu
Rozważmy wyprowadzenie zasady zachowania pędu na podstawie drugiej i trzeciej zasady Newtona.

Związek pracy ze zmianą energii kinetycznej
Ryż. 3.3 Niech ciało o masie m porusza się wzdłuż osi x pod

Związek między pracą a zmianą energii potencjalnej
Ryż. 3.4 Ustalimy to połączenie na przykładzie działania grawitacji

Prawo zachowania energii mechanicznej
Rozważmy zamknięty konserwatywny układ ciał. Oznacza to, że na ciała układu nie działają siły zewnętrzne, lecz: siły wewnętrzne są z natury konserwatywni. Pełna mechaniczna

Kolizje
Rozważmy ważna okazja oddziaływania ciał stałych - zderzenia. Zderzenie (uderzenie) to zjawisko skończonej zmiany prędkości ciał stałych w bardzo krótkich okresach czasu, gdy nie są one

Prawo zachowania momentu pędu
Rozważmy izolowane ciało, tj. ciało, na które nie działa zewnętrzny moment siły. Wtedy Mdt = 0 i z (4.5) wynika d(Iw)=0, tj. Iw=stała. Jeśli składa się z izolowanego systemu

Żyroskop
Żyroskop to symetryczne ciało stałe, które obraca się wokół osi pokrywającej się z osią symetrii ciała, przechodzącej przez środek masy i odpowiadającej największemu momentowi bezwładności.

Ogólna charakterystyka procesów oscylacyjnych. Wibracje harmoniczne
Oscylacje to ruchy lub procesy, które mają różny stopień powtarzalności w czasie. W technologii urządzenia wykorzystujące procesy oscylacyjne mogą wykonywać op.

Drgania wahadła sprężystego
Ryż. 6.1 Przymocujmy do końca sprężyny ciało o masie m, które może

Energia drgań harmonicznych
Rozważmy teraz na przykładzie wahadła sprężystego procesy zmiany energii w drganiach harmonicznych. Oczywiście całkowita energia wahadła sprężystego wynosi W=Wk+Wp, gdzie kinetyka

Dodanie drgań harmonicznych o tym samym kierunku
Rozwiązanie wielu problemów, w szczególności dodanie kilku oscylacji w tym samym kierunku, jest znacznie ułatwione, jeśli oscylacje zostaną przedstawione graficznie, w postaci wektorów na płaszczyźnie. Wynikowy

Tłumione oscylacje
W realne warunki W układach oscylujących zawsze występują siły oporu. W rezultacie układ stopniowo zużywa swoją energię na wykonanie pracy przeciwko siłom oporu i

Wymuszone wibracje
W rzeczywistych warunkach układ oscylacyjny stopniowo traci energię, aby pokonać siły tarcia, dzięki czemu oscylacje są tłumione. Aby oscylacje nie były tłumione, jest to w jakiś sposób konieczne

Fale sprężyste (mechaniczne).
Proces propagacji zaburzeń w substancji lub polu, któremu towarzyszy transfer energii, nazywany jest falą. Fale sprężyste - proces mechanicznego rozchodzenia się w ośrodku sprężystym

Interferencja fal
Interferencja to zjawisko nakładania się fal z dwóch spójnych źródeł, w wyniku czego następuje redystrybucja natężenia fal w przestrzeni, tj. występują zakłócenia

Stojące fale
Szczególnym przypadkiem interferencji jest powstawanie fal stojących. Fale stojące powstają w wyniku interferencji dwóch przeciwbieżnych, spójnych fal o tej samej amplitudzie. Ta sytuacja może powodować kłopoty

Efekt Dopplera w akustyce
Fale dźwiękowe to fale sprężyste o częstotliwościach od 16 do 20 000 Hz, odbierane przez ludzki narząd słuchu. Fale dźwiękowe w płynie i media gazowe są podłużne. W trudne

Podstawowe równanie molekularnej teorii kinetyki gazów
Rozważmy gaz doskonały jako najprostszy model fizyczny. Gaz doskonały to taki, dla którego spełnione są następujące warunki: 1) wymiary cząsteczek są tak małe, że

Rozkład cząsteczek ze względu na prędkość
Rys. 16.1 Załóżmy, że udało nam się zmierzyć prędkości wszystkich

Wzór barometryczny
Rozważmy zachowanie gazu doskonałego w polu grawitacyjnym. Jak wiadomo, w miarę unoszenia się nad powierzchnię Ziemi ciśnienie atmosfery maleje. Znajdźmy zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości

Rozkład Boltzmanna
Wyraźmy ciśnienie gazu na wysokościach h i h0 poprzez odpowiednią liczbę cząsteczek na jednostkę objętości oraz u0, zakładając, że na różnych wysokościach T = const: P =

Pierwsza zasada termodynamiki i jej zastosowanie do izoprocesów
Pierwsza zasada termodynamiki jest uogólnieniem prawa zachowania energii z uwzględnieniem procesów cieplnych. Jego sformułowanie: ilość ciepła przekazanego systemowi jest zużywana na wykonanie pracy

Liczba stopni swobody. Energia wewnętrzna gazu doskonałego
Liczba stopni swobody to liczba niezależnych współrzędnych opisujących ruch ciała w przestrzeni. Punkt materialny ma trzy stopnie swobody, gdyż poruszając się w p

Proces adiabatyczny
Adiabatyczny to proces zachodzący bez wymiany ciepła z otoczeniem. W procesie adiabatycznym dQ = 0, zatem pierwsza zasada termodynamiki dotycząca tego procesu brzmi:

Procesy odwracalne i nieodwracalne. Procesy okrężne (cykle). Zasada działania silnika cieplnego
Procesy odwracalne to takie, które spełniają następujące warunki. 1. Po przejściu tych procesów i przywróceniu układu termodynamicznego do pierwotnego stanu w

Idealny silnik cieplny Carnota
Ryż. 25.1 W 1827 r. francuski inżynier wojskowy S. Carnot, re

Druga zasada termodynamiki
Pierwsza zasada termodynamiki, będąca uogólnieniem prawa zachowania energii z uwzględnieniem procesów cieplnych, nie wskazuje kierunku przepływu różne procesy w naturze. Tak, najpierw

Niemożliwy jest proces, którego jedynym skutkiem byłoby przeniesienie ciepła z ciała zimnego do gorącego
W maszyna chłodnicza ciepło jest przekazywane z zimnego ciała ( zamrażarka) na bardziej nagrzany środowisko. Wydaje się, że jest to sprzeczne z drugą zasadą termodynamiki. Naprawdę przeciw

Entropia
Wprowadźmy teraz nowy parametr stanu układu termodynamicznego – entropię, który zasadniczo różni się od innych parametrów stanu kierunkiem swojej zmiany. Podstawowa zdrada stanu

Dyskretność ładunku elektrycznego. Prawo zachowania ładunku elektrycznego
Źródłem pola elektrostatycznego jest ładunek elektryczny - charakterystyka wewnętrzna cząstka elementarna, co określa jego zdolność do wchodzenia w oddziaływania elektromagnetyczne.

Energia pola elektrostatycznego
Najpierw znajdźmy energię naładowanego płaskiego kondensatora. Oczywiście energia ta jest liczbowo równa pracy, jaką należy wykonać, aby rozładować kondensator.

Główne cechy prądu
Prąd elektryczny to uporządkowany (ukierunkowany) ruch naładowanych cząstek. Natężenie prądu jest liczbowo równe przepływającemu ładunkowi Przekrój przewodnik na jednostkę

Prawo Ohma dla jednorodnego odcinka łańcucha
Część obwodu, która nie zawiera źródła pola elektromagnetycznego, nazywa się jednorodną. Ohm ustalił eksperymentalnie, że natężenie prądu w jednorodnej części obwodu jest proporcjonalne do napięcia i odwrotnie proporcjonalne

Prawo Joule’a-Lenza
Joule'a i niezależnie od niego Lenza ustalili eksperymentalnie, że ilość ciepła wydzielanego w przewodniku o rezystancji R w czasie dt jest proporcjonalna do kwadratu prądu oporowego

Reguły Kirchhoffa
Ryż. 39.1 Do obliczania złożonych obwodów prąd stały za pomocą

Kontaktowa różnica potencjałów
Jeśli zetkniemy dwa różne przewodniki metalowe, wówczas elektrony będą mogły przemieszczać się z jednego przewodnika do drugiego i z powrotem. Stan równowagi takiego układu

Efekt Seebecka
Ryż. 41.1 W obwodzie zamkniętym dwóch różnych metali na g

Efekt Peltiera
Drugie zjawisko termoelektryczne, efekt Peltiera, polega na przejściu prąd elektryczny poprzez kontakt dwóch różnych przewodników następuje w nim uwolnienie lub absorpcja

Wyprowadzenie podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego. Do wyprowadzenia podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego. Dynamika ruchu obrotowego punktu materialnego. W rzucie na kierunek styczny równanie ruchu przyjmie postać: Ft = mt.

15. Wyprowadzenie podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego.

Ryż. 8,5. Do wyprowadzenia podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego.

Dynamika ruchu obrotowego punktu materialnego.Rozważmy cząstkę o masie m obracającą się wokół prądu O po okręgu o promieniu R , pod działaniem siły wypadkowej F (patrz ryc. 8.5). W układ inercyjny liczenie jest sprawiedliwe 2 Auć Prawo Newtona. Zapiszmy to w odniesieniu do dowolnego momentu w czasie:

F = m·a.

Składowa normalna siły nie jest w stanie spowodować obrotu ciała, dlatego rozważymy jedynie działanie jej składowej stycznej. W rzucie na kierunek styczny równanie ruchu będzie miało postać:

fa t = m·a t .

Skoro a t = e·R, zatem

fa t = m mi R (8.6)

Mnożąc lewą i prawą stronę równania skalarnie przez R, otrzymujemy:

F t R= m mi R 2 (8,7)
M = Tj. (8,8)

Równanie (8.8) przedstawia 2 Auć Prawo Newtona (równanie dynamiki) dla ruchu obrotowego punktu materialnego. Można mu nadać charakter wektorowy, biorąc pod uwagę, że obecność momentu obrotowego powoduje pojawienie się równoległego wektora przyspieszenia kątowego skierowanego wzdłuż osi obrotu (patrz rys. 8.5):

M = I·tj. (8,9)

Podstawowe prawo dynamiki punktu materialnego podczas ruchu obrotowego można sformułować następująco:

iloczyn momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego jest równy wypadkowemu momentowi sił działających na punkt materialny.

Jak również inne prace, które mogą Cię zainteresować
3120.		Zbiory i operacje na nich	133KB
	Zbiory i operacje na nich Napisz program, w którym dla skończonych uporządkowanych zbiorów zaimplementujesz wszystkie podstawowe operacje przy użyciu algorytmu typu scalającego. Dopuszczalne jest organizowanie zbiorów w postaci listy lub tablicy...
3121.		Napisanie programu realizującego równoległe działanie kilku procesów	121,5 kB
	Konieczne jest napisanie programu realizującego równoległe działanie kilku procesów. Każdy proces może składać się z jednego lub większej liczby wątków. Każdy z wątków uruchomionych w ramach tych procesów można w pewnym momencie zawiesić i uruchomić ponownie...
3122.		Implementacja równoległego działania kilku procesów metodą programową	258KB
	Podczas pisania programu okazało się, że funkcje wyjściowe (Zapis) dostępne w Borland Pascal nie są odpowiednie, gdyż w przypadku, gdy kilka procesów wyświetla informację na ekranie, może się to zdarzyć
3123.		Karty płatnicze: Encyklopedia biznesu	115,64 MB
	Karty płatnicze: Encyklopedia biznesu Najważniejszy obecnie rozwiązywany problem społeczno-polityczny system bankowy Rosja, -zwiększenie dostępności usług finansowych dla obywateli kraju. Działalność bankowa związana z...
3124.		Obliczenia analityczne warunków skrawania podczas toczenia	42KB
	Obliczanie trybu skrawania podczas toczenia metodą analityczną Cel pracy: poznanie metodologii obliczania modu skrawania metodą analityczną. Zapoznanie się i nabycie umiejętności pracy z literaturą referencyjną. Zadanie: Na tokarce do gwintowania 16K20...
3125.		Obliczanie warunków skrawania podczas frezowania	43KB
	Obliczanie trybu skrawania podczas frezowania Cel pracy: Zapoznanie się z metodologią wyznaczania trybu skrawania zgodnie z tabelami norm. Zapoznaj się i zdobądź umiejętności pracy z przepisami. Zadanie: Na frezarce poziomej 6R82G wyprodukowanej...
3126.		Adwokatura, publiczne i prywatne organy ścigania	93KB
	Rzecznictwo publiczne i prywatne organy scigania WSTĘP Adwokatura jest dobrowolnym stowarzyszeniem zawodowym obywateli, które w trybie przewidzianym przez prawo prowadzi obronę podczas dochodzenia wstępnego, dochodzenia, przed sądem karnym...
3127.		Potencjał przedsiębiorstwa: kształtowanie i ocena	433KB
	Część teoretyczna: Porównawcze podejście do wyceny nieruchomości i jej metody: spółki analogiczne, transakcje, współczynniki branżowe. Pojęcie mnożników cen i ich rodzaje Podejście porównawcze jest skuteczne, jeśli istnieje aktywny rynek z...
3128.		Analiza wypłacalnych przedsiębiorstw i rozwój metod naprawy finansowej	268,5 kB
	Wprowadzenie Stabilny finansowo podmiot gospodarczy to taki, który korzystając ze środków własnych pokrywa środki zainwestowane w aktywa (środki trwałe, wartości niematerialne i prawne, kapitał obrotowy), nie dopuszcza nieuzasadnionych należności i kredytów...

Dynamika ruchu obrotowego

Fundamenty i fundamenty oblicza się zgodnie z 2 stany graniczne

	Według nośności:	N– określone obciążenie obliczeniowe podłoża w najbardziej niekorzystnej kombinacji; - nośność(obciążenie maksymalne) fundamentów dla danego kierunku obciążenia N; - współczynnik warunków pracy podstawy (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Ograniczając odkształcenia:	- obliczone bezwzględne osiadanie fundamentu; - obliczona względna różnica osiadania fundamentów; , - wartości graniczne odpowiednio bezwzględnej i względnej różnicy osiadania fundamentów (SNiP 2.02.01-83*)

Dynamika ruchu obrotowego

Przedmowa

Zwracam uwagę uczniów na fakt, że TEN materiał nie był rozważany w szkole CAŁKOWICIE (poza pojęciem momentu siły).

1. Prawo dynamiki ruchu obrotowego

A. Prawo dynamiki ruchu obrotowego

B. Chwila mocy

C. Moment kilku sił

D. Moment bezwładności

2. Momenty bezwładności niektórych ciał:

A. Pierścień (cylinder cienkościenny)

B. Cylinder o grubych ściankach

C. Solidny cylinder

mi. Cienki pręt

3. Twierdzenie Steinera

4. Pęd ciała. Zmiana momentu pędu ciała. Impuls pędu. Prawo zachowania momentu pędu

5. Praca rotacyjna

6. Energia kinetyczna obrotu

7. Porównanie wielkości i praw ruchu postępowego i obrotowego

1a. Rozważmy ciało sztywne, które może obracać się wokół stałej osi OO (ryc. 3.1). Rozbijmy to ciało stałe na osobne masy elementarne Δ M I. Wynikowa wszystkich sił przyłożonych do Δ M i, oznacz przez . Wystarczy rozważyć przypadek, gdy siła leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu: składowe sił równoległych do osi nie mogą wpływać na obrót ciała, gdyż oś jest nieruchoma. Następnie równanie drugiej zasady Newtona dla stycznych składowych siły i przyspieszenia zostanie zapisane jako:

. (3.1)

Składowa normalna siły zapewnia przyspieszenie dośrodkowe i nie wpływa na przyspieszenie kątowe. Z (1.27): ,gdzie jest promień obrotu I-ten punkt. Następnie

. (3.2)

Pomnóżmy obie strony (3.2) przez:

Zauważ, że

gdzie α jest kątem między wektorem siły a wektorem promienia punktu (ryc. 3.1), jest prostopadłą obniżoną do linii działania siły od środka obrotu (ramię siły). Wprowadźmy pojęcie momentu siły.

1b. Chwila mocy względem osi jest wektor skierowany wzdłuż osi obrotu i powiązany z kierunkiem siły według reguły świdra, którego moduł jest równy iloczynowi siły przy jej ramieniu: . Ramię mocy l względem osi obrotu - jest to najkrótsza odległość od linii działania siły do ​​osi obrotu. Wymiar momentu siły:

W postaci wektorowej moment siły względem punktu:

Wektor momentu siły jest prostopadły zarówno do siły, jak i do wektora promienia punktu jej przyłożenia:

Jeżeli wektor siły jest prostopadły do ​​osi, to wektor momentu siły kierowany jest wzdłuż osi zgodnie z regułą prawej śruby, a wielkość momentu siły względem tej osi (rzut na oś) określa wzór (3.4) ):

Moment siły zależy zarówno od wielkości siły, jak i od dźwigni siły. Jeżeli siła jest równoległa do osi, to .

1c. Parę sił - są to dwie siły o równej wielkości i przeciwnym kierunku, których linie działania nie pokrywają się (ryc. 3.2). Ramię pary sił to odległość między liniami działania sił. Znajdźmy całkowity moment pary sił u () w rzucie na oś przechodzącą przez punkt O:

Oznacza to, że moment pary sił jest równy iloczynowi wielkości siły i plccho pary:

. (3.6)

Wróćmy do (3.3). Biorąc pod uwagę (3.4) i (3.6):

. (3.7)

1d. Definicja: wielkość skalarną równą iloczynowi masy punktu materialnego przez kwadrat jego odległości od osi nazywa się moment bezwładności punktu materialnego względem osi OO:

Wymiar momentu bezwładności

Wektory i pokrywają się w kierunku z osią obrotu i są powiązane z kierunkiem obrotu zgodnie z regułą świdra, dlatego równość (3.9) można zapisać w postaci wektorowej:

. (3.10)

Podsumujmy (3.10) po wszystkich masach elementarnych, na które podzielone jest ciało:

. (3.11)

Tutaj bierze się pod uwagę, że przyspieszenie kątowe wszystkich punktów ciała sztywnego jest takie samo i można to wyjąć ze znaku sumy. Po lewej stronie równości znajduje się suma momentów wszystkich sił (zarówno zewnętrznych, jak i wewnętrznych) przyłożonych do każdego punktu ciała. Ale zgodnie z trzecim prawem Newtona siły, z którymi punkty ciała oddziałują ze sobą (siły wewnętrzne), są równe co do wielkości i przeciwne w kierunku oraz leżą na tej samej linii prostej, więc ich momenty znoszą się. Zatem po lewej stronie (3.11) pozostaje tylko moment całkowity siły zewnętrzne: .

Nazywa się sumą iloczynów mas elementarnych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu moment bezwładności ciała sztywnego względem tej osi:

. (3.12)

Zatem, ; - jest to podstawowe prawo dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego (analog drugiego prawa Newtona): przyspieszenie kątowe ciała jest wprost proporcjonalne do całkowitego momentu sił zewnętrznych i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała :

. (3.13)

Moment bezwładności Iciało stałe jest miara bezwładności ciała stałego podczas ruchu obrotowego i jest podobna do masy ciała określonej w drugim prawie Newtona. Zależy ona w istotny sposób nie tylko od masy ciała, ale także od jej rozkładu względem osi obrotu (w kierunku prostopadłym do osi).

W przypadku ciągłego rozkładu masy sumę z (3.12) sprowadza się do całki po całej objętości ciała:

2a. Moment bezwładności cienkiego pierścienia względem osi przechodzącej przez jego środek, prostopadłej do płaszczyzny pierścienia.

,

gdyż dla dowolnego elementu pierścienia jego odległość od osi jest taka sama i równa promieniowi pierścienia: .

2b. Grubościenny cylinder (tarcza) o promieniu wewnętrznym i zewnętrznym.

Obliczmy moment bezwładności jednorodnego dysku o gęstości ρ , wysokość H, promień wewnętrzny i promień zewnętrzny (ryc. 3.3) względem osi przechodzącej przez środek masy prostopadłej do płaszczyzny dysku. Podzielmy dysk na cienkie pierścienie o grubości i wysokości, tak aby promień wewnętrzny pierścienia był równy , a promień zewnętrzny był równy . Objętość takiego pierścienia, gdzie – obszar podstawy cienkiego pierścienia. Jego masa:

Podstawmy do (3.14) i całkujmy R():

Masa dysku, a następnie w końcu:

. (3.17)

2c. Solidny cylinder (tarcza).

W szczególnym przypadku pełnego dysku lub cylindra o promieniu R podstawmy do (3.17) R 1 =0, R 2 =R i otrzymujemy:

. (3.18)

Moment bezwładności kuli o promieniu R a masa względem osi przechodzącej przez jego środek (ryc. 3.4) jest równa (bez dowodu):

2e. Moment bezwładności cienkiego pręta o masie i długości względem osi przechodzącej przez jego koniec prostopadły do ​​pręta (rys. 3.5).

Podzielmy pręt na nieskończenie małe odcinki długości. Masa takiego przekroju. Podstawmy w (3.14) i całkujmy od 0 do:

Jeżeli oś przechodzi przez środek pręta prostopadle do niej, można obliczyć moment bezwładności połowy pręta korzystając z (3.20) i następnie podwoić go:

. (3.21)

3. Jeśli oś obrotu nie działa przez środek masy ciała (ryc. 3.6) obliczenia przy użyciu wzoru (3.14) mogą być dość złożone. W tym przypadku obliczenie momentu bezwładności upraszcza się za pomocą Twierdzenie Steinera : moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I C ciała względem osi przechodzącej przez środek masy ciała równoległej do tej osi i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami:

. (3.22)

Zobaczmy, jak działa twierdzenie Steinera, jeśli zastosujemy je do pręta:

Łatwo jest sprawdzić, czy uzyskano tożsamość, ponieważ w tym przypadku odległość między osiami jest równa połowie długości pręta.

4. Pęd ciała. Zmiana momentu pędu ciała. Impuls pędu. Prawo zachowania momentu pędu.

Z prawa dynamiki ruchu obrotowego i definicji przyspieszenia kątowego wynika:

.

Jeśli następnie. Wprowadźmy moment pędu ciała sztywnego jako

Zależność (3.24) jest podstawowym prawem dynamiki ciała sztywnego dla ruchu obrotowego. Można to przepisać w ten sposób:

i wtedy będzie to analogia do drugiego prawa Newtona dla ruch do przodu w formie impulsowej (2.5)

Wyrażenie (3.24) można zintegrować:

i sformułuj prawo zmiany momentu pędu: zmiana momentu pędu ciała jest równa impulsowi całkowitego momentu sił zewnętrznych . Wielkość ta nazywa się impulsem momentu siły i jest podobna do impulsu siły w sformułowaniu drugiej zasady ruchu postępowego Newtona (2.2); moment pędu jest analogiczny do pędu.

Wymiar momentu pędu

Moment pędu ciała sztywnego względem jego osi obrotu jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu zgodnie z regułą świdra.

Moment pędu punktu materialnego względem punktu O (ryc. 3.6) wynosi:

gdzie jest wektorem promienia punktu materialnego, jest jego pędem. Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z regułą świdra prostopadle do płaszczyzny, w której leżą wektory i: na ryc. 3.7 - w naszą stronę ze względu na figurę. Wielkość momentu pędu

Podzielmy ciało sztywne obracające się wokół osi na masy elementarne i zsumujmy moment pędu każdej masy po całym ciele (to samo można zapisać w postaci całki, nie jest to istotne):

.

Ponieważ prędkość kątowa wszystkich punktów jest taka sama i skierowana jest wzdłuż osi obrotu, możemy zapisać ją w postaci wektorowej:

W ten sposób udowadnia się równoważność definicji (3.23) i (3.26).

Jeżeli całkowity moment sił zewnętrznych wynosi zero, to moment pędu układu nie ulega zmianie(patrz 3.25):

. Jest to prawo zachowania momentu pędu . Jest to możliwe, gdy:

a) system jest zamknięty (lub );

b) siły zewnętrzne nie mają składowych stycznych (wektor siły przechodzi przez oś/środek obrotu);

c) siły zewnętrzne są równoległe do ustalonej osi obrotu.

Przykłady zastosowania/działania prawa zachowania momentu pędu:

1. żyroskop;

2. Ławka Żukowskiego;

3. łyżwiarka figurowa na lodzie.

5. Pracuj ruchem obrotowym.

Niech ciało obraca się o kąt pod działaniem siły, a kąt między przemieszczeniem a siłą jest równy ; – wektor promienia punktu przyłożenia siły (rys. 3.8), wówczas praca siły jest równa.

W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie kątowe, jakie uzyskuje ciało obracające się wokół ustalonej osi, jest proporcjonalne do całkowitego momentu wszystkich sił zewnętrznych działających na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała względem danej osi:

Można podać prostsze sformułowanie główny prawo dynamiki obrotowej (jest to również tzw Drugie prawo Newtona dotyczące ruchu obrotowego) : moment obrotowy jest równy iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego:

moment impulsu(moment pędu, moment pędu) ciała nazywa się iloczynem jego momentu bezwładności i prędkości kątowej:

Pęd- wielkość wektorowa. Jego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej.

Zmianę momentu pędu wyznacza się w następujący sposób:

. (I.112)

Zmiana momentu pędu (przy stałym momencie bezwładności ciała) może nastąpić jedynie w wyniku zmiany prędkości kątowej i zawsze wynika z działania momentu siły.

Zgodnie ze wzorami oraz wzorami (I.110) i (I.112) zmianę momentu pędu można przedstawić jako:

. (I.113)

Produkt we wzorze (I.113) nazywa się impuls pędu Lub siła napędowa. Jest on równy zmianie momentu pędu.

Wzór (I.113) obowiązuje pod warunkiem, że moment siły nie zmienia się w czasie. Jeżeli moment siły zależy od czasu, tj. , To

. (I.114)

Wzór (I.114) pokazuje, że: zmiana momentu pędu jest równa całce momentu siły po czasie. Dodatkowo, jeżeli wzór ten przedstawimy w postaci: , to z niego będzie wynikać definicja moment siły: chwilowy moment obrotowy jest pierwszą pochodną momentu pędu po czasie,

Wyrażenie (I.115) to inna forma podstawowe równanie (prawo ) dynamika ruchu obrotowego ciała sztywnego względem osi stałej: pochodna momentu pędu ciała sztywnego względem osi jest równa momentowi siły względem tej samej osi.

Pytanie 15

Moment bezwładności

Moment bezwładności układu (ciała) względem danej osi jest wielkością fizyczną równą sumie iloczynów mas N punkty materialne układu przez kwadraty ich odległości od rozpatrywanej osi:

J=

Sumowanie przeprowadza się po wszystkich masach elementarnych m(i), na które podzielone jest ciało

W przypadku ciągłego rozkładu masy suma ta sprowadza się do całki

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała. Wartość z jest w tym przypadku funkcją położenia punktu o współrzędnych x, y, z.

Jako przykład, znajdźmy moment bezwładności jednorodnego litego walca o wysokości h i promieniu R względem jego osi geometrycznej. Podzielmy cylinder na oddzielne, wydrążone koncentryczne cylindry o nieskończenie małej grubości dr, o promieniu wewnętrznym r i promieniu zewnętrznym r + dr. Moment bezwładności każdego pustego cylindra d,/ = r^2 dm (ponieważ dr≤r zakładamy, że odległość wszystkich punktów walca od osi jest równa r), gdzie dm jest masą całego elementu elementarnego cylinder; jego objętość wynosi 2 πr tward R. Jeżeli p jest gęstością materiału, to dm = 2πhpr^3d R. Następnie moment bezwładności litego cylindra

ale ponieważ πR^3h jest objętością cylindra, to jego masa m= πR^2hp, a moment bezwładności

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności ciała J względem dowolnej osi jest równy jego momentowi bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy C ciała, dodanej do iloczynu masy ciała i kwadratu odległości a między osiami:

J= +ma^2

1. Moment bezwładności jednorodnego, prostego, cienkiego pręta cylindrycznego długość i masa względem osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do jego długości:

2. Moment bezwładności jednorodnego litego cylindra(Lub dysk) promień i masa względem osi symetrii prostopadłej do jej płaszczyzny i przechodzącej przez jej środek:

3. Moment bezwładności cylindra promień, masa i wysokość w stosunku do osi prostopadłej do jego wysokości i przechodzącej przez jego środek:

4. Moment bezwładności piłki(cienkościenna kula) promień i masa w stosunku do jego średnicy (lub osi przechodzącej przez środek kuli):

5. Moment bezwładności pręta długość i masa względem osi przechodzącej przez jeden z jej końców i prostopadłej do jej długości:

6. Moment bezwładności wydrążonego cienkościennego cylindra promień i masa względem osi cylindra:

7. Moment bezwładności cylindra z otworem(koło, sprzęgło):

,

gdzie i są promieniami cylindra i otworu w nim. Moment pędu jest również stały dla układów otwartych, jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych przyłożonych do układu jest równy zero.

Żyroskop (przykład: bączek) to symetryczny korpus obracający się wokół własnej osi z dużą prędkością.

Moment pędu żyroskopu pokrywa się z jego osią obrotu.

Ładunek elektryczny jest miarą udziału ciał w oddziaływaniach elektromagnetycznych.

Istnieją dwa rodzaje ładunki elektryczne, umownie zwane dodatnimi i ujemnymi.

Prawo Coulomba:

.

Pole elektryczne to szczególna forma materii, poprzez którą zachodzi interakcja między naładowanymi cząstkami.

Napięcie pole elektryczne– wektorowa wielkość fizyczna. Kierunek wektora napięcia pokrywa się w każdym punkcie przestrzeni z kierunkiem siły działającej na dodatni ładunek próbny.

Linie energetyczne Pola kulombowskie ładunków punktowych dodatnich i ujemnych: