zasada d'Alemberta

Główna praca Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat o dynamice" - wydany w 1743 r.

Pierwsza część traktatu poświęcona jest konstrukcji statyki analitycznej. Tutaj d'Alembert formułuje „podstawowe zasady mechaniki”, wśród których znajdują się „zasada bezwładności”, „zasada dodawania ruchów” oraz „zasada równowagi”.

"Zasada bezwładności" sformułowana jest oddzielnie dla przypadku spoczynku i dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. „Siła bezwładności – pisze d'Alembert, ja wraz z Newtonem nazywam właściwością ciała utrzymywaniem stanu, w jakim się znajduje”.

„Zasada dodawania ruchów” to prawo dodawania prędkości i sił zgodnie z zasadą równoległoboku. W oparciu o tę zasadę d'Alembert rozwiązuje problemy statyki.

„Zasada równowagi” jest sformułowana jako następujące twierdzenie: „Jeżeli dwa ciała poruszające się z prędkościami odwrotnie proporcjonalnymi do ich mas mają przeciwne kierunki, tak że jedno ciało nie może się poruszać bez przemieszczania się z miejsca na drugie, wówczas te ciała będą w równowadze ”. W drugiej części traktatu d'Alembert zaproponował ogólną metodę zestawiania różniczkowych równań ruchu dla dowolnych układów materialnych, opartą na sprowadzeniu zagadnienia dynamiki do statyki. Sformułował regułę dla dowolnego układu punktów materialnych, zwaną później „zasadą d'Alemberta”, zgodnie z którą siły przyłożone do punktów układu można rozłożyć na „działające”, czyli takie, które powodują przyspieszenie system i „zagubiony”, niezbędny do równowagi systemu. d'Alembert uważa, że ​​siły odpowiadające „utraconemu” przyspieszeniu tworzą taką kombinację, która nie wpływa na rzeczywiste zachowanie układu. Innymi słowy, jeśli do układu zostanie przyłożony tylko zestaw „straconych” sił, wówczas układ pozostanie w spoczynku. Współczesne sformułowanie zasady d'Alemberta podał M. E. Żukowski w swoim „Kursie Mechaniki Teoretycznej”: „Jeśli w dowolnym momencie system zostanie zatrzymany, to się porusza, a my dodajemy do tego, oprócz napędzania siłami, wszystkie siły bezwładności odpowiadające danemu punktowi w czasie, wówczas będzie obserwowana równowaga, podczas gdy wszystkie siły nacisku, napięcia itp. rozwijające się między częściami układu w takiej równowadze będą siłami rzeczywistymi ciśnienie, napięcie itp., gdy układ porusza się w rozważanym momencie”. Należy zauważyć, że sam d'Alembert, przedstawiając swoją zasadę, nie odwoływał się ani do pojęcia siły (zważywszy, że nie jest ono wystarczająco jasne, aby znaleźć się na liście podstawowych pojęć mechaniki), a tym bardziej do pojęcia siły bezwładności. Przedstawienie zasady d'Alemberta za pomocą terminu „siła” należy do Lagrange'a, który w swojej „Mechaniki analitycznej” dał jej analityczny wyraz w postaci zasady możliwych przemieszczeń: był nim Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i zwłaszcza Leonardo Euler (1707-1783), który odegrał zasadniczą rolę w ostatecznym przekształceniu mechaniki w mechanikę analityczną.

Mechanika analityczna punktu materialnego i dynamika ciała sztywnego Eulera

Leonarda Eulera- jeden z wybitnych naukowców, którzy wnieśli wielki wkład w rozwój nauk fizycznych i matematycznych w XVIII wieku. Jego praca uderza w wnikliwość myśli badawczej, uniwersalność talentu i ogromną ilość pozostawionego dziedzictwa naukowego.

Już w pierwszych latach swojej działalności naukowej w Petersburgu (Euler przybył do Rosji w 1727 r.) opracował program wspaniałego i wszechstronnego cyklu prac w dziedzinie mechaniki. Dodatek ten znajduje się w jego dwutomowej pracy „Mechanika czy nauka o ruchu, ujęta analitycznie” (1736). Mechanika Eulera była pierwszym systematycznym kursem mechaniki Newtona. Zawierała podstawy dynamiki punktu - przez mechanikę Euler rozumiał naukę o ruchu, w przeciwieństwie do nauki o równowadze sił lub statyce. Cechą charakterystyczną „Mechaniki” Eulera było szerokie zastosowanie nowego aparatu matematycznego - rachunku różniczkowego i całkowego. Opisując pokrótce główne prace dotyczące mechaniki, które pojawiły się na przełomie XVII i XVIII wieku, Euler zwrócił uwagę na son-tethiko-geometryczny styl ich pracy, co przysporzyło czytelnikom wiele pracy. W ten sposób powstały Newton's Elements i późniejsza Foronomia (1716) J. Hermana. Euler zwraca uwagę, że prace Hermana i Newtona są stwierdzane „zgodnie ze zwyczajem starożytnych za pomocą syntetycznych dowodów geometrycznych” bez użycia analizy, „jedynie dzięki temu można osiągnąć pełne zrozumienie tych rzeczy”.

Metoda syntetyczno-geometryczna nie miała charakteru uogólniającego, ale wymagała z reguły indywidualnych konstrukcji dotyczących każdego zadania z osobna. Euler przyznaje, że po przestudiowaniu „Foronomii” i „Początków”, jak mu się wydawało, „dosyć wyraźnie rozumiał rozwiązania wielu problemów, ale nie potrafił już rozwiązywać problemów, które w pewnym stopniu od nich odbiegały”. Następnie próbował „wyizolować analizę tej syntetycznej metody i analitycznie przedstawić te same propozycje dla własnej korzyści”. Euler zauważa, że ​​dzięki temu znacznie lepiej zrozumiał istotę problemu. Opracował całkowicie nowe metody badania problemów mechaniki, stworzył jej aparat matematyczny i znakomicie zastosował go do wielu złożonych problemów. Dzięki Eulerowi geometria różniczkowa, równania różniczkowe i rachunek wariacyjny stały się narzędziami mechaniki. Metoda Eulera, rozwinięta później przez jego następców, była jednoznaczna i adekwatna do tematu.

Praca Eulera dotycząca dynamiki ciała sztywnego „Teoria ruchu ciał sztywnych” zawiera obszerne wprowadzenie sześciu rozdziałów, w których ponownie zarysowana jest dynamika punktu. We wprowadzeniu wprowadzono szereg zmian: w szczególności równania ruchu punktu zapisuje się za pomocą rzutowania na oś ustalonych współrzędnych prostokątnych (a nie na styczną, normalną główną i normalną, czyli oś nieruchomego naturalnego trójścianu związanego z punktami trajektorii, jak w "Mechanice" .

Po wstępie „Traktat o ruchu ciał sztywnych” składa się z 19 rozdziałów. Rozprawa opiera się na zasadzie d'Alemberta. Krótko mówiąc o ruchu postępowym ciała sztywnego i wprowadzając pojęcie środka bezwładności, Euler rozpatruje obroty wokół ustalonej osi i wokół ustalonego punktu.Oto wzory na rzuty chwilowej prędkości kątowej, przyspieszenia kątowego na oś współrzędnych, tzw. są opisane, po czym Euler przechodzi do dynamiki ciała sztywnego właściwego. Wyprowadza równania różniczkowe dla obrotu ciała ciężkiego wokół jego nieruchomego środka ciężkości w przy braku sił zewnętrznych i rozwiązuje je dla prostego szczególnego przypadku. tak powstał znany i równie ważny problem w teorii żyroskopu dotyczący obrotu ciała sztywnego wokół punktu stałego. teoria stateczności i teoria małych drgań, mechanika nieba itd.

Osiem lat po opublikowaniu Mechaniki Euler wzbogacił naukę o pierwsze precyzyjne sformułowanie zasady najmniejszego działania. Sformułowanie zasady najmniejszego działania, które należało do Maupertuisa, było jeszcze bardzo niedoskonałe. Pierwsze naukowe sformułowanie tej zasady należy do Eulera. Swoją zasadę sformułował następująco: całka ma najmniejszą wartość dla trajektorii rzeczywistej, jeśli weźmiemy pod uwagę

ostatnia z grupy możliwych trajektorii, które mają wspólną pozycję początkową i końcową i są prowadzone z tą samą wartością energetyczną. Euler dostarcza swojej zasadzie dokładnego matematycznego wyrażenia i rygorystycznego uzasadnienia dla jednego punktu materialnego, testuje działanie sił centralnych. W latach 1746-1749 s. Euler napisał kilka artykułów na temat figur równowagi elastycznej nici, w których zasada najmniejszego działania została zastosowana do problemów, w których działają siły sprężyste.

W ten sposób do 1744 r. mechanika została wzbogacona o dwie ważne zasady: zasadę d'Alemberta i zasadę najmniejszego działania Maupertuis-Eulera. W oparciu o te zasady Lagrange zbudował system mechaniki analitycznej.

Jeśli weźmiemy pod uwagę układ składający się z kilku punktów materialnych, wyróżniających jeden konkretny punkt o znanej masie, to pod działaniem przyłożonych do niego sił zewnętrznych i wewnętrznych otrzymuje pewne przyspieszenie względem układu bezwładnościowego. Wśród takich sił mogą występować zarówno siły czynne, jak i reakcje sprzęgające.

Siła bezwładności punktu jest wielkością wektorową, która w wartości bezwzględnej jest równa iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia. Wartość ta jest czasami nazywana siłą bezwładności d'Alemberta i jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia. W tym przypadku ujawnia się następująca właściwość poruszającego się punktu: jeśli w każdym momencie dodamy siłę bezwładności do sił faktycznie działających na punkt, to otrzymany układ sił zostanie zrównoważony. Można więc sformułować zasadę d'Alemberta dla jednego punktu materialnego. To stwierdzenie jest w pełni zgodne z drugim prawem Newtona.

Zasady d'Alemberta dla systemu

Jeśli powtórzymy wszystkie argumenty dla każdego punktu w systemie, prowadzą one do następującego wniosku, który wyraża sformułowaną dla systemu zasadę d'Alemberta: jeśli w dowolnym momencie zastosujemy do każdego z punktów w systemie, oprócz faktycznie działające siły zewnętrzne i wewnętrzne, to ten układ będzie w równowadze, więc wszystkie równania, które są używane w statyce, mogą być do niego zastosowane.

Jeśli zastosujemy zasadę d'Alemberta do rozwiązywania problemów dynamiki, to równania ruchu układu można zestawić w postaci znanych nam równań równowagi. Zasada ta znacznie upraszcza obliczenia i ujednolica podejście do rozwiązywania problemów.

Zastosowanie zasady d'Alembert

Należy wziąć pod uwagę, że na poruszający się punkt w układzie mechanicznym działają tylko siły zewnętrzne i wewnętrzne, które powstają w wyniku wzajemnego oddziaływania punktów ze sobą, a także z ciałami, które nie wchodzą w skład tego układu. Punkty poruszają się z pewnymi przyspieszeniami pod wpływem wszystkich tych sił. Siły bezwładności nie działają na poruszające się punkty, w przeciwnym razie poruszałyby się one bez przyspieszenia lub byłyby w spoczynku.

Siły bezwładności wprowadza się tylko w celu ułożenia równań dynamiki przy użyciu prostszych i wygodniejszych metod statyki. Uwzględnia się również, że geometryczna suma sił wewnętrznych i suma ich momentów jest równa zeru. Zastosowanie równań wynikających z zasady d'Alemberta ułatwia rozwiązywanie problemów, ponieważ równania te nie zawierają już sił wewnętrznych.

Pogląd: ten artykuł został przeczytany 44027 razy

PDF Wybierz język... Rosyjski Ukraiński Angielski

Krótka recenzja

Pełny materiał jest pobierany powyżej, po wybraniu języka

Ogólne zasady dynamiki

Zasada Hermanna - Eulera - d'Alembert

siła bezwładności

Zasada d'Alemberta (zasada kinetostatyki) jest jedną z ogólnych zasad mechaniki, za pomocą której równania dynamiki otrzymują postać równań statyki w postaci. Zasadę zaproponował Hermann w 1716 r., uogólnił Euler w 1737 r.

Punkt materialny M porusza się z przyspieszeniem pod działaniem przyłożonych sił. Trzecia zasada dynamiki odzwierciedla dwustronność mechanicznych procesów przyrody. Kiedy dwa ciała wchodzą w interakcję, siły przyłożone do każdego z nich mają taką samą wartość bezwzględną i są skierowane przeciwnie. Ponieważ siły te działają na różne ciała, nie równoważą się. Na przykład w interakcji jakiegoś ciała ALE i punkty M, który ma masę m punkt zostaje przyspieszony. Ciało ALE działa na punkcie M z siłą F=-ma. Zgodnie z prawem akcji i reakcji punkt materialny M działa na organizm ALE z siłą F=-F=-ma, która nazywana jest siłą bezwładności.

Siła bezwładności lub siła d'Alemberta- wielkość wektorowa o wymiarze siły modulo równym iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowana przeciwnie do tego przyspieszenia.

zasada d'Alemberta dla punktu materialnego

Jeżeli w dowolnym momencie siły bezwładności dodamy do sił faktycznie działających na punkt materialny, to otrzymany układ sił zostanie zrównoważony.

Oznacza to, że aby rozwiązać problem dynamiki zgodnie z zasadą Hermanna - Eulera - d'Alemberta, oprócz sił przyłożonych do punktu, konieczne jest warunkowe przyłożenie do tego punktu siły bezwładności. przyłożenie siły bezwładności do punktu jest techniką warunkową, która redukuje problem dynamiki tylko w postaci rozwiązania problemu statyki.

zasada d'Alemberta dla układu punktów materialnych

Jeżeli w dowolnym momencie do każdego z punktów układu, oprócz działających na niego sił zewnętrznych i wewnętrznych, przyłożymy odpowiednie siły bezwładności, to powstały układ sił będzie w równowadze i wszystkie równania można do niego zastosować statykę.

zasada d'Alemberta dla niewolnego układu mechanicznego

W dowolnym momencie, dla każdego punktu nieswobodnego układu mechanicznego, oprócz sił faktycznie na niego działających, dodaj odpowiednie siły bezwładności, wtedy powstały układ sił zostanie zrównoważony i można zastosować wszystkie równania statyczne to.

Oznacza to, że w dowolnym momencie dla każdego punktu nieswobodnego układu mechanicznego suma geometryczna głównych wektorów danych sił, reakcji podpór i sił bezwładności punktów materialnych układu jest równa zeru.

W dowolnym momencie czasu dla dowolnego punktu nieswobodnego układu mechanicznego suma geometryczna głównych momentów zadanych sił, reakcji podpór i sił bezwładności punktów materialnych układu względem dowolnego ustalonego środka jest równy zero.

Uogólniona postać równań równowagi zgodnie z zasadą d'Alemberta

Sprowadzenie sił bezwładności punktów ciała sztywnego do najprostszej postaci.

Przypadki sprowadzania układu sił bezwładności ciała sztywnego do najprostszej postaci.

ruch translacyjny

Podczas ruchu postępowego siły bezwładności ciała sztywnego są redukowane do jednej wypadkowej przechodzącej przez środek masy ciała i równej w wartości bezwzględnej iloczynowi masy ciała i modułu przyspieszenia jego środka masy i skierowane przeciwnie do tego przyspieszenia.

Nie ma obrotu wokół środka masy, więc moment bezwładności wynosi zero.

Ruch obrotowy ciała wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała.

Jeżeli ciało obraca się wokół ustalonej osi przechodzącej przez środek masy ciała, to siły bezwładności sprowadzają się do jednej pary sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.

Ponieważ środek masy się nie porusza, główny wektor sił bezwładności wynosi zero.

Ruch samolotu

Przy płaskim ruchu ciała układ sił bezwładności sprowadza się do siły przyłożonej w środku masy ciała i pary sił. Kierunek momentu bezwładności jest przeciwny do przyspieszenia kątowego ciała.

Zasada możliwych ruchów

Zasada możliwych przemieszczeń w postaci ogólnej określa warunki równowagi dowolnego układu mechanicznego, czyli umożliwia rozwiązywanie problemów statyki, jako problemów dynamiki.

Ruch punktów niewolnego układu mechanicznego jest ograniczony istniejącymi połączeniami. Położenie punktów układu określa się poprzez ustawienie niezależnych współrzędnych.

Nazywa się niezależne wielkości, których przypisanie może jednoznacznie określić położenie wszystkich punktów układu mechanicznego uogólnione współrzędne ten system. Z reguły liczba współrzędnych uogólnionych układu mechanicznego jest równa liczbie stopni swobody tego układu. Na przykład położenie wszystkich punktów mechanizmu korbowego jest określane przez ustawienie kąta obrotu korby.

Możliwe lub wirtualne ruchy

Możliwe lub wirtualne relokacje systemów są wyimaginowanymi, nieskończenie małymi przemieszczeniami punktów układu, na które pozwalają w danej chwili ograniczenia nałożone na układ.

Przemieszczenia krzywoliniowe punktów zastępowane są odcinkami linii prostych ułożonymi stycznie do trajektorii punktów.

Liczba niezależnych możliwych ruchów systemu nazywa się liczba stopni swobody ten system.

Praca możliwa lub wirtualna

Możliwa (lub wirtualna) praca jest podstawową pracą, jaką siła działająca na punkt materialny mogłaby wykonać przy przemieszczeniu, które pokrywa się z możliwym przemieszczeniem tego punktu.

Zasada możliwych ruchów dla systemu mechanicznego

Aby uzyskać równowagę układu mechanicznego z idealnymi ograniczeniami, konieczne i wystarczające jest, aby suma wszystkich sił czynnych dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu była równa zeru.

Równanie możliwych prac jest matematycznym wyrażeniem warunków koniecznych i wystarczających dla równowagi dowolnego układu mechanicznego.

Ogólne równanie dynamiki

Ogólne równanie dynamiki (zasada d'Alemberta - Lagrange'a)

Zasada możliwych przemieszczeń, która stanowi ogólną metodę rozwiązywania problemów statyki, może być również zastosowana do rozwiązywania problemów dynamiki. W oparciu o zasadę Hermanna-Eulera-D'Alemberta dla niewolnego układu mechanicznego w dowolnym momencie, geometryczną sumę wypadkowych danych sił, wypadkową reakcji więzów i siły bezwładności dla każdego punktu Mn układu mechanicznego system jest równy zero.

Jeżeli układ otrzymuje możliwe przemieszczenie, w którym każdy punkt ma możliwe przemieszczenie, to suma pracy tych sił na przemieszczenie musi być równa zeru.

Ogólne równanie dynamiki dla układu z idealnymi więzami

Załóżmy, że wszystkie wiązania w rozpatrywanym układzie mechanicznym są dwustronne i idealne (siły tarcia, jeśli występują, odnoszone są do liczby danych sił). Wtedy suma pracy reakcji wiązań na możliwe przemieszczenia układu jest równa zeru.

Gdy układ mechaniczny porusza się z idealnymi ograniczeniami w dowolnym momencie, suma robotów elementarnych wszystkich aktywnych (danych) sił i wszystkich sił bezwładności przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru.

Ogólne równania dynamiki umożliwiają układanie różniczkowych równań ruchu dowolnego układu mechanicznego. Jeśli układ mechaniczny składa się z oddzielnych ciał sztywnych, to siły bezwładności punktów każdego ciała można zredukować do siły przyłożonej w pewnym punkcie ciała i pary sił. Siła jest równa głównemu wektorowi sił bezwładności punktów tego ciała, a moment pary jest równy głównemu momentowi tych sił względem środka redukcji. Aby wykorzystać zasadę możliwych przemieszczeń, na każde ciało przykładane są zadane siły, a także warunkowo przykłada się siłę i parę, złożoną z sił bezwładności punktów ciała. Następnie układ jest informowany o możliwym ruchu i dla całego zbioru zadanych sił oraz zredukowanych sił bezwładności tworzy się ogólne równanie dynamiki

Format: pdf

Rozmiar: 600 kW

Język: rosyjski, ukraiński

Przykład obliczenia przekładni czołowej
Przykład obliczenia przekładni czołowej. Przeprowadzono dobór materiału, obliczenia dopuszczalnych naprężeń, obliczenia wytrzymałości styku i zginania.

Przykład rozwiązania problemu zginania belek
W przykładzie wykreślono wykresy sił poprzecznych i momentów zginających, znaleziono niebezpieczny przekrój i wybrano belkę dwuteową. W zadaniu analizowana jest konstrukcja wykresów z wykorzystaniem zależności różniczkowych, przeprowadzana jest analiza porównawcza różnych przekrojów belek.

Przykład rozwiązania problemu skręcania wału
Zadaniem jest zbadanie wytrzymałości wału stalowego dla danej średnicy, materiału i dopuszczalnych naprężeń. Podczas rozwiązywania budowane są wykresy momentów obrotowych, naprężeń ścinających i kątów skręcenia. Nie uwzględnia się ciężaru własnego wału

Przykład rozwiązania problemu rozciągania-ściskania pręta
Zadanie polega na zbadaniu wytrzymałości pręta stalowego przy zadanych naprężeniach dopuszczalnych. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy sił podłużnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń. Nie uwzględnia się ciężaru własnego sztangi

Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej
Przykład rozwiązania problemu zastosowania twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej układu mechanicznego

Kiedy punkt materialny się porusza, jego przyspieszenie w każdym momencie jest takie, że dane siły (czynne) przyłożone do punktu, reakcje wiązań i fikcyjna siła d'Alemberta Ф = - tworzą zrównoważony układ sił.

Dowód. Rozważ ruch niewolnego punktu materialnego o masie t w inercyjnym układzie odniesienia. Zgodnie z podstawowym prawem dynamiki i zasadą uwalniania z obligacji mamy:

gdzie F jest wypadkową danych sił (czynnych); N jest wypadkową reakcji wszystkich wiązań nałożonych na punkt.

Łatwo jest przekształcić (13.1) do postaci:

Wektor Ф = - że nazywana siłą bezwładności d'Alemberta, siłą bezwładności lub po prostu Potęga d'Alemberta. W dalszej części będziemy używać tylko ostatniego terminu.

Równanie (13.3), wyrażające zasadę d'Alemberta w formie symbolicznej, nazywa się równanie kinetostatyki punkt materialny.

Łatwo jest uzyskać uogólnienie zasady d'Alemberta dla układu mechanicznego (system P punkty materialne).

Dla każdego do-ty punkt układu mechanicznego, równość (13.3) jest spełniony:

gdzie ? do - wypadkowa danych sił (czynnych) działających na do-ty punkt; N do - wypadkowa reakcji wiązań nałożonych na k-ty punkt; F k \u003d - to k- siła d'Alemberta do-ty punkt.

Oczywiście, jeśli warunki równowagi (13.4) są spełnione dla każdej trójki sił F*, N* : , Ф* (do = 1,. .., P), to cały system 3 P siły

jest zrównoważony.

W konsekwencji, podczas ruchu układu mechanicznego w każdym momencie czasu, przyłożone do niego siły czynne, reakcje wiązań i siły d'Alemberta punktów układu tworzą zrównoważony układ sił.

Siły układu (13.5) nie są już zbieżne, dlatego, jak wiadomo ze statyki (rozdział 3.4), konieczne i wystarczające warunki jego równowagi mają postać:

Równania (13.6) nazywane są równaniami kinetostatyki układu mechanicznego. Do obliczeń wykorzystuje się rzuty tych równań wektorowych na osie przechodzące przez punkt momentu O.

Uwaga 1. Ponieważ suma wszystkich sił wewnętrznych układu, jak również suma ich momentów względem dowolnego punktu, jest równa zeru, to w równaniach (13.6) wystarczy wziąć pod uwagę tylko reakcje zewnętrzny znajomości.

Równania kinetostatyki (13.6) są zwykle używane do wyznaczania reakcji więzów układu mechanicznego, gdy dany jest ruch układu, a zatem przyspieszeń punktów układu i zależnych od nich sił d'Alemberta są znane.

Przykład 1 Znajdź reakcje wsparcia ALE oraz W wał z równomiernym obrotem z częstotliwością 5000 obr./min.

Masy punktowe są sztywno połączone z wałem gp= 0,1 kg, t2 = 0,2 kg. Znane rozmiary AC - CD - DB = 0,4 m² h= 0,01 m. Uznać masę szybu za nieistotną.

Decyzja. Aby zastosować zasadę d'Alemberta dla układu mechanicznego składającego się z dwóch mas punktowych, wskazujemy na wykresie (rys. 13.2) dane siły (grawitacja) Gi, G 2, reakcję wiązań N4, N# i d 'Alembert siły Ф|, Ф 2.

Kierunki sił Dalambresa są przeciwne do przyspieszeń mas punktowych t b t 2 lata które jednolicie opisują okręgi o promieniu h wokół osi AB wał.

Znajdujemy wielkości sił grawitacji i sił Dalambresa:

Tutaj prędkość kątowa wału współ- 5000* l/30 = 523,6 s Ach, aha, Az otrzymujemy warunki równowagi dla płaskiego układu sił równoległych Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

Z równania momentów znajdujemy N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w"

272 N, a z równania rzutowania dalej

oś Ay: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Równania kinetostatyki (13.6) można również wykorzystać do uzyskania różniczkowych równań ruchu układu, jeżeli są one złożone w taki sposób, że wykluczone są reakcje więzów i w efekcie możliwe staje się otrzymanie zależności przyspieszeń na dane siły.

Rozważane dotychczas metody rozwiązywania problemów mechaniki opierają się na równaniach wynikających albo bezpośrednio z praw Newtona, albo z ogólnych twierdzeń będących konsekwencją tych praw. Ta ścieżka nie jest jednak jedyna. Okazuje się, że równania ruchu lub warunki równowagi układu mechanicznego można otrzymać przyjmując inne ogólne twierdzenia, zwane zasadami mechaniki, zamiast praw Newtona. W wielu przypadkach zastosowanie tych zasad umożliwia, jak zobaczymy, znalezienie skuteczniejszych metod rozwiązywania odpowiednich problemów. W tym rozdziale zostanie rozważona jedna z ogólnych zasad mechaniki, zwana zasadą d'Alemberta.

Znajdźmy najpierw wyrażenie zasady dla jednego punktu materialnego. Niech na punkt materialny o masie działa układ sił czynnych, którego wypadkowa będzie oznaczona reakcją wiązania N (jeśli punkt nie jest swobodny). Pod działaniem wszystkich tych sił punkt przesunie się względem bezwładnościowego układu odniesienia z pewnym przyspieszeniem a.

Weźmy pod uwagę ilość

o wymiarze siły. Wielkość wektorowa równa w wartości bezwzględnej iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowana przeciwnie do tego przyspieszenia nazywana jest siłą bezwładności punktu.

Okazuje się wtedy, że ruch punktu ma następującą właściwość: jeżeli w dowolnym momencie siły bezwładności dodamy do sił czynnych działających na punkt i reakcji połączenia, to otrzymany układ sił będzie zrównoważony, tj.

Przepis ten wyraża w istotnym zakresie zasadę d'Alemberta. Łatwo zauważyć, że jest to równoważne drugiemu prawu Newtona i vice versa. Rzeczywiście, daje drugie prawo Newtona dla rozpatrywanego punktu Przenosząc tu wartość m na prawą stronę równości i uwzględniając notację (84), otrzymujemy zależność (85). Wręcz przeciwnie, przenosząc wartość z równania (85) do innej części równania i uwzględniając notację (84), otrzymujemy wyrażenie na drugie prawo Newtona.

Rozważmy teraz system mechaniczny składający się z punktów materialnych. Wyróżnijmy niektóre punkty układu z masą . Pod działaniem przyłożonych do niego sił zewnętrznych i wewnętrznych (obejmujących zarówno siły czynne, jak i reakcje więzów) punkt przesunie się względem układu bezwładnościowego z pewnym przyspieszeniem. Wpisując siłę bezwładności dla tego punktu otrzymujemy według równości (85), że

tj. które tworzą zrównoważony system sił. Powtarzając takie rozumowanie dla każdego z punktów systemu, dochodzimy do następującego wyniku, który wyraża zasadę d'Alemberta dla systemu: jeśli w dowolnym momencie do każdego z punktów systemu, oprócz zewnętrznego i działające na nią siły wewnętrzne, przywiązujemy odpowiednie siły bezwładności, wtedy powstały układ sił zostanie zrównoważony i można do niego zastosować wszystkie równania statyki.

Matematycznie zasada d'Alemberta dla układu wyraża się równościami wektorowymi postaci (85), które są oczywiście równoważne z różniczkowymi równaniami ruchu układu (13) otrzymanymi w § 106. Zatem z równania d'Alemberta Z zasady, jak również z równań (13), można uzyskać wszystkie ogólne twierdzenia o dynamice.

Znaczenie zasady d'Alemberta polega na tym, że gdy stosuje się ją bezpośrednio do problemów dynamiki, równania ruchu układu są zestawiane w postaci dobrze znanych równań równowagi; ujednolica to podejście do rozwiązywania problemów i często upraszcza odpowiednie obliczenia. Ponadto, w połączeniu z zasadą możliwych przemieszczeń, która zostanie omówiona w następnym rozdziale, zasada d'Alemberta pozwala nam uzyskać nową ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki (patrz § 141).

Ze statyki wiadomo, że geometryczna suma sił w równowadze i suma ich momentów względem dowolnego środka O są równe zeru i, jak pokazano w § 120, dotyczy to sił działających nie tylko na ciało sztywne, ale także na dowolnym zmiennym systemie mechanicznym.

Następnie, zgodnie z zasadą d'Alemberta, powinno być:

Wprowadźmy notację:

Wielkości reprezentują wektor główny i moment główny względem środka O układu sił bezwładności. W rezultacie biorąc pod uwagę, że geometryczna suma sił wewnętrznych i suma ich momentów jest równa zeru, otrzymujemy z równości (86):

Zastosowanie równań (88), wynikających z zasady d'Alemberta, upraszcza proces rozwiązywania problemów, ponieważ równania te nie zawierają sił wewnętrznych. W istocie równania (88) są równoważne równaniom wyrażającym twierdzenia o zmianie pędu i głównego momentu pędu układu i różnią się od nich jedynie formą.

Równania (88) są szczególnie wygodne w badaniu ruchu ciała sztywnego lub układu ciał sztywnych. Do pełnego zbadania ruchu dowolnego układu zmiennego równania te nie wystarczą, podobnie jak równania statyczne nie wystarczą do zbadania równowagi dowolnego układu mechanicznego (patrz § 120).

W rzutach na osie współrzędnych równości (88) dają równania analogiczne do odpowiednich równań statyki (patrz §§ 16, 30). Aby użyć tych równań przy rozwiązywaniu problemów, musisz znać wyrażenia na wektor główny i główny moment sił bezwładności.

Podsumowując, należy podkreślić, że badając ruch w odniesieniu do bezwładnościowego układu odniesienia, który tutaj rozważamy, siły bezwładności wprowadza się tylko wtedy, gdy do rozwiązywania problemów stosuje się zasadę d'Alemberta.