Tożsamości formuł logarytmicznych. Obliczanie logarytmów, przykłady, rozwiązania

Tożsamości formuł logarytmicznych. Obliczanie logarytmów, przykłady, rozwiązania
Tożsamości formuł logarytmicznych. Obliczanie logarytmów, przykłady, rozwiązania
17.10.2019

Wraz z rozwojem społeczeństwa, złożonością produkcji, rozwijała się również matematyka. Przejście od prostych do złożonych. Ze zwykłej metody rachunkowej dodawania i odejmowania, z ich wielokrotnym powtarzaniem, doszli do koncepcji mnożenia i dzielenia. Redukcja wielokrotnie powtarzanej operacji stała się pojęciem potęgowania. Pierwsze tabele zależności liczb od podstawy i liczby potęgowania zostały opracowane w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Z nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.

Zarys historyczny

Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagał dużej ilości obliczeń związanych z mnożeniem i dzieleniem liczby wielocyfrowe. Starożytne stoły świetnie się przysłużyły. Umożliwiły zastąpienie skomplikowanych operacji prostszymi - dodawaniem i odejmowaniem. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, opublikowana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Umożliwiło to wykorzystanie tabel nie tylko dla stopni w formie liczby pierwsze, ale także dla arbitralnie racjonalnych.

W 1614 r. Szkot Jan Napier, rozwijając te idee, po raz pierwszy wprowadził nowy semestr„logarytm liczby”. Opracowano nowe złożone tablice do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów, a także stycznych. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.

Zaczęły pojawiać się nowe tablice, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Wcześniej trwało to długo nowa operacja w algebrze uzyskała gotową formę. Zdefiniowano logarytm i zbadano jego właściwości.

Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne tablice, które z powodzeniem działały przez cały XIII wiek.

Dzisiaj nazywamy logarytm b, aby oprzeć a na liczbie x, która jest potęgą a, aby otrzymać liczbę b. Jest to zapisane jako wzór: x = log a(b).

Na przykład log 3(9) będzie równe 2. Jest to oczywiste, jeśli zastosujesz się do definicji. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.

Sformułowana definicja stawia więc tylko jedno zastrzeżenie, liczby aib muszą być rzeczywiste.

Odmiany logarytmów

Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest graniczna i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi to 1.

Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe od 0, a podstawa nie może być równa 1.

Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki zagraj w logarytmy, które zostaną nazwane w zależności od wartości ich podstawy:

Zasady i ograniczenia

Podstawową właściwością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).

Jako wariant tego stwierdzenia będzie to: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funkcja ilorazu jest równa różnicy funkcji.

Na podstawie dwóch poprzednich reguł łatwo zauważyć, że: log a(b p) = p * log a(b).

Inne właściwości obejmują:

Komentarz. Nie popełniaj powszechnego błędu - logarytm sumy nie jest równy sumie logarytmów.

Przez wiele stuleci operacja znalezienia logarytmu była dość czasochłonnym zadaniem. Używani matematycy znana formuła logarytmiczna teoria rozwinięcia wielomianu:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), gdzie n jest Liczba naturalna większa niż 1, co decyduje o dokładności obliczeń.

Logarytmy o innych podstawach obliczono, korzystając z twierdzenia o przejściu z jednej podstawy do drugiej i własności logarytmu iloczynu.

Ponieważ ta metoda jest bardzo pracochłonna i przy rozwiązywaniu problemów praktycznych trudne do zrealizowania, wykorzystali gotowe tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.

W niektórych przypadkach stosowano specjalnie zestawione wykresy logarytmów, co dawało mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszało wyszukiwanie. Pożądana wartość. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana na kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartości funkcji w dowolnym innym punkcie. Inżynierowie długi czas do tych celów używano tak zwanego papieru milimetrowego.

W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze warunki obliczeń analogowych, które do XIX wiek uzyskał gotowy wygląd. Najbardziej udane urządzenie nazywano suwakiem logarytmicznym. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszył proces wszelkich obliczeń inżynierskich, a to trudno przecenić. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.

Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.

Równania i nierówności

Następujące wzory są używane do rozwiązywania różnych równań i nierówności za pomocą logarytmów:

  • Przejście z jednej bazy do drugiej: log a(b) = log c(b) / log c(a);
  • w konsekwencji Poprzednia wersja: log a(b) = 1 / log b(a).

Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:

  • Wartość logarytmu będzie dodatnia tylko wtedy, gdy zarówno podstawa, jak i argument będą większe lub mniejsze niż jeden; jeśli choć jeden warunek zostanie naruszony, wartość logarytmu będzie ujemna.
  • Jeśli funkcja logarytmu zostanie zastosowana do prawej i lewej strony nierówności, a podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znak nierówności zostaje zachowany; inaczej się zmienia.

Przykłady zadań

Rozważ kilka opcji użycia logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:

Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w stopniu:

  • Zadanie 3. Oblicz 25^log 5(3). Rozwiązanie: w warunkach problemu zapis jest podobny do następującego (5^2)^log5(3) lub 5^(2 * log 5(3)). Zapiszmy to inaczej: 5^log 5(3*2), czyli kwadrat liczby jako argument funkcji można zapisać jako kwadrat samej funkcji (5^log 5(3))^2. Używając właściwości logarytmów, to wyrażenie to 3^2. Odpowiedź: w wyniku obliczeń otrzymujemy 9.

Praktyczne użycie

Będąc narzędziem czysto matematycznym, wydaje się to dalekie prawdziwe życieże logarytm nagle uzyskał bardzo ważne opisywać przedmioty prawdziwy świat. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest używana. Dotyczy to w pełni nie tylko naturalnych, ale także obszarach humanitarnych wiedza, umiejętności.

Zależności logarytmiczne

Oto kilka przykładów zależności liczbowych:

Mechanika i fizyka

Historycznie rzecz biorąc, mechanika i fizyka zawsze rozwijały się przy użyciu metody matematyczne badawczych i jednocześnie służył jako bodziec do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki jest napisana językiem matematyki. Podajemy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.

Możliwe jest rozwiązanie problemu obliczania tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:

V = I * ln(M1/M2), gdzie

  • V to końcowa prędkość samolotu.
  • I jest specyficznym impulsem silnika.
  • M 1 to początkowa masa rakiety.
  • M 2 - masa końcowa.

Inne ważny przykład - jest to zastosowanie we wzorze innego wielkiego naukowca, Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.

S = k * ln (Ω), gdzie

  • S jest właściwością termodynamiczną.
  • k jest stałą Boltzmanna.
  • Ω to statystyczna waga różnych stanów.

Chemia

Mniej oczywiste byłoby użycie wzorów w chemii zawierających stosunek logarytmów. Oto tylko dwa przykłady:

  • Równanie Nernsta, warunek potencjału redoks ośrodka w zależności od aktywności substancji i stała równowagi.
  • Obliczenie takich stałych jak wskaźnik autoprolizy i kwasowość roztworu również nie jest kompletne bez naszej funkcji.

Psychologia i biologia

I jest zupełnie niezrozumiałe, co psychologia ma z tym wspólnego. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek natężenia bodźca do niższa wartość intensywność.

Po powyższe przykłady Nie dziwi już fakt, że temat logarytmów jest szeroko stosowany również w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można napisać całe tomy.

Inne obszary

Wydaje się, że istnienie świata jest niemożliwe bez związku z tą funkcją, a ona rządzi wszystkimi prawami. Zwłaszcza, gdy wiążą się z tym prawa natury postęp geometryczny. Warto odwołać się do serwisu MatProfi, a takich przykładów jest wiele w następujących obszarach działalności:

Lista mogłaby nie mieć końca. Po opanowaniu podstawowych praw tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.

    Zacznijmy własności logarytmu jedności. Jego sformułowanie jest następujące: logarytm jedności jest równy zero, to znaczy zaloguj 1=0 dla dowolnego a>0 , a≠1 . Dowód jest prosty: ponieważ a 0 = 1 dla każdego a, który spełnia powyższe warunki a>0 i a≠1 , to logarytm udowodnionej równości a 1 = 0 wynika bezpośrednio z definicji logarytmu.

    Podajmy przykłady zastosowania rozważanej właściwości: log 3 1=0 , lg1=0 i .

    Przejdźmy do następna nieruchomość: logarytm liczby równej podstawie jest równy jeden, to znaczy, zaloguj a=1 dla a>0 , a≠1 . Rzeczywiście, ponieważ a 1 = a dla dowolnego a , to zgodnie z definicją logarytmu log a a = 1 .

    Przykładami wykorzystania tej właściwości logarytmów są log 5 5=1 , log 5.6 5.6 i lne=1 .

    Na przykład log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i .

    Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich x i y są równe iloczynowi logarytmów tych liczb: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Udowodnijmy własność logarytmu produktu. Ze względu na właściwości stopnia a log a x+log a y =a log a x a log a y, a ponieważ przez główną tożsamość logarytmiczną a log a x = x i log a y = y , to log a x a log a y = x y . Zatem log a x+log a y = x y , skąd wymagana równość wynika z definicji logarytmu.

    Pokażmy przykłady wykorzystania własności logarytmu iloczynu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 oraz .

    Właściwość logarytmu iloczynu można uogólnić na iloczyn skończonej liczby n liczb dodatnich x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 x 2 ... x n) = log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tę równość można łatwo udowodnić.

    Na przykład logarytm naturalny iloczynu można zastąpić sumą trzech logarytmów naturalnych liczb 4 , e i .

    Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich x i y są równe różnicy między logarytmami tych liczb. Właściwość logarytmu ilorazu odpowiada formule postaci , gdzie a>0 , a≠1 , x i y to pewne liczby dodatnie. Ważność tego wzoru jest udowodniona podobnie jak wzór na logarytm iloczynu: ponieważ , to przez definicję logarytmu .

    Oto przykład użycia tej właściwości logarytmu: .

    Przejdźmy do własność logarytmu stopnia. Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu modułu podstawy tego stopnia. Piszemy tę właściwość logarytmu stopnia w postaci wzoru: log a b p =p log a |b|, gdzie a>0 , a≠1 , b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens i b p > 0 .

    Najpierw udowodnimy tę własność dla pozytywnego b . Główny tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako logarytm a b , wtedy b p = (a log a b) p , a wynikowe wyrażenie, na mocy właściwości potęgi, jest równe a p log a b . Dochodzimy więc do równości b p = a p log a b , z której na podstawie definicji logarytmu wnioskujemy, że log a b p = p log a b .

    Pozostaje udowodnić tę własność dla ujemnego b . Zauważmy tutaj, że wyrażenie log a b p dla ujemnego b ma sens tylko dla parzystych wykładników p (ponieważ wartość stopnia b p musi być większa od zera, inaczej logarytm nie będzie miał sensu), iw tym przypadku b p =|b| p . Następnie bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, skąd log a b p =p log a |b| .

    Na przykład, oraz ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Wynika to z poprzedniej własności właściwość logarytmu od pierwiastka: logarytm pierwiastka n-tego stopnia jest równy iloczynowi ułamka 1/n i logarytmu pierwiastka, czyli , gdzie a>0 , a≠1 , n jest liczbą naturalną większą od jeden, b>0 .

    Dowód opiera się na równości (patrz ), która obowiązuje dla każdego dodatniego b , oraz na własności logarytmu stopnia: .

    Oto przykład użycia tej właściwości: .

    Teraz udowodnijmy formułę konwersji na nową podstawę logarytmu dobry . Aby to zrobić, wystarczy udowodnić poprawność równości log c b=log a b log c a . Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , a następnie log c b = log c a log a b . Pozostaje użyć właściwości logarytmu stopnia: log c a log a b = log a b log c a. W ten sposób udowodniono równość log c b=log a b log c a, co oznacza, że ​​udowodniono również wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu.

    Pokażmy kilka przykładów zastosowania tej właściwości logarytmów: i .

    Formuła przejścia do nowej podstawy pozwala przejść do pracy z logarytmami, które mają „wygodną” podstawę. Na przykład można go użyć do przełączenia na logarytmy naturalne lub dziesiętne, aby można było obliczyć wartość logarytmu z tabeli logarytmów. Formuła przejścia do nowej podstawy logarytmu pozwala również w niektórych przypadkach znaleźć wartość danego logarytmu, gdy znane są wartości niektórych logarytmów o innych podstawach.

    Używany często szczególny przypadek wzory na przejście do nowej podstawy logarytmu dla c=b postaci . To pokazuje, że log a b i log b a – . Na przykład, .

    Często używana jest również formuła , co jest przydatne do znajdowania wartości logarytmu. Na potwierdzenie naszych słów pokażemy, jak obliczana jest za jego pomocą wartość logarytmu formularza. Mamy . Aby udowodnić formułę wystarczy skorzystać ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu a: .

    Pozostaje udowodnić właściwości porównawcze logarytmów.

    Udowodnijmy, że dla dowolnych liczb dodatnich b 1 i b 2 , b 1 log a b 2 , a dla a>1 log nierówności a b 1

    Na koniec pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości logarytmów. Ograniczamy się do udowodnienia jego pierwszej części, to znaczy dowodzimy, że jeśli a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 jest prawdą log a 1 b>log a 2 b . Pozostałe twierdzenia tej własności logarytmów są dowodzone na podobnej zasadzie.

    Użyjmy odwrotnej metody. Załóżmy, że dla a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 log a 1 b≤ log a 2 b jest prawdą. Dzięki właściwościom logarytmów nierówności te można zapisać jako oraz odpowiednio, az nich wynika, że ​​odpowiednio log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2. Wtedy z własności potęg o tych samych podstawach muszą być spełnione równości b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, czyli a 1 ≥a 2 . W ten sposób doszliśmy do sprzeczności warunku a 1

Bibliografia.

  • Kolmogorov A.N., Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 szkół ogólnokształcących.
  • Gusiew VA, Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników).

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względu na bezpieczeństwo, egzekwowanie prawa lub inne cele interesu publicznego.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.

Jednym z elementów algebry na poziomie pierwotnym jest logarytm. Nazwa pochodzi z języka greckiego od słowa „liczba” lub „stopień” i oznacza stopień, w jakim należy podnieść liczbę u podstawy, aby znaleźć liczbę końcową.

Rodzaje logarytmów

  • log a b jest logarytmem liczby b do podstawy a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
  • lg b - logarytm dziesiętny (podstawa logarytmu 10, a = 10);
  • ln b - logarytm naturalny (podstawa logarytmu e, a = e).

Jak rozwiązywać logarytmy?

Logarytm liczby b do podstawy a jest wykładnikiem, który wymaga podniesienia podstawy a do liczby b. Wynik jest wymawiany w następujący sposób: „logarytm b do podstawy a”. Rozwiązanie problemów logarytmicznych polega na tym, że musisz określić dany stopień za pomocą liczb według określonych liczb. Istnieje kilka podstawowych zasad określania lub rozwiązywania logarytmu, a także przekształcania samego zapisu. Za ich pomocą rozwiązuje się równania logarytmiczne, znajduje pochodne, rozwiązuje całki i wykonuje wiele innych operacji. Zasadniczo rozwiązaniem samego logarytmu jest jego uproszczona notacja. Poniżej znajdują się główne formuły i właściwości:

Dla dowolnego; > 0; a ≠ 1 i dla dowolnego x ; y > 0.

  • a log a b = b jest podstawową tożsamością logarytmiczną
  • zaloguj 1 = 0
  • log a a = 1
  • log a (x y ) = log a x + log a y
  • log a x/ y = log a x – log a y
  • log a 1/x = -log a x
  • log a x p = p log a x
  • log a k x = 1/k log a x , dla k ≠ 0
  • log a x = log a c x c
  • log a x \u003d log b x / log b a - formuła przejścia do nowej bazy
  • loga x = 1/log x a


Jak rozwiązywać logarytmy - instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązywania

  • Najpierw zapisz wymagane równanie.

Uwaga: jeśli logarytm bazowy wynosi 10, to zapis jest skracany, uzyskuje się logarytm dziesiętny. Jeśli istnieje liczba naturalna e, zapisujemy, redukując do logarytmu naturalnego. Oznacza to, że wynikiem wszystkich logarytmów jest potęga, do której należy podnieść liczbę bazową, aby otrzymać liczbę b.


Bezpośrednio rozwiązanie leży w obliczeniu tego stopnia. Przed rozwiązaniem wyrażenia za pomocą logarytmu należy je uprościć zgodnie z regułą, czyli za pomocą wzorów. Możesz znaleźć główne tożsamości, cofając się trochę w artykule.

Podczas dodawania i odejmowania logarytmów z dwiema różnymi liczbami, ale o tej samej podstawie, zastąp je jednym logarytmem odpowiednio iloczynem lub dzieleniem liczb b i c. W takim przypadku możesz zastosować formułę przejścia do innej bazy (patrz wyżej).

Jeśli używasz wyrażeń do uproszczenia logarytmu, musisz pamiętać o pewnych ograniczeniach. I to jest: podstawa logarytmu a jest tylko liczbą dodatnią, ale nie jest równa jeden. Liczba b, podobnie jak a, musi być większa od zera.

Zdarzają się przypadki, gdy po uproszczeniu wyrażenia nie będzie można obliczyć logarytmu w postaci liczbowej. Zdarza się, że takie wyrażenie nie ma sensu, ponieważ wiele stopni to liczby niewymierne. Pod tym warunkiem zostaw potęgę liczby jako logarytm.




Kontynuujemy naukę logarytmów. W tym artykule porozmawiamy o obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zajmiemy się obliczaniem logarytmów z definicji. Następnie zastanów się, w jaki sposób wartości logarytmów są znajdowane za pomocą ich właściwości. Następnie zajmiemy się obliczaniem logarytmów na podstawie początkowo podanych wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmów. Cała teoria jest opatrzona przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Nawigacja po stronie.

Obliczanie logarytmów z definicji

W najprostszych przypadkach możliwe jest szybkie i łatwe wykonanie znalezienie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak przebiega ten proces.

Jej istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c , skąd z definicji logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że z definicji znalezienie logarytmu odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c .

Tak więc obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia takiej liczby c, że a c \u003d b, a sama liczba c jest pożądaną wartością logarytmu.

Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczba pod znakiem logarytmu jest podawana przez pewien stopień podstawy logarytmu, można od razu wskazać, czemu równy jest logarytm - jest równy wykładnikowi. Pokażmy przykłady.

Przykład.

Znajdź log 2 2 −3 , a także oblicz logarytm naturalny z e 5,3 .

Decyzja.

Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 = −3 . Rzeczywiście, liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi −3.

Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 = 5,3.

Odpowiedź:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 = 5,3 .

Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest podana jako potęga podstawy logarytmu, należy dokładnie rozważyć, czy możliwe jest przedstawienie reprezentacji liczby b w postaci a c . Często ta reprezentacja jest dość oczywista, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1, lub 2, lub 3, ...

Przykład.

Oblicz logarytmy log 5 25 , i .

Decyzja.

Łatwo zauważyć, że 25=5 2 , to pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Przechodzimy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę liczby 7: (zobacz w razie potrzeby). W konsekwencji, .

Przepiszmy trzeci logarytm w następującej postaci. Teraz możesz to zobaczyć , skąd to wnioskujemy . Dlatego z definicji logarytmu .

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:

Odpowiedź:

dziennik 5 25=2 , oraz .

Gdy wystarczająco duża liczba naturalna znajduje się pod znakiem logarytmu, nie zaszkodzi rozłożyć ją na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawienie takiej liczby jako pewnej potęgi podstawy logarytmu, a zatem obliczenie tego logarytmu z definicji.

Przykład.

Znajdź wartość logarytmu.

Decyzja.

Niektóre właściwości logarytmów umożliwiają natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Właściwości te obejmują własność logarytmu jedynki i logarytmu liczby równej podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Oznacza to, że gdy liczba 1 lub liczba a znajduje się pod znakiem logarytmu, równym podstawie logarytmu, wówczas w tych przypadkach logarytmy wynoszą odpowiednio 0 i 1.

Przykład.

Co to są logarytmy i lg10?

Decyzja.

Ponieważ , wynika to z definicji logarytmu .

W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się z jego podstawą, więc logarytm dziesiętny z dziesięciu jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1 .

Odpowiedź:

I lg10=1 .

Zauważ, że obliczanie logarytmów z definicji (co omówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p = p , który jest jedną z właściwości logarytmów.

W praktyce, gdy liczbę pod znakiem logarytmu i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę jakiejś liczby, bardzo wygodnie jest użyć wzoru , co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Rozważmy przykład znalezienia logarytmu, ilustrujący użycie tego wzoru.

Przykład.

Oblicz logarytm z .

Decyzja.

Odpowiedź:

.

Właściwości logarytmów niewymienione powyżej są również wykorzystywane w obliczeniach, ale porozmawiamy o tym w kolejnych akapitach.

Znajdowanie logarytmów w kategoriach innych znanych logarytmów

Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów do ich obliczania. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów są używane do wyrażenia oryginalnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Weźmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1,584963 , możemy znaleźć na przykład log 2 6, wykonując małe przekształcenie z wykorzystaniem właściwości logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej trzeba użyć szerszego arsenału właściwości logarytmów, aby obliczyć logarytm pierwotny na podstawie podanych.

Przykład.

Oblicz logarytm z 27 o podstawie 60, jeśli wiadomo, że log 60 2=a i log 60 5=b .

Decyzja.

Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27=3 3 , a pierwotny logarytm, ze względu na właściwość logarytmu stopnia, można zapisać jako 3·log 60 3 .

Zobaczmy teraz, jak log 60 3 można wyrazić za pomocą znanych logarytmów. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala zapisać dziennik równości 60 60=1 . Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . W ten sposób, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. W konsekwencji, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Na koniec obliczamy oryginalny logarytm: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odpowiedź:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Osobno warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci . Pozwala przejść od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub możliwe jest ich znalezienie. Zwykle z oryginalnego logarytmu, zgodnie ze wzorem przejściowym, przechodzą na logarytmy w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tabele logarytmów, które pozwalają na ich obliczenie z pewnym stopniem dokładności. W następnej sekcji pokażemy, jak to się robi.

Tablice logarytmów, ich zastosowanie

Do przybliżonego obliczenia wartości logarytmów można użyć tablice logarytmów. Najczęściej używane są tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmów naturalnych i tablica logarytmów dziesiętnych. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest użyć tabeli logarytmów o podstawie dziesiątej. Z jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.










Przedstawiona tablica pozwala z dokładnością do jednej dziesiątej tysięcznej znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1.000 do 9.999 (z trzema miejscami po przecinku). Przeanalizujemy zasadę znajdowania wartości logarytmu za pomocą tabeli logarytmów dziesiętnych na konkretnym przykładzie - jest to jaśniejsze. Znajdźmy lg1,256 .

W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy pierwsze dwie cyfry liczby 1,256, czyli znajdujemy 1,2 (ta liczba jest zakreślona na niebiesko dla jasności). Trzecia cyfra liczby 1.256 (numer 5) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na lewo od podwójnego wiersza (ta liczba jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra pierwotnej liczby 1.256 (numer 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnego wiersza (ta liczba jest zakreślona na zielono). Teraz znajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (liczby te są podświetlone na pomarańczowo). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Czy można, korzystając z powyższej tabeli, znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także wykraczają poza granice od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.

Obliczmy lg102.76332 . Najpierw musisz napisać numer w standardowej formie: 102,76332=1,0276332 10 2 . Następnie mantysę należy zaokrąglić w górę do trzeciego miejsca po przecinku, mamy 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, podczas gdy pierwotny logarytm dziesiętny jest w przybliżeniu równy logarytmowi liczby wynikowej, czyli bierzemy lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Teraz zastosuj właściwości logarytmu: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Ostatecznie znajdujemy wartość logarytmu lg1,028 zgodnie z tablicą logarytmów dziesiętnych lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda następująco: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych, można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy użyć formuły przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.

Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tablicy logarytmów dziesiętnych znajdujemy lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. W ten sposób, .

Bibliografia.

  • Kolmogorov A.N., Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 szkół ogólnokształcących.
  • Gusiew VA, Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników).