Tabela progresji geometrycznej. Progresje arytmetyczne i geometryczne

Rozważmy teraz kwestię sumowania nieskończonego postępu geometrycznego. Nazwijmy sumę częściową danego nieskończonego postępu sumą jego pierwszych członów. Oznacz sumę częściową symbolem

Za każdy nieskończony postęp

można skomponować (także nieskończony) ciąg jego sum częściowych

Niech sekwencja z nieograniczonym wzrostem ma limit

W tym przypadku liczbę S, czyli granicę sum cząstkowych progresji, nazywamy sumą nieskończonego progresji. Udowodnimy, że nieskończenie malejący postęp geometryczny zawsze ma sumę i wyprowadzimy wzór na tę sumę (możemy również pokazać, że dla nieskończonego postępu nie ma sumy, nie istnieje).

Wyrażenie na sumę częściową zapisujemy jako sumę elementów progresji zgodnie ze wzorem (91.1) i rozważamy granicę sumy częściowej przy

Z twierdzenia z punktu 89 wiadomo, że dla progresji malejącej ; dlatego stosując twierdzenie graniczne różnicy, znajdujemy

(tutaj również stosuje się zasadę: stały czynnik jest wyjęty ze znaku limitu). Istnienie jest udowodnione, a jednocześnie otrzymujemy wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego:

Równość (92,1) można również zapisać jako

Tutaj może wydawać się paradoksalne, że dobrze zdefiniowana skończona wartość jest przypisana sumie nieskończonego zbioru terminów.

W celu wyjaśnienia tej sytuacji można podać wyraźną ilustrację. Rozważ kwadrat o boku równym jeden (ryc. 72). Kwadrat ten dzielimy poziomą linią na dwie równe części i nakładamy górną część na dolną tak, aby powstał prostokąt o bokach 2 i . Następnie ponownie dzielimy prawą połowę tego prostokąta na pół linią poziomą i mocujemy górną część do dolnej (jak pokazano na ryc. 72). Kontynuując ten proces, nieustannie przekształcamy pierwotny kwadrat o powierzchni równej 1 w figury równej wielkości (przybierając formę klatki schodowej z pocieniającymi stopniami).

Przy nieskończonej kontynuacji tego procesu, cały obszar kwadratu rozkłada się na nieskończoną liczbę wyrazów - obszary prostokątów o podstawie równej 1 i wysokości. Obszary prostokątów tworzą po prostu nieskończony postęp malejący, jego suma

tj. zgodnie z oczekiwaniami jest równa powierzchni kwadratu.

Przykład. Znajdź sumy następujących nieskończonych progresji:

Rozwiązanie, a) Zauważamy, że ten postęp Dlatego ze wzoru (92.2) znajdujemy

b) Oznacza to, że według tego samego wzoru (92.2) mamy

c) Stwierdzamy, że ta progresja Dlatego ta progresja nie ma sumy.

W rozdziale 5 pokazano zastosowanie wzoru na sumę wyrazów nieskończenie malejącej progresji do konwersji okresowego ułamka dziesiętnego na zwykły ułamek.

Ćwiczenia

1. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego wynosi 3/5, a suma jego pierwszych czterech wyrazów to 13/27. Znajdź pierwszy termin i mianownik progresji.

2. Znajdź cztery liczby, które tworzą naprzemienny ciąg geometryczny, w którym drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego o 35, a trzeci jest większy od czwartego o 560.

3. Pokaż co jeśli sekwencja

tworzy nieskończenie malejący postęp geometryczny, to ciąg

dla dowolnej formy nieskończenie malejący postęp geometryczny. Czy to twierdzenie jest aktualne?

Wyprowadź wzór na iloczyn warunków postępu geometrycznego.

Matematyka jest czymludzie kontrolują naturę i siebie.

Radziecki matematyk, akademik A.N. Kołmogorów

Postęp geometryczny.

Oprócz zadań dotyczących progresji arytmetycznych w testach wstępnych z matematyki powszechne są również zadania związane z koncepcją progresji geometrycznej. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba znać właściwości postępu geometrycznego i umieć dobrze z nich korzystać.

Artykuł poświęcony jest przedstawieniu głównych własności postępu geometrycznego. Zawiera również przykłady rozwiązywania typowych problemów, zapożyczone z zadań sprawdzianów wstępnych z matematyki.

Zanotujmy wstępnie główne własności postępu geometrycznego i przywołajmy najważniejsze wzory i twierdzenia, związane z tą koncepcją.

Definicja. Ciąg liczb nazywamy ciągiem geometrycznym, jeśli każda z jego liczb, zaczynając od drugiej, jest równa poprzedniej pomnożonej przez tę samą liczbę. Liczba nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego.

Dla postępu geometrycznegoformuły są prawidłowe

, (1)

gdzie . Formuła (1) nazywana jest formułą ogólnego terminu postępu geometrycznego, a formuła (2) jest główną właściwością postępu geometrycznego: każdy element postępu pokrywa się ze średnią geometryczną sąsiednich elementów i .

Notatka, że właśnie z powodu tej właściwości progresja, o której mowa, nazywana jest „geometryczną”.

Wzory (1) i (2) powyżej podsumowano w następujący sposób:

, (3)

Aby obliczyć sumę pierwszy członkowie postępu geometrycznegoma zastosowanie formuła

Jeśli wyznaczymy

gdzie . Ponieważ , wzór (6) jest uogólnieniem wzoru (5).

W przypadku, gdy i postęp geometrycznyjest nieskończenie malejąca. Aby obliczyć sumęze wszystkich członków nieskończenie malejącego postępu geometrycznego stosuje się wzór

. (7)

Na przykład , za pomocą wzoru (7) można pokazać, Co

gdzie . Równości te otrzymuje się ze wzoru (7) pod warunkiem, że , (pierwsza równość) i , (druga równość).

Twierdzenie. Jeśli następnie

Dowód. Jeśli następnie ,

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przejdźmy do rozważenia przykładów rozwiązywania problemów na temat „Progresja geometryczna”.

Przykład 1 Biorąc pod uwagę: , i . Znaleźć .

Decyzja. Jeżeli zastosuje się wzór (5), to

Odpowiedź: .

Przykład 2 Niech i . Znaleźć .

Decyzja. Ponieważ i , korzystamy ze wzorów (5), (6) i otrzymujemy układ równań

Jeśli drugie równanie układu (9) jest podzielone przez pierwsze, następnie lub . Z tego wynika . Rozważmy dwa przypadki.

1. Jeśli , to z pierwszego równania układu (9) mamy.

2. Jeżeli , to .

Przykład 3 Niech , i . Znaleźć .

Decyzja. Ze wzoru (2) wynika, że ​​lub . Od , wtedy lub .

Według warunku. Jednak dlatego . Ponieważ i , to tutaj mamy układ równań

Jeżeli drugie równanie układu jest podzielone przez pierwsze, to lub .

Ponieważ równanie ma jeden odpowiedni pierwiastek . W tym przypadku pierwsze równanie układu implikuje .

Biorąc pod uwagę wzór (7), otrzymujemy.

Odpowiedź: .

Przykład 4 Biorąc pod uwagę: i . Znaleźć .

Decyzja. Od tego czasu .

Bo wtedy lub

Zgodnie ze wzorem (2) mamy . W związku z tym z równości (10) otrzymujemy lub .

Jednak pod warunkiem , więc .

Przykład 5 Wiadomo, że . Znaleźć .

Decyzja. Zgodnie z twierdzeniem mamy dwie równości

Od , wtedy lub . Ponieważ wtedy .

Odpowiedź: .

Przykład 6 Biorąc pod uwagę: i . Znaleźć .

Decyzja. Uwzględniając wzór (5) otrzymujemy

Od tego czasu . Od , i wtedy .

Przykład 7 Niech i . Znaleźć .

Decyzja. Zgodnie ze wzorem (1) możemy napisać

Dlatego mamy lub . Wiadomo, że i , zatem i .

Odpowiedź: .

Przykład 8 Znajdź mianownik nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, jeśli

oraz .

Decyzja. Ze wzoru (7) wynika oraz . Stąd i ze stanu problemu otrzymujemy układ równań

Jeśli pierwsze równanie układu jest podniesione do kwadratu, a następnie podziel otrzymane równanie przez drugie równanie, wtedy dostajemy

Lub .

Odpowiedź: .

Przykład 9 Znajdź wszystkie wartości, dla których ciąg , , jest postępem geometrycznym.

Decyzja. Niech , i . Zgodnie ze wzorem (2), który definiuje główną właściwość postępu geometrycznego, możemy napisać lub .

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe, którego korzenie są oraz .

Sprawdźmy: jeśli, a następnie , i ; jeśli , to , i .

W pierwszym przypadku mamy i , aw drugim - i .

Odpowiedź: , .

Przykład 10Rozwiązać równanie

, (11)

gdzie i .

Decyzja. Lewa strona równania (11) jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, w którym i , pod warunkiem: i .

Ze wzoru (7) wynika, Co . W związku z tym równanie (11) przyjmuje postać lub . odpowiedni korzeń równanie kwadratowe to

Odpowiedź: .

Przykład 11. P ciąg liczb dodatnichtworzy postęp arytmetyczny, a - postęp geometryczny, co to ma wspólnego z . Znaleźć .

Decyzja. Jak ciąg arytmetyczny, następnie (główna właściwość postępu arytmetycznego). O ile, następnie lub . Oznacza to, że postęp geometryczny to. Zgodnie ze wzorem (2), wtedy piszemy, że .

Od i , wtedy . W takim przypadku wyrażenie przyjmuje postać lub . Według warunku , więc z równaniauzyskujemy unikalne rozwiązanie rozważanego problemu, tj. .

Odpowiedź: .

Przykład 12. Oblicz sumę

. (12)

Decyzja. Pomnóż obie strony równości (12) przez 5 i uzyskaj

Jeśli od otrzymanego wyrażenia odejmiemy (12), następnie

lub .

Aby obliczyć, podstawiamy wartości do wzoru (7) i otrzymujemy . Od tego czasu .

Odpowiedź: .

Podane tutaj przykłady rozwiązywania problemów przydadzą się kandydatom w przygotowaniu do egzaminów wstępnych. Do głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, związane z postępem geometrycznym, możesz skorzystać z samouczków z listy polecanej literatury.

1. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na uczelnie techniczne / Wyd. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: dodatkowe działy programu szkolnego. – M.: Lenand / URSS, 2014r. - 216 s.

3. Medyński M.M. Kompletny kurs matematyki elementarnej w zadaniach i ćwiczeniach. Księga 2: Sekwencje liczb i progresje. – M.: Editus, 2015r. - 208 s.

Czy masz jakieś pytania?

Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Postęp geometryczny to sekwencja liczbowa, której pierwszy składnik jest niezerowy, a każdy następny składnik jest równy poprzedniemu członowi pomnożonemu przez tę samą niezerową liczbę.

Pojęcie postępu geometrycznego

Postęp geometryczny oznaczany jest przez b1,b2,b3, …, bn, … .

Stosunek dowolnego składnika błędu geometrycznego do jego poprzedniego składnika jest równy tej samej liczbie, to znaczy b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Wynika to bezpośrednio z definicji postępu arytmetycznego. Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego. Zwykle mianownik postępu geometrycznego jest oznaczony literą q.

Suma nieskończonego postępu geometrycznego dla |q|<1

Jednym ze sposobów ustalenia postępu geometrycznego jest ustawienie jego pierwszego członu b1 i mianownika błędu geometrycznego q. Na przykład b1=4, q=-2. Te dwa warunki dają postęp geometryczny 4, -8, 16, -32, … .

Jeżeli q>0 (q nie jest równe 1), to progresja jest ciągiem monotonicznym. Na przykład ciąg 2, 4,8,16,32, ... jest ciągiem monotonicznie rosnącym (b1=2, q=2).

Jeżeli mianownik q=1 w błędzie geometrycznym, to wszystkie elementy postępu geometrycznego będą sobie równe. W takich przypadkach mówi się, że progresja jest ciągiem stałym.

Aby ciąg liczbowy (bn) był postępem geometrycznym, konieczne jest, aby każdy z jego elementów, począwszy od drugiego, był średnią geometryczną sąsiednich elementów. Oznacza to, że konieczne jest spełnienie następującego równania
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), dla dowolnego n>0, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Teraz załóżmy (Xn) - postęp geometryczny. Mianownik postępu geometrycznego q, gdzie |q|∞).
Jeśli teraz oznaczymy przez S sumę nieskończonego postępu geometrycznego, to następujący wzór będzie spełniony:
S=x1/(1-q).

Rozważ prosty przykład:

Znajdź sumę nieskończonego postępu geometrycznego 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Aby znaleźć S, używamy wzoru na sumę nieskończonego ciągu arytmetycznego. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Jeśli każda liczba naturalna n dopasuj liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że dane sekwencja liczb :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , jakiś , . . . .

Tak więc sekwencja liczbowa jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer a 1 nazywa pierwszy członek ciągu , numer a 2 — drugi członek ciągu , numer a 3 — trzeci itp. Numer jakiś nazywa n-ty członek ciągu , a liczba naturalna n — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś oraz jakiś +1 sekwencje członków jakiś +1 nazywa późniejszy (w kierunku jakiś ), a jakiś — poprzedni (w kierunku jakiś +1 ).

Aby określić sekwencję, musisz określić metodę, która umożliwia znalezienie elementu sekwencji o dowolnej liczbie.

Często sekwencja jest podawana z formuły n-tego terminu , czyli formuła, która pozwala określić element sekwencji na podstawie jego numeru.

Na przykład,

ciąg dodatnich liczb nieparzystych można określić wzorem

jakiś= 2n- 1,

i kolejność naprzemiennych 1 oraz -1 - formuła

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekwencja może być określona powtarzająca się formuła, to znaczy formuła, która wyraża dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, przez poprzednie (jednego lub więcej) elementów.

Na przykład,

jeśli a 1 = 1 , a jakiś +1 = jakiś + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wtedy pierwsze siedem członów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał oraz nieskończony .

Sekwencja nazywa się ostateczny jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony jeśli ma nieskończenie wielu członków.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jej członków, począwszy od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja nazywa się zanikający , jeśli każdy z jej członków, począwszy od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . jest sekwencją rosnącą;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . jest sekwencją malejącą. ◄

Ciąg, którego elementy nie maleją wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie, nie rosną, nazywa się monotonna sekwencja .

W szczególności sekwencje monotoniczne są sekwencjami rosnącymi i sekwencjami malejącymi.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny wywoływana jest sekwencja, której każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodaje się tę samą liczbę.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , jakiś, . . .

jest ciągiem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + d,

gdzie d - jakaś liczba.

Zatem różnica między kolejnymi a poprzednimi członkami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - a 1 = 3 - a 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = d.

Numer d nazywa różnica postępu arytmetycznego.

Aby ustalić ciąg arytmetyczny, wystarczy określić jego pierwszy wyraz i różnicę.

Na przykład,

jeśli a 1 = 3, d = 4 , to pierwsze pięć wyrazów ciągu znajduje się w następujący sposób:

1 =3,

2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Dla progresji arytmetycznej z pierwszym terminem a 1 i różnica d ją n

jakiś = 1 + (n- 1)d.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz progresji arytmetycznej

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)d,

jakiś= 1 + (n- 1)d,

jakiś +1 = a 1 + znaleźć,

to oczywiście

każdy element progresji arytmetycznej, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzedniego i kolejnych elementów.

Liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.

Na przykład,

jakiś = 2n- 7 , to postęp arytmetyczny.

Użyjmy powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stąd,

◄

Zauważ, że n -ty element ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez a 1 , ale także wszelkie poprzednie K

jakiś = K + (n- k)d.

Na przykład,

dla a 5 można napisać

5 = 1 + 4d,

5 = 2 + 3d,

5 = 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

jakiś = n-k + kd,

jakiś = n+k - kd,

to oczywiście

każdy element postępu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy połowie sumy elementów tego postępu arytmetycznego, w równych odstępach od niego.

Ponadto dla dowolnego ciągu arytmetycznego równość jest prawdziwa:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jak

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ jakiś,

pierwszy n elementy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów przez liczbę wyrazów:

Z tego w szczególności wynika, że ​​jeśli konieczne jest zsumowanie warunków

K, K +1 , . . . , jakiś,

wtedy poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podano ciąg arytmetyczny, to ilości a 1 , jakiś, d, n orazS n połączone dwiema formułami:

Dlatego też, jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, to odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości są określane na podstawie tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny to ciąg monotoniczny. W której:

• jeśli d > 0 , to wzrasta;
• jeśli d < 0 , to maleje;
• jeśli d = 0 , to sekwencja będzie nieruchoma.

Postęp geometryczny

postęp geometryczny wywoływany jest ciąg, którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony:

b n +1 = b n · q,

gdzie q ≠ 0 - jakaś liczba.

Zatem stosunek następnego wyrazu tego postępu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numer q nazywa mianownik postępu geometrycznego.

Aby ustawić ciąg geometryczny, wystarczy podać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

jeśli b 1 = 1, q = -3 , to pierwsze pięć wyrazów ciągu znajduje się w następujący sposób:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i mianownik q ją n -ty termin można znaleźć według wzoru:

b n = b 1 · q n -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

to oczywiście

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

każdy element postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) poprzedniego i kolejnych elementów.

Ponieważ odwrotność jest również prawdziwa, obowiązuje następujące twierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną pozostałych dwóch.

Na przykład,

udowodnijmy, że ciąg podany wzorem b n= -3 2 n , to postęp geometryczny. Użyjmy powyższego stwierdzenia. Mamy:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stąd,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

co potwierdza wymagane twierdzenie. ◄

Zauważ, że n Termin postępu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez b 1 , ale także dowolny poprzedni termin b k , dla którego wystarczy zastosować wzór

b n = b k · q n - k.

Na przykład,

dla b 5 można napisać

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

to oczywiście

b n 2 = b n - k· b n + k

kwadrat dowolnego elementu postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy iloczynowi elementów tego postępu w równej odległości od niego.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego równość jest prawdziwa:

bm· b n= b k· b ja,

m+ n= k+ ja.

Na przykład,

wykładniczo

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jak

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pierwszy n elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem q ≠ 0 obliczona według wzoru:

I kiedy q = 1 - według wzoru

S n= n.b. 1

Zauważ, że jeśli musimy zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b n,

wtedy stosuje się wzór:

Na przykład,

wykładniczo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podano postęp geometryczny, to ilości b 1 , b n, q, n oraz S n połączone dwiema formułami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości są określane na podstawie tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym terminem b 1 i mianownik q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :

• progresja rośnie, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

b 1 > 0 oraz q> 1;

b 1 < 0 oraz 0 < q< 1;

• Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

b 1 > 0 oraz 0 < q< 1;

b 1 < 0 oraz q> 1.

Jeśli q< 0 , to postęp geometryczny ma charakter naprzemienny: jego wyrazy o nieparzystych numerach mają ten sam znak co jego pierwszy wyraz, a wyrazy o numerach parzystych mają znak przeciwny. Oczywiste jest, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszego n warunki postępu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny

Nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny nazywa się nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy niż 1 , tj

|q| < 1 .

Zauważ, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być ciągiem malejącym. To pasuje do przypadku

1 < q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego nazwij numer, do którego suma pierwszego n warunki progresji z nieograniczonym wzrostem liczby n . Liczba ta jest zawsze skończona i wyraża się wzorem

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek między postępami arytmetycznymi i geometrycznymi

Progresje arytmetyczne i geometryczne są ze sobą ściśle powiązane. Rozważmy tylko dwa przykłady.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , następnie

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą 2 oraz

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . to postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . to postęp geometryczny z mianownikiem q , następnie

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięq .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . to postęp geometryczny z mianownikiem 6 oraz

LG 2, LG 12, LG 72, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą LG 6 . ◄

SEKWENCJE NUMERYCZNE VI

§ l48. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego

Do tej pory, mówiąc o sumach, zawsze zakładaliśmy, że liczba wyrazów w tych sumach jest skończona (np. 2, 15, 1000 itd.). Ale przy rozwiązywaniu niektórych problemów (zwłaszcza wyższej matematyki) trzeba mieć do czynienia z sumami nieskończonej liczby wyrazów

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Jakie są te kwoty? A-prioryte suma nieskończonej liczby wyrazów a 1 , a 2 , ..., a n , ... nazywa się granicą sumy S n pierwszy P liczby, kiedy P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) może oczywiście istnieć lub nie. W związku z tym mówi się, że suma (1) istnieje lub nie istnieje.

Jak sprawdzić, czy suma (1) istnieje w każdym konkretnym przypadku? Ogólne rozwiązanie tego pytania wykracza daleko poza zakres naszego programu. Jest jednak jeden ważny szczególny przypadek, który musimy teraz rozważyć. Porozmawiamy o sumowaniu wyrażeń nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

Zostawiać a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Oznacza to, że | q |< 1. Сумма первых P członkowie tej progresji są równe

Z podstawowych twierdzeń o granicach zmiennych (patrz § 136) otrzymujemy:

Ale 1 = 1, a q n = 0. Dlatego

Zatem suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest równa pierwszemu członowi tego postępu podzielonemu przez jeden minus mianownik tego postępu.

1) Suma postępu geometrycznego 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... wynosi

a suma postępu geometrycznego wynosi 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... równa się

2) Prosty okresowy ułamek 0,454545 ... zamienia się w zwykły.

Aby rozwiązać ten problem, przedstawiamy ten ułamek jako nieskończoną sumę:

Prawa strona tej równości jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi 45/100, a mianownik to 1/100. Więc

W opisany sposób można również uzyskać ogólną zasadę konwersji prostych ułamków okresowych na ułamki zwykłe (patrz rozdział II, § 38):

Aby przekonwertować prosty ułamek okresowy na zwykły, należy postępować w następujący sposób: w liczniku umieścić kropkę ułamka dziesiętnego, aw mianowniku liczbę składającą się z dziewiątek wziętych tyle razy, ile jest cyfr w okresie ułamka dziesiętnego.

3) Mieszana frakcja okresowa 0,58333 .... zamienia się w zwykłą frakcję.

Zaprezentujmy ten ułamek jako nieskończoną sumę:

Po prawej stronie tej równości wszystkie wyrazy, zaczynając od 3/1000, tworzą nieskończenie malejący ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz wynosi 3/1000, a mianownik to 1/10. Więc

W opisany sposób można również uzyskać ogólną zasadę konwersji mieszanych ułamków okresowych na ułamki zwykłe (patrz rozdział II, § 38). Celowo tego tutaj nie umieszczamy. Nie ma potrzeby zapamiętywania tej uciążliwej zasady. O wiele bardziej przydatne jest wiedzieć, że każdy mieszany ułamek okresowy może być reprezentowany jako suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego i pewnej liczby. A formuła

dla sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego trzeba oczywiście pamiętać.

W ramach ćwiczenia zapraszamy, oprócz problemów nr 995-1000 poniżej, do ponownego przejścia do problemu nr 301 § 38.

Ćwiczenia

995. Jak nazywa się suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego?

996. Znajdź sumy nieskończenie malejących postępów geometrycznych:

997. Za jakie wartości X postęp

jest nieskończenie malejąca? Znajdź sumę takiego postępu.

998. W trójkącie równobocznym z bokiem a nowy trójkąt jest wpisany przez połączenie środków jego boków; nowy trójkąt jest w ten sam sposób wpisany w ten trójkąt i tak dalej w nieskończoność.

a) suma obwodów wszystkich tych trójkątów;

b) suma ich powierzchni.

999. W kwadracie o boku a nowy kwadrat wpisuje się łącząc środki jego boków; kwadrat wpisuje się w ten kwadrat w ten sam sposób, i tak dalej w nieskończoność. Znajdź sumę obwodów wszystkich tych kwadratów i sumę ich powierzchni.

1000. Wykonaj nieskończenie malejący ciąg geometryczny, taki, że jego suma jest równa 25/4, a suma kwadratów jego wyrazów równa się 625/24.