Jak pomnożyć ułamki zwykłe przez liczbę naturalną. Mnożenie ułamków
Przeczytaj także
Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci całkowitej liczby części lub udziałów jakiejś miary; Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.
Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.
Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Jednak celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnożone są ułamki mieszane o różnych mianownikach.
Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:
- prawidłowy;
- błędny;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynik mnożenia ułamki proste o tych samych mianownikach jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków. Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z pierwotnie istniejących.
Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym, że wynikowa liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i, oczywiście, kwadratu jednego wyrażenie numeryczne nie da się tego nazwać.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko z liczbami w mianownikach; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.
Razem z prostym liczby ułamkowe, istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:
A* B/C = a*b /C.
W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów na to wskazuje Liczba naturalna. Szczególny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
D* mi/F = mi/f: d.
Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.
Tłumaczyć liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego. Można go również przedstawić jako ogólna formuła:
A BC = a*b+ c/c, gdzie jest mianownik nowy ułamek powstaje poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie jej przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Proces ten działa również w odwrotnym kierunku. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.
Mnożenie ułamki niewłaściwe produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.
W Internecie jest wiele pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych różne odmiany programy. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Łatwo z nim pracować; wypełniasz odpowiednie pola na stronie internetowej, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.
Temat działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych jest aktualny w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze się nauczył podstawowa wiedza obdarzyć całkowitym zaufaniem pomyślna decyzja bardzo złożone zadania.
Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Nie w mocy człowieka jest zwiększanie swojego licznika - swoich zasług - ale każdy może zmniejszyć swój mianownik - swoją opinię o sobie i przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
Rozważymy mnożenie ułamków zwykłych w kilku możliwych opcjach.
Mnożenie ułamka zwykłego przez ułamek
To najprostszy przypadek, w którym musisz użyć poniższych zasady mnożenia ułamków zwykłych.
Do pomnóż ułamek przez ułamek, niezbędny:
- pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i wpisz ich iloczyn do licznika nowego ułamka;
- pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i wpisz ich iloczyn do mianownika nowego ułamka;
- Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
- Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Przed pomnożeniem liczników i mianowników sprawdź, czy ułamki można skrócić. Zmniejszanie ułamków w obliczeniach znacznie ułatwi obliczenia.
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Aby zrobić ułamek pomnożyć przez liczbę naturalną Musisz pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik ułamka bez zmian.
Jeśli wynikiem mnożenia jest ułamek niewłaściwy, nie zapomnij zamienić go na liczbę mieszaną, czyli podświetl całą część.
Mnożenie liczb mieszanych
Aby pomnożyć liczby mieszane, należy najpierw zamienić je na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Inny sposób pomnożenia ułamka zwykłego przez liczbę naturalną
Czasami podczas wykonywania obliczeń wygodniej jest zastosować inną metodę mnożenia ułamek wspólny na numer.
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.
Jak widać z przykładu, ta wersja reguły jest wygodniejsza w użyciu, jeśli mianownik ułamka jest podzielny przez liczbę naturalną bez reszty.
Operacje na ułamkach
Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:
Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 2. Dodaj ułamki i .
Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:
Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku cała częśćłatwo się wyróżnia - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:
Przykład 3. Dodaj ułamki i .
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;
- Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.
- Znajdź LCM mianowników ułamków;
- Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
- Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
- Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
- Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;
- Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
- Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.
Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.
Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ te ułamki różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.
Istota tej metody polega na tym, że najpierw szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.
Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.
Przykład 1. Dodajmy ułamki i
Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6
LCM (2 i 3) = 6
Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.
Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.
Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:
Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki:
Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:
To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:
Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).
Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).
Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucje edukacyjne Nie jest w zwyczaju pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:
Ale jest też tylna strona medale. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.
Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 
.
Skorzystajmy ze schematu, który podaliśmy powyżej.
Krok 1. Znajdź LCM dla mianowników ułamków
Znajdź LCM dla mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4. Musisz znaleźć LCM dla tych liczb:
Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka
Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:
Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki
Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:
Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:
Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza i należy postawić znak równości (=) na końcu i na początku pierwszego wiersza Nowa linia. Znak równości w drugiej linii oznacza, że jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.
Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część
Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:
Otrzymaliśmy odpowiedź
Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:
Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.
Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.
Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw taki sam:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:
Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Jeśli przykład zostanie ukończony, zwyczajowo pozbywa się ułamka niewłaściwego. Pozbądźmy się ułamka niewłaściwego w odpowiedzi. W tym celu zaznaczmy całą jego część:
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.
Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.
Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12
LCM (3 i 4) = 12
Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i
Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:
Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:
Otrzymaliśmy odpowiedź
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę
To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):
Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 
Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.
Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.
Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:
Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.
Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:
Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Należałoby to uprościć i uczynić bardziej estetycznym. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek. Przypomnijmy, że skrócenie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez największy wspólny dzielnik licznik i mianownik.
Aby poprawnie skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 20 i 30.
GCD nie należy mylić z NOC. Najczęstszy błąd wielu początkujących. GCD jest największym wspólnym dzielnikiem. Uważamy, że redukuje ułamek.
A LCM jest najmniejszą wspólną wielokrotnością. Znajdujemy go, aby doprowadzić ułamki do tego samego (wspólnego) mianownika.
Teraz znajdziemy największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 20 i 30.
Znajdujemy więc GCD dla liczb 20 i 30:
NWD (20 i 30) = 10
Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 10:
Otrzymaliśmy piękną odpowiedź
Mnożenie ułamka przez liczbę
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.
Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.
Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1
Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę
Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:
Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik ułamka przez 4
Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze
A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.
Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.
Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:
Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:
I weź dwa z tych trzech kawałków:
Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:
Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:
Innymi słowy, mówimy o mniej więcej tej samej wielkości pizza. Zatem wartość wyrażenia wynosi
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia
Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby zmniejszyć ten ułamek, należy go podzielić przez gcd licznika i mianownika. Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:
NWD dla (105 i 150) wynosi 15
Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez gcd:
Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka
Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:
Liczby wzajemne
Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.
Definicja. Odwróć numer A to liczba, która po pomnożeniu przez A daje jeden.
Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:
Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.
Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:
Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Innymi słowy, pomnóż ułamek sam przez siebie, tylko do góry nogami:
Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:
Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.
Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.
- odwrotność 3 jest ułamkiem
- odwrotność 4 to ułamek
Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.
) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).
Wzór na mnożenie ułamków:
Na przykład:
Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy ułamek można skrócić. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.
Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.
Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.
To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):
- zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
- mnożenie liczników i mianowników ułamków;
- zmniejsz ułamek;
- Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
Notatka! Mnożyć frakcja mieszana na inny ułamek mieszany, należy najpierw przekształcić je w postać ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć je zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.
Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.
Z powyższego przykładu jasno wynika, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.
Ułamki wielopiętrowe.
W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:
Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj dzielenia przez 2 punkty:
Notatka! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.
Notatka, Na przykład:
Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:
Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.
2. W zadaniach z różne rodzaje ułamki - przejdź do postaci ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.
4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe przekształcamy na zwykłe, dzieląc przez 2 punkty.
5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.
W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ...dyskusje trwają do dziś, a środowisko naukowe nie zdołało jeszcze dojść do wspólnego stanowiska co do istoty paradoksów... zaangażowało się w badanie tego zagadnienia; Analiza matematyczna, teoria mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.
Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.
Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:
Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). Na co chcę zwrócić uwagę Specjalna uwaga, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ zapewniają różne możliwości badawcze.
środa, 4 lipca 2018 r
Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.
Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Odpowiedni teoria matematyczna zestawy dla samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśniamy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identyczne elementy. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształów i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...
A teraz mam ich najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest linia, poza którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.
Niedziela, 18 marca 2018 r
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.
Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.
Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Przyjrzyjmy się wszystkim krokom w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.
2. Wytnij jeden powstały obraz na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.
Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Więc w różne systemy W rachunku różniczkowym suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem; już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.
Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli prowadzą do tych samych działań z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości różne wyniki po ich porównaniu wynika, że nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.
Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopnia). I nie uważam, że ta dziewczyna jest głupia, nie znający się na fizyce. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.
Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek nie jest trudnym zadaniem. Są jednak subtelności, które prawdopodobnie rozumiałeś w szkole, ale od tego czasu zapomniałeś.
Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek - kilka wyrazów
Jeśli pamiętasz, czym jest licznik i mianownik i czym różni się ułamek właściwy od niewłaściwego, pomiń ten akapit. Jest dla tych, którzy całkowicie zapomnieli o teorii.
Licznik to górna część ułamka - to, co dzielimy. Mianownik jest niższy. To jest to, co dzielimy.
Ułamek właściwy to taki, którego licznik wynosi mniej niż mianownik. Ułamek niewłaściwy to taki, którego licznik jest większy lub równy jego mianownikowi.
Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek
Zasada mnożenia liczby całkowitej przez ułamek jest bardzo prosta - licznik mnożymy przez liczbę całkowitą, ale nie dotykamy mianownika. Na przykład: dwa pomnożone przez jedną piątą - otrzymamy dwie piąte. Cztery pomnożone przez trzy szesnaste równa się dwanaście szesnastych.
Zmniejszenie
W drugim przykładzie uzyskaną frakcję można zmniejszyć.
Co to znaczy? Należy pamiętać, że zarówno licznik, jak i mianownik tego ułamka są podzielne przez cztery. Dzielenie obu liczb przez wspólny dzielnik nazywa się redukcją ułamka. Dostajemy trzy czwarte.
Niewłaściwe ułamki
Załóżmy jednak, że pomnożymy cztery przez dwie piąte. Okazało się, że było osiem piątych. To jest ułamek niewłaściwy.
Zdecydowanie trzeba ją dowieźć właściwy rodzaj. Aby to zrobić, musisz wybrać z niego całą część.
Tutaj musisz użyć dzielenia z resztą. Jako resztę otrzymujemy jeden i trzy.
Jedna całość i trzy piąte to nasz ułamek właściwy.
Doprowadzenie trzydziestu pięciu ósmych do właściwej formy jest nieco trudniejsze. Liczba najbliższa trzydziestu siedmiu podzielna przez osiem to trzydzieści dwa. Po podzieleniu otrzymamy cztery. Odejmij trzydzieści dwa od trzydziestu pięciu i otrzymamy trzy. Wynik: cztery całe i trzy ósemki.
Równość licznika i mianownika. A tutaj wszystko jest bardzo proste i piękne. Jeśli licznik i mianownik są równe, wynikiem jest po prostu jeden.