Nesta lição, cujo tópico é: “A equação do movimento com aceleração constante. Movimento progressivo”, vamos lembrar o que é movimento, como acontece. Também lembramos o que é aceleração, considere a equação do movimento com aceleração constante e como usá-la para determinar as coordenadas de um corpo em movimento. Vamos considerar um exemplo de um problema para fixar o material.

a tarefa principal cinemática - determine a posição do corpo a qualquer momento. O corpo pode descansar, então sua posição não mudará (veja a Fig. 1).

Arroz. 1. Corpo em repouso

O corpo pode se mover em linha reta velocidade constante. Então seu deslocamento mudará uniformemente, ou seja, igualmente em intervalos de tempo iguais (veja a Fig. 2).

Arroz. 2. Movimento do corpo ao se mover em velocidade constante

Movimento, velocidade multiplicada pelo tempo, conseguimos fazer isso há muito tempo. O corpo pode se mover com aceleração constante, considere esse caso (veja a Fig. 3).

Arroz. 3. Movimento do corpo com aceleração constante

Aceleração

Então sua velocidade muda uniformemente: (se sua velocidade inicial for igual a zero). Como encontrar o movimento agora? Multiplicar a velocidade pelo tempo é impossível: a velocidade mudava constantemente; qual tomar? Como determinar onde o corpo estará a qualquer momento durante esse movimento - hoje resolveremos esse problema.

Vamos definir imediatamente o modelo: estamos considerando um movimento de translação retilíneo do corpo. Neste caso, podemos usar o modelo ponto material. A aceleração é direcionada ao longo da mesma linha reta ao longo da qual o ponto material se move (veja a Fig. 6).

movimento de translação

O carro dirigiu direto por uma hora. No início da hora, sua velocidade era de 10 km/h e no final - 100 km/h (veja a Fig. 11).

Arroz. 11. Desenho para o problema

A velocidade mudou uniformemente. Quantos quilômetros o carro percorreu?

Vamos analisar a condição do problema.

A velocidade do carro mudou uniformemente, ou seja, sua aceleração foi constante durante todo o percurso. A aceleração é, por definição, igual a:

O carro estava andando em linha reta, então podemos considerar seu movimento na projeção em um eixo de coordenadas:

Vamos encontrar um movimento.

Exemplo de aumento de velocidade

Podemos encontrar o deslocamento com movimento UNIFORME: . Como contornar este problema? Se a velocidade não mudar muito, o movimento pode ser considerado aproximadamente uniforme. A mudança na velocidade será pequena em um curto período de tempo (veja a Fig. 14).

Arroz. 14. Mudança de velocidade

Portanto, dividimos o tempo de viagem T em N pequenos segmentos de duração (veja a Fig. 15).

Arroz. 15. Dividindo um segmento de tempo

Vamos calcular o deslocamento em cada intervalo de tempo. A velocidade aumenta a cada intervalo por:

Em cada segmento, consideraremos o movimento uniforme e a velocidade aproximadamente igual à velocidade inicial no intervalo de tempo dado. Vamos ver se nossa aproximação não leva a um erro se assumirmos que o movimento é uniforme em um pequeno intervalo. O erro máximo será:

e o erro total para toda a viagem -> . Para N grande, assumimos que o erro é próximo de zero. Veremos isso no gráfico (veja a Fig. 16): haverá um erro em cada intervalo, mas o erro total para em grande número intervalos serão desprezíveis.

Arroz. 16. Erro nos intervalos

Assim, cada próximo valor de velocidade é um e o mesmo valor maior que o anterior. Sabemos pela álgebra que esta é uma progressão aritmética com uma diferença de progressão:

O caminho nas seções (com movimento retilíneo uniforme (ver Fig. 17) é igual a:

Arroz. 17. Consideração de áreas de movimento corporal

Na segunda seção:

No enésimo segmento o caminho é:

Progressão aritmética

Vamos resumir todos os caminhos. Esta será a soma dos primeiros N membros da progressão aritmética:

Como dividimos o movimento em muitos intervalos, podemos supor que , então:

Tínhamos muitas fórmulas e, para não nos confundirmos, não escrevemos x índices de cada vez, mas consideramos tudo em projeção no eixo de coordenadas.

Então nós temos fórmula principal movimento uniformemente acelerado: movendo-se a movimento uniformemente acelerado no tempo T, que nós, juntamente com a definição de aceleração (variação da velocidade por unidade de tempo), será usada para resolver os problemas:

Estávamos trabalhando em um problema de carro. Substitua os números na solução e obtenha a resposta: o carro percorreu 55,4 km.

Parte matemática da solução do problema

Nós lidamos com o movimento. E como determinar a coordenada do corpo a qualquer momento?

Por definição, o movimento de um corpo no tempo é um vetor cujo início está no ponto inicial do movimento e cujo final está no ponto final onde o corpo estará no tempo. Precisamos encontrar a coordenada do corpo, então escrevemos uma expressão para a projeção do deslocamento no eixo coordenado (veja a Fig. 18):

Arroz. 18. Projeção de movimento

Vamos expressar a coordenada:

Ou seja, a coordenada do corpo no momento do tempo é igual à coordenada inicial mais a projeção do movimento que o corpo fez durante o tempo . Já encontramos a projeção do deslocamento durante o movimento uniformemente acelerado, resta substituir e escrever:

Esta é a equação do movimento com aceleração constante. Ele permite que você descubra a coordenada de um ponto de material em movimento a qualquer momento. É claro que escolhemos o momento de tempo dentro do intervalo em que o modelo funciona: a aceleração é constante, o movimento é retilíneo.

Por que a equação de movimento não pode ser usada para encontrar um caminho

Bibliografia

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2. Landsberg G.S. Livro elementar de física; v.1. Mecânica. Aquecer. Física molecular - M.: Editora "Nauka", 1985.

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Trabalho de casa

1. O que é uma progressão aritmética?
2. Que tipo de movimento é progressivo?
3. O que é uma grandeza vetorial?
4. Escreva a fórmula da aceleração em termos de variação da velocidade.
5. Qual é a equação do movimento com aceleração constante?
6. O vetor aceleração é direcionado para o movimento do corpo. Como o corpo mudará sua velocidade?

Com movimento uniformemente acelerado, as seguintes equações são válidas, que damos sem derivação:

Como você entende, a fórmula vetorial à esquerda e as duas fórmulas escalares à direita são iguais. Do ponto de vista da álgebra, as fórmulas escalares significam que, com movimento uniformemente acelerado, as projeções de deslocamento dependem do tempo de acordo com uma lei quadrática. Compare isso com a natureza das projeções de velocidade instantânea (ver § 12-h).

Sabendo que  sx = x – xo  u   sy = y – yo  (ver § 12-e), das duas fórmulas escalares da coluna superior direita obtemos equações para as coordenadas:

Como a aceleração durante o movimento uniformemente acelerado do corpo é constante, então eixos de coordenadas você sempre pode posicioná-lo de modo que o vetor de aceleração seja direcionado paralelamente a um eixo, por exemplo, o eixo Y. Portanto, a equação do movimento ao longo do eixo X será visivelmente simplificada:

x  =  xo + υox t  + (0) ey  =  yo + υoy t  + ½ ay t²

Observe que a equação da esquerda coincide com a equação do movimento retilíneo uniforme (ver § 12-g). Isso significa que o movimento uniformemente acelerado pode ser "composto" de movimento uniforme ao longo de um eixo e movimento uniformemente acelerado ao longo do outro. Isso é confirmado pela experiência com a bala de canhão em um iate (ver § 12-b).

Uma tarefa. Esticando os braços, a garota jogou a bola. Ele subiu para 80 cm e logo caiu aos pés da moça, voando 180 cm. Com que velocidade a bola foi lançada e qual a velocidade da bola quando atingiu o solo?

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação para a projeção no eixo Y da velocidade instantânea: υy  =  υoy + ay t  (ver § 12-i). Obtemos a igualdade:

υy²  =  ( υoy + ay t )²  =  υoy² + 2 υoy ay t + ay² t²

Vamos tirar o fator  2 ay  dos parênteses apenas para dois termos à direita:

υy²  =  υoy² + 2 ay ( υoy t + ½ ay t² )

Observe que entre parênteses temos uma fórmula para calcular a projeção do deslocamento:  sy = υoy t + ½ ay t². Substituindo por sy, obtemos:

Solução. Vamos fazer um desenho: aponte o eixo Y para cima e coloque a origem no chão aos pés da menina. Vamos aplicar a fórmula que derivamos para o quadrado da projeção da velocidade primeiro no ponto superior da subida da bola:

0 = υoy² + 2 (–g) (+h) ⇒ υoy = ±√¯2gh = +4 m/s

Então, no início do movimento do ponto de cima para baixo:

υy² = 0 + 2 (–g) (–H) ⇒ υy = ±√¯2gh = –6 m/s

Resposta: a bola foi lançada para cima com velocidade de 4 m/s e, no momento do pouso, tinha velocidade de 6 m/s direcionada contra o eixo Y.

Observação. Esperamos que você entenda que a fórmula do quadrado da projeção da velocidade instantânea será verdadeira por analogia para o eixo X:

Se o movimento é unidimensional, ou seja, ocorre apenas ao longo de um eixo, você pode usar qualquer uma das duas fórmulas da estrutura.

§ 12º. Movimento com aceleração constante

Com movimento uniformemente acelerado, as seguintes equações são válidas, que damos sem derivação:

Como você entende, a fórmula vetorial à esquerda e as duas fórmulas escalares à direita são iguais. Do ponto de vista algébrico, as fórmulas escalares significam que com movimento uniformemente acelerado, as projeções de deslocamento dependem do tempo de acordo com uma lei quadrática. Compare isso com a natureza das projeções de velocidade instantânea (ver § 12-h).

Sabendo que s x  = x – x o e s y  = y – y o(ver § 12-e), das duas fórmulas escalares da coluna superior direita obtemos equações para coordenadas:

Como a aceleração durante o movimento uniformemente acelerado do corpo é constante, os eixos coordenados podem sempre ser dispostos de modo que o vetor de aceleração seja direcionado paralelamente a um eixo, por exemplo, o eixo Y. Consequentemente, a equação do movimento ao longo do eixo X será ser visivelmente simplificado:

x  =  x o + υ ox  t  + (0) e y  =  y o + υ oy  t  + ½ a y  t²

Observe que a equação da esquerda coincide com a equação do movimento retilíneo uniforme (ver § 12-g). Significa que movimento uniformemente acelerado pode ser "composto" de movimento uniforme ao longo de um eixo e movimento uniformemente acelerado ao longo do outro. Isso é confirmado pela experiência com a bala de canhão em um iate (ver § 12-b).

Uma tarefa. Esticando os braços, a garota jogou a bola. Ele subiu para 80 cm e logo caiu aos pés da moça, voando 180 cm. Com que velocidade a bola foi lançada e qual a velocidade da bola quando atingiu o solo?

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação para a projeção no eixo Y da velocidade instantânea: υ y  =  υ oy + a y  t(ver § 12-i). Obtemos a igualdade:

υ y ²  =  ( υ oy + a y  t )²  =  υ oy ² + 2 υ oy  a y  t + a y ² t²

Vamos tirar o multiplicador dos colchetes 2 anos para apenas dois termos corretos:

υ y ²  =  υ oy ² + 2 a y  ( υ oy  t + ½ a y  t² )

Observe que entre parênteses obtemos uma fórmula para calcular a projeção de deslocamento: s y = υ oy  t + ½ a y  t². Substituindo-o por s s, Nós temos:

Solução. Vamos fazer um desenho: aponte o eixo Y para cima e coloque a origem no chão aos pés da menina. Vamos aplicar a fórmula que derivamos para o quadrado da projeção da velocidade primeiro no ponto superior da subida da bola:

0 = υ oy ² + 2 (–g) (+h) ⇒ υ oy = ±√¯2gh = +4 m/s

Então, no início do movimento do ponto de cima para baixo:

υ y ² = 0 + 2 (–g) (–H) ⇒ υ y = ±√¯2gh = –6 m/s

Responda: A bola foi lançada para cima com velocidade de 4 m/s, e no momento do pouso tinha uma velocidade de 6 m/s direcionada contra o eixo Y.

Observação. Esperamos que você entenda que a fórmula do quadrado da projeção da velocidade instantânea será verdadeira por analogia para o eixo X.

Esboço da lição sobre o tema "Velocidade em movimento retilíneo com aceleração constante"

a data :

Tema: "Velocidade em movimento retilíneo com aceleração constante"

Metas:

educacional : Proporcionar e formar uma assimilação consciente do conhecimento sobre a velocidade durante o movimento retilíneo com aceleração constante;

Educacional : Continuar a desenvolver habilidades de atividade independente, habilidades de trabalho em grupo.

Educacional : Formato interesse cognitivo a novos conhecimentos; cultivar a disciplina.

Tipo de aula: uma lição para aprender novos conhecimentos

Equipamentos e fontes de informação:

Isachenkova, L. A. Física: livro didático. para 9 células. instituições de geral média educação com russo lang. educação / L. A. Isachenkova, G. V. Palchik, A. A. Sokolsky; ed. A. A. Sokolsky. Minsk: Narodnaya Aveta, 2015

Isachenkova, L. A. Coleção de problemas em física. 9º ano: bolsa para estudantes de instituições gerais. média educação com russo lang. educação / L. A. Isachenkova, G. V. Palchik, V. V. Dorofeychik. Minsk: Aversev, 2016, 2017.

Estrutura da lição:

Momento organizacional (5 min)

Atualização de conhecimentos básicos (5min)

Aprendendo novo material (15 min)

Educação física (2 min)

Consolidação do conhecimento (13min)

Resumo da lição (5 min)

Organizando o tempo

Olá, sente-se! (Verificando os presentes).Hoje na lição temos que lidar com a velocidade em um movimento retilíneo com aceleração constante. E isso significa queTópico da lição : Velocidade em linha reta com aceleração constante

Atualização de conhecimentos básicos

O mais simples de todos os movimentos irregulares - movimento retilíneo com aceleração constante. Chama-se igual.

Como a velocidade de um corpo varia durante o movimento uniforme?

Aprendendo novos materiais

Considere o movimento de uma esfera de aço ao longo de um chute inclinado. A experiência mostra que sua aceleração é quase constante:

Deixar dentro momento do tempo t = 0 a bola tinha uma velocidade inicial (Fig. 83).

Como encontrar a dependência da velocidade da bola no tempo?

aceleração da bolauma = . Em nosso exemploΔt = t , Δ - . Significa,

, Onde

Ao se mover com aceleração constante, a velocidade do corpo depende linearmente Tempo.

Das igualdades ( 1 ) e (2) seguem as fórmulas para projeções:

Vamos construir gráficos de dependênciauma x ( t ) e v x ( t ) (arroz. 84, a, b).

Arroz. 84

De acordo com a figura 83uma X = uma > 0, = v 0 > 0.

Então dependências uma x ( t ) corresponde ao cronograma1 (ver fig. 84, uma). istoreta paralela ao eixo do tempo. Dependênciasv x ( t ) corresponde ao cronograma, descrevendo um aumento na projeçãoem breve deixe de ser criança (ver fig. 84, b). É claro que o crescimentomóduloRapidez. A bola está se movendouniformemente acelerado.

Considere o segundo exemplo (Fig. 85). Agora a velocidade inicial da bola é direcionada para cima ao longo do chute. Movendo-se para cima, a bola vai perdendo velocidade gradualmente. No pontoMAS ele noo momento pára evai começarDeslize para baixo. PontoUMA chamadoponto de inflexão.

De acordo com desenho 85 uma X = - um< 0, = v 0 > 0, e fórmulas (3) e (4) combinar gráficos2 e 2" (cm. arroz. 84, uma , b).

Cronograma 2" mostra que inicialmente, enquanto a bola estava se movendo para cima, a projeção da velocidadev x foi positivo. Também diminuiu com o tempot= tornou-se igual a zero. Neste ponto, a bola atingiu o ponto de viradaUMA (ver fig. 85). Neste ponto, a direção da velocidade da bola mudou para o oposto e not> projeção de velocidade ficou negativa.

Do gráfico 2" (ver fig. 84, b) também pode ser visto que antes do momento de rotação, o módulo de velocidade diminuiu - a bola movida para cima uniformemente desacelerada. Not > t n o módulo de velocidade aumenta - a bola se move para baixo com aceleração uniforme.

Trace seus próprios gráficos de módulo de velocidade versus tempo para ambos os exemplos.

Que outros padrões de movimento uniforme você precisa conhecer?

No § 8 provamos que para movimento retilíneo uniforme, a área da figura entre o gráficov x e o eixo do tempo (ver Fig. 57) é numericamente igual à projeção de deslocamento Δr X . Pode-se mostrar que esta regra também se aplica a movimento irregular. Então, de acordo com a Figura 86, a projeção de deslocamento Δr X com movimento uniformemente alternado é determinado pela área do trapézioABCD . Esta área é metade da soma das basestrapézio multiplicado por sua alturaDE ANÚNCIOS .

Como resultado:

Uma vez que o valor médio da projeção de velocidade da fórmula (5)

segue:

Ao dirigir Comaceleração constante, a relação (6) é satisfeita não apenas para a projeção, mas também para os vetores velocidade:

A velocidade média do movimento com aceleração constante é igual à metade da soma das velocidades inicial e final.

As fórmulas (5), (6) e (7) não podem ser usadaspor movimentos Comaceleração instável. Isso pode levar apara erros grosseiros.

Consolidação do conhecimento

Vamos analisar um exemplo de solução do problema da página 57:

O carro estava se movendo a uma velocidade cujo módulo = 72. Vendo a luz vermelha do semáforo, o motorista na estradas= 50 m velocidade reduzida uniformemente para = 18 . Determine a natureza do movimento do carro. Encontre a direção e o módulo de aceleração com que o carro estava se movendo ao frear.

Dado: Reshe não:

72 = 20 O movimento do carro era igualmente lento. Usco-

carro rêniodirigido opostamente

18 = 5 velocidade de seu movimento.

Módulo de aceleração:

s= 50m

Tempo de desaceleração:

uma - ? Δ t =

Então

Responda:

Resumo da lição

Ao dirigir Comaceleração constante, a velocidade depende linearmente do tempo.

Com o movimento uniformemente acelerado, as direções da velocidade instantânea e da aceleração coincidem, com o movimento uniformemente lento, elas são opostas.

Velocidade média de movimentoComaceleração constante é igual à metade da soma das velocidades inicial e final.

Organização trabalho de casa

§ 12, ex. 7 Nº 1, 5

Reflexão.

Continue as frases:

Hoje na aula aprendi...

Foi interessante…

O conhecimento que recebi na lição será útil

Tráfego. Calor Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

Movimento retilíneo com aceleração constante

Tal movimento ocorre, de acordo com a lei de Newton, quando uma força constante atua sobre o corpo em sua totalidade, impulsionando ou desacelerando o corpo.

Embora não sejam totalmente precisas, tais condições ocorrem com bastante frequência: um carro em movimento com o motor desligado é freado sob a ação de uma força de atrito aproximadamente constante, um objeto pesado cai de uma altura sob a ação de uma força constante da gravidade.

Conhecendo a magnitude da força resultante, bem como a massa do corpo, encontraremos pela fórmula uma = F/m a quantidade de aceleração. Porque

Onde t- tempo de viagem v- finais e v 0 é a velocidade inicial, então, com a ajuda desta fórmula, é possível responder a várias perguntas dessa natureza, por exemplo: depois de quanto tempo o trem parará se a força de frenagem, a massa do trem e o valor inicial velocidade são conhecidos? A que velocidade o carro acelerará se a força do motor, a força de resistência, a massa do carro e o tempo de aceleração forem conhecidos?

Frequentemente estamos interessados ​​em saber o comprimento do caminho percorrido pelo corpo em movimento uniformemente acelerado. Se o movimento for uniforme, a distância percorrida é calculada multiplicando a velocidade do movimento pelo tempo do movimento. Se o movimento for uniformemente acelerado, a distância percorrida é calculada como se o corpo estivesse se movendo ao mesmo tempo. t uniformemente com uma velocidade igual à metade da soma das velocidades inicial e final:

Assim, com movimento uniformemente acelerado (ou desacelerado), o caminho percorrido pelo corpo é igual ao produto da metade da soma das velocidades inicial e final e o tempo do movimento. A mesma distância teria sido percorrida no mesmo tempo Movimento uniforme com velocidade (1/2)( v 0 + v). Nesse sentido, cerca de (1/2)( v 0 + v) pode ser dito velocidade média movimento uniformemente acelerado.

É útil elaborar uma fórmula que mostre a dependência da distância percorrida com a aceleração. Substituindo v = v 0 + no na última fórmula, encontramos:

ou, se o movimento ocorrer sem velocidade inicial,

Se em um segundo o corpo passou 5 m, então em dois segundos ele passará (4? 5) m, em três segundos - (9? 5) m, etc. A distância percorrida aumenta com o quadrado do tempo.

De acordo com esta lei, um corpo pesado cai de uma altura. A aceleração de queda livre é g, e a fórmula fica assim:

E se t substituir em segundos.

Se o corpo pudesse cair sem interferência por cerca de 100 segundos, teria percorrido uma distância enorme desde o início da queda - cerca de 50 km. Nesse caso, nos primeiros 10 segundos, apenas (1/2) km será percorrido - é isso que significa movimento acelerado.

Mas que velocidade o corpo desenvolverá ao cair de uma determinada altura? Para responder a essa pergunta, precisamos de fórmulas que relacionem a distância percorrida com a aceleração e a velocidade. Substituindo em S = (1/2)(v 0 + v)t valor do tempo de viagem t = (v ? v 0)/uma, Nós temos:

ou, se a velocidade inicial for zero,

Dez metros é a altura de uma pequena casa de dois ou três andares. Por que é perigoso pular para a Terra do telhado de uma casa assim? Um cálculo simples mostra que a velocidade queda livre atinge o valor v= sqrt(2 9,8 10) m/s = 14 m/s? 50 km/h, mas esta é a velocidade de um carro na cidade.

A resistência do ar não reduzirá muito essa velocidade.

As fórmulas que derivamos são usadas para a maioria dos vários cálculos. Vamos aplicá-los para ver como ocorre o movimento na lua.

O romance de Wells, The First Men in the Moon, conta as surpresas experimentadas pelos viajantes em suas fantásticas caminhadas. Na Lua, a aceleração da gravidade é cerca de 6 vezes menor do que na Terra. Se na Terra um corpo em queda passa 5 m no primeiro segundo, então na Lua ele “flutuará” para baixo apenas 80 cm (a aceleração é de aproximadamente 1,6 m / s 2).

Pulo alto h o tempo dura t= sqrt(2 h/g). Como a aceleração lunar é 6 vezes menor que a terrestre, na Lua você precisará de sqrt(6) para pular? 2,45 vezes mais tempo. Quantas vezes a velocidade final do salto diminui ( v= sqrt(2 gh))?

Na lua, você pode pular com segurança do telhado de um prédio de três andares. A altura de um salto feito com a mesma velocidade inicial aumenta seis vezes (fórmula h = v 2 /(2g)). Um salto que exceda o recorde da Terra estará ao alcance de uma criança.