Ao descrever o movimento de um ponto ao longo de um círculo, caracterizaremos o movimento de um ponto por um ângulo Δφ , que descreve o vetor raio do ponto no tempo Δt. Deslocamento angular em um intervalo de tempo infinitesimal dt denotado dφ.

O deslocamento angular é uma grandeza vetorial. A direção do vetor (ou ) é determinada de acordo com a regra da verruma: se você girar a verruma (parafuso com rosca direita) na direção do movimento do ponto, então a verruma se moverá na direção do ângulo vetor de deslocamento. Na fig. 14 ponto M se move no sentido horário, se você olhar para o plano de movimento de baixo. Se você girar a verruma nessa direção, o vetor será direcionado para cima.

Assim, a direção do vetor de deslocamento angular é determinada pela escolha do sentido de rotação positivo. O sentido de rotação positivo é determinado pela regra do gimlet com roscas à direita. No entanto, com o mesmo sucesso, foi possível pegar um verruma com um fio à esquerda. Neste caso, a direção do vetor deslocamento angular seria oposta.

Ao considerar quantidades como velocidade, aceleração, vetor deslocamento, a questão de escolher sua direção não surgiu: foi determinada de maneira natural a partir da natureza das próprias quantidades. Esses vetores são chamados polares. Vetores semelhantes ao vetor deslocamento angular são chamados axial, ou pseudovetores. A direção do vetor axial é determinada pela escolha do sentido de rotação positivo. Além disso, o vetor axial não possui ponto de aplicação. Vetores polares, que consideramos até agora, são aplicados a um ponto em movimento. Para um vetor axial, você só pode especificar a direção (eixo, eixo - lat.), ao longo da qual ele é direcionado. O eixo ao longo do qual o vetor de deslocamento angular é direcionado é perpendicular ao plano de rotação. Normalmente, o vetor deslocamento angular é representado em um eixo que passa pelo centro do círculo (Fig. 14), embora possa ser desenhado em qualquer lugar, inclusive em um eixo que passa pelo ponto em questão.

No sistema SI, os ângulos são medidos em radianos. Um radiano é um ângulo cujo comprimento do arco é igual ao raio do círculo. Assim, o ângulo total (360 0) é 2π radianos.

Movendo um ponto em torno de um círculo

Velocidade angularé uma quantidade vetorial numericamente igual ao ângulo de rotação por unidade de tempo. A velocidade angular é geralmente denotada pela letra grega ω. Por definição, a velocidade angular é a derivada de um ângulo em relação ao tempo:

. (19)

A direção do vetor velocidade angular coincide com a direção do vetor deslocamento angular (Fig. 14). O vetor velocidade angular, como o vetor deslocamento angular, é um vetor axial.

A unidade de velocidade angular é rad/s.

A rotação com velocidade angular constante é chamada de uniforme, enquanto ω = φ/t.

A rotação uniforme pode ser caracterizada pelo período de revolução T, que é entendido como o tempo durante o qual o corpo faz uma revolução, ou seja, gira em um ângulo de 2π. Como o intervalo de tempo Δt = Т corresponde ao ângulo de rotação Δφ = 2π, então

(20)

O número de revoluções por unidade de tempo ν é obviamente igual a:

(21)

O valor de ν é medido em hertz (Hz). Um hertz é uma revolução por segundo, ou 2π rad/s.

Os conceitos de período de revolução e número de revoluções por unidade de tempo também podem ser retidos para rotação não uniforme, entendendo-se pelo valor instantâneo T o tempo durante o qual o corpo completaria uma revolução se girasse uniformemente com um dado valor instantâneo da velocidade angular, e por ν, entendendo esse número de revoluções que um corpo faria por unidade de tempo em condições semelhantes.

Se a velocidade angular muda com o tempo, então a rotação é chamada de não uniforme. Neste caso, digite aceleração angular da mesma forma que a aceleração linear foi introduzida para o movimento retilíneo. A aceleração angular é a mudança na velocidade angular por unidade de tempo, calculada como a derivada da velocidade angular em relação ao tempo ou a segunda derivada do deslocamento angular em relação ao tempo:

(22)

Assim como a velocidade angular, a aceleração angular é uma grandeza vetorial. O vetor aceleração angular é um vetor axial, no caso de rotação acelerada é direcionado na mesma direção do vetor velocidade angular (Fig. 14); no caso de rotação lenta, o vetor de aceleração angular é direcionado em sentido oposto ao vetor de velocidade angular.

Com igualmente variável movimento rotativo existem relações semelhantes às fórmulas (10) e (11), que descrevem o movimento retilíneo uniformemente variável:

ω = ω 0 ± εt,

.

Movimento circular.

1. Movimento uniforme em círculo

2. Velocidade angular do movimento de rotação.

3.Período de rotação.

4.Frequência de rotação.

5.Comunicação velocidade linear do canto.

6. Aceleração centrípeta.

7. Movimento igualmente variável em círculo.

8. Aceleração angular em movimento uniforme em círculo.

9. Aceleração tangencial.

10. A lei do movimento uniformemente acelerado em um círculo.

11. Velocidade angular média em movimento uniformemente acelerado ao redor da circunferência.

12. Fórmulas que estabelecem a relação entre velocidade angular, aceleração angular e ângulo de rotação em movimento uniformemente acelerado em círculo.

1.Movimento circular uniforme- movimento em que ponto material para intervalos iguais de tempo passa segmentos iguais do arco de um círculo, ou seja, um ponto se move ao longo de um círculo com uma velocidade módulo constante. Neste caso, a velocidade é igual à razão entre o arco do círculo passado pelo ponto e o tempo do movimento, ou seja,

e é chamada de velocidade linear do movimento em um círculo.

Como em movimento curvilíneo o vetor velocidade é direcionado tangencialmente ao círculo na direção do movimento (Fig.25).

2. Velocidade angular em Movimento uniforme ao redor da circunferênciaé a razão entre o ângulo de rotação do raio e o tempo de rotação:

No movimento circular uniforme, a velocidade angular é constante. No sistema SI, a velocidade angular é medida em (rad/s). Um radiano está feliz canto central, subtraindo o arco de um círculo com comprimento igual ao raio. ângulo completo contém um radiano, ou seja, em uma revolução, o raio gira em um ângulo de radianos.

3. Período de rotação- o intervalo de tempo T, durante o qual o ponto material dá uma volta completa. No sistema SI, o período é medido em segundos.

4. Frequência de rotaçãoé o número de revoluções por segundo. No sistema SI, a frequência é medida em hertz (1Hz = 1). Um hertz é a frequência na qual uma revolução é feita em um segundo. É fácil imaginar que

Se no tempo t o ponto faz n revoluções ao redor do círculo, então .

Conhecendo o período e a frequência de rotação, a velocidade angular pode ser calculada pela fórmula:

5 Relação entre velocidade linear e velocidade angular. O comprimento do arco de um círculo é onde o ângulo central, expresso em radianos, subtendendo o arco é o raio do círculo. Agora escrevemos a velocidade linear na forma

Muitas vezes é conveniente usar fórmulas: ou A velocidade angular é frequentemente chamada de frequência cíclica, e a frequência é chamada de frequência linear.

6. aceleração centrípeta. No movimento uniforme ao longo de um círculo, o módulo de velocidade permanece inalterado e sua direção está mudando constantemente (Fig. 26). Isso significa que um corpo movendo-se uniformemente em um círculo experimenta uma aceleração que é direcionada para o centro e é chamada de aceleração centrípeta.

Deixe um caminho igual ao arco de um círculo passar por um período de tempo. Vamos mover o vetor , deixando-o paralelo a si mesmo, de modo que seu início coincida com o início do vetor no ponto B. O módulo de variação da velocidade é igual a , e o módulo de aceleração centrípeta é igual a

Na Fig. 26, os triângulos AOB e DVS são isósceles e os ângulos nos vértices O e B são iguais, pois os ângulos com lados perpendiculares AO e OB Isso significa que os triângulos AOB e ICE são semelhantes. Portanto, se isto é, o intervalo de tempo assume valores arbitrariamente pequenos, então o arco pode ser considerado aproximadamente igual à corda AB, ou seja, . Portanto, podemos escrever Considerando que VD= , OA=R obtemos Multiplicando ambas as partes da última igualdade por , obteremos ainda a expressão para o módulo da aceleração centrípeta em movimento uniforme em um círculo: . Dado que obtemos duas fórmulas frequentemente usadas:

Assim, em movimento uniforme ao longo de um círculo, a aceleração centrípeta é constante em valor absoluto.

É fácil descobrir que no limite em , ângulo . Isso significa que os ângulos na base do DS do triângulo ICE tendem para o valor , e o vetor de mudança de velocidade se torna perpendicular ao vetor de velocidade , ou seja, dirigido ao longo do raio em direção ao centro do círculo.

7. Movimento circular uniforme- movimento em círculo, no qual, por intervalos de tempo iguais, a velocidade angular varia na mesma proporção.

8. Aceleração angular em movimento circular uniformeé a razão entre a mudança na velocidade angular e o intervalo de tempo durante o qual essa mudança ocorreu, ou seja,

Onde valor inicial velocidade angular, o valor final da velocidade angular, aceleração angular, no sistema SI é medido em. Da última igualdade obtemos fórmulas para calcular a velocidade angular

E se .

Multiplicando ambas as partes dessas igualdades por e levando em conta que , é a aceleração tangencial, ou seja. aceleração direcionada tangencialmente ao círculo, obtemos fórmulas para calcular a velocidade linear:

E se .

9. Aceleração tangencialé numericamente igual à variação da velocidade por unidade de tempo e é direcionada ao longo da tangente ao círculo. Se >0, >0, então o movimento é uniformemente acelerado. Se um<0 и <0 – движение.

10. Lei do movimento uniformemente acelerado em um círculo. O caminho percorrido ao longo do círculo no tempo em movimento uniformemente acelerado é calculado pela fórmula:

Substituindo aqui , , reduzindo por , obtemos a lei do movimento uniformemente acelerado em um círculo:

Ou se .

Se o movimento for uniformemente desacelerado, ou seja,<0, то

11.Aceleração total em movimento circular uniformemente acelerado. No movimento uniformemente acelerado em um círculo, a aceleração centrípeta aumenta com o tempo, porque devido à aceleração tangencial, a velocidade linear aumenta. Muitas vezes a aceleração centrípeta é chamada normal e denotada como . Uma vez que a aceleração total no momento é determinada pelo teorema de Pitágoras (Fig. 27).

12. Velocidade angular média em movimento uniformemente acelerado em um círculo. A velocidade linear média em movimento uniformemente acelerado em um círculo é igual a . Substituindo aqui e reduzindo por temos

Se então .

12. Fórmulas que estabelecem a relação entre velocidade angular, aceleração angular e ângulo de rotação em movimento uniformemente acelerado em círculo.

Substituindo na fórmula as quantidades , , , ,

e reduzindo por , obtemos

Aula - 4. Dinâmica.

1. Dinâmica

2. Interação dos corpos.

3. Inércia. O princípio da inércia.

4. Primeira lei de Newton.

5. Ponto de material gratuito.

6. Referencial inercial.

7. Referencial não inercial.

8. O princípio da relatividade de Galileu.

9. Transformações galileanas.

11. Adição de forças.

13. Densidade de substâncias.

14. Centro de massa.

15. Segunda lei de Newton.

16. Unidade de medida de força.

17. Terceira lei de Newton

1. Dinâmica existe um ramo da mecânica que estuda o movimento mecânico, dependendo das forças que causam uma mudança nesse movimento.

2.Interações corporais. Os corpos podem interagir tanto com contato direto quanto à distância através de um tipo especial de matéria chamado campo físico.

Por exemplo, todos os corpos são atraídos uns pelos outros e essa atração é realizada por meio de um campo gravitacional, e as forças de atração são chamadas de gravitacionais.

Corpos que carregam uma carga elétrica interagem através de um campo elétrico. As correntes elétricas interagem através de um campo magnético. Essas forças são chamadas eletromagnéticas.

As partículas elementares interagem através de campos nucleares e essas forças são chamadas de nucleares.

3.Inércia. No século IV. BC e. O filósofo grego Aristóteles argumentou que a causa do movimento de um corpo é uma força que atua de outro corpo ou corpos. Ao mesmo tempo, de acordo com o movimento de Aristóteles, uma força constante confere uma velocidade constante ao corpo e, com o término da força, o movimento para.

No século 16 O físico italiano Galileu Galilei, realizando experimentos com corpos rolando em um plano inclinado e com corpos em queda, mostrou que uma força constante (neste caso, o peso do corpo) confere aceleração ao corpo.

Assim, com base em experimentos, Galileu mostrou que a força é a causa da aceleração dos corpos. Vamos apresentar o raciocínio de Galileu. Deixe uma bola muito lisa rolar em um plano horizontal liso. Se nada interferir com a bola, ela pode rolar indefinidamente. Se, no caminho da bola, uma fina camada de areia for derramada, ela parará muito em breve, porque. a força de atrito da areia agiu sobre ele.

Assim, Galileu chegou à formulação do princípio da inércia, segundo o qual um corpo material mantém um estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme, se forças externas não atuarem sobre ele. Muitas vezes essa propriedade da matéria é chamada de inércia, e o movimento de um corpo sem influências externas é chamado de inércia.

4. A primeira lei de Newton. Em 1687, baseado no princípio da inércia de Galileu, Newton formulou a primeira lei da dinâmica - a primeira lei de Newton:

Um ponto material (corpo) está em estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme, se nenhum outro corpo agir sobre ele, ou se as forças agindo de outros corpos estiverem equilibradas, ou seja, compensado.

5.Ponto de material gratuito- um ponto material, que não é afetado por outros corpos. Às vezes eles dizem - um ponto material isolado.

6. Sistema de Referência Inercial (ISO)- um sistema de referência, em relação ao qual um ponto material isolado se move em linha reta e uniformemente, ou está em repouso.

Qualquer quadro de referência que se mova de forma uniforme e retilínea em relação ao ISO é inercial,

Aqui está mais uma formulação da primeira lei de Newton: Existem referenciais, em relação aos quais um ponto material livre se move em linha reta e uniformemente, ou está em repouso. Tais referenciais são chamados de inerciais. Muitas vezes, a primeira lei de Newton é chamada de lei da inércia.

A primeira lei de Newton também pode receber a seguinte formulação: qualquer corpo material resiste a uma mudança em sua velocidade. Essa propriedade da matéria é chamada de inércia.

Encontramos a manifestação desta lei todos os dias no transporte urbano. Quando o ônibus ganha velocidade bruscamente, somos pressionados contra o encosto do banco. Quando o ônibus desacelera, nosso corpo derrapa na direção do ônibus.

7. Referencial não inercial - um quadro de referência que se move não uniformemente em relação ao ISO.

Um corpo que, em relação a ISO, está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Em relação a um referencial não inercial, ele se move de forma não uniforme.

Qualquer referencial rotativo é um referencial não inercial, pois neste sistema, o corpo experimenta aceleração centrípeta.

Não há órgãos na natureza e tecnologia que possam servir como ISO. Por exemplo, a Terra gira em torno de seu eixo e qualquer corpo em sua superfície experimenta aceleração centrípeta. No entanto, por períodos de tempo bastante curtos, o sistema de referência associado à superfície da Terra pode ser considerado, de forma aproximada, o ISO.

8.Princípio da relatividade de Galileu. ISO pode ser sal que você gosta muito. Portanto, surge a pergunta: como os mesmos fenômenos mecânicos aparecem em diferentes ISOs? É possível, usando fenômenos mecânicos, detectar o movimento do IFR em que eles são observados.

A resposta a essas perguntas é dada pelo princípio da relatividade da mecânica clássica, descoberto por Galileu.

O significado do princípio da relatividade da mecânica clássica é a afirmação: todos os fenômenos mecânicos procedem exatamente da mesma maneira em todos os referenciais inerciais.

Este princípio também pode ser formulado da seguinte forma: todas as leis da mecânica clássica são expressas pelas mesmas fórmulas matemáticas. Em outras palavras, nenhum experimento mecânico nos ajudará a detectar o movimento do ISO. Isso significa que tentar detectar o movimento do ISO não tem sentido.

Encontramos a manifestação do princípio da relatividade enquanto viajamos em trens. No momento em que nosso trem para na estação, e o trem que estava parado na pista vizinha começa a se mover lentamente, então nos primeiros momentos nos parece que nosso trem está se movendo. Mas também acontece o contrário, quando o nosso comboio vai ganhando velocidade, parece-nos que o comboio vizinho começou a andar.

No exemplo acima, o princípio da relatividade se manifesta em pequenos intervalos de tempo. Com o aumento da velocidade, começamos a sentir choques e balanços do carro, ou seja, nosso referencial torna-se não inercial.

Portanto, a tentativa de detectar o movimento do ISO não tem sentido. Portanto, é absolutamente indiferente qual IFR é considerada fixa e qual está em movimento.

9. Transformações galileanas. Deixe dois IFRs e movam-se um em relação ao outro com uma velocidade . De acordo com o princípio da relatividade, podemos supor que o IFR K é imóvel e o IFR se move relativamente a uma velocidade de . Por simplicidade, assumimos que os eixos coordenados correspondentes dos sistemas e são paralelos, e os eixos e coincidem. Deixe os sistemas coincidirem na hora de início e o movimento ocorre ao longo dos eixos e , ou seja. (Fig.28)

Lei. Todos os movimentos ocorrem da mesma maneira em referenciais em repouso, ou movendo-se um em relação ao outro com velocidade constante. Este é o princípio da mesmice ou equivalência dos referenciais inerciais ou o princípio da independência de Galileu.

Leis gerais do movimento

1 Lei. Se nenhum outro corpo atua sobre o corpo, ele mantém um estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme. Esta é a lei da inércia, a primeira lei de Newton.

3 Lei. Todos os movimentos de um corpo material ocorrem independentemente uns dos outros e são somados como quantidades vetoriais. Assim, qualquer corpo na Terra participa simultaneamente do movimento do Sol com os planetas ao redor do Centro da Galáxia a uma velocidade de cerca de 200 km / s, no movimento da Terra em órbita a uma velocidade de cerca de 30 km / s, na rotação da Terra em torno de seu eixo a uma velocidade de até 400 m/s e possivelmente em outros movimentos. Acontece uma trajetória curvilínea muito intrincada!

Se o corpo é lançado com uma velocidade inicial Vo, em um ângulo a em relação ao horizonte, então o alcance de voo -S é calculado pela fórmula:

S = 2 V*SIN(a) * COS(a)/g = V*SIN(2a)/g

Alcance máximo a =45 graus. A altitude máxima de voo -h é calculada pela fórmula:

h = V* SIN(a)/2g

Ambas estas fórmulas pode ser obtido se levarmos em conta que a componente vertical Vo*SIN(a), e o Vo horizontal * COS(a), V=g*t, t=V/g.

Vamos fazer uma substituição na fórmula principal para a altura

h = gt/2 = g* (V/g)/2 = V/2g = V* SIN(a)/2g.

Esta é a fórmula necessária. A altura máxima quando lançada verticalmente para cima, enquanto

a=90 graus, SIN(a)=1; h = V*/2g

Para derivar a fórmula de alcance de voo, o componente horizontal deve ser multiplicado por duas vezes o tempo de queda de uma altura h. Se a resistência do ar for levada em consideração, o caminho será mais curto. Para um projétil, por exemplo, quase duas vezes. O mesmo alcance corresponderá a dois ângulos de lançamento diferentes.

Fig.11 Trajetórias de voo de um corpo lançado em ângulo em relação ao horizonte. A figura da direita é um movimento circular.

w- Velocidade angular de um corpo em rotação; radiano/s

b - Posição angular do corpo giratório; radianos ou graus em torno de um eixo. Um radiano é o ângulo em que um arco igual ao raio do círculo é visível a partir do centro do círculo, respectivamente rad \u003d 360 / 6,28 \u003d 57,32 graus

a - a aceleração angular é medida em rad/s 2

b = bо + w * t, Movimento angular de bo.

S = b*R - Movimento linear em um círculo de raio R.

w \u003d (b - bо) / (t -to); - Velocidade angular . V = w * R - Velocidade do círculo

T = 2*p/w =2*p*R/V Portanto V = 2*p*R/T

a = ao + w/t - aceleração angular. A aceleração angular é determinada pela força tangencial e na sua ausência haverá um movimento uniforme do corpo em um círculo. Neste caso, a aceleração centrípeta atua sobre o corpo, que durante a revolução altera a velocidade em 2*p vezes. Seu valor é determinado pela fórmula. a =DV/T =2*p*V/2*p*R/V =V/R

Os valores médios de velocidade e aceleração não permitem calcular a posição do corpo em caso de movimento irregular. Para isso, é necessário conhecer os valores de velocidade e aceleração em curtos períodos de tempo ou valores instantâneos. Os valores instantâneos são determinados por meio de derivativos ou diferenciais.

Como a velocidade linear muda uniformemente de direção, então o movimento ao longo do círculo não pode ser chamado de uniforme, ele é uniformemente acelerado.

Velocidade angular

Escolha um ponto no círculo 1 . Vamos construir um raio. Por uma unidade de tempo, o ponto se moverá para o ponto 2 . Neste caso, o raio descreve o ângulo. A velocidade angular é numericamente igual ao ângulo de rotação do raio por unidade de tempo.

Período e frequência

Período de rotação Té o tempo que o corpo leva para fazer uma revolução.

RPM é o número de revoluções por segundo.

A frequência e o período estão relacionados pela relação

Relação com a velocidade angular

Velocidade da linha

Cada ponto do círculo se move com alguma velocidade. Essa velocidade é chamada de linear. A direção do vetor velocidade linear sempre coincide com a tangente ao círculo. Por exemplo, faíscas sob um moedor se movem, repetindo a direção da velocidade instantânea.

Considere um ponto em um círculo que faz uma revolução, o tempo gasto - este é o período T. O caminho percorrido por um ponto é a circunferência de um círculo.

aceleração centrípeta

Ao se mover ao longo de um círculo, o vetor aceleração é sempre perpendicular ao vetor velocidade, direcionado ao centro do círculo.

Usando as fórmulas anteriores, podemos derivar as seguintes relações

Pontos situados na mesma linha reta que emana do centro do círculo (por exemplo, podem ser pontos que ficam no raio da roda) terão as mesmas velocidades angulares, período e frequência. Ou seja, eles vão girar da mesma forma, mas com velocidades lineares diferentes. Quanto mais longe o ponto estiver do centro, mais rápido ele se moverá.

A lei da adição de velocidades também é válida para o movimento rotacional. Se o movimento de um corpo ou referencial não é uniforme, então a lei se aplica a velocidades instantâneas. Por exemplo, a velocidade de uma pessoa caminhando ao longo da borda de um carrossel giratório é igual à soma vetorial da velocidade linear de rotação da borda do carrossel e a velocidade da pessoa.

A Terra participa de dois movimentos rotacionais principais: diário (em torno de seu eixo) e orbital (em torno do Sol). O período de rotação da Terra em torno do Sol é de 1 ano ou 365 dias. A Terra gira em torno de seu eixo de oeste para leste, o período dessa rotação é de 1 dia ou 24 horas. Latitude é o ângulo entre o plano do equador e a direção do centro da Terra até um ponto em sua superfície.

De acordo com a segunda lei de Newton, a causa de qualquer aceleração é uma força. Se um corpo em movimento experimenta aceleração centrípeta, então a natureza das forças que causam essa aceleração pode ser diferente. Por exemplo, se um corpo se move em círculo em uma corda amarrada a ele, a força atuante é a força elástica.

Se um corpo sobre um disco gira junto com o disco em torno de seu eixo, essa força é a força de atrito. Se a força parar de agir, o corpo continuará a se mover em linha reta

Considere o movimento de um ponto em um círculo de A a B. A velocidade linear é igual a v A e vB respectivamente. Aceleração é a variação da velocidade por unidade de tempo. Vamos encontrar a diferença de vetores.