Vamos aplicar um vetor de direção
ao ponto
. Distância a partir do ponto
para em linha reta é a altura do paralelogramo construído sobre os vetores e
. Encontre a área do paralelogramo usando o produto vetorial:

Por outro lado, . Segue da igualdade dos lados direitos das duas últimas relações que

. (3.27)

3.10. Elipsóide

Definição. Elipsóideé chamada de superfície de segunda ordem, que em algum sistema de coordenadas é definida pela equação

. (3.28)

A equação (3.28) é chamada de equação canônica do elipsóide.

Da equação (3.28) segue-se que os planos de coordenadas são os planos de simetria do elipsóide, e a origem das coordenadas é o centro de simetria. Números
são chamados de semi-eixos do elipsóide e são os comprimentos dos segmentos desde a origem até a interseção do elipsóide com os eixos coordenados. Um elipsóide é uma superfície limitada delimitada por um paralelepípedo
,
,
.

Defina a vista geométrica do elipsóide. Para fazer isso, descubra a forma das linhas de interseção de seus planos paralelos aos eixos coordenados.

Para definição, considere as linhas de interseção do elipsóide com os planos
, paralelo ao plano
. A equação da projeção da linha de interseção no plano
é obtido de (3.28) se colocarmos nele
. A equação desta projeção tem a forma

. (3.29)

Se um
, então (3.29) é a equação da elipse imaginária e os pontos de interseção do elipsóide com o plano
não. Daí segue que
. Se um
, então a linha (3.29) degenera em pontos, ou seja, planos
tocar o elipsóide em pontos
e
. Se um
, então
e podemos introduzir a notação

,
. (3.30)

Então a equação (3.29) assume a forma

, (3.31)

ou seja, projeção em um plano
linhas de intersecção de um elipsóide e um plano
é uma elipse com semieixos definidos por igualdades (3.30). Como a linha de interseção da superfície com os planos paralelos aos coordenados é uma projeção “elevada” a uma altura , então a própria linha de interseção é uma elipse.

Ao diminuir o valor semi-eixos e aumentam e atingem seu valor máximo em
, ou seja, na seção do elipsóide pelo plano coordenado
verifica-se a maior elipse com semieixos
e
.

O conceito de elipsóide pode ser obtido de outra maneira. Considere em um avião
família de elipses (3.31) com semieixos e determinado por relações (3.30) e dependendo . Cada uma dessas elipses é uma linha de nível, isto é, uma linha em cada ponto da qual o valor igualmente. "Elevar" cada uma dessas elipses a uma altura , obtemos uma visão espacial do elipsóide.

Uma imagem semelhante é obtida quando a superfície dada é interceptada por planos paralelos aos planos de coordenadas
e
.

Assim, um elipsóide é uma superfície elíptica fechada. Quando
o elipsóide é uma esfera.

A linha de intersecção de um elipsóide com qualquer plano é uma elipse, pois tal linha é uma linha limitada de segunda ordem, e a única linha limitada de segunda ordem é uma elipse.

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Isso significa encontrar o ângulo entre essa linha e sua projeção no plano dado.

Um modelo espacial que ilustra o problema é mostrado na figura.

Plano de solução de tarefa:
1. De um ponto arbitrário UMA∈uma baixar a perpendicular ao plano α ;
2. Determine o ponto de encontro desta perpendicular com o plano α . Ponto Aα- projeção ortogonal UMA para o avião α ;
3. Encontre o ponto de interseção da linha uma com avião α . Ponto um α- trace direto uma na superfície α ;
4. Gastamos ( A α a α) - projeção de uma linha reta uma para o avião α ;
5. Determine o valor real ∠ Aa α A α, ou seja, ∠ φ .

A solução do problema encontrar o ângulo entre uma linha e um plano pode ser bastante simplificado se não se definir ∠ φ entre uma linha reta e um plano, e complementando a 90 ° ∠ γ . Neste caso, não há necessidade de determinar a projeção do ponto UMA e projeções de uma linha reta uma para o avião α . Conhecendo a grandeza γ , calculado pela fórmula:

$ φ = 90° - γ $

uma e avião α dado por linhas paralelas m e n.

uma α
Rotação na horizontal dado por pontos 5 e 6 determinamos o valor natural ∠ γ . Conhecendo a grandeza γ , calculado pela fórmula:

$ φ = 90° - γ $

Determinando o ângulo entre uma linha uma e avião α dado pelo triângulo BCD.

De um ponto arbitrário em uma linha uma soltar uma perpendicular ao plano α
Pela rotação em torno da horizontal dada pelos pontos 3 e 4, determinamos o valor natural ∠ γ . Conhecendo a grandeza γ , calculado pela fórmula.

O artigo começa com a definição do ângulo entre uma linha e um plano. Este artigo mostrará como encontrar o ângulo entre uma linha reta e um plano usando o método de coordenadas. A solução de exemplos e tarefas será considerada em detalhe.

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Em primeiro lugar, é necessário repetir o conceito de linha reta no espaço e o conceito de plano. Para determinar o ângulo entre uma linha e um plano, várias definições auxiliares são necessárias. Vamos considerar essas definições em detalhes.

Definição 1

Linha e plano se cruzam quando eles tiverem um ponto comum, ou seja, é o ponto de intersecção da linha e do plano.

Uma linha que cruza um plano pode ser perpendicular ao plano.

Definição 2

A linha é perpendicular ao plano quando é perpendicular a qualquer linha nesse plano.

Definição 3

Projeção do ponto M em um planoγ é o próprio ponto se estiver em dado avião, ou é o ponto de intersecção do plano com uma reta perpendicular ao plano γ que passa pelo ponto M, desde que não pertença ao plano γ.

Definição 4

Projeção de uma linha reta a em um planoγ é o conjunto de projeções de todos os pontos da linha dada no plano.

Disso obtemos que a projeção de uma reta perpendicular ao plano γ tem um ponto de interseção. Obtemos que a projeção da reta a é uma reta pertencente ao plano γ e que passa pelo ponto de interseção da reta a com o plano. Considere a figura abaixo.

No este momento temos todas as informações e dados necessários para formular a definição do ângulo entre uma linha reta e um plano

Definição 5

Ângulo entre a linha e o plano chamado de ângulo entre esta linha e sua projeção neste plano, e a linha não é perpendicular a ela.

A definição do ângulo dada acima ajuda a concluir que o ângulo entre uma linha e um plano é o ângulo entre duas linhas que se cruzam, ou seja, uma determinada linha juntamente com sua projeção no plano. Isso significa que o ângulo entre eles será sempre agudo. Vejamos a imagem abaixo.

O ângulo localizado entre uma linha e um plano é considerado reto, ou seja, igual a 90 graus, e o ângulo localizado entre linhas paralelas não é definido. Há casos em que seu valor é tomado igual a zero.

Tarefas onde é necessário encontrar o ângulo entre uma linha reta e um plano possuem muitas variações da solução. O curso da solução em si depende dos dados disponíveis sobre a condição. Companheiros freqüentes da solução são sinais de semelhança ou igualdade de figuras, cossenos, senos, tangentes de ângulos. Encontrar o ângulo é possível usando o método de coordenadas. Vamos considerá-lo com mais detalhes.

Se um sistema de coordenadas retangular é introduzido no espaço tridimensional sobre x y z, então uma linha reta a é definida nele, cruzando o plano γ no ponto M, e não é perpendicular ao plano. É necessário encontrar o ângulo α localizado entre a reta dada e o plano.

Primeiro você precisa aplicar a definição do ângulo entre a linha e o plano usando o método de coordenadas. Então obtemos o seguinte.

No sistema de coordenadas O x y z, é dada uma reta a, à qual correspondem as equações da reta no espaço e o vetor diretor do espaço direto, para o plano γ corresponde a equação do plano e o vetor normal de o avião. Então a → = (a x , a y , a z) é o vetor direcional da reta dada a , e n → (n x , n y , n z) é o vetor normal para o plano γ . Se imaginarmos que temos as coordenadas do vetor diretor da reta a e do vetor normal do plano γ, então suas equações são conhecidas, ou seja, são dadas por condição, então é possível determinar os vetores a → e n → , com base na equação.

Para calcular o ângulo, você precisa transformar a fórmula que permite obter o valor desse ângulo usando as coordenadas disponíveis do vetor de direção do vetor direto e normal.

É necessário adiar os vetores a → e n → , partindo do ponto de interseção da reta a com o plano γ . Existem 4 opções para a localização desses vetores em relação às linhas e planos fornecidos. Considere a imagem abaixo, que tem todas as 4 variações.

A partir daqui temos que o ângulo entre os vetores a → e n → tem a designação a → , n → ^ e é agudo, então o ângulo desejado αlocalizado entre a linha e o plano é complementado, ou seja, obtemos uma expressão de a forma a → , n → ^ = 90 ° - α . Quando pela condição a → , n → ^ > 90 ° , então temos a → , n → ^ = 90 ° + α .

Portanto, temos que os cossenos ângulos iguais são iguais, então as últimas igualdades são escritas como um sistema

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Você deve usar fórmulas de conversão para simplificar expressões. Então obtemos igualdades da forma cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°.

Após as transformações, o sistema assume a forma sen α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sen α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sen α = -cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Disto obtemos que o seno do ângulo entre a reta e o plano é igual ao módulo do cosseno do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano dado.

A seção sobre encontrar o ângulo formado por dois vetores revelou que esse ângulo assume o valor do produto escalar dos vetores e o produto desses comprimentos. O processo de cálculo do seno do ângulo obtido pela interseção de uma linha reta e um plano é realizado pela fórmula

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Isso significa que a fórmula para calcular o ângulo entre uma linha e um plano com as coordenadas do vetor diretor da linha e o vetor normal do plano após a transformação acaba sendo

α = a r c sen a → , n → ^ a → n → = a r c sen a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Encontrar o cosseno com um seno conhecido é permitido aplicando o básico identidade trigonométrica. A interseção de uma linha e um plano forma canto afiado. Isso sugere que seu valor será um número positivo e seu cálculo é feito a partir da fórmula cos α \u003d 1 - sin α.

Vamos resolver vários exemplos semelhantes para consolidar o material.

Exemplo 1

Encontre o ângulo, seno, cosseno do ângulo formado pela linha reta x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 e o ​​plano 2 x + z - 1 = 0 .

Solução

Para obter as coordenadas do vetor diretor, é necessário considerar as equações canônicas da reta no espaço. Então temos que a → = (3, - 2, 6) é o vetor diretor da linha x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 .

Para encontrar as coordenadas do vetor normal, é necessário considerar a equação geral do plano, pois sua presença é determinada pelos coeficientes disponíveis na frente de variáveis ​​de equação. Então temos que para o plano 2 x + z - 1 = 0 o vetor normal tem a forma n → = (2 , 0 , 1) .

É necessário proceder ao cálculo do seno do ângulo entre a linha e o plano. Para fazer isso, é necessário substituir as coordenadas dos vetores a → e b → na fórmula dada. Obtemos uma expressão como

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

A partir daqui encontramos o valor do cosseno e o valor do próprio ângulo. Nós temos:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Responda: sen α = 12 7 5 , cos α = 101 7 5 , α = a r c cos 101 7 5 = a r c sen 12 7 5 .

Exemplo 2

Existe uma pirâmide construída usando os valores dos vetores A B → = 1 , 0 , 2 , A C → = (- 1 , 3 , 0) , A D → = 4 , 1 , 1 . Encontre o ângulo entre a linha A D e o plano A B C.

Solução

Para calcular o ângulo desejado, é necessário ter os valores das coordenadas do vetor diretor da linha e do vetor normal do plano. para a reta A D o vetor de direção tem coordenadas A D → = 4 , 1 , 1 .

O vetor normal n → pertencente ao plano A B C é perpendicular ao vetor A B → e A C → . Isso implica que o vetor normal do plano A B C pode ser considerado produto vetorial vetores A B → e A C → . Calculamos isso pela fórmula e obtemos:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 i → - 2 j → + 3 k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

É necessário substituir as coordenadas dos vetores para calcular o ângulo desejado formado pela interseção da linha e do plano. obtemos uma expressão como:

α = a r c sen A D → , n → ^ A D → n → = a r c sen 4 - 6 + 1 - 2 + 1 3 4 2 + 1 2 + 1 2 - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Responda: a r c sin 23 21 2 .

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