Prisma truncado quadrangular regular. Prisma

17.10.2019

Elementos de um prisma quadrangular regular

A figura mostra dois prismas quadrangulares regulares, marcados com as letras correspondentes:

As bases ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 são iguais e paralelas entre si
Faces laterais AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C e CC 1 D 1 D, cada uma das quais é um retângulo
Superfície lateral - a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma
Superfície total - a soma das áreas de todas as bases e faces laterais (a soma da área da superfície lateral e das bases)
Costelas laterais AA 1 , BB 1 , CC 1 e DD 1 .
Diagonal B 1 D
Base diagonal BD
Seção diagonal BB 1 D 1 D
Seção perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2 .

Propriedades de um prisma quadrangular regular

As bases são dois quadrados iguais
As bases são paralelas entre si
Os lados são retângulos.
As faces laterais são iguais entre si
As faces laterais são perpendiculares às bases
As costelas laterais são paralelas entre si e iguais
Seção perpendicular perpendicular a todas as nervuras laterais e paralela às bases
Ângulos de seção perpendicular - direito
A seção diagonal de um prisma quadrangular regular é um retângulo
Perpendicular (seção ortogonal) paralela às bases

Fórmulas para um prisma quadrangular regular

Instruções para resolver problemas

Ao resolver problemas sobre o tema " Prisma quadrangular regular" implica que:

Prisma correto- um prisma na base do qual se encontra polígono regular, e as arestas laterais são perpendiculares aos planos de base. Ou seja, um prisma quadrangular regular contém em sua base quadrado. (veja acima as propriedades de um prisma quadrangular regular) Observação. Isso faz parte da lição com tarefas em geometria (seção de geometria sólida - prisma). Aqui estão as tarefas que causam dificuldades na resolução. Se você precisa resolver um problema de geometria, que não está aqui - escreva sobre isso no fórum. Para indicar a ação de extrair raiz quadrada símbolo é usado na resolução de problemas√ .

Uma tarefa.

Em um prisma quadrangular regular, a área da base é 144 cm 2 e a altura é 14 cm. Encontre a diagonal do prisma e a área superfície completa.

Solução.
Um quadrilátero regular é um quadrado.
Assim, o lado da base será igual a

√144 = 12 cm.
De onde a diagonal da base de um prisma retangular regular será igual a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

A diagonal de um prisma regular forma-se com a diagonal da base e a altura do prisma triângulo retângulo. Assim, de acordo com o teorema de Pitágoras, a diagonal de um dado prisma quadrangular regular será igual a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Responda: 22cm

Uma tarefa

Encontre a área total da superfície de um prisma quadrangular regular se sua diagonal for 5 cm e a diagonal da face lateral for 4 cm.

Solução.
Como a base de um prisma quadrangular regular é um quadrado, então o lado da base (indicado como a) é encontrado pelo teorema de Pitágoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

A altura da face lateral (indicada como h) será então igual a:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

A área de superfície total será igual à soma da área de superfície lateral e duas vezes a área de base

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Resposta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Poliedros

O principal objeto de estudo da estereometria são os corpos tridimensionais. Corpoé uma parte do espaço limitada por alguma superfície.

poliedro Um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos é chamado. Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada polígono plano em sua superfície. A parte comum de tal plano e a superfície de um poliedro é chamada borda. As faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. Os lados das faces são chamados bordas do poliedro, e os vértices vértices do poliedro.

Por exemplo, um cubo consiste em seis quadrados que são suas faces. Ele contém 12 arestas (lados dos quadrados) e 8 vértices (vértices dos quadrados).

Os poliedros mais simples são os prismas e as pirâmides, que estudaremos mais adiante.

Prisma

Definição e propriedades de um prisma

prismaé chamado de poliedro consistindo de dois polígonos planos planos paralelos combinados por translação paralela, e todos os segmentos conectando os pontos correspondentes desses polígonos. Os polígonos são chamados bases de prisma, e os segmentos que ligam os vértices correspondentes dos polígonos são bordas laterais do prisma.

Altura do prisma chamado de distância entre os planos de suas bases (). Um segmento que conecta dois vértices de um prisma que não pertencem à mesma face é chamado prisma diagonal(). O prisma é chamado n-carvão se sua base for um n-gon.

Qualquer prisma tem as seguintes propriedades, decorrente do fato de que as bases do prisma são combinadas por uma tradução paralela:

1. As bases do prisma são iguais.

2. As arestas laterais do prisma são paralelas e iguais.

A superfície de um prisma é formada por bases e superfície lateral. A superfície lateral do prisma consiste em paralelogramos (isso decorre das propriedades do prisma). A área da superfície lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais.

prisma reto

O prisma é chamado direto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases. Caso contrário, o prisma é chamado oblíquo.

As faces de um prisma reto são retângulos. A altura de um prisma reto é igual a suas faces laterais.

superfície completa do prismaé a soma da área da superfície lateral e das áreas das bases.

Prisma corretoé chamado de prisma reto com um polígono regular na base.

Teorema 13.1. A área da superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro e a altura do prisma (ou, equivalentemente, à aresta lateral).

Prova. As faces laterais de um prisma reto são retângulos cujas bases são os lados dos polígonos nas bases do prisma e as alturas são as arestas laterais do prisma. Então, por definição, a área de superfície lateral é:

onde é o perímetro da base de um prisma reto.

Paralelepípedo

Se paralelogramos estão nas bases de um prisma, então ele é chamado paralelepípedo. Todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos. Neste caso, as faces opostas do paralelepípedo são paralelas e iguais.

Teorema 13.2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o ponto de interseção é dividido ao meio.

Prova. Considere duas diagonais arbitrárias, por exemplo, e . Porque as faces do paralelepípedo são paralelogramos, então e , o que significa que de acordo com T cerca de duas retas paralelas ao terceiro . Além disso, isso significa que as linhas e estão no mesmo plano (o plano). Este plano intercepta planos paralelos e ao longo de linhas paralelas e . Assim, um quadrilátero é um paralelogramo, e pela propriedade de um paralelogramo, suas diagonais se cruzam e o ponto de interseção é dividido ao meio, o que deveria ser provado.

Um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado cubóide. Todas as faces de um paralelepípedo são retângulos. Os comprimentos das arestas não paralelas de um paralelepípedo são chamados de dimensões lineares(Medidas). Existem três tamanhos (largura, altura, comprimento).

Teorema 13.3. Em um paralelepípedo, o quadrado de qualquer diagonal é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões (comprovado pela aplicação de T pitagórico duas vezes).

cubóide, em que todas as arestas são iguais, é chamado cubo.

Tarefas

13.1 Quantas diagonais tem n- Prisma de carbono

13.2 Em um prisma triangular inclinado, as distâncias entre as arestas laterais são 37, 13 e 40. Encontre a distância entre a face lateral maior e a aresta do lado oposto.

13.3 Através do lado da base inferior de um prisma triangular regular, traça-se um plano que intercepta as faces laterais ao longo de segmentos, cujo ângulo entre os quais é . Encontre o ângulo de inclinação deste plano para a base do prisma.

Informações gerais sobre um prisma reto

A superfície lateral do prisma (mais precisamente, a área de superfície lateral) é chamada somaáreas da face lateral. A superfície total do prisma é igual à soma da superfície lateral e as áreas das bases.

Teorema 19.1. A superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro da base pela altura do prisma, ou seja, o comprimento da aresta lateral.

Prova. As faces laterais de um prisma reto são retângulos. As bases desses retângulos são os lados do polígono situado na base do prisma, e as alturas são iguais ao comprimento das arestas laterais. Daí segue que superfície lateral prisma é

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

onde a 1 e n são os comprimentos das nervuras da base, p é o perímetro da base do prisma e I é o comprimento das nervuras laterais. O teorema foi provado.

Tarefa prática

Tarefa (22) . Em um prisma inclinado seção, perpendicular às arestas laterais e cruzando todas as arestas laterais. Encontre a superfície lateral do prisma se o perímetro da seção for p e as arestas laterais forem l.

Solução. O plano do corte desenhado divide o prisma em duas partes (Fig. 411). Vamos submeter um deles a uma tradução paralela que combine as bases do prisma. Neste caso, obtemos um prisma reto, no qual a seção do prisma original serve como base e as arestas laterais são iguais a l. Este prisma tem a mesma superfície lateral do original. Assim, a superfície lateral do prisma original é igual a pl.

Generalização do tópico

E agora vamos tentar resumir o tópico do prisma e lembrar quais propriedades um prisma tem.

Propriedades do Prisma

Primeiro, para um prisma, todas as suas bases são polígonos iguais;
Em segundo lugar, para um prisma, todas as suas faces laterais são paralelogramos;
Em terceiro lugar, em uma figura multifacetada como um prisma, todas as arestas laterais são iguais;

Além disso, deve-se lembrar que poliedros, como prismas, podem ser retos e inclinados.

O que é um prisma reto?

Se a aresta lateral de um prisma é perpendicular ao plano de sua base, esse prisma é chamado de linha reta.

Não será supérfluo lembrar que as faces laterais de um prisma reto são retângulos.

O que é um prisma oblíquo?

Mas se a borda lateral do prisma não estiver localizada perpendicular ao plano de sua base, podemos dizer com segurança que este é um prisma inclinado.

Qual é o prisma correto?

Se um polígono regular está na base de um prisma reto, esse prisma é regular.

Agora vamos relembrar as propriedades que um prisma regular possui.

Propriedades de um prisma regular

Primeiro, os polígonos regulares sempre servem como bases de um prisma regular;
Em segundo lugar, se considerarmos as faces laterais de um prisma regular, elas são sempre retângulos iguais;
Em terceiro lugar, se compararmos os tamanhos das nervuras laterais, no prisma correto elas serão sempre iguais.
Quarto, um prisma regular é sempre reto;
Em quinto lugar, se em um prisma regular as faces laterais estiverem na forma de quadrados, essa figura, como regra, é chamada de polígono semirregular.

Seção de prisma

Agora vamos olhar para a seção transversal de um prisma:

Trabalho de casa

E agora vamos tentar consolidar o tema estudado resolvendo problemas.

Vamos desenhar um prisma triangular inclinado, no qual a distância entre suas arestas será: 3 cm, 4 cm e 5 cm, e a superfície lateral desse prisma será igual a 60 cm2. Com esses parâmetros, encontre a aresta lateral do prisma dado.

Você sabe que as figuras geométricas constantemente nos cercam não apenas nas aulas de geometria, mas também nas Vida cotidiana há objetos que se assemelham a uma ou outra figura geométrica.

Cada casa, escola ou trabalho tem um computador, Unidade de sistema que tem a forma de um prisma reto.

Se você pegar um lápis simples, verá que a parte principal do lápis é um prisma.

Caminhando pela rua principal da cidade, vemos que sob nossos pés está um azulejo que tem a forma de um prisma hexagonal.

A. V. Pogorelov, Geometria para as séries 7-11, Livro didático para instituições educacionais

Qualquer polígono pode estar na base do prisma - um triângulo, um quadrilátero, etc. Ambas as bases são exatamente as mesmas e, portanto, pelo qual os ângulos das faces paralelas estão conectados entre si, são sempre paralelos. Na base de um prisma regular encontra-se um polígono regular, isto é, aquele em que todos os lados são iguais. Em um prisma reto, as arestas entre as faces laterais são perpendiculares à base. Neste caso, um polígono com qualquer número de ângulos pode estar na base de um prisma reto. Um prisma cuja base é um paralelogramo é chamado de paralelepípedo. Retângulo - caso especial paralelogramo. Se esta figura estiver na base e as faces laterais estiverem localizadas em ângulos retos com a base, o paralelepípedo é chamado de retangular. O segundo nome deste corpo geométrico é retangular.

Como ela se parece

Prismas retangulares cercados homem moderno bastante. Este, por exemplo, é o papelão usual de sapatos, componentes de computador, etc. Olhar em volta. Mesmo em uma sala, você certamente verá muitos prismas retangulares. Isso e caso de computador, e uma livraria, e uma geladeira, e um guarda-roupa, e muitos outros itens. A forma é extremamente popular principalmente porque permite que você use o espaço da maneira mais eficiente possível, seja decorando o interior ou embalando coisas em papelão antes de se mudar.

Propriedades de um prisma retangular

Um prisma retangular tem várias propriedades específicas. Qualquer par de faces pode servir como seu, pois todas as faces adjacentes estão localizadas no mesmo ângulo entre si, e esse ângulo é de 90 °. O volume e a área de superfície de um prisma retangular são mais fáceis de calcular do que qualquer outro. Pegue qualquer objeto que tenha a forma de um prisma retangular. Meça seu comprimento, largura e altura. Para encontrar o volume, basta multiplicar essas medidas. Ou seja, a fórmula fica assim: V \u003d a * b * h, onde V é o volume, a e b são os lados da base, h é a altura que coincide com a borda lateral desse corpo geométrico. A área da base é calculada pela fórmula S1=a*b. Para obter a superfície lateral, você deve primeiro calcular o perímetro da base usando a fórmula P=2(a+b) e depois multiplicá-lo pela altura. Acontece que a fórmula S2=P*h=2(a+b)*h. Para calcular a área total da superfície de um prisma retangular, adicione duas vezes a área da base e a área da superfície lateral. A fórmula é S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

NO currículo escolar no curso da geometria sólida, o estudo de figuras tridimensionais geralmente começa com um corpo geométrico simples - um poliedro de prisma. O papel de suas bases é desempenhado por 2 polígonos iguais dispostos em planos paralelos. Um caso especial é um prisma quadrangular regular. Suas bases são 2 quadriláteros regulares idênticos, aos quais os lados são perpendiculares, tendo a forma de paralelogramos (ou retângulos se o prisma não for inclinado).

Como é um prisma

Um prisma quadrangular regular é um hexágono, em cujas bases existem 2 quadrados, e as faces laterais são representadas por retângulos. Outro nome para isso figura geométrica- um paralelepípedo reto.

A figura, que representa um prisma quadrangular, é mostrada abaixo.

Você também pode ver na imagem elementos essenciais, que compõem o corpo geométrico. Eles são comumente referidos como:

Às vezes, em problemas de geometria, você pode encontrar o conceito de seção. A definição soará assim: uma seção são todos os pontos de um corpo volumétrico que pertencem ao plano de corte. A seção é perpendicular (cruza as bordas da figura em um ângulo de 90 graus). Para um prisma retangular, uma seção diagonal também é considerada ( Quantia máxima seções que podem ser construídas - 2) passando por 2 arestas e diagonais da base.

Se a seção for desenhada de tal forma que o plano de corte não seja paralelo às bases nem às faces laterais, o resultado é um prisma truncado.

Várias razões e fórmulas são usadas para encontrar os elementos prismáticos reduzidos. Alguns deles são conhecidos no curso de planimetria (por exemplo, para encontrar a área da base de um prisma, basta lembrar a fórmula da área de um quadrado).

Superfície e volume

Para determinar o volume de um prisma usando a fórmula, você precisa conhecer a área de base e altura:

V = Sprim h

Como a base de um prisma tetraédrico regular é um quadrado de lado uma, Você pode escrever a fórmula de uma forma mais detalhada:

V = a²h

Se estamos falando de um cubo - um prisma regular com comprimento igual, largura e altura, o volume é calculado da seguinte forma:

Para entender como encontrar a área da superfície lateral de um prisma, você precisa imaginar sua varredura.

Pode-se ver no desenho que a superfície lateral é composta por 4 retângulos iguais. Sua área é calculada como o produto do perímetro da base pela altura da figura:

Lado = Pos h

Como o perímetro de um quadrado é P = 4a, a fórmula tem a forma:

Lado = 4a h

Para cubo:

Lado = 4a²

Para calcular a área total da superfície de um prisma, adicione 2 áreas de base à área lateral:

Sfull = Sside + 2Sbase

Aplicada a um prisma regular quadrangular, a fórmula tem a forma:

Cheio = 4a h + 2a²

Para a área da superfície de um cubo:

Cheio = 6a²

Conhecendo o volume ou a área da superfície, você pode calcular elementos individuais corpo geométrico.

Encontrando elementos de prisma

Muitas vezes há problemas em que o volume é dado ou o valor da superfície lateral é conhecido, onde é necessário determinar o comprimento do lado da base ou a altura. Nesses casos, as fórmulas podem ser derivadas:

comprimento do lado da base: a = Sside/4h = √(V/h);
altura ou comprimento da costela lateral: h = Sside / 4a = V / a²;
área básica: Sprim = V/h;
área da face lateral: Lado gr = Lado / 4.

Para determinar a área de uma seção diagonal, você precisa saber o comprimento da diagonal e a altura da figura. Para um quadrado d = a√2. Portanto:

Sdiag = ah√2

Para calcular a diagonal do prisma, a fórmula é usada:

dprêmio = √(2a² + h²)

Para entender como aplicar as proporções acima, você pode praticar e resolver algumas tarefas simples.

Exemplos de problemas com soluções

Aqui estão algumas das tarefas que aparecem nos exames finais estaduais em matemática.

Exercício 1.

A areia é despejada em uma caixa com a forma de um prisma quadrangular regular. A altura de seu nível é 10 cm. Qual será o nível da areia se você a mover para um recipiente da mesma forma, mas com um comprimento de base 2 vezes maior?

Deve ser argumentado da seguinte forma. A quantidade de areia no primeiro e segundo recipientes não mudou, ou seja, seu volume neles é o mesmo. Você pode definir o comprimento da base como uma. Neste caso, para a primeira caixa, o volume da substância será:

V₁ = ha² = 10a²

Para a segunda caixa, o comprimento da base é 2a, mas a altura do nível de areia é desconhecida:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Porque o V₁ = V₂, as expressões podem ser equacionadas:

10a² = 4ha²

Depois de reduzir ambos os lados da equação por a², temos:

Como resultado novo nível areia será h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Tarefa 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ é um prisma regular. Sabe-se que BD = AB₁ = 6√2. Encontre a área total da superfície do corpo.

Para facilitar a compreensão de quais elementos são conhecidos, você pode desenhar uma figura.

Como estamos falando de um prisma regular, podemos concluir que a base é um quadrado com diagonal de 6√2. A diagonal da face lateral tem o mesmo valor, portanto, a face lateral também tem a forma de um quadrado igual à base. Acontece que todas as três dimensões - comprimento, largura e altura - são iguais. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ é um cubo.

O comprimento de qualquer aresta é determinado através da diagonal conhecida:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

A área total da superfície é encontrada pela fórmula do cubo:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Tarefa 3.

O quarto está sendo reformado. Sabe-se que seu piso tem o formato de um quadrado com área de 9 m². A altura da sala é de 2,5 m. Qual é o menor custo para colocar papel de parede em uma sala se 1 m² custa 50 rublos?

Como o piso e o teto são quadrados, ou seja, quadriláteros regulares, e suas paredes são perpendiculares às superfícies horizontais, podemos concluir que é prisma correto. É necessário determinar a área de sua superfície lateral.

O comprimento da sala é a = √9 = 3 m.

A praça será coberta com papel de parede Lado = 4 3 2,5 = 30 m².

O menor custo de papel de parede para esta sala será 50 30 = 1500 rublos.

Assim, para resolver problemas para um prisma retangular, basta saber calcular a área e o perímetro de um quadrado e de um retângulo, bem como conhecer as fórmulas para encontrar o volume e a área da superfície.