Três tipos de paralelepípedos. cubóide

Em geometria, os conceitos-chave são plano, ponto, linha e ângulo. Usando esses termos, qualquer figura geométrica pode ser descrita. Os poliedros são geralmente descritos em termos de mais figuras simples que estão no mesmo plano, como um círculo, triângulo, quadrado, retângulo e assim por diante. Neste artigo, consideraremos o que é um paralelepípedo, descreveremos os tipos de paralelepípedos, suas propriedades, em quais elementos ele consiste e também forneceremos as fórmulas básicas para calcular a área e o volume de cada tipo de paralelepípedo.

Definição

Um paralelepípedo no espaço tridimensional é um prisma, todos os lados são paralelogramos. Assim, pode ter apenas três pares de paralelogramos paralelos ou seis faces.

Para visualizar a caixa, imagine um tijolo padrão regular. Tijolo - bom exemplo paralelepípedo retangular que até uma criança pode imaginar. Outros exemplos são vários andares casas de painel, armários, recipientes de armazenamento produtos alimentícios forma adequada, etc.

Variedades da figura

Existem apenas dois tipos de paralelepípedos:

1. Retangulares, cujas faces laterais formam um ângulo de 90º com a base e são retângulos.
2. Inclinado, cujas faces laterais estão localizadas em um determinado ângulo em relação à base.

Em quais elementos essa figura pode ser dividida?

• Como em qualquer outra figura geométrica, em um paralelepípedo, quaisquer 2 faces com uma aresta comum são chamadas de adjacentes, e aquelas que não a possuem são chamadas de paralelas (com base na propriedade de um paralelogramo que possui lados opostos paralelos aos pares).
• Os vértices de um paralelepípedo que não estão na mesma face são chamados de vértices opostos.
• O segmento que liga esses vértices é uma diagonal.
• Os comprimentos das três arestas de um paralelepípedo que se unem em um vértice são suas dimensões (ou seja, seu comprimento, largura e altura).

Propriedades da forma

1. É sempre construído simetricamente em relação ao meio da diagonal.
2. O ponto de intersecção de todas as diagonais divide cada diagonal em dois segmentos iguais.
3. Faces opostas são iguais em comprimento e estão em linhas paralelas.
4. Se você somar os quadrados de todas as dimensões da caixa, o valor resultante será igual ao quadrado do comprimento da diagonal.

Fórmulas de cálculo

As fórmulas para cada caso particular de um paralelepípedo serão diferentes.

Para um paralelepípedo arbitrário, é verdadeira a afirmação de que seu volume é igual a valor absoluto o triplo produto escalar de vetores de três lados que emanam do mesmo vértice. No entanto, não existe uma fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo arbitrário.

Para um paralelepípedo retangular, aplicam-se as seguintes fórmulas:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V é o volume da figura;
• Sb - área de superfície lateral;
• Sp - área superfície cheia;
• a - comprimento;
• b - largura;
• c - altura.

Outro caso especial de um paralelepípedo em que todos os lados são quadrados é um cubo. Se qualquer um dos lados do quadrado for indicado pela letra a, as seguintes fórmulas podem ser usadas para a área de superfície e o volume desta figura:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S é a área da figura,
• V é o volume da figura,
• a - o comprimento da face da figura.

O último tipo de paralelepípedo que estamos considerando é um paralelepípedo reto. Qual é a diferença entre um paralelepípedo e um paralelepípedo, você pergunta. O fato é que a base de um paralelepípedo retangular pode ser qualquer paralelogramo, e a base de uma reta só pode ser um retângulo. Se designarmos o perímetro da base, igual à soma dos comprimentos de todos os lados, como Po, e designarmos a altura como h, temos o direito de usar as seguintes fórmulas para calcular o volume e as áreas do total e lateral superfícies.

Um paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Neste caso, todas as arestas serão paralelogramos.
Cada paralelepípedo pode ser considerado como um prisma com três jeitos diferentes, uma vez que cada duas faces opostas podem ser tomadas como bases (na Fig. 5, faces ABCD e A "B" C "D", ou ABA "B" e CDC "D", ou BC "C" e ADA "D" ).
O corpo considerado tem doze arestas, quatro iguais e paralelas entre si.
Teorema 3 . As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto, coincidindo com o ponto médio de cada uma delas.
O paralelepípedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) tem quatro diagonais AC", BD", CA", DB". Devemos provar que os pontos médios de quaisquer dois deles, por exemplo, AC e BD", coincidem. Isso decorre do fato de que a figura ABC"D", que tem igual e lados paralelos AB e C"D" é um paralelogramo.
Definição 7 . Um paralelepípedo reto é um paralelepípedo que também é um prisma reto, ou seja, um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano de base.
Definição 8 . Um paralelepípedo retangular é um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo. Neste caso, todas as suas faces serão retângulos.
cubóideé um prisma reto, não importa qual de suas faces tomemos como base, pois cada uma de suas arestas é perpendicular às arestas que emergem do mesmo vértice com ele e, portanto, serão perpendiculares aos planos das faces definidas por essas bordas. Em contraste, uma caixa reta, mas não retangular, pode ser vista como um prisma reto apenas de uma maneira.
Definição 9 . Os comprimentos de três arestas de um paralelepípedo, das quais duas não são paralelas uma à outra (por exemplo, três arestas saindo do mesmo vértice), são chamadas de suas dimensões. Dois paralelepípedos retangulares com dimensões correspondentemente iguais são obviamente iguais entre si.
Definição 10 Um cubo é um paralelepípedo retangular, cujas três dimensões são iguais entre si, de modo que todas as suas faces são quadradas. Dois cubos cujas arestas são iguais são iguais.
Definição 11 . Um paralelepípedo inclinado em que todas as arestas são iguais e os ângulos de todas as faces são iguais ou complementares é chamado de romboedro.
Todas as faces de um romboedro são losangos iguais. (A forma de um romboedro tem alguns cristais com grande importância, por exemplo, cristais de spar islandês.) Em um romboedro, pode-se encontrar um tal vértice (e até dois vértices opostos) que todos os ângulos adjacentes a ele são iguais entre si.
Teorema 4 . As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais entre si. O quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados das três dimensões.
Em um paralelepípedo retangular ABCDA "B" C "D" (Fig. 6), as diagonais AC "e BD" são iguais, pois o quadrilátero ABC "D" é um retângulo (a linha AB é perpendicular ao plano BC "C" , em que BC se encontra ").
Além disso, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 com base no teorema do quadrado da hipotenusa. Mas com base no mesmo teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; portanto, temos:
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

O paralelepípedo é figura geométrica, todas as 6 faces das quais são paralelogramos.

Dependendo do tipo desses paralelogramos, existem os seguintes tipos paralelepípedo:

• Em linha reta;
• inclinado;
• retangular.

Um paralelepípedo reto é um prisma quadrangular cujas arestas fazem um ângulo de 90° com o plano de base.

Um paralelepípedo retangular é um prisma quadrangular, cujas faces são todas retangulares. O cubo é uma variedade prisma quadrangular, em que todas as faces e arestas são iguais entre si.

As características de uma figura predeterminam suas propriedades. Estes incluem as seguintes 4 declarações:

Lembrar todas as propriedades acima é simples, elas são fáceis de entender e são derivadas logicamente com base no tipo e nas características do corpo geométrico. No entanto, declarações simples podem ser incrivelmente úteis para decidir tarefas típicas USE e economizará o tempo necessário para passar no teste.

Fórmulas de paralelepípedos

Para encontrar respostas para o problema, não basta conhecer apenas as propriedades da figura. Você também pode precisar de algumas fórmulas para encontrar a área e o volume de um corpo geométrico.

A área das bases também é encontrada como o indicador correspondente de um paralelogramo ou retângulo. Você mesmo pode escolher a base do paralelogramo. Como regra, ao resolver problemas, é mais fácil trabalhar com um prisma, que é baseado em um retângulo.

A fórmula para encontrar a superfície lateral de um paralelepípedo também pode ser necessária em tarefas de teste.

Exemplos de resolução de tarefas típicas de USE

Exercício 1.

Dado: um paralelepípedo com medidas de 3, 4 e 12 cm.
Necessário Encontre o comprimento de uma das diagonais principais da figura.
Decisão: Qualquer solução para um problema geométrico deve começar com a construção de um desenho correto e claro, no qual será indicado “dado” e o valor desejado. A figura abaixo é um exemplo projeto correto condições da tarefa.

Examinando o desenho feito e lembrando todas as propriedades de um corpo geométrico, chegamos à única do jeito certo soluções. Aplicando a propriedade 4 do paralelepípedo, obtemos a seguinte expressão:

Após cálculos simples, obtemos a expressão b2=169, portanto, b=13. A resposta para a tarefa foi encontrada, não deve demorar mais de 5 minutos para procurá-la e desenhá-la.

Traduzido de grego paralelogramo significa plano. Um paralelepípedo é um prisma cuja base é um paralelogramo. Existem cinco tipos de paralelogramo: paralelepípedo oblíquo, reto e retangular. O cubo e o romboedro também pertencem ao paralelepípedo e são sua variedade.

Antes de passar para os conceitos básicos, vamos dar algumas definições:

• A diagonal de um paralelepípedo é um segmento que une os vértices do paralelepípedo que são opostos um ao outro.
• Se duas faces têm uma aresta comum, podemos chamá-las de arestas adjacentes. Se não houver aresta comum, as faces são chamadas opostas.
• Dois vértices que não estão na mesma face são chamados opostos.

Quais são as propriedades de um paralelepípedo?

1. As faces de um paralelepípedo em lados opostos são paralelas entre si e iguais entre si.
2. Se você desenhar diagonais de um vértice para outro, o ponto de interseção dessas diagonais as dividirá pela metade.
3. Os lados de um paralelepípedo que faz o mesmo ângulo com a base serão iguais. Em outras palavras, os ângulos dos lados codirecionais serão iguais entre si.

Quais são os tipos de paralelepípedos?

Agora vamos descobrir o que são paralelepípedos. Como mencionado acima, existem vários tipos desta figura: um paralelepípedo reto, retangular, oblíquo, bem como um cubo e um romboedro. Como eles diferem um do outro? É tudo sobre os planos que os formam e os ângulos que eles formam.

Vamos dar uma olhada em cada um dos tipos listados de paralelepípedos.

• Como o nome indica, uma caixa inclinada possui faces inclinadas, ou seja, aquelas faces que não formam um ângulo de 90 graus em relação à base.
• Mas para um paralelepípedo reto, o ângulo entre a base e a face é de apenas noventa graus. É por esta razão que este tipo de paralelepípedo tem esse nome.
• Se todas as faces do paralelepípedo são os mesmos quadrados, essa figura pode ser considerada um cubo.
• O paralelepípedo retangular recebeu esse nome por causa dos planos que o formam. Se eles são todos retângulos (incluindo a base), então é um paralelepípedo. Este tipo de paralelepípedo não é tão comum. Em grego, romboedro significa face ou base. Este é o nome de uma figura tridimensional, em que os rostos são losangos.

Fórmulas básicas para um paralelepípedo

O volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base e sua altura perpendicular à base.

A área da superfície lateral será igual ao produto do perímetro da base e da altura.
Conhecendo as definições e fórmulas básicas, você pode calcular a área e o volume da base. Você pode escolher a base de sua preferência. No entanto, como regra, um retângulo é usado como base.

Ou (equivalentemente) um poliedro com seis faces e cada uma delas - paralelogramo.

Tipos de caixa

Existem vários tipos de paralelepípedos:

• Um paralelepípedo é um paralelepípedo cujas faces são todas retângulos.
• Um paralelepípedo direito é um paralelepípedo com 4 faces laterais que são retângulos.
• Uma caixa oblíqua é uma caixa cujas faces laterais não são perpendiculares às bases.

Elementos principais

Duas faces de um paralelepípedo que não possuem uma aresta comum são chamadas opostas, e aquelas que têm uma aresta comum são chamadas adjacentes. Dois vértices de um paralelepípedo que não pertencem à mesma face são chamados opostos. O segmento de linha que liga os vértices opostos é chamado de diagonal do paralelepípedo. Os comprimentos de três arestas de um paralelepípedo que têm um vértice comum são chamados de suas dimensões.

Propriedades

• O paralelepípedo é simétrico em relação ao ponto médio de sua diagonal.
• Qualquer segmento com extremidades pertencentes à superfície do paralelepípedo e passando pelo meio de sua diagonal é dividido por ele ao meio; em particular, todas as diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o cortam ao meio.
• As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.
• O quadrado do comprimento da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.

Fórmulas básicas

Paralelepípedo direito

Superfície lateral S b \u003d R o * h, onde R o é o perímetro da base, h é a altura

Área total da superfície S p \u003d S b + 2S o, onde S o é a área da base

Volume V=S o *h

cubóide

Superfície lateral S b \u003d 2c (a + b), onde a, b são os lados da base, c é a borda lateral do paralelepípedo retangular

Área total da superfície S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volume V=abc, onde a, b, c são as dimensões do paralelepípedo.

Cubo

Área de superfície: $S=6a^2$
Volume: $V=a^3$, Onde $uma$- a borda do cubo.

Caixa arbitrária

O volume e as proporções em uma caixa de inclinação geralmente são definidos usando álgebra vetorial. O volume do paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto misturado três vetores, definido por três lados do paralelepípedo que emanam de um vértice. A razão entre os comprimentos dos lados do paralelepípedo e os ângulos entre eles dá a afirmação de que o determinante de Gram desses três vetores é igual ao quadrado de seus produto misto :215 .

Na análise matemática

NO analise matemática sob um paralelepípedo n-dimensional $B$ entenda muitos pontos $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ Gentil $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Notas

Links

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Um trecho caracterizando o Paralelepípedo

- On dit que les rivaux se sont reconcilia grace a l "angine ... [Dizem que os rivais se reconciliaram graças a esta doença.]
A palavra angine foi repetida com grande prazer.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [O velho conde é muito tocante, dizem. Ele chorou como uma criança quando o médico disse aquele caso perigoso.]
Oh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Oh, isso seria uma grande perda. Uma mulher tão adorável.]
“Vous parlez de la pauvre comtesse”, disse Anna Pavlovna, aproximando-se. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde - disse Anna Pavlovna com um sorriso sobre seu entusiasmo. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Você está falando da pobre condessa... Eu mandei saber de sua saúde. Disseram-me que ela estava um pouco melhor. Oh, sem dúvida, esta é a mulher mais bonita do mundo. Pertencemos a campos diferentes, mas isso não me impede de respeitá-la de acordo com seus méritos. Ela está tão infeliz.] Anna Pavlovna acrescentou.
Acreditando que com essas palavras Anna Pavlovna levantou um pouco o véu de segredo sobre a doença da condessa, um jovem descuidado se permitiu expressar surpresa por não terem chamado médicos famosos, mas um charlatão que poderia dar meios perigosos estava tratando da condessa.
“Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes”, Anna Pavlovna atacou subitamente o inexperiente homem jovem. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Suas notícias podem ser mais precisas do que as minhas... boas fontes Sei que este médico é uma pessoa muito culta e habilidosa. Este é o médico vitalício da rainha da Espanha.] - E assim destruindo o jovem, Anna Pavlovna virou-se para Bilibin, que em outro círculo, pegando a pele e, aparentemente, prestes a dissolvê-la, para dizer un mot, falou sobre os austríacos.
- Je trouve que c "est charmant! [Eu acho encantador!] - disse ele sobre um papel diplomático, sob o qual as bandeiras austríacas levadas por Wittgenstein foram enviadas a Viena, le heros de Petropol [o herói de Petrópolis] (como ele foi chamado em Petersburgo).
- Como, como é? Anna Pavlovna virou-se para ele, despertando o silêncio ao ouvir mot, que ela já sabia.
E Bilibin repetiu as seguintes palavras autênticas do despacho diplomático que compilara:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", disse Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [O Imperador envia aos austríacos estandartes, estandartes amigáveis ​​e equivocados que ele encontrou fora da estrada real.] - terminou Bilibin soltando a pele.
- Charmant, charmant, [Charmant, charmant,] - disse o Príncipe Vasily.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Esta é a estrada de Varsóvia, talvez.] - o príncipe Hippolyte disse alto e inesperadamente. Todos olharam para ele, sem entender o que ele queria dizer com isso. O príncipe Hippolyte também olhou em volta com surpresa alegre ao seu redor. Ele, como outros, não entendia o que as palavras que ele dizia significavam. Durante sua carreira diplomática, ele notou mais de uma vez que as palavras de repente ditas dessa maneira se tornavam muito espirituosas e, por precaução, ele disse estas palavras: "Talvez dê certo", pensou ele, "e se não sair, eles poderão arranjar lá." De fato, enquanto reinava um silêncio constrangedor, aquele rosto insuficientemente patriótico entrou Anna Pavlovna, e ela, sorrindo e balançando o dedo para Ippolit, convidaram o príncipe Vasily para a mesa e, trazendo-lhe duas velas e um manuscrito, pediram que ele começasse.