Propriedades e fórmulas do cuboide. cubóide
Leia também
Definição
poliedro chamaremos uma superfície fechada composta de polígonos e delimitando alguma parte do espaço.
Os segmentos que são os lados desses polígonos são chamados costelas poliedro, e os próprios polígonos - rostos. Os vértices dos polígonos são chamados de vértices do poliedro.
Consideraremos apenas poliedros convexos (este é um poliedro que está em um lado de cada plano que contém sua face).
Os polígonos que compõem um poliedro formam sua superfície. A parte do espaço limitada por um dado poliedro é chamada de seu interior.
Definição: prisma
Considere dois polígonos iguais \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) localizados em planos paralelos para que os segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) são paralelos. Poliedro formado pelos polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , além de paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), é chamado (\(n\)-carvão) prisma.
Os polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) são chamados de bases do prisma, paralelogramo \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces laterais, segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costelas laterais.
Assim, as arestas laterais do prisma são paralelas e iguais entre si.
Considere um exemplo - um prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), cuja base é um pentágono convexo.
Altura Um prisma é uma perpendicular de qualquer ponto de uma base ao plano de outra base.
Se as arestas laterais não são perpendiculares à base, esse prisma é chamado oblíquo(Fig. 1), caso contrário - Em linha reta. Para um prisma reto, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos iguais.
Se a base de um prisma reto é polígono regular, então o prisma é chamado correto.
Definição: conceito de volume
A unidade de volume é um cubo unitário (cubo com dimensões \(1\times1\times1\) units\(^3\) , onde unidade é alguma unidade de medida).
Podemos dizer que o volume de um poliedro é a quantidade de espaço que esse poliedro limita. Caso contrário: é um valor cujo valor numérico indica quantas vezes um cubo unitário e suas partes cabem em um determinado poliedro.
O volume tem as mesmas propriedades que a área:
1. Volumes números iguais são iguais.
2. Se um poliedro é composto por vários poliedros que não se cruzam, então seu volume é igual à soma dos volumes desses poliedros.
3. O volume é um valor não negativo.
4. O volume é medido em cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) ( Metros cúbicos) etc
Teorema
1. A área da superfície lateral do prisma é igual ao produto do perímetro da base e a altura do prisma.
A área de superfície lateral é a soma das áreas das faces laterais do prisma.
2. O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura do prisma: \
Definição: caixa
ParalelepípedoÉ um prisma cuja base é um paralelogramo.
Todas as faces do paralelepípedo (suas faces laterais \(6\) : \(4\) e bases \(2\)) são paralelogramos, e as faces opostas (paralelas entre si) são paralelogramos iguais (Fig. 2).
Diagonal da caixaé um segmento que liga dois vértices de um paralelepípedo que não se encontram na mesma face (seu \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).
cubóide
é um paralelepípedo reto com um retângulo na base.
Porque é um paralelepípedo reto, então as faces laterais são retângulos. Assim, em geral, todas as faces de um paralelepípedo retangular são retângulos.
Todas as diagonais de um paralelepípedo são iguais (isso decorre da igualdade dos triângulos \(\triângulo ACC_1=\triângulo AA_1C=\triângulo BDD_1=\triângulo BB_1D\) etc.).
Comente
Assim, o paralelepípedo tem todas as propriedades de um prisma.
Teorema
A área da superfície lateral de um paralelepípedo retangular é igual a \
Quadrado superfície cheia paralelepípedo retangular é igual a \
Teorema
O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três arestas saindo de um vértice (três dimensões de um paralelepípedo): \
Prova
Porque para um paralelepípedo retangular, as arestas laterais são perpendiculares à base, então também são suas alturas, ou seja, \(h=AA_1=c\) a base é um retângulo \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). É daí que vem a fórmula.
Teorema
A diagonal \(d\) de um paralelepípedo é procurada pela fórmula (onde \(a,b,c\) são as dimensões do paralelepípedo)\
Prova
Considere a Fig. 3. Porque a base é um retângulo, então \(\triangle ABD\) é retangular, portanto, pelo teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Porque todas as arestas laterais são perpendiculares às bases, então \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular a qualquer linha neste plano, ou seja, \(BB_1\perp BD\) . Então \(\triangle BB_1D\) é retangular. Então pelo teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.
Definição: cubo
Cuboé um paralelepípedo retangular, cujos lados são quadrados iguais.
Assim, as três dimensões são iguais entre si: \(a=b=c\) . Então as seguintes são verdadeiras
Teoremas
1. O volume de um cubo com aresta \(a\) é \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. A diagonal do cubo é pesquisada pela fórmula \(d=a\sqrt3\) .
3. Área total da superfície de um cubo \(S_(\text(iterações completas do cubo))=6a^2\).
Nesta lição, todos poderão estudar o tópico "Caixa retangular". No início da lição, repetiremos o que são paralelepípedos arbitrários e retos, lembrando as propriedades de suas faces opostas e diagonais do paralelepípedo. Em seguida, consideraremos o que é um paralelepípedo e discutiremos suas principais propriedades.
Tópico: Perpendicularidade de linhas e planos
Lição: Cubóide
Uma superfície composta por dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 é chamada paralelepípedo(Figura 1).
Arroz. 1 paralelepípedo
Ou seja: temos dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), eles estão em planos paralelos de modo que as arestas laterais AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 são paralelas. Assim, uma superfície composta de paralelogramos é chamada de paralelepípedo.
Assim, a superfície de um paralelepípedo é a soma de todos os paralelogramos que compõem o paralelepípedo.
1. As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.
(os números são iguais, ou seja, podem ser combinados por sobreposição)
Por exemplo:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguais por definição),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (já que AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (já que AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo).
2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e bissectam esse ponto.
As diagonais do paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzam em um ponto O, e cada diagonal é dividida ao meio por este ponto (Fig. 2).
Arroz. 2 As diagonais do paralelepípedo interceptam e bissectam o ponto de interseção.
3. Existem três quádruplos de arestas iguais e paralelas do paralelepípedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definição. Um paralelepípedo é dito reto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases.
Deixe a borda lateral AA 1 ser perpendicular à base (Fig. 3). Isso significa que a linha AA 1 é perpendicular às linhas AD e AB, que se encontram no plano da base. E, portanto, os retângulos estão nas faces laterais. E as bases são paralelogramos arbitrários. Denote, ∠BAD = φ, o ângulo φ pode ser qualquer.
Arroz. 3 Caixa direita
Assim, uma caixa direita é uma caixa em que as bordas laterais são perpendiculares às bases da caixa.
Definição. O paralelepípedo é chamado retangular, se suas bordas laterais são perpendiculares à base. As bases são retângulos.
O paralelepípedo АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 é retangular (Fig. 4) se:
1. AA 1 ⊥ ABCD (a aresta lateral é perpendicular ao plano da base, ou seja, um paralelepípedo reto).
2. ∠BAD = 90°, ou seja, a base é um retângulo.
Arroz. 4 Cuboide
Uma caixa retangular tem todas as propriedades de uma caixa arbitrária. Mas existe propriedades adicionais, que são derivados da definição de um paralelepípedo.
Então, cubóideé um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares à base. A base de um paralelepípedo é um retângulo.
1. Em um paralelepípedo, todas as seis faces são retângulos.
ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 são retângulos por definição.
2. As costelas laterais são perpendiculares à base. Isso significa que todas as faces laterais de um paralelepípedo são retângulos.
3. Todos os ângulos diedros de um paralelepípedo são ângulos retos.
Considere, por exemplo, o ângulo diedro de um paralelepípedo retangular de aresta AB, ou seja, o ângulo diedro entre os planos ABB 1 e ABC.
AB é uma aresta, o ponto A 1 está em um plano - no plano ABB 1 e o ponto D no outro - no plano A 1 B 1 C 1 D 1. Então o ângulo diedro considerado também pode ser denotado da seguinte forma: ∠А 1 АВD.
Pegue o ponto A na aresta AB. AA 1 é perpendicular à aresta AB no plano ABB-1, AD é perpendicular à aresta AB no plano ABC. Assim, ∠A 1 AD é o ângulo linear do ângulo diedro dado. ∠A 1 AD \u003d 90 °, o que significa que o ângulo diedro na borda AB é de 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Prova-se similarmente que quaisquer ângulos diedros de um paralelepípedo retangular são retos.
O quadrado da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.
Observação. Os comprimentos das três arestas que emanam do mesmo vértice do paralelepípedo são as medidas do paralelepípedo. Eles às vezes são chamados de comprimento, largura, altura.
Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - um paralelepípedo retangular (Fig. 5).
Prove: .
Arroz. 5 Cuboide
Prova:
A linha CC 1 é perpendicular ao plano ABC e, portanto, à linha AC. Então o triângulo CC 1 A é um triângulo retângulo. De acordo com o teorema de Pitágoras:
Considerar triângulo retângulo ABC. De acordo com o teorema de Pitágoras:
Mas BC e AD são lados opostos do retângulo. Então BC = AD. Então:
Como , uma , então. Como CC 1 = AA 1, então o que era necessário provar.
As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais.
Vamos designar as dimensões do paralelepípedo ABC como a, b, c (veja a Fig. 6), então AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Nesta lição, todos poderão estudar o tópico "Caixa retangular". No início da lição, repetiremos o que são paralelepípedos arbitrários e retos, lembrando as propriedades de suas faces opostas e diagonais do paralelepípedo. Em seguida, consideraremos o que é um paralelepípedo e discutiremos suas principais propriedades.
Tópico: Perpendicularidade de linhas e planos
Lição: Cubóide
Uma superfície composta por dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 é chamada paralelepípedo(Figura 1).
Arroz. 1 paralelepípedo
Ou seja: temos dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), eles estão em planos paralelos de modo que as arestas laterais AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 são paralelas. Assim, uma superfície composta de paralelogramos é chamada de paralelepípedo.
Assim, a superfície de um paralelepípedo é a soma de todos os paralelogramos que compõem o paralelepípedo.
1. As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.
(os números são iguais, ou seja, podem ser combinados por sobreposição)
Por exemplo:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguais por definição),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (já que AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (já que AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo).
2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e bissectam esse ponto.
As diagonais do paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzam em um ponto O, e cada diagonal é dividida ao meio por este ponto (Fig. 2).
Arroz. 2 As diagonais do paralelepípedo interceptam e bissectam o ponto de interseção.
3. Existem três quádruplos de arestas iguais e paralelas do paralelepípedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definição. Um paralelepípedo é dito reto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases.
Deixe a borda lateral AA 1 ser perpendicular à base (Fig. 3). Isso significa que a linha AA 1 é perpendicular às linhas AD e AB, que se encontram no plano da base. E, portanto, os retângulos estão nas faces laterais. E as bases são paralelogramos arbitrários. Denote, ∠BAD = φ, o ângulo φ pode ser qualquer.
Arroz. 3 Caixa direita
Assim, uma caixa direita é uma caixa em que as bordas laterais são perpendiculares às bases da caixa.
Definição. O paralelepípedo é chamado retangular, se suas bordas laterais são perpendiculares à base. As bases são retângulos.
O paralelepípedo АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 é retangular (Fig. 4) se:
1. AA 1 ⊥ ABCD (a aresta lateral é perpendicular ao plano da base, ou seja, um paralelepípedo reto).
2. ∠BAD = 90°, ou seja, a base é um retângulo.
Arroz. 4 Cuboide
Uma caixa retangular tem todas as propriedades de uma caixa arbitrária. Mas existem propriedades adicionais que são derivadas da definição de um paralelepípedo.
Então, cubóideé um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares à base. A base de um paralelepípedo é um retângulo.
1. Em um paralelepípedo, todas as seis faces são retângulos.
ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 são retângulos por definição.
2. As costelas laterais são perpendiculares à base. Isso significa que todas as faces laterais de um paralelepípedo são retângulos.
3. Todos os ângulos diedros de um paralelepípedo são ângulos retos.
Considere, por exemplo, o ângulo diedro de um paralelepípedo retangular de aresta AB, ou seja, o ângulo diedro entre os planos ABB 1 e ABC.
AB é uma aresta, o ponto A 1 está em um plano - no plano ABB 1 e o ponto D no outro - no plano A 1 B 1 C 1 D 1. Então o ângulo diedro considerado também pode ser denotado da seguinte forma: ∠А 1 АВD.
Pegue o ponto A na aresta AB. AA 1 é perpendicular à aresta AB no plano ABB-1, AD é perpendicular à aresta AB no plano ABC. Assim, ∠A 1 AD é o ângulo linear do ângulo diedro dado. ∠A 1 AD \u003d 90 °, o que significa que o ângulo diedro na borda AB é de 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Prova-se similarmente que quaisquer ângulos diedros de um paralelepípedo retangular são retos.
O quadrado da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.
Observação. Os comprimentos das três arestas que emanam do mesmo vértice do paralelepípedo são as medidas do paralelepípedo. Eles às vezes são chamados de comprimento, largura, altura.
Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - um paralelepípedo retangular (Fig. 5).
Prove: .
Arroz. 5 Cuboide
Prova:
A linha CC 1 é perpendicular ao plano ABC e, portanto, à linha AC. Então o triângulo CC 1 A é um triângulo retângulo. De acordo com o teorema de Pitágoras:
Considere um triângulo retângulo ABC. De acordo com o teorema de Pitágoras:
Mas BC e AD são lados opostos do retângulo. Então BC = AD. Então:
Como , uma , então. Como CC 1 = AA 1, então o que era necessário provar.
As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais.
Vamos designar as dimensões do paralelepípedo ABC como a, b, c (veja a Fig. 6), então AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Traduzido de grego paralelogramo significa plano. Um paralelepípedo é um prisma cuja base é um paralelogramo. Existem cinco tipos de paralelogramo: paralelepípedo oblíquo, reto e retangular. O cubo e o romboedro também pertencem ao paralelepípedo e são sua variedade.
Antes de passar para os conceitos básicos, vamos dar algumas definições:
- A diagonal de um paralelepípedo é um segmento que une os vértices do paralelepípedo que são opostos um ao outro.
- Se duas faces têm uma aresta comum, podemos chamá-las de arestas adjacentes. Se não houver aresta comum, as faces são chamadas opostas.
- Dois vértices que não estão na mesma face são chamados opostos.
Quais são as propriedades de um paralelepípedo?
- As faces de um paralelepípedo em lados opostos são paralelas entre si e iguais entre si.
- Se você desenhar diagonais de um vértice para outro, o ponto de interseção dessas diagonais as dividirá pela metade.
- Os lados de um paralelepípedo que faz o mesmo ângulo com a base serão iguais. Em outras palavras, os ângulos dos lados codirecionais serão iguais entre si.
Quais são os tipos de paralelepípedos?
Agora vamos descobrir o que são paralelepípedos. Como mencionado acima, existem vários tipos desta figura: um paralelepípedo reto, retangular, oblíquo, bem como um cubo e um romboedro. Como eles diferem um do outro? É tudo sobre os planos que os formam e os ângulos que eles formam.
Vamos dar uma olhada em cada um dos tipos listados de paralelepípedos.
- Como o nome indica, uma caixa inclinada possui faces inclinadas, ou seja, aquelas faces que não formam um ângulo de 90 graus em relação à base.
- Mas para um paralelepípedo reto, o ângulo entre a base e a face é de apenas noventa graus. É por esta razão que este tipo de paralelepípedo tem esse nome.
- Se todas as faces do paralelepípedo são os mesmos quadrados, essa figura pode ser considerada um cubo.
- O paralelepípedo retangular recebeu esse nome por causa dos planos que o formam. Se eles são todos retângulos (incluindo a base), então é um paralelepípedo. Este tipo de paralelepípedo não é tão comum. Em grego, romboedro significa face ou base. Este é o nome de uma figura tridimensional, em que os rostos são losangos.
Fórmulas básicas para um paralelepípedo
O volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base e sua altura perpendicular à base.
A área da superfície lateral será igual ao produto do perímetro da base e da altura.
Conhecendo as definições e fórmulas básicas, você pode calcular a área e o volume da base. Você pode escolher a base de sua preferência. No entanto, como regra, um retângulo é usado como base.