Como encontrar a superfície total da fórmula da pirâmide. Encontre a área da superfície de uma pirâmide triangular regular

Ao se preparar para o exame de matemática, os alunos precisam sistematizar seus conhecimentos de álgebra e geometria. Gostaria de combinar todas as informações conhecidas, por exemplo, como calcular a área de uma pirâmide. Além disso, partindo da base e das faces laterais para toda a superfície. Se a situação é clara com as faces laterais, já que são triângulos, a base é sempre diferente.

O que fazer ao encontrar a área da base da pirâmide?

Pode ser absolutamente qualquer figura: de um triângulo arbitrário a um n-gon. E essa base, além da diferença no número de ângulos, pode ser uma figura regular ou incorreta. Nas tarefas USE de interesse dos escolares, existem apenas tarefas com os números corretos na base. Portanto, falaremos apenas sobre eles.

triângulo retângulo

Isso é equilátero. Aquele em que todos os lados são iguais e denotados pela letra "a". Nesse caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Quadrado

A fórmula para calcular sua área é a mais simples, aqui "a" é o lado novamente:

n-gon regular arbitrário

O lado de um polígono tem a mesma designação. Para o número de cantos, a letra latina n é usada.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Como proceder no cálculo da superfície lateral e total?

Porque a base é figura correta, então todas as faces da pirâmide são iguais. Além disso, cada um deles é um triângulo isósceles, pois as arestas laterais são iguais. Então para calcular área lateral pirâmides, você precisará de uma fórmula que consiste na soma de monômios idênticos. O número de termos é determinado pelo número de lados da base.

Quadrado Triângulo isóscelesé calculado pela fórmula em que a metade do produto da base é multiplicada pela altura. Essa altura na pirâmide é chamada de apótema. Sua designação é "A". Fórmula geral para a área de superfície lateral fica assim:

S \u003d ½ P * A, onde P é o perímetro da base da pirâmide.

Existem situações em que os lados da base não são conhecidos, mas as arestas laterais (c) e o ângulo plano em seu vértice (α) são dados. Então deve-se usar essa fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:

S = n/2 * em 2 sen α .

Tarefa nº 1

Doença. Achar área total pirâmide, se sua base estiver com um lado de 4 cm e o apótema tiver um valor de √3 cm.

Solução. Você precisa começar calculando o perímetro da base. Como este é um triângulo regular, então P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Como o apótema é conhecido, você pode calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral: ½ * 12 * √3 = 6 √3cm2.

Para um triângulo na base, o seguinte valor de área será obtido: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Para determinar a área inteira, você precisará somar os dois valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Responda. 10√3 cm2.

Tarefa nº 2

Doença. Existe uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento do lado da base é de 7 mm, a borda lateral é de 16 mm. Você precisa conhecer sua área de superfície.

Solução. Como o poliedro é quadrangular e regular, então sua base é um quadrado. Tendo aprendido as áreas da base e das faces laterais, será possível calcular a área da pirâmide. A fórmula para o quadrado é dada acima. E nas faces laterais, todos os lados do triângulo são conhecidos. Portanto, você pode usar a fórmula de Heron para calcular suas áreas.

Os primeiros cálculos são simples e levam a este número: 49 mm 2. Para o segundo valor, você precisará calcular o semiperímetro: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Agora você pode calcular a área de um triângulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existem apenas quatro desses triângulos, portanto, ao calcular o número final, você precisará multiplicá-lo por 4.

Acontece: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Responda. O valor desejado é 267,576 mm 2.

Tarefa nº 3

Doença. Para uma pirâmide quadrangular regular, você precisa calcular a área. Nela, o lado do quadrado é 6 cm e a altura é 4 cm.

Solução. A maneira mais fácil é usar a fórmula com o produto do perímetro e o apótema. O primeiro valor é fácil de encontrar. A segunda é um pouco mais difícil.

Teremos que lembrar do teorema de Pitágoras e considerar que Ele é formado pela altura da pirâmide e pelo apótema, que é a hipotenusa. A segunda perna é igual à metade do lado do quadrado, pois a altura do poliedro cai no meio.

O apótema desejado (a hipotenusa de um triângulo retângulo) é √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Agora você pode calcular o valor desejado: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Responda. 96 cm2.

Tarefa nº 4

Doença. Dana lado direito suas bases são 22 mm, nervuras laterais - 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?

Solução. O raciocínio nele é o mesmo descrito no problema nº 2. Só que foi dada uma pirâmide com um quadrado na base, e agora é um hexágono.

Em primeiro lugar, a área da base é calculada usando a fórmula acima: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.

Agora você precisa descobrir o semiperímetro de um triângulo isósceles, que é uma face lateral. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Resta calcular a área de cada triângulo usando a fórmula de Heron e depois multiplicá-lo por seis e adicioná-lo ao que resultou no base.

Cálculos usando a fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Cálculos que darão a área de superfície lateral: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Resta somá-los para descobrir toda a superfície: 5217,47≈5217 cm 2.

Responda. Base - 726√3 cm 2, superfície lateral - 3960 cm 2, área total - 5217 cm 2.

Pirâmide- uma das variedades de um poliedro formado por polígonos e triângulos que se encontram na base e são suas faces.

Além disso, no topo da pirâmide (ou seja, em um ponto), todas as faces são combinadas.

Para calcular a área da pirâmide, vale a pena determinar que sua superfície lateral consiste em vários triângulos. E podemos encontrar facilmente suas áreas usando

várias fórmulas. Dependendo de quais dados de triângulos conhecemos, estamos procurando por sua área.

Listamos algumas fórmulas com as quais você pode encontrar a área dos triângulos:

1. S = (a*h)/2 . NO este caso sabemos a altura do triângulo h , que é abaixado para o lado uma .
2. S = a*b*senβ . Aqui os lados do triângulo uma , b , e o ângulo entre eles é β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Aqui os lados do triângulo a, b, c . O raio de um círculo inscrito em um triângulo é r .
4. S = (a*b*c)/4*R . O raio do círculo circunscrito ao redor do triângulo é R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Esta fórmula só deve ser usado se o triângulo for um triângulo retângulo.
6. S = (a²*√3)/4 . Aplicamos esta fórmula a um triângulo equilátero.

Somente depois de calcularmos as áreas de todos os triângulos que são as faces da nossa pirâmide, podemos calcular a área da superfície lateral. Para fazer isso, usaremos as fórmulas acima.

Para calcular a área da superfície lateral da pirâmide, não surgem dificuldades: você precisa descobrir a soma das áreas de todos os triângulos. Vamos expressar isso com a fórmula:

Sp = ΣSi

Aqui Si é a área do primeiro triângulo, e S P é a área da superfície lateral da pirâmide.

Vejamos um exemplo. Dada uma pirâmide regular, suas faces laterais são formadas por vários triângulos equiláteros,

« A geometria é a ferramenta mais poderosa para o refinamento de nossas faculdades mentais.».

Galileu Galilei.

e o quadrado é a base da pirâmide. Além disso, a borda da pirâmide tem um comprimento de 17 cm. Vamos encontrar a área da superfície lateral dessa pirâmide.

Raciocinamos assim: sabemos que as faces da pirâmide são triângulos, são equiláteros. Também sabemos qual é o comprimento da borda dessa pirâmide. Segue-se que todos os triângulos têm lados iguais, seu comprimento é 17 cm.

Para calcular a área de cada um desses triângulos, você pode usar a seguinte fórmula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Como sabemos que o quadrado está na base da pirâmide, temos quatro triângulos equiláteros. Isso significa que a área da superfície lateral da pirâmide pode ser facilmente calculada usando a seguinte fórmula: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Nossa resposta é a seguinte: 500,548 cm² - essa é a área da superfície lateral dessa pirâmide.

A área da superfície da pirâmide. Neste artigo, consideraremos com você problemas com pirâmides regulares. Deixe-me lembrá-lo que uma pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é polígono regular, o topo da pirâmide é projetado no centro desse polígono.

A face lateral de tal pirâmide é um triângulo isósceles.A altura deste triângulo, desenhada do topo de uma pirâmide regular, é chamada de apótema, SF é um apótema:

No tipo de problemas apresentados abaixo, é necessário encontrar a área da superfície de toda a pirâmide ou a área de sua superfície lateral. O blog já considerou vários problemas com pirâmides regulares, onde foi levantada a questão de encontrar elementos (altura, borda da base, borda lateral), .

NO USE atribuições, como regra, são consideradas pirâmides triangulares, quadrangulares e hexagonais regulares. Eu não vi problemas com pirâmides pentagonais e heptagonais regulares.

A fórmula para a área de toda a superfície é simples - você precisa encontrar a soma da área da base da pirâmide e a área de sua superfície lateral:

Considere as tarefas:

Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 72, as arestas laterais são 164. Encontre a área da superfície desta pirâmide.

A área da superfície da pirâmide é igual à soma das áreas da superfície lateral e da base:

*A superfície lateral consiste em quatro triângulos de área igual. A base da pirâmide é um quadrado.

A área do lado da pirâmide pode ser calculada usando:

Assim, a área da superfície da pirâmide é:

Resposta: 28224

Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são 22, as bordas laterais são 61. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.

A base de uma pirâmide hexagonal regular é um hexágono regular.

A área de superfície lateral desta pirâmide consiste em seis áreas de triângulos iguais com lados 61,61 e 22:

Encontre a área de um triângulo usando a fórmula de Heron:

Portanto, a área da superfície lateral é:

Resposta: 3240

*Nos problemas apresentados acima, a área da face lateral pode ser encontrada usando uma fórmula de triângulo diferente, mas para isso você precisa calcular o apótema.

27155. Encontre a área da superfície de uma pirâmide quadrangular regular cujos lados da base são 6 e cuja altura é 4.

Para encontrar a área da superfície de uma pirâmide, precisamos conhecer a área da base e a área da superfície lateral:

A área da base é 36, pois é um quadrado de lado 6.

A superfície lateral consiste em quatro faces, que são triângulos iguais. Para encontrar a área de tal triângulo, você precisa conhecer sua base e altura (apótema):

* A área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura desenhada para esta base.

A base é conhecida, é igual a seis. Vamos encontrar a altura. Considerar triângulo retângulo(destacado em amarelo):

Uma perna é igual a 4, pois esta é a altura da pirâmide, a outra é igual a 3, pois é igual a metade da borda da base. Podemos encontrar a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras:

Portanto, a área da superfície lateral da pirâmide é:

Assim, a área de superfície de toda a pirâmide é:

Resposta: 96

27069. Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 10, as arestas laterais são 13. Encontre a área da superfície desta pirâmide.

27070. Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são 10, as arestas laterais são 13. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.

Existem também fórmulas para a área de superfície lateral de uma pirâmide regular. Em uma pirâmide regular, a base é uma projeção ortogonal da superfície lateral, portanto:

P- perímetro da base, eu- apótema da pirâmide

*Esta fórmula é baseada na fórmula da área de um triângulo.

Se você quiser saber mais sobre como essas fórmulas são derivadas, não perca, acompanhe a publicação dos artigos.Isso é tudo. Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Um cilindro é um corpo geométrico limitado por dois planos paralelos e superfície cilíndrica. No artigo, falaremos sobre como encontrar a área de um cilindro e, usando a fórmula, resolveremos vários problemas por exemplo.

Um cilindro tem três superfícies: uma superfície superior, uma inferior e uma superfície lateral.

A parte superior e inferior do cilindro são círculos e são fáceis de definir.

Sabe-se que a área de um círculo é igual a πr 2 . Portanto, a fórmula para a área de dois círculos (superior e inferior do cilindro) ficará como πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

A terceira, superfície lateral do cilindro, é a parede curva do cilindro. Para melhor representar esta superfície, vamos tentar transformá-la para obter forma reconhecível. Imagine que um cilindro é um lata, que não possui tampa superior e inferior. Vamos fazer uma incisão vertical na parede lateral de cima para baixo do frasco (Passo 1 na figura) e tentar abrir (endireitar) a figura resultante o máximo possível (Passo 2).

Após a divulgação completa do jar resultante, veremos uma figura familiar (Passo 3), este é um retângulo. A área de um retângulo é fácil de calcular. Mas antes disso, voltemos por um momento ao cilindro original. O vértice do cilindro original é um círculo, e sabemos que a circunferência de um círculo é calculada pela fórmula: L = 2πr. Está marcado em vermelho na figura.

Quando parede lateral cilindro está totalmente expandido, vemos que a circunferência se torna o comprimento do retângulo resultante. Os lados desse retângulo serão a circunferência (L = 2πr) e a altura do cilindro (h). A área de um retângulo é igual ao produto de seus lados - S = comprimento x largura = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, obtivemos uma fórmula para calcular a área da superfície lateral de um cilindro.

A fórmula para a área da superfície lateral de um cilindro
lado S = 2prh

Área total da superfície de um cilindro

Por fim, se somarmos a área de todos três superfícies, obtemos a fórmula da área superfície cheia cilindro. A área da superfície do cilindro é igual à área do topo do cilindro + a área da base do cilindro + a área da superfície lateral do cilindro ou S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Algumas vezes esta expressão é escrita pela fórmula idêntica 2πr (r + h).

A fórmula para a área total da superfície de um cilindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r é o raio do cilindro, h é a altura do cilindro

Exemplos de cálculo da área de superfície de um cilindro

Para entender as fórmulas acima, vamos tentar calcular a área da superfície de um cilindro usando exemplos.

1. O raio da base do cilindro é 2, a altura é 3. Determine a área da superfície lateral do cilindro.

A área total da superfície é calculada pela fórmula: lado S. = 2prh

lado S = 2 * 3,14 * 2 * 3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

A área de superfície lateral do cilindro é 37,68.

2. Como encontrar a área da superfície de um cilindro se a altura é 4 e o raio é 6?

A área total da superfície é calculada pela fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

A área da superfície lateral de uma pirâmide arbitrária é igual à soma das áreas de suas faces laterais. Faz sentido dar uma fórmula especial para expressar essa área no caso de uma pirâmide regular. Então, seja dada uma pirâmide regular, na base da qual se encontra um n-gon regular com um lado igual a a. Seja h a altura da face lateral, também chamada apotema pirâmides. A área de uma face lateral é 1/2ah, e toda a superfície lateral da pirâmide tem uma área igual a n/2ha. Como na é o perímetro da base da pirâmide, podemos escrever a fórmula encontrada da seguinte forma :

Superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto de seu apótema pela metade do perímetro da base.

Relativo superfície total, em seguida, basta adicionar a área da base ao lado.

Esfera e bola inscritas e circunscritas. Deve-se notar que o centro da esfera inscrita na pirâmide está na interseção dos planos bissetores dos ângulos diedros internos da pirâmide. O centro da esfera descrita perto da pirâmide situa-se na intersecção dos planos que passam pelos pontos médios das arestas da pirâmide e perpendiculares a eles.

Pirâmide truncada. Se a pirâmide é cortada por um plano paralelo à sua base, então a parte contida entre o plano de corte e a base é chamada de pirâmide truncada. A figura mostra uma pirâmide, descartando sua parte acima do plano de corte, obtemos uma pirâmide truncada. É claro que a pequena pirâmide a ser descartada é homotética à grande pirâmide com o centro da homotetia no ápice. coeficiente de similaridade é igual à razão alturas: k=h 2 /h 1 , ou bordas laterais, ou outro apropriado dimensões lineares ambas as pirâmides. Sabemos que as áreas de figuras semelhantes estão relacionadas como quadrados de dimensões lineares; então as áreas das bases de ambas as pirâmides (ou seja, poupar as bases da pirâmide truncada) estão relacionadas como

Aqui S 1 é a área da base inferior e S 2 é a área da base superior da pirâmide truncada. Na mesma relação estão superfícies laterais pirâmides. Existe uma regra semelhante para volumes.

Volumes de corpos semelhantes estão relacionados como cubos de suas dimensões lineares; por exemplo, os volumes das pirâmides são relacionados como os produtos de suas alturas pela área das bases, da qual nossa regra segue imediatamente. Tem absolutamente caráter geral e decorre diretamente do fato de que o volume sempre tem a dimensão da terceira potência do comprimento. Usando esta regra, derivamos uma fórmula que expressa o volume de uma pirâmide truncada em termos de altura e áreas das bases.

Seja uma pirâmide truncada com altura h e áreas de base S 1 e S 2. Se imaginarmos que continua até pirâmide completa, então o coeficiente de similaridade da pirâmide completa e da pirâmide pequena é fácil de encontrar como a raiz da razão S 2 /S 1. A altura da pirâmide truncada é expressa como h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Agora temos para o volume da pirâmide truncada (V 1 e V 2 denotam os volumes das pirâmides completa e pequena)

fórmula do volume da pirâmide truncada

Derivamos a fórmula para a área S da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros P 1 e P 2 das bases e o comprimento do apótema a. Argumentamos exatamente da mesma maneira que ao derivar a fórmula do volume. Suplementamos a pirâmide com a parte superior, temos P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, onde k é o coeficiente de similaridade, P 1 e P 2 são os perímetros das bases e S 1 e S 2 são os cavalos das superfícies laterais de toda a pirâmide resultante e seu topo, respectivamente. Para a superfície lateral, encontramos (a 1 e a 2 - apótemas das pirâmides, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

fórmula para a área de superfície lateral de uma pirâmide truncada regular