Cone. Tronco

Superfície cônica chamada de superfície formada por todas as linhas retas que passam por cada ponto da curva dada e um ponto fora da curva (Fig. 32).

Essa curva é chamada guia , direto - gerando , ponto - cume superfície cônica.

Superfície cônica circular reta chamada de superfície formada por todas as linhas que passam por cada ponto do círculo dado e um ponto na linha que é perpendicular ao plano do círculo e passa pelo seu centro. No que se segue, esta superfície será brevemente referida como superfície cônica (fig.33).

cone (cone circular reto ) é chamado de corpo geométrico limitado por uma superfície cônica e um plano que é paralelo ao plano do círculo guia (Fig. 34).

Arroz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Um cone pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo contendo um dos catetos do triângulo.

O círculo que limita o cone é chamado base . O vértice de uma superfície cônica é chamado cume cone. O segmento de linha que liga o topo de um cone com o centro de sua base é chamado altura cone. Os segmentos que formam uma superfície cônica são chamados gerando cone. eixo de um cone é uma linha reta que passa pelo vértice do cone e pelo centro de sua base. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone. Desenvolvimento da superfície lateral cone é chamado de setor cujo raio igual ao comprimento geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base do cone.

Para um cone, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde Ré o raio da base;

H- altura;

eu- o comprimento da geratriz;

S principal- área de base;

lado S

S cheio

Vé o volume do cone.

cone truncado chamada de parte do cone encerrada entre a base e o plano de corte paralelo à base do cone (Fig. 35).

Um cone truncado pode ser considerado como um corpo obtido por rotação trapézio retangular em torno de um eixo contendo o lado do trapézio perpendicular às bases.

Os dois círculos que delimitam o cone são chamados de motivos . Altura de um cone truncado é a distância entre suas bases. Os segmentos que formam a superfície cônica de um cone truncado são chamados gerando . A reta que passa pelos centros das bases chama-se eixo cone truncado. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone truncado.

Para um cone truncado, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

(8)

Onde Ré o raio da base inferior;

ré o raio da base superior;

Hé a altura, l é o comprimento da geratriz;

lado Sé a área de superfície lateral;

S cheio- quadrado superfície cheia;

Vé o volume do cone truncado.

Exemplo 1 A seção do cone paralela à base divide a altura na proporção de 1:3, contando a partir do topo. Encontre a área da superfície lateral de um cone truncado se o raio da base e a altura do cone forem 9 cm e 12 cm.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 36).

Para calcular a área da superfície lateral de um cone truncado, usamos a fórmula (8). Encontre os raios das bases Cerca de 1A e Cerca de 1 V e gerando AB.

Considere triângulos semelhantes SO 2B e SO 1A, coeficiente de similaridade , então

Daqui

Desde então

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual a:

Responda: .

Exemplo2. Um quarto de círculo de raio é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base e a altura do cone.

Decisão. O quádruplo de um círculo é um desenvolvimento da superfície lateral do cone. Indicar ré o raio de sua base, H- altura. A área de superfície lateral é calculada pela fórmula: . É igual à área de um quarto de círculo: . Obtemos uma equação com duas incógnitas r e eu(gerador de um cone). NO este caso a geratriz é igual ao raio de um quarto de círculo R, então obtemos a seguinte equação: , de onde Conhecendo o raio da base e a geratriz, encontramos a altura do cone:

Responda: 2cm, .

Exemplo 3 trapézio retangular com ângulo agudo 45 O, com uma base menor 3 cm e um lado inclinado igual a , gira em torno do lado perpendicular às bases. Encontre o volume do corpo de revolução obtido.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 37).

Como resultado da rotação, obtemos um cone truncado; para encontrar seu volume, calculamos o raio da base maior e a altura. em um trapézio O 1 O 2 AB vamos gastar AC^O 1B. Em temos: então este triângulo é isósceles CA=BC\u003d 3 cm.

Responda:

Exemplo 4 Um triângulo com lados 13 cm, 37 cm e 40 cm gira em torno de um eixo externo paralelo ao lado maior e está localizado a uma distância de 3 cm dele (o eixo está localizado no plano do triângulo). Encontre a área da superfície do corpo de revolução resultante.

Decisão . Vamos fazer um desenho (Fig. 38).

A superfície do corpo de revolução resultante consiste nas superfícies laterais de dois cones truncados e na superfície lateral do cilindro. Para calcular essas áreas, é necessário conhecer os raios das bases dos cones e do cilindro ( SER e CO) formando cones ( BC e CA) e a altura do cilindro ( AB). O desconhecido é apenas CO. é a distância do lado do triângulo ao eixo de rotação. Vamos encontrar DC. A área do triângulo ABC de um lado é igual ao produto da metade do lado AB pela altura desenhada para ele DC, por outro lado, conhecendo todos os lados do triângulo, calculamos sua área usando a fórmula de Heron.

- esta é uma parte de um cone, limitada entre duas bases paralelas perpendiculares ao seu eixo de simetria.As bases do cone são círculos geométricos.

Um cone truncado pode ser obtido girando um trapézio retangular em torno de seu lado, que é sua altura. O limite do cone é um círculo de raio R, um círculo de raio r e a superfície lateral do cone. A superfície lateral do cone descreve o lado lateral do trapézio durante sua rotação.

A área da superfície lateral de um cone truncado através da guia e os raios de suas bases

Ao encontrar a área superfície lateral de um cone truncado, é mais conveniente considerá-lo como a diferença entre a superfície lateral do cone e a superfície lateral do cone truncado.

Deixe o cone A`MB` ser cortado do cone AMB dado. Precisa calcular área lateral cone truncado AA`B`B . Sabe-se que os raios de suas bases são AO=R, A`O` =r , a geratriz é igual a L. Vamos denotar MB` como x . Então a superfície lateral do cone A`MB` será igual a πrx. E a superfície lateral do cone AMB será igual a πR(L+x).
Então a superfície lateral do cone truncado AA`B`B pode ser expressa em termos da diferença entre a superfície lateral do cone AMB e o cone A`MB`:

Os triângulos OMB e O`MB` são semelhantes em termos da igualdade dos ângulos ∠(MOB) = ∠(MO`B`) e ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Da semelhança desses triângulos segue:
Vamos usar a proporção derivada. Nós temos:
A partir daqui encontramos x:
Substituindo esta expressão na fórmula da área da superfície lateral, temos:
Assim, a área da superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto do número π e sua guia e a soma dos raios de suas bases.

Um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de um cone truncado, se seu raio e geratriz forem conhecidos
O raio da base maior, a geratriz e a altura do cone truncado são 7, 5 e 4 cm, respectivamente. Encontre a área da superfície lateral do cone.
A seção axial de um cone truncado é um trapézio isósceles, com bases 2R e 2r. A geratriz do cone truncado, que é o lado lateral do trapézio, a altura, pubescente na base grande e a diferença dos raios da base do cone truncado, formam o triângulo egípcio. Isso é triângulo retângulo com uma proporção de 3:4:5. De acordo com a condição do problema, a geratriz é igual a 5 e a altura é 4, então a diferença nos raios da base do cone truncado será igual a 3.
Nós temos:
L=5
R=7
R=4
A fórmula para a área da superfície lateral de um cone truncado é a seguinte:

Substituindo os valores, temos:

A área da superfície lateral do cone truncado através da guia e o raio médio

O raio médio de um cone truncado é igual à metade da soma dos raios de suas bases:


Então a fórmula para a área da superfície lateral de um cone truncado pode ser representada da seguinte forma:

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto da circunferência da seção média e sua geratriz.

Áreas da superfície lateral de um cone truncado através dos raios de sua base e o ângulo de inclinação da geratriz ao plano da base

Se a base menor for projetada ortogonalmente na base maior, a projeção da superfície lateral do cone truncado parecerá um anel, cuja área é calculada pela fórmula:

Então:

Áreas da superfície lateral de um cone truncado de acordo com Arquimedes

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual à área de tal círculo, cujo raio é a média proporcional entre a geratriz e a soma dos raios de suas bases

Superfície completa de um cone truncado

A superfície total de um cone é a soma da área de sua superfície lateral e a área das bases do cone:

As bases do cone são círculos com raio R e r. Sua área é igual ao produto do número vezes o quadrado de seu raio:


A área de superfície lateral é calculada pela fórmula:

Então a área total da superfície do cone truncado é:

A fórmula fica assim:

Um exemplo de cálculo da área de superfície total de um cone truncado se seu raio e geratriz forem conhecidos
O raio da base do cone truncado é 1 e 7 dm, e as diagonais da seção axial são mutuamente perpendiculares. Encontre a área área total cone truncado
A seção axial de um cone truncado é um trapézio isósceles, com bases 2R e 2r. Ou seja, as bases do trapézio são 2 e 14 dm, respectivamente. Como as diagonais de um trapézio são mutuamente perpendiculares, a altura é metade da soma de suas bases. Então:

A geratriz do cone truncado, que é o lado lateral do trapézio, a altura, pubescente na base grande e a diferença dos raios da base do cone truncado, formam um triângulo retângulo.
Pelo teorema de Pitágoras, encontramos a geratriz de um cone truncado:

A fórmula para a área total da superfície de um cone truncado é:

Substituindo os valores da condição do problema e os valores encontrados, temos:

e por um plano paralelo à base ( arroz. ). O volume de U. a. é igual a , Onde r 1 e r 2 – raios de base, h- altura.

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética. 1969-1978 .

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