Identidades trigonométricas básicas. Relação entre funções trigonométricas do mesmo ângulo
Leia também
MAPA DE LIÇÃO "DEPENDÊNCIA ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE DO MESMO ÂNGULO"
Aluna _____________________________________________________________________________
| 1. Conheço o material das aulas anteriores | Pontos |
| Eu respondi todas as perguntas corretamente sem um esboço. | |
| Eu respondi sem uma sinopse com um erro. | |
| Eu respondi sem um esboço e cometi mais de um erro. | |
| Eu respondi todas as perguntas corretamente usando o resumo. | |
| Eu respondi usando abstract, com um erro | |
| Respondi usando o resumo e cometi mais de um erro |
| 2. Terminei de gravar exemplos | Pontos |
| Completei todas as tarefas sem erros | |
| completei com um erro | |
| Completei as tarefas e cometi mais de dois erros |
| 3. Completei a derivação da fórmula para encontrar o seno e o cosseno | Pontos |
| acertei na formula | |
| Eu deduzi as fórmulas e cometi um erro | |
| Deduzi as fórmulas com a ajuda de um professor |
| 4. Apliquei meus conhecimentos no tópico: "A relação entre seno, cosseno e tangente do mesmo ângulo" ao resolver trabalhos independentes | Pontos |
| Resolvi os exemplos da opção 1 sem erros. | |
| Resolvi os exemplos da opção 1 e cometi um erro. | |
| Resolvi exemplos 2 opções sem erros. | |
| Resolvi exemplos 2 opções e cometi um erro. | |
| Resolvi exemplos 3 opções sem erros | |
| Resolvi os exemplos de 3 opções e cometi um erro. | |
| Resolvi exemplos de 4 opções sem erros. | |
| Resolvi os exemplos de 4 opções e cometi um erro. |
| 5. Avalie você mesmo: | |
| Compreendi a derivação de fórmulas e consigo resolver exemplos sobre este tema com um caderno e a ajuda de um professor. | |
| Eu entendi a derivação de fórmulas e posso resolver exemplos sozinho sem um caderno, apenas olhando as fórmulas. | |
| Eu entendi a derivação de fórmulas e posso resolver exemplos sozinho sem um caderno, se eu esquecer a fórmula, posso deduzi-la eu mesmo. |
Minha pontuação: __________
Máximo de pontos - 22
18 - 22 pontos - pontuação "5"
15 - 17 pontos - pontuação "4"
11–14 pontos - nota "3"
Menos de 11 pontos - você precisa vir para uma consulta nos próximos dias, o material ainda não foi dominado.
"Plano Curto"
Golovatova Vera Anatolyevna, professora de matemática
GB POU "Okhta College"
Resumo de duas aulas para alunosEU curso (10kl.) sobre o tema:
"Relação entre seno, cosseno e tangente do mesmo ângulo"
Alvo: estudar a relação entre o seno, cosseno e tangente do mesmo ângulo.
Para atingir este objetivo é necessário:
Conhecer:
formulações de definições das principais funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente);
sinais de funções trigonométricas em quartos;
conjunto de valores de funções trigonométricas;
fórmulas básicas de trigonometria.
Entender:
que a identidade trigonométrica básica só pode ser usada para um e o mesmo argumento;
algoritmo para calcular uma função trigonométrica por meio de outra.
Aplicar:
a capacidade de escolher a fórmula certa para resolver uma tarefa específica;
capacidade de trabalhar com frações simples;
a capacidade de realizar a transformação de expressões trigonométricas.
Análise:
analisar erros na lógica do raciocínio.
Síntese:
oferecer sua própria maneira de resolver exemplos;
fazer palavras cruzadas usando o conhecimento adquirido.
Avaliar:
conhecimentos e habilidades sobre este tópico para uso em outras seções de álgebra.
Equipamento: layout de um círculo trigonométrico, apostilas com fórmulas e tabelas de valores de funções trigonométricas, computador, projetor multimídia, apresentação, planilhas para autoestudo.
Fontes usadas:
Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11. Educação geral instituições / Sh.A. Alimov, Yu.V. Sidorov et al. Educação, 2006.
Tarefas do Open Bank para preparação para o exame de matemática, 2011
Recursos da Internet.
Plano breve lição:
Saudações. Comunicação do objetivo da aula e do plano de trabalho na aula - 3-5 minutos.
Atualização de conhecimentos e habilidades.
Os alunos recebem cartões de aula e explicam como trabalhar com eles.
As perguntas são exibidas na tela; os alunos escrevem suas respostas em um caderno; O professor exibe a resposta correta na tela. Após o término da pesquisa, os alunos colocam pontos no cartão de aula para Tarefas número 1 – 10 min.
Explicação do novo material.
O professor deriva uma fórmula para os principais identidade trigonométrica – 5 minutos.
Os alunos são convidados a completar de forma independente a gravação dos exemplos exibidos na tela, verificar a exatidão das respostas e colocar pontos no cartão de aula para Tarefas número 2 - 5 minutos.
Os alunos no caderno são convidados a expressar independentemente a partir da identidade trigonométrica básica o seno pelo cosseno e o cosseno pelo seno. A resposta correta é exibida na tela, os alunos verificam e colocam pontos no cartão de aula para Tarefas №3 – 5-7 min.
O professor no quadro-negro resolve exemplos sobre a aplicação da identidade trigonométrica básica. Os alunos respondem às perguntas do professor enquanto explicam e escrevem exemplos em seus cadernos - 15 minutos.
O professor deriva fórmulas que mostram a relação entre tangente e cotangente, os alunos participam ativamente na derivação de fórmulas, respondem a perguntas e fazem anotações em um caderno - 5 minutos.
O professor deriva fórmulas que mostram a relação entre tangente e cosseno, entre seno e cotangente - 5 minutos.
Os alunos são chamados ao quadro à vontade e, com a ajuda de um professor, resolvem exemplos usando um algoritmo. Todos os outros fazem anotações e respondem a perguntas conforme necessário – 10 min.
Consolidação do material estudado
No final da aula, as respostas corretas são exibidas na tela, os alunos verificam suas respostas e colocam pontos no cartão de aula para Tarefas número 4 – 20 minutos.
Trabalho de casa: Os alunos escrevem as tarefas de casa em seus cadernos. 3 min.
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"Reflexão"
Depois de participar de seminários sobre RNS e conduzir uma aula usando mapa tecnológico tornou-se óbvio para mim que o sistema de classificação estimula o máximo de interesse possível dos alunos em um determinado tópico. No meu caso, estas são as fórmulas básicas da trigonometria.
A trigonometria muitas vezes não é percebida pelos alunos, não tanto por sua complexidade, mas por um grande número fórmulas para trabalhar.
É difícil esperar algum sucesso e resultados incríveis após uma aula conduzida usando um mapa tecnológico, mas parece-me que os benefícios sistema de classificação no estudo da trigonometria e matemática em geral são os seguintes:
tornou-se possível organizar e apoiar tanto o trabalho na sala de aula como o trabalho independente e sistemático dos alunos em casa;
a assiduidade e o nível de disciplina na sala de aula devem aumentar;
aumenta a motivação para atividades de aprendizagem;
diminuir Situações estressantes ao receber notas insatisfatórias;
estimula a criatividade no trabalho.
A única desvantagem do RNS (ao que me parece) é uma grande quantidade de trabalho para o professor, mas isso é trabalho para o resultado. Depois de uma única aula com este sistema, os alunos perguntam constantemente se continuaremos a trabalhar desta forma. Isso significa que eles estão viciados em alguma coisa. E precisamos continuar trabalhando.
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"Trabalho independente"
TRABALHO INDEPENDENTE
Seja qual for o nível que você escolher, primeiro revise cuidadosamente todas as tarefas que eu lhe dei e, em seguida, complete a tarefa correspondente ao nível que você escolheu (existem quatro opções para você, o número da opção corresponde aos níveis de autoavaliação.)
1 opção
Instrução:
Instrução:
Resolva este exemplo você mesmo: 
opção 2
Nota: Para determinar a função cosseno, use a fórmula (3) da lição de hoje. Não esqueça de definir o signo que virá antes da raiz. Para calcular os valores de tangente e cotangente, você pode usar a definição dessas funções ou usar as fórmulas que derivamos hoje na lição.
Instrução. Agrupe o primeiro e o terceiro termos da expressão, entre parênteses do fator comum ....
3 opções
4 opções
Veja o conteúdo da apresentação
"Apresentação"
Repetição:
1. Qual é o quarto do ângulo em
1 radiano e o que é aproximadamente igual?
No primeiro trimestre, 1 feliz. 57,3°
2. Qual palavra está faltando na definição da função seno?
O seno de um ângulo é chamado ………… pontos do círculo unitário.
ORDENAR
3. Qual palavra está faltando na definição da função cosseno?
Cosseno de um ângulo chamado
………… pontos do círculo unitário.
ABSCISSA
4. Adicione a fórmula:
tg
5. Determine o sinal do produto:
tg
6. Que valor o seno pode assumir?
ou
7. Calcule:
y
B(x;y)
R
Y=pecado
O
x
x=cos
Terminar a gravação:
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
- Eu entendi o tópico e posso resolver exemplos de acordo com o algoritmo, olhando para o notebook, mas com a ajuda de perguntas orientadoras (cartão - instruções).
- Eu entendo o assunto e consigo resolver os exemplos usando o algoritmo, olhando no caderno, seguindo as instruções do professor.
- + Compreendi o assunto e consigo resolver exemplos usando algoritmos, olhando para um notebook, sem levar perguntas e instruções.
- + Eu entendo o assunto e consigo resolver exemplos usando algoritmos sem olhar para o notebook.
1 Opção:
3 opção:
Opção 2:
4 Opção:
Tema: Fórmulas trigonométricas (25 horas)
Lição 6 - 7: Relação entre seno, cosseno e tangente de um mesmo ângulo.
Alvo: estudar a relação entre o seno, cosseno e tangente do mesmo ângulo. Para atingir este objetivo é necessário:
- Conhecer:
- formulações de definições das principais funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente); sinais de funções trigonométricas em quartos; conjunto de valores de funções trigonométricas; fórmulas básicas de trigonometria.
- Entender:
- que a identidade trigonométrica básica só pode ser usada para um e o mesmo argumento; algoritmo para calcular uma função trigonométrica por meio de outra.
- Aplicar:
- a capacidade de escolher a fórmula certa para resolver uma tarefa específica; capacidade de trabalhar com frações simples; a capacidade de realizar a transformação de expressões trigonométricas.
- Análise:
- analisar erros na lógica do raciocínio.
- Síntese:
- oferecer sua própria maneira de resolver exemplos; fazer palavras cruzadas usando o conhecimento adquirido.
- Avaliar:
- conhecimentos e habilidades sobre este tópico para uso em outras seções de álgebra.
- Organizando o tempo.
- Atualização de conhecimentos e habilidades.
- Em que quarto é um ângulo de 1 radiano e a que é aproximadamente igual?
- Qual palavra está faltando na definição da função seno?
- Qual palavra está faltando na definição da função cosseno?
- Quais valores um seno pode assumir?
() - Explicação do novo material.
vamos desenhar um círculo unitário centrado no ponto O. Seja o raio OB obtido girando o raio OA, igual a R, pelo ângulo (Fig. 5). Então por definição 
Onde 
- abcissa do ponto B, 
é a sua ordenada. Segue-se que o ponto B pertence ao círculo. Portanto, suas coordenadas satisfazem a equação 
Usando o que obtemos 
(1).
Obtivemos uma igualdade válida para quaisquer valores das letras incluídas nela. Como são chamadas essas igualdades? Isso mesmo - identidades. A igualdade (1) é chamada identidade trigonométrica básica. Na igualdade (1) pode assumir qualquer valor. Complete a gravação você mesmo: 1.
Verifique se sua entrada está correta. Coloque pontos no cartão de aula para Tarefas número 2. Nós continuamos. Derivamos a identidade trigonométrica básica, mas por que precisamos dela? Isso mesmo - encontrar o valor do cosseno a partir de um valor conhecido do seno e vice-versa. Agora podemos sempre usar a identidade trigonométrica básica, mas o principal é para o mesmo argumento. Os alunos no caderno são convidados a expressar independentemente a partir da identidade trigonométrica básica o seno pelo cosseno e o cosseno pelo seno. Dois alunos são chamados ao quadro para verificar. Um é convidado a expressar o seno através do cosseno, o segundo - o cosseno através do seno. A resposta correta é exibida na tela:
Os alunos verificam suas respostas e pontuam no cartão de aula para Tarefas número 3.
Nessas fórmulas, de que depende o sinal na frente da raiz? (Em qual quarto está localizado o ângulo da função trigonométrica que estamos definindo). Exemplo 1 . Calcular
E se 
Determine o quarto em que o ângulo está localizado 
. Trimestre - III. Lembre-se que o seno no terceiro trimestre é negativo, ou seja, na fórmula (2) você precisa colocar o sinal “-” antes da raiz: Exemplo 2
Calcular 
E se 
Determinamos o quarto em que o ângulo está localizado. Trimestre - IV, o cosseno no quarto trimestre é positivo. Portanto, na fórmula (3), é necessário um sinal “+” antes da raiz: Descubra agora relação entre tangente e cotangente. Por definição de tangente e cotangente
Multiplicando essas igualdades, temos:
Da igualdade (4) podemos expressar
Através dos 
e vice versa: 
As igualdades (4) - (6) são verdadeiras para todos os valores para os quais
faz sentido, ou seja, quando 
Agora derivamos fórmulas que expressam a relação entre a tangente e o cosseno, bem como a cotangente e o seno do mesmo argumento. Dividindo ambos os lados da igualdade (1) por 
, Nós temos: 
Essa. 
Se ambas as partes da igualdade (1) forem divididas por
, então teremos: 
Essa. 
Considere exemplos de uso das fórmulas derivadas para encontrar os valores das funções trigonométricas de valor conhecido um deles.
Exemplo 1 Descubra se sabemos que
Solução: 
- Para encontrar a cotangente do ângulo , é conveniente usar a fórmula (6):
Responda: Exemplo2. Sabe-se que
. Encontre todas as outras funções trigonométricas. Solução: - Vamos usar a fórmula (7).
Nós temos:
, 
. De acordo com a condição do problema, o ângulo é o ângulo de 1 quarto, então seu cosseno é positivo. Significa 
Responda:
Relações estabelecidas entre funções trigonométricas do mesmo argumento nos permitem simplificar expressões trigonométricas. Exemplo 3 Vamos simplificar a expressão:
Solução: Vamos usar as fórmulas: 
. Nós temos: - Consolidação.
E agora na tela estão as rubricas de autoavaliação sobre este tópico. Marque o nível que você gostaria de alcançar hoje.
Eu entendi o tópico e posso resolver exemplos de acordo com o algoritmo, olhando para o notebook, mas com a ajuda de perguntas orientadoras (cartão - instruções).
Eu entendo o assunto e consigo resolver os exemplos usando o algoritmo, olhando no caderno, seguindo as instruções do professor.
Entendi o tópico e consigo resolver exemplos usando o algoritmo, olhando para o notebook, sem levar perguntas e instruções.
Entendi o tópico e consigo resolver exemplos usando o algoritmo sem olhar para o notebook.
Seja qual for o nível que você escolher, primeiro revise cuidadosamente todas as tarefas que eu lhe dei e, em seguida, complete a tarefa correspondente ao nível que você escolheu (há tarefas de quatro opções à sua frente, o número da opção corresponde aos níveis de auto-estima). avaliação.)
1 opção
Instrução:
4 opções
Agora pessoal, vamos conferir as respostas. As respostas corretas são exibidas na tela e os alunos verificam seus trabalhos e colocam pontos no cartão de aula para Tarefas número 4. Avalie-se no mapa da lição. Calcule suas pontuações e coloque-as no cartão.
- Trabalho de casa.
- Anote todas as fórmulas derivadas no livro de referência. De acordo com o livro didático nº 459 (3, 5), nº 460 (1)
Uma aula aberta de álgebra e os primórdios da análise sobre o tema: "A relação entre o seno e o cosseno do mesmo ângulo" (10º ano)
Alvo: percepção por parte dos alunos e consciência primária do novo material educacional compreensão de conexões e relacionamentos nos objetos de estudo
educacional : derivação de fórmulas para a relação entre o seno e o cosseno de um mesmo ângulo (número); aprendendo a usar essas fórmulas para calcular os valores de seno, cosseno para um determinado valor de um deles.
Educacional : aprender a analisar, comparar, construir analogias, generalizar e sistematizar, provar e refutar, definir e explicar conceitos, desenvolver e melhorar a capacidade de aplicação dos conhecimentos dos alunos em diferentes situações; desenvolver o discurso matemático competente dos alunos, a capacidade de dar formulações concisas
Educacional: educação de uma atitude consciente em relação ao trabalho e uma atitude positiva em relação ao conhecimento, para educar os alunos na precisão, na capacidade de ouvir, de expressar sua opinião; cultura do comportamento.
Economia de saúde : criando um clima psicológico confortável na sala de aula, uma atmosfera de cooperação: aluno - professor.
Conhecimento e habilidades: definições de funções trigonométricas básicas (seno, cosseno); sinais de funções trigonométricas em quartos; conjuntos de valores de funções trigonométricas; fórmulas básicas de trigonometria.Noa capacidade de escolher a fórmula certa para resolver uma tarefa específica; trabalhar com frações simples; realizar a transformação de expressões trigonométricas.
Durante as aulas
Organizando o tempo:
Verifique a prontidão do aluno para a aula. Abrindo o site de um professor em computadores (Apêndice 1).
Trabalho oral sobre o tema : "Sinais de seno, cosseno e tangente"
Na mesa:
Exercício:
Organize os números dos quartos do plano coordenado e determine os sinais do seno, cosseno, tangente e cotangente.
Trabalho independente neste tópico: "Sinais de seno, cosseno e tangente"
Os alunos abrem a seção "Tarefas para a lição de trigonometria" no site. Auto teste
(Os alunos completam a tarefa número 1, verificam seu trabalho e avaliam a si mesmos)
Explicação do novo material
Na mesa:
х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …
y= … α, … ≤ pecado α≤ … ctg α = , α≠ …
Exercício: adicionar fórmulas
Professora : “Estudamos cada conceito separadamente. Qual você acha que é o melhor tópico para explorar a seguir?
( Resposta sugerida: "Dependência entre esses conceitos")
O tema da lição é formulado: "Relação entre seno e cosseno do mesmo ângulo"
Professora : "Existem várias maneiras de resolver este problema"
Usando a equação do círculo unitárioUsando o Teorema de Pitágoras
Professora : "Vamos considerar os dois e escolher o mais racional"
Na mesa:
Os alunos desenham a equaçãoporque 2 α + pecado 2 α = 1
Professora : “Conseguimos igualdade justa para quaisquer valores das letras nele incluídas. Como são chamadas essas igualdades?
( Resposta sugerida : identidades)
Professora : "Lembre-se como a identidade é chamadaporque 2 α + pecado 2 α = 1 »
Consolidação do material estudado
Um professor “Abra o livro didático p. 147, nº 457 (2; 4)” (alunos chamados decidem na lousa)
B) Professora: “Vá para a tarefa número 2. Trabalhamos por opções” (Discussão dos resultados obtidos)
Na mesa:
1 opção 2 opção
Professora: “Nessas fórmulas, os signos estão na frente da raiz”±» . O que determina qual sinal colocar na fórmula?
(Resposta sugerida: “No trimestre em que o ângulo de rotação do ponto P (1; 0) está localizado”)
B) professor: "Vá para a tarefa número 3." (Os alunos resolvem as tarefas, verificam no quadro)
Resumindo a lição
Professora: "Bem feito! Vamos resumir a lição com a ajuda de um jogo de palavras cruzadas ”(Tarefa 4) (Os alunos trabalham em pares no computador)
7) Reflexão em forma de questionário (Anexo 2)
Professora: "Faça uma conclusão sobre o seu trabalho na lição completando o teste."
8) Lição de casa
§25, #456, 457(1;3),460(1;3).
Relatório
Vamos tentar encontrar a relação entre as principais funções trigonométricas do mesmo ângulo.
Relação entre cosseno e seno do mesmo ângulo
A figura a seguir mostra o sistema de coordenadas Oxy com uma parte do semicírculo unitário ACB representado nele, centrado no ponto O. Esta parte é o arco do círculo unitário. O círculo unitário é descrito pela equação
- x2+y2=1.
Como já se sabe, a ordenada y e a abscissa x podem ser representadas como o seno e o cosseno do ângulo usando as seguintes fórmulas:
- sen(a) = y,
- cos(a) = x.
Substituindo esses valores nas equações do círculo unitário, temos a seguinte igualdade
- (sen(a)) 2 + (cos(a)) 2 = 1,
Essa igualdade vale para quaisquer valores do ângulo a. É chamada de identidade trigonométrica básica.
A partir da identidade trigonométrica básica, uma função pode ser expressa em termos de outra.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sen(a)) 2).
O sinal do lado direito desta fórmula é determinado pelo sinal da expressão do lado esquerdo desta fórmula.
Por exemplo.
Calcule sen(a) se cos(a)=-3/5 e pi Vamos usar a fórmula acima: Desde pi Agora, vamos tentar encontrar a relação entre a tangente e as cotangentes. Por definição, tg(a) = sen(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sen(a). Multiplicando essas igualdades, obtemos tg(a)*ctg(a) =1. A partir dessa igualdade, uma função pode ser expressa em termos de outra. Nós temos: Deve-se entender que essas igualdades são válidas apenas quando existem tg e ctg, ou seja, para qualquer a, exceto para a = k * pi / 2, para qualquer inteiro k. Agora vamos tentar usar a identidade trigonométrica básica para encontrar a relação entre tangente e cosseno. Divida a identidade trigonométrica básica por (cos(a)) 2 . (cos(a) não é igual a zero, caso contrário a tangente não existiria. Obtemos a seguinte igualdade ((sen(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Dividindo termo por termo temos: Como observado acima, esta fórmula é verdadeira se cos(a) não for igual a zero, ou seja, para todos os ângulos a, exceto a=pi/2 + pi*k, para qualquer inteiro k.A razão entre a tangente e a cotangente do mesmo ângulo