Onde estavam as tarefas para resolver triângulo retângulo, prometi delinear a técnica para memorizar as definições de seno e cosseno. Usando-o, você sempre lembrará rapidamente qual perna pertence à hipotenusa (adjacente ou oposta). Decidi não adiar indefinidamente, material necessário abaixo, veja

O fato é que tenho observado repetidamente como os alunos do 10º ao 11º ano têm dificuldade em lembrar essas definições. Eles se lembram muito bem que a perna se refere à hipotenusa, mas qual delas- esquece e confuso. O preço de um erro, como você sabe no exame, é uma pontuação perdida.

A informação que apresentarei diretamente à matemática não tem nada a ver. Ela está associada a pensamento figurativo, e com os métodos de conexão verbal-lógica. Isso mesmo, eu mesmo, de uma vez por todas me lembreidados de definição. Se você ainda os esquecer, com a ajuda das técnicas apresentadas, é sempre fácil lembrar.

Deixe-me lembrá-lo das definições de seno e cosseno em um triângulo retângulo:

Cosseno ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Seioângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Então, que associações a palavra cosseno evoca em você?

Provavelmente cada um tem o seuLembre-se do link:

Assim, você terá imediatamente uma expressão em sua memória -

«… razão entre a perna ADJACENTE e a hipotenusa».

O problema com a definição de cosseno está resolvido.

Se você precisar se lembrar da definição do seno em um triângulo retângulo, lembrando-se da definição do cosseno, poderá estabelecer facilmente que o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Afinal, existem apenas duas pernas, se a perna adjacente é “ocupada” pelo cosseno, então apenas o lado oposto permanece para o seno.

E a tangente e a cotangente? Mesma confusão. Os alunos sabem que esta é a proporção de pernas, mas o problema é lembrar qual delas se refere a qual - ou oposta ao adjacente ou vice-versa.

Definições:

Tangente um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna oposta para a adjacente:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna adjacente para o oposto:

Como lembrar? Existem duas maneiras. Um também usa uma conexão lógica-verbal, o outro - matemático.

MÉTODO MATEMÁTICO

Existe tal definição - a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno de um ângulo e seu cosseno:

* Lembrando a fórmula, você sempre pode determinar que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente.

Da mesma maneira.A cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cosseno de um ângulo e seu seno:

Então! Lembrando essas fórmulas, você sempre pode determinar que:

- a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente

- a cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e o oposto.

MÉTODO VERBAL-LÓGICO

Sobre tangente. Lembre-se do link:

Ou seja, se você precisar lembrar a definição da tangente, usando essa conexão lógica, poderá lembrar facilmente o que é

"... a proporção da perna oposta para a adjacente"

Se se trata de cotangente, lembrando a definição de tangente, você pode facilmente expressar a definição de cotangente -

"... a proporção da perna adjacente para o oposto"

Existe uma técnica interessante para memorizar tangente e cotangente no site " Conjunto matemático " , olhar.

MÉTODO UNIVERSAL

Você pode apenas triturar.Mas, como mostra a prática, graças às conexões lógico-verbais, uma pessoa se lembra de informações por um longo tempo, e não apenas matemática.

Espero que o material tenha sido útil para você.

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Tabela de valores de funções trigonométricas

Observação. Nesta tabela de valores de funções trigonométricas, o sinal √ é usado para denotar raiz quadrada. Para denotar uma fração - o símbolo "/".

Veja também materiais úteis:

Por determinar o valor de uma função trigonométrica, encontre-o na interseção da linha que indica a função trigonométrica. Por exemplo, um seno de 30 graus - estamos procurando uma coluna com o título sin (seno) e encontramos a interseção desta coluna da tabela com a linha "30 graus", em sua interseção lemos o resultado - um segundo. Da mesma forma, encontramos cosseno 60 graus, seno 60 graus (mais uma vez, na interseção da coluna sen (seno) e a linha de 60 graus encontramos valor do pecado 60 = √3/2), etc. Da mesma forma, são encontrados os valores de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos "populares".

Seno de pi, cosseno de pi, tangente de pi e outros ângulos em radianos

A tabela de cossenos, senos e tangentes abaixo também é adequada para encontrar o valor de funções trigonométricas cujo argumento é dado em radianos. Para fazer isso, use a segunda coluna de valores de ângulo. Graças a isso, você pode converter o valor de ângulos populares de graus para radianos. Por exemplo, vamos encontrar o ângulo de 60 graus na primeira linha e ler seu valor em radianos abaixo dela. 60 graus é igual a π/3 radianos.

O número pi expressa exclusivamente a dependência da circunferência de um círculo na medida em graus do ângulo. Então pi radianos é igual a 180 graus.

Qualquer número expresso em termos de pi (radiano) pode ser facilmente convertido em graus substituindo o número pi (π) por 180.

Exemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
assim, o seno de pi é igual ao seno de 180 graus e é igual a zero.

2. cosseno pi.
cos π = cos 180 = -1
assim, o cosseno de pi é igual ao cosseno de 180 graus e é igual a menos um.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
assim, a tangente de pi é igual à tangente de 180 graus e é igual a zero.

Tabela de valores de seno, cosseno, tangente para ângulos 0 - 360 graus (valores frequentes)

ângulo α (graus)	ângulo α em radianos (via pi)	pecado (seio)	porque (cosseno)	tg (tangente)	ctg (co-tangente)	segundo (secante)	causa (cossecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Se na tabela de valores das funções trigonométricas, em vez do valor da função, for indicado um traço (tangente (tg) 90 graus, cotangente (ctg) 180 graus), então para um determinado valor da medida de grau de o ângulo, a função não tem um valor definido. Se não houver traço - a célula está vazia, ainda não inserimos Valor desejado. Estamos interessados ​​em quais solicitações os usuários nos procuram e complementam a tabela com novos valores, apesar de os dados atuais sobre os valores de cossenos, senos e tangentes dos valores de ângulo mais comuns serem suficientes para resolver a maioria problemas.

Tabela de valores de funções trigonométricas sin, cos, tg para os ângulos mais populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 graus
(valores numéricos "conforme tabelas Bradis")

valor do ângulo α (graus)	valor do ângulo α em radianos	pecado (seno)	cos (cosseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Exemplos:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argumento e valor

Cosseno de um ângulo agudo

Cosseno de um ângulo agudo pode ser determinado usando um triângulo retângulo - é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Exemplo :

1) Seja dado um ângulo e você precisa determinar o cosseno desse ângulo.

2) Vamos completar qualquer triângulo retângulo neste canto.

3) Tendo medido os lados necessários, podemos calcular o cosseno.

Cosseno de um número

O círculo numérico permite determinar o cosseno de qualquer número, mas geralmente encontra o cosseno dos números de alguma forma relacionados a: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\).

Por exemplo, para o número \(\frac(π)(6)\) - o cosseno será igual a \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . E para o número \(-\)\(\frac(3π)(4)\) será igual a \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (aproximadamente \ (-0 ,71\)).

Cosseno para outros números frequentemente encontrados na prática, veja.

O valor do cosseno sempre fica entre \(-1\) e \(1\). Neste caso, o cosseno pode ser calculado para absolutamente qualquer ângulo e número.

Cosseno de qualquer ângulo

Graças ao círculo numérico, é possível determinar o cosseno não apenas de um ângulo agudo, mas também de um obtuso, negativo e até maior que \ (360 ° \) (volta completa). Como fazer isso - é mais fácil ver uma vez do que ouvir \(100\) vezes, então olhe para a imagem.

Agora uma explicação: seja necessário determinar o cosseno do ângulo KOA com medida de grau em \(150°\). Combinamos o ponto O com o centro do círculo e o lado OK- com o eixo \(x\). Depois disso, reserve \ (150 ° \) no sentido anti-horário. Então a ordenada do ponto MAS nos mostrará o cosseno desse ângulo.

Se estivermos interessados ​​em um ângulo com uma medida de grau, por exemplo, em \ (-60 ° \) (ângulo KOV), fazemos o mesmo, mas \(60°\) reservamos no sentido horário.

E finalmente, o ângulo é maior que \(360°\) (o ângulo KOS) - tudo é semelhante ao blunt, só depois de passar uma volta completa no sentido horário, vamos para a segunda rodada e “pega a falta de graus”. Especificamente, no nosso caso, o ângulo \(405°\) é plotado como \(360° + 45°\).

É fácil adivinhar que, para separar um ângulo, por exemplo, em \ (960 ° \), você precisa fazer duas voltas (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) e para um ângulo em \ (2640 ° \) - sete inteiros.

Como você poderia substituir, tanto o cosseno de um número quanto o cosseno de um ângulo arbitrário são definidos quase da mesma maneira. Apenas o método de encontrar um ponto em um círculo muda.

Sinais de cosseno em quartos

Usando o eixo dos cossenos (ou seja, o eixo das abcissas, destacado em vermelho na figura), é fácil determinar os sinais dos cossenos ao longo de um círculo numérico (trigonométrico):

Onde os valores no eixo são de \(0\) a \(1\), o cosseno terá um sinal de mais (os quartos I e IV são a área verde),
- onde os valores no eixo são de \(0\) a \(-1\), o cosseno terá um sinal de menos (II e III quartos - área roxa).

Relação com outras funções trigonométricas:

- mesmo ângulo (ou número): básico identidade trigonométrica\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- o mesmo ângulo (ou número): pela fórmula \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- e o seno do mesmo ângulo (ou número): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Veja outras fórmulas mais usadas.

Solução da equação \(\cos⁡x=a\)

Solução da equação \(\cos⁡x=a\), onde \(a\) é um número não maior que \(1\) e não menor que \(-1\), ou seja. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Se \(a>1\) ou \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Exemplo . Resolva a equação trigonométrica \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Decisão:

Resolva a equação usando um círculo numérico. Por esta:
1) Vamos construir os eixos.
2) Vamos construir um círculo.
3) No eixo do cosseno (eixo \(y\)) marque o ponto \(\frac(1)(2)\) .
4) Trace uma perpendicular ao eixo do cosseno passando por este ponto.
5) Marque os pontos de intersecção da perpendicular e do círculo.
6)Vamos assinar os valores desses pontos: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Anote todos os valores correspondentes a esses pontos usando a fórmula \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Responda: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\)\(k∈Z\)

Função \(y=\cos(x)\)

Se traçarmos os ângulos em radianos ao longo do eixo \(x\) e os valores de cosseno correspondentes a esses ângulos ao longo do eixo \(y\), obtemos o seguinte gráfico:

Este gráfico é chamado e tem as seguintes propriedades:

O domínio de definição é qualquer valor de x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- intervalo de valores - de \(-1\) a \(1\) inclusive: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- par: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periódico com período \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- pontos de intersecção com os eixos coordenados:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), onde \(n ϵ Z\)
eixo y: \((0;1)\)
- intervalos de caracteres:
a função é positiva nos intervalos: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), onde \(n ϵ Z\)
a função é negativa nos intervalos: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), onde \(n ϵ Z\)
- intervalos de aumento e diminuição:
a função aumenta nos intervalos: \((π+2πn;2π+2πn)\), onde \(n ϵ Z\)
a função diminui nos intervalos: \((2πn;π+2πn)\), onde \(n ϵ Z\)
- máximos e mínimos da função:
a função tem um valor máximo \(y=1\) nos pontos \(x=2πn\), onde \(n ϵ Z\)
a função tem um valor mínimo \(y=-1\) nos pontos \(x=π+2πn\), onde \(n ϵ Z\).

Entendendo conceitos simples: seno e cosseno e cálculo cosseno ao quadrado e seno ao quadrado.

Seno e cosseno são estudados em trigonometria (a ciência dos triângulos com um ângulo reto).

Portanto, para começar, vamos relembrar os conceitos básicos de um triângulo retângulo:

Hipotenusa- o lado que sempre fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90 graus). A hipotenusa é o lado mais comprido de um triângulo retângulo.

Os dois lados restantes de um triângulo retângulo são chamados pernas.

Lembre-se também de que os três ângulos de um triângulo sempre somam 180°.

Agora vamos passar para cosseno e seno do ângulo alfa (∠α)(assim você pode chamar qualquer ângulo não reto em um triângulo ou usar como símbolo x - "x", o que não altera a essência).

Seno do ângulo alfa (sen ∠α)- é uma atitude oposto perna (o lado oposto ao ângulo correspondente) à hipotenusa. Se você olhar para a figura, então sen ∠ABC = AC / BC

Cosseno do ângulo alfa (cos ∠α)- atitude adjacente do ângulo do cateto com a hipotenusa. Olhando novamente para a figura acima, então cos ∠ABC = AB / BC

E só para lembrá-lo: cosseno e seno nunca serão maiores que um, pois qualquer um dos rolos é menor que a hipotenusa (e a hipotenusa é o lado mais longo de qualquer triângulo, porque o lado mais longo está localizado em frente ao maior ângulo do triângulo) .

Cosseno ao quadrado, seno ao quadrado

Agora vamos para as fórmulas trigonométricas básicas: calcular o cosseno ao quadrado e o seno ao quadrado.

Para calculá-los, você deve se lembrar da identidade trigonométrica básica:

sen 2 α + cos 2 α = 1(o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno de um ângulo sempre é igual a um).

Da identidade trigonométrica tiramos conclusões sobre o seno:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

seno quadrado alfaé igual a um menos o cosseno do duplo ângulo alfa e tudo isso é dividido por dois.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Da identidade trigonométrica tiramos conclusões sobre o cosseno:

cos 2 α \u003d 1 - sen 2 α

ou uma versão mais complexa da fórmula: cosseno quadrado alfaé igual a um mais o cosseno do duplo ângulo alfa e também dividir tudo por dois.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Essas duas fórmulas mais complexas de seno ao quadrado e cosseno ao quadrado também são chamadas de "redução de potência para os quadrados de funções trigonométricas". Aqueles. foi o segundo grau, rebaixado para o primeiro e os cálculos tornaram-se mais convenientes.

Eu não vou convencê-lo a não escrever cheats. Escrever! Incluindo folhas de dicas sobre trigonometria. Mais tarde, pretendo explicar por que as folhas de dicas são necessárias e como as folhas de dicas são úteis. E aqui - informações sobre como não aprender, mas lembrar algumas fórmulas trigonométricas. Então - trigonometria sem uma folha de dicas! Usamos associações para memorização.

1. Fórmulas de adição:

cossenos sempre "vão em pares": cosseno-coseno, seno-seno. E mais uma coisa: cossenos são “inadequados”. Eles “está tudo errado”, então eles mudam os sinais: “-” para “+” e vice-versa.

Seios - "misturar": seno-coseno, cosseno-seno.

2. Fórmulas de soma e diferença:

cossenos sempre "vão em pares". Adicionando dois cossenos - "pães", obtemos um par de cossenos - "koloboks". E subtraindo, definitivamente não teremos koloboks. Temos alguns senos. Ainda com menos pela frente.

Seios - "misturar" :

3. Fórmulas para converter um produto em soma e diferença.

Quando obtemos um par de cossenos? Ao adicionar os cossenos. então

Quando obtemos um par de senos? Ao subtrair cossenos. Daqui:

A "mistura" é obtida adicionando e subtraindo senos. O que é mais divertido: somar ou subtrair? Isso mesmo, dobra. E para a fórmula tome adição:

Na primeira e terceira fórmulas entre parênteses - o valor. A partir do rearranjo dos lugares dos termos, a soma não muda. A ordem é importante apenas para a segunda fórmula. Mas, para não ficar confuso, para facilitar a lembrança, nas três fórmulas dos primeiros colchetes tomamos a diferença

e em segundo lugar, a soma

Folhas de berço no bolso dão tranquilidade: se você esquecer a fórmula, pode descartá-la. E eles dão confiança: se você não usar a folha de dicas, as fórmulas podem ser facilmente lembradas.