Wartość wzrasta wprost proporcjonalnie. Bezpośrednie i odwrotne zależności proporcjonalne

I. Ilości wprost proporcjonalne.

Niech wartość tak zależy od rozmiaru X. Jeśli ze wzrostem X kilka razy większy rozmiar w wzrasta o ten sam współczynnik, wtedy takie wartości X oraz w nazywane są wprost proporcjonalnymi.

Przykłady.

1 . Ilość zakupionego towaru i koszt zakupu stała cena jedna jednostka towaru - 1 sztuka lub 1 kg itp.) Ile razy więcej towaru kupiono, tyle razy więcej i zapłacono.

2 . Przebyta odległość i czas na nią spędzony stała prędkość).Ile razy dłuższa ścieżka, ile razy więcej czasu na niej spędzimy.

3 . Objętość ciała i jego masa. ( Jeśli jeden arbuz jest 2 razy większy od drugiego, to jego masa będzie 2 razy większa)

II. Własność bezpośredniej proporcjonalności ilości.

Jeżeli dwie ilości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

Zadanie 1. Do Dżem malinowy wziąłem 12 kg maliny i 8 kg Sahara. Ile cukru będzie potrzebne, jeśli zostanie podjęte 9 kg maliny?

Decyzja.

Argumentujemy w ten sposób: niech to będzie konieczne x kg cukier na 9 kg maliny. Masa malin i masa cukru są wprost proporcjonalne: ile razy mniej malin, potrzeba tyle samo cukru. Dlatego stosunek pobranych (wagowych) malin ( 12:9 ) będzie równy stosunkowi pobranego cukru ( 8:x). Otrzymujemy proporcję:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odpowiedź: na 9 kg maliny do zabrania 6 kg Sahara.

Rozwiązanie problemu można było zrobić tak:

Zdradzać tajemnicę 9 kg maliny do zabrania x kg Sahara.

(Strzałki na rysunku są skierowane w jednym kierunku i nie ma znaczenia w górę ani w dół. Znaczenie: ile razy liczba 12 więcej numeru 9 , ten sam numer 8 więcej numeru X, czyli istnieje tutaj bezpośrednia zależność).

Odpowiedź: na 9 kg maliny do zabrania 6 kg Sahara.

Zadanie 2. samochód dla 3 godziny przebyty dystans 264 km². Jak długo mu to zajmie 440 km jeśli jedzie z tą samą prędkością?

Decyzja.

Niech na x godzin samochód pokonuje dystans 440 km.

Odpowiedź: samochód przejedzie 440 km w 5 godzin.

Ukończone przez: Czepkasow Rodion

uczeń klasy 6 "B"

MBOU „Szkoła średnia nr 53”

Barnauł

Kierownik: Bulykina O.G.

nauczyciel matematyki

MBOU „Szkoła średnia nr 53”

Barnauł

Wstęp. jeden

Relacje i proporcje. 3

Proporcje proste i odwrotne. 4

Zastosowanie proporcjonalności bezpośredniej i odwrotnej 6

zależności w rozwiązywaniu różnych problemów.

Wniosek. jedenaście

Literatura. 12

Wstęp.

Słowo „proporcja” pochodzi od łacińskiego słowa „proporcja”, oznaczającego ogólnie proporcjonalność, równość części (pewny stosunek części do siebie). W czasach starożytnych pitagorejczycy wysoko szanowali doktrynę proporcji. Proporcjami połączyli myśli o porządku i pięknie w naturze, o akordach spółgłoskowych w muzyce i harmonii we wszechświecie. Niektóre typy proporcji nazywali muzycznymi lub harmonicznymi.

Już w starożytności człowiek odkrył, że wszystkie zjawiska w przyrodzie są ze sobą powiązane, że wszystko jest w ciągłym ruchu, zmienia się, a wyrażone w liczbach ujawnia zadziwiające wzory.

Pitagorejczycy i ich zwolennicy szukali wszystkiego na świecie wyrażenie liczbowe. Znaleźli; że matematyczne proporcje leżą u podstaw muzyki (stosunek długości struny do wysokości dźwięku, stosunek między interwałami, stosunek dźwięków w akordach, które dają dźwięk harmoniczny). Pitagorejczycy próbowali matematycznie uzasadnić ideę jedności świata, argumentowali, że podstawa wszechświata jest symetryczna figury geometryczne. Pitagorejczycy szukali matematycznego uzasadnienia piękna.

W ślad za pitagorejczykami średniowieczny uczony Augustyn nazwał piękno „równością liczbową”. Scholastyczny filozof Bonawentura napisał: „Nie ma piękna i przyjemności bez proporcjonalności, podczas gdy proporcjonalność istnieje przede wszystkim w liczbach. Konieczne jest, aby wszystko było policzalne”. Leonardo da Vinci pisał o wykorzystaniu proporcji w sztuce w swoim traktacie o malarstwie: „Malarz ucieleśnia w postaci proporcji te same prawa czające się w naturze, które naukowiec zna w postaci prawa liczbowego”.

Do rozwiązania użyto proporcji różne zadania zarówno w starożytności, jak iw średniowieczu. Pewne rodzaje problemów można teraz łatwo i szybko rozwiązywać za pomocą proporcji. Proporcje i proporcjonalność były i są wykorzystywane nie tylko w matematyce, ale także w architekturze i sztuce. Proporcjonalność w architekturze i sztuce oznacza zachowanie pewnych proporcji między rozmiarami. różne części budynki, figury, rzeźby lub inne dzieła sztuki. Proporcjonalność w takich przypadkach jest warunkiem prawidłowej i pięknej konstrukcji i wizerunku

W swojej pracy starałem się rozważyć zastosowanie bezpośrednich i odwrotnych zależności proporcjonalnych w różne obszary otaczające życie, śledź połączenie z przedmioty akademickie poprzez zadania.

Relacje i proporcje.

Iloraz dwóch liczb nazywa się postawa te liczby.

Pokazy postaw, ile razy pierwsza liczba jest większa od drugiej lub jaka część pierwszej liczby pochodzi od drugiej.

Zadanie.

Do sklepu przywieziono 2,4 tony gruszek i 3,6 tony jabłek. Jaką część importowanych owoców stanowią gruszki?

Decyzja . Sprawdź, ile owoców zostało w sumie przywiezionych: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Aby dowiedzieć się, jaka część przyniesionych owoców to gruszki, ustalimy stosunek 2,4:6 =. Odpowiedź można również zapisać jako Ułamek dziesiętny lub procentowo: = 0,4 = 40%.

wzajemnie odwrotne nazywa liczby, którego iloczyny są równe 1. Dlatego związek ten nazywa się relacją odwrotną.

Rozważ dwa równy związek: 4,5:3 i 6:4. Umieśćmy między nimi znak równości i uzyskajmy proporcję: 4.5:3=6:4.

Proporcja jest równością dwóch relacji: a : b =c :d lub = , gdzie a i d są skrajne warunki proporcji, c i b średnie terminy(wszystkie warunki proporcji są niezerowe).

Podstawowa właściwość proporcji:

we właściwej proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

Stosując przemienność mnożenia, otrzymujemy, że we właściwych proporcjach można zamienić skrajne wyrazy lub wyrazy środkowe. Wynikowe proporcje również będą prawidłowe.

Korzystając z podstawowej własności proporcji, można znaleźć jej nieznaną składową, jeśli znane są wszystkie inne składowe.

Aby znaleźć nieznany skrajny wyraz proporcji, należy pomnożyć wyrazy środkowe i podzielić przez znany wyraz skrajny. x : b = c : d , x =

Aby znaleźć nieznane środkowy członek proporcje, konieczne jest pomnożenie skrajnych terminów i podzielenie przez znany termin środkowy. a : b = x : d , x = .

Proporcje proste i odwrotne.

Znaczenia dwójki różne rozmiary mogą od siebie zależeć. Tak więc powierzchnia kwadratu zależy od długości jego boku i odwrotnie - długość boku kwadratu zależy od jego powierzchni.

Mówi się, że dwie wielkości są proporcjonalne, jeśli wraz ze wzrostem

(redukcja) jednego z nich kilkukrotnie, druga zwiększa (zmniejsza) o tę samą kwotę.

Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to stosunki odpowiednich wartości tych wielkości są równe.

Przykład bezpośredni związek proporcjonalny .

Na stacji benzynowej 2 litry benzyny ważą 1,6 kg. Ile będą ważyć 5 litrów benzyny?

Decyzja:

Waga nafty jest proporcjonalna do jej objętości.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Odpowiedź: 4 kg.

Tutaj stosunek masy do objętości pozostaje niezmieniony.

Dwie wielkości nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jeśli gdy jedna z nich kilkakrotnie wzrasta (zmniejsza się), druga maleje (rośnie) o tę samą wielkość.

Jeśli ilości są odwrotnie proporcjonalne, wówczas stosunek wartości jednej ilości jest równy odwrotnemu stosunkowi odpowiednich wartości drugiej ilości.

P przykładodwrotna zależność proporcjonalna.

Dwa prostokąty mają ten sam obszar. Długość pierwszego prostokąta wynosi 3,6 m, a szerokość 2,4 m. Długość drugiego prostokąta wynosi 4,8 m. Znajdź szerokość drugiego prostokąta.

Decyzja:

1 prostokąt 3,6 m 2,4 m²

2 prostokąty 4,8m x m

3,6 m x m²

4,8m 2,4m²

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m

Odpowiedź: 1,8 m.

Jak widać, problemy z proporcjonalnymi ilościami można rozwiązać za pomocą proporcji.

Nie każde dwie wielkości są wprost proporcjonalne lub odwrotnie proporcjonalne. Na przykład wzrost dziecka wzrasta wraz z wiekiem, ale te wartości nie są proporcjonalne, ponieważ gdy wiek jest podwojony, wzrost dziecka się nie podwaja.

Praktyczne użycie proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna.

Zadanie 1

Biblioteka szkolna posiada 210 podręczników do matematyki, co stanowi 15% całego zasobu bibliotecznego. Ile książek znajduje się w zasobach biblioteki?

Decyzja:

Razem podręczniki - ? - 100%

Matematycy - 210 -15%

15% 210 kont

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 podręczników

100% x konto. piętnaście

Odpowiedź: 1400 podręczników.

Zadanie nr 2

Rowerzysta pokonuje 75 km w 3 godziny. Ile czasu zajmie rowerzyście pokonanie 125 km z tą samą prędkością?

Decyzja:

3 godz. – 75 km

H - 125 km

Czas i odległość są wprost proporcjonalne, więc

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Odpowiedź: 5 godzin.

Zadanie nr 3

8 identycznych rur wypełnia basen w 25 minut. Ile minut zajmie 10 takich rur, aby wypełnić basen?

Decyzja:

8 fajek - 25 minut

10 rurek - ? minuty

Liczba rur jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, więc

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Odpowiedź: 20 minut.

Zadanie #4

Zespół 8 pracowników wykonuje zadanie w 15 dni. Ilu pracowników może wykonać zadanie w 10 dni, pracując z taką samą wydajnością?

Decyzja:

8 pracy - 15 dni

Praca - 10 dni

Liczba pracowników jest odwrotnie proporcjonalna do liczby dni, więc

x:8 = 15:10,

x=
,

x=12.

Odpowiedź: 12 pracowników.

Zadanie numer 5

Z 5,6 kg pomidorów uzyskuje się 2 litry sosu. Ile litrów sosu można uzyskać z 54 kg pomidorów?

Decyzja:

5,6 kg - 2 l

54 kg - ? ja

Dlatego liczba kilogramów pomidorów jest wprost proporcjonalna do ilości otrzymanego sosu

5,6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19 .

Odpowiedź: 19 l.

Zadanie numer 6

Do ogrzewania budynku szkolnego węgiel był pozyskiwany przez 180 dni w tempie zużycia

0,6 tony węgla dziennie. Ile dni potrwa ta rezerwa, jeśli zostanie zużyta dziennie przez 0,5 tony?

Decyzja:

Liczba dni

Wskaźnik zużycia

Liczba dni jest odwrotnie proporcjonalna do tempa zużycia węgla, więc

180: x = 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x = 216.

Odpowiedź: 216 dni.

Zadanie numer 7

W Ruda żelaza 7 części żelaza stanowi 3 części zanieczyszczeń. Ile ton zanieczyszczeń znajduje się w rudzie zawierającej 73,5 tony żelaza?

Decyzja:

Liczba części

Waga

Żelazo

73,5

zanieczyszczenia

Liczba części jest wprost proporcjonalna do masy, więc

7: 73,5 = 3: x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x = 31,5.

Odpowiedź: 31,5 tony

Zadanie numer 8

Samochód przejechał 500 km, wydając 35 litrów benzyny. Ile litrów benzyny potrzeba na przejechanie 420 km?

Decyzja:

Odległość, km

Benzyna, l

Odległość jest wprost proporcjonalna do zużycia benzyny, więc

500:35 = 420:x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29,4.

Odpowiedź: 29,4 litra

Zadanie numer 9

W 2 godziny złapaliśmy 12 crucianów. Ile karpi zostanie złapanych w 3 godziny?

Decyzja:

Liczba crucians nie zależy od czasu. Wielkości te nie są ani wprost proporcjonalne, ani odwrotnie proporcjonalne.

Odpowiedź: Nie ma odpowiedzi.

Zadanie numer 10

Przedsiębiorstwo wydobywcze musi kupić 5 nowych maszyn za określoną kwotę w cenie 12 tysięcy rubli za jedną. Ile z tych samochodów może kupić firma, jeśli cena jednego samochodu wyniesie 15 000 rubli?

Decyzja:

Ilość samochodów szt.

Cena, tysiąc rubli

Liczba samochodów jest odwrotnie proporcjonalna do kosztów, więc

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Odpowiedź: 4 samochody.

Zadanie numer 11

W mieście N, na placu P jest sklep, którego właściciel jest tak surowy, że za spóźnienie za 1 spóźnienie dziennie potrąca 70 rubli z pensji. W jednym dziale pracują dwie dziewczyny Julia i Natasza. Ich płaca zależy od ilości dni roboczych. Julia otrzymała 4100 rubli w 20 dni, a Natasza powinna była otrzymać więcej w 21 dni, ale spóźniła się 3 dni z rzędu. Ile rubli dostanie Natasza?

Decyzja:

Dni robocze

Wynagrodzenie, pocierać.

Julia

4100

Natasza

Wynagrodzenie jest wprost proporcjonalne do liczby dni roboczych, dlatego

20:21 = 4100:x,

x= 4305.

4305 rub. Natasza powinna.

4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)

Odpowiedź: Natasza otrzyma 4095 rubli.

Zadanie numer 12

Odległość między dwoma miastami na mapie wynosi 6 cm. Znajdź odległość między tymi miastami na ziemi, jeśli skala mapy wynosi 1: 250000.

Decyzja:

Oznaczmy odległość między miastami na ziemi przez x (w centymetrach) i znajdźmy stosunek długości odcinka na mapie do odległości na ziemi, która będzie równa skali mapy: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Odpowiedź: 15 km.

Zadanie numer 13

4000 g roztworu zawiera 80 g soli. Jakie jest stężenie soli w tym roztworze?

Decyzja:

Waga, g

Stężenie, %

Rozwiązanie

4000

Sól

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Odpowiedź: Stężenie soli wynosi 2%.

Zadanie numer 14

Bank udziela kredytu na 10% w skali roku. Otrzymałeś pożyczkę w wysokości 50 000 rubli. Ile musisz spłacić bankowi w ciągu roku?

Decyzja:

50 000 rubli

100%

x pocierać.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rubli. wynosi 10%.

50 000 + 5000 = 55 000 (rubli)

Odpowiedź: za rok 55 000 rubli zostanie zwróconych do banku.

Wniosek.

Jak widać z powyższych przykładów, bezpośrednie i odwrotne relacje proporcjonalne mają zastosowanie w różnych dziedzinach życia:

Gospodarka,

handel,

w produkcji i przemyśle,

życie szkolne,

gotowanie,

Budownictwo i architektura.

Sporty,

hodowla zwierząt,

topografia,

fizycy,

Chemia itp.

W języku rosyjskim istnieją również przysłowia i powiedzenia, które ustanawiają bezpośrednie i odwrotne relacje:

Gdy się pojawi, zareaguje.

Im wyższy kikut, tym wyższy cień.

Jak więcej osób im mniej tlenu.

I gotowe, tak głupio.

Matematyka jest jedną z nauki starożytne powstało na podstawie potrzeb i potrzeb ludzkości. Po zapoznaniu się z historią formacji od tego czasu Starożytna Grecja, nadal pozostaje aktualna i potrzebna w Życie codzienne jakakolwiek osoba. Pojęcie bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalności znane jest od czasów starożytnych, ponieważ to właśnie prawa proporcji poruszały architektów podczas budowy lub tworzenia jakiejkolwiek rzeźby.

Znajomość proporcji jest szeroko stosowana we wszystkich sferach życia i działalności człowieka - nie można się bez nich obejść przy malowaniu obrazów (pejzaży, martwych natur, portretów itp.), są one również szeroko rozpowszechnione wśród architektów i inżynierów - w ogóle jest to trudne wyobrazić sobie stworzenie czegokolwiek bez użycia wiedzy o proporcjach i ich relacji.

Literatura.

Matematyka-6, N.Ya. Vilenkin i inni.

Algebra -7, G.V. Dorofiejew i inni.

Matematyka-9, GIA-9, pod redakcją F.F. Łysenko, S.Ju. Kulabuchow

Matematyka-6, materiały dydaktyczne, P.W. Chulkov, A.B. Uedinov

Zadania z matematyki dla klas 4-5, IV Baranova i in., M. "Oświecenie" 1988

Zbiór zadań i przykładów z matematyki klasy 5-6, N.A. Tereszyna,

T.N. Tereshina, M. "Akwarium" 1997

Pojęcie bezpośredniej proporcjonalności

Wyobraź sobie, że myślisz o zakupie ulubionego cukierka (lub czegokolwiek, co naprawdę lubisz). Słodycze w sklepie mają swoją cenę. Załóżmy 300 rubli za kilogram. Im więcej cukierków kupisz, tym więcej pieniędzy płacić. Oznacza to, że jeśli chcesz 2 kilogramy - zapłać 600 rubli, a jeśli chcesz 3 kilogramy - daj 900 rubli. Wszystko wydaje się jasne, prawda?

Jeśli tak, to teraz jest dla ciebie jasne, czym jest bezpośrednia proporcjonalność - jest to koncepcja opisująca stosunek dwóch wielkości, które są od siebie zależne. A stosunek tych wielkości pozostaje niezmienny i stały: o ile części jedna z nich wzrasta lub maleje, o tę samą liczbę części druga proporcjonalnie wzrasta lub maleje.

Proporcjonalność bezpośrednią można opisać wzorem: f(x) = a*x, a w tym wzorze a jest wartością stałą (a = const). W naszym przykładzie z cukierkami cena jest stałą, stałą. Nie zwiększa się ani nie zmniejsza, bez względu na to, ile słodyczy zdecydujesz się kupić. Zmienna niezależna (argument) x to ile kilogramów słodyczy zamierzasz kupić. A zmienna zależna f(x) (funkcja) określa, ile pieniędzy ostatecznie płacisz za swój zakup. Możemy więc podstawić liczby we wzorze i otrzymać: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Wniosek pośredni jest następujący: jeśli argument rośnie, funkcja również rośnie, jeśli argument maleje, funkcja również maleje

Funkcja i jej właściwości

Bezpośrednia funkcja proporcjonalna jest szczególny przypadek funkcja liniowa. Jeśli funkcja liniowa to y = k*x + b, to dla bezpośredniej proporcjonalności wygląda to tak: y = k*x, gdzie k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności i jest to zawsze liczba niezerowa. Obliczenie k jest proste - znajdujemy je jako iloraz funkcji i argumentu: k = y/x.

Aby było to jaśniejsze, weźmy inny przykład. Wyobraź sobie, że samochód porusza się z punktu A do punktu B. Jego prędkość wynosi 60 km/h. Jeśli założymy, że prędkość ruchu pozostaje stała, to można ją przyjąć jako stałą. A następnie zapisujemy warunki w postaci: S \u003d 60 * t, a ta formuła jest podobna do funkcji bezpośredniej proporcjonalności y \u003d k * x. Narysujmy dalej równolegle: jeśli k \u003d y / x, to prędkość samochodu można obliczyć, znając odległość między A i B oraz czas spędzony na drodze: V \u003d S / t.

A teraz, od zastosowanego zastosowania wiedzy o bezpośredniej proporcjonalności, wróćmy do jej funkcji. Do właściwości których należą:

jego domeną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (a także jego podzbiór);

funkcja jest nieparzysta;

zmiana zmiennych jest wprost proporcjonalna do całej długości osi liczbowej.

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Wykres funkcji proporcjonalnej wprost to linia prosta, która przecina punkt początkowy. Aby go zbudować wystarczy zaznaczyć jeszcze tylko jeden punkt. I połącz to i pochodzenie linii.

W przypadku wykresu jest to nachylenie. Jeśli nachylenie jest mniejsze od zera (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), wykres i postać osi x ostry róg, a funkcja rośnie.

I jeszcze jedna właściwość wykresu funkcji proporcjonalności bezpośredniej jest bezpośrednio związana z nachyleniem k. Załóżmy, że mamy dwie nieidentyczne funkcje i odpowiednio dwa wykresy. Tak więc, jeśli współczynniki k tych funkcji są równe, ich wykresy są równoległe do osi współrzędnych. A jeśli współczynniki k nie są sobie równe, wykresy przecinają się.

Przykłady zadań

Zdecydujmy się na parę bezpośrednie problemy z proporcjonalnością

Zacznijmy od prostych.

Zadanie 1: Wyobraź sobie, że 5 kur złożyło 5 jaj w ciągu 5 dni. A jeśli jest 20 kur, to ile jaj zniosą w ciągu 20 dni?

Rozwiązanie: Oznacz niewiadomą jako x. I będziemy rozumować w następujący sposób: ile razy było więcej kurczaków? Podziel 20 przez 5 i dowiedz się, że 4 razy. A ile razy więcej jaj złoży 20 kur w ciągu tych samych 5 dni? Również 4 razy więcej. Tak więc znajdujemy nasze tak: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaj złoży 20 kur w ciągu 20 dni.

Teraz przykład jest trochę bardziej skomplikowany, przeformułujmy problem z „Ogólnej arytmetyki” Newtona. Zadanie 2: Pisarz może napisać 14 stron nowej książki w 8 dni. Gdyby miał asystentów, ile osób zajęłoby napisanie 420 stron w 12 dni?

Rozwiązanie: Uważamy, że liczba osób (pisarz + asystenci) rośnie wraz ze wzrostem ilości pracy, jeśli trzeba ją wykonać w tym samym czasie. Ale ile razy? Dzieląc 420 przez 14, dowiadujemy się, że wzrasta ona 30 razy. Ale ponieważ, zgodnie z warunkami zadania, więcej czasu na pracę, liczba asystentów nie wzrasta 30 razy, ale w ten sposób: x \u003d 1 (pisarz) * 30 (razy): 12/8 (dni). Przekształćmy się i dowiedzmy się, że x = 20 osób napisze 420 stron w 12 dni.

Rozwiążmy inny problem podobny do tych, które mieliśmy w przykładach.

Zadanie 3: W tę samą podróż wyruszają dwa samochody. Jeden poruszał się z prędkością 70 km/h i ten sam dystans pokonał w 2 godziny, a drugi w 7 godzin. Znajdź prędkość drugiego samochodu.

Rozwiązanie: Jak pamiętasz, droga jest wyznaczana przez prędkość i czas - S = V *t. Ponieważ oba samochody jechały tą samą drogą, możemy zrównać te dwa wyrażenia: 70*2 = V*7. Gdzie stwierdzimy, że prędkość drugiego samochodu to V = 70*2/7 = 20 km/h.

I jeszcze kilka przykładów zadań z funkcjami bezpośredniej proporcjonalności. Czasami w problemach wymagane jest znalezienie współczynnika k.

Zadanie 4: Biorąc pod uwagę funkcje y \u003d - x / 16 i y \u003d 5x / 2, określ ich współczynniki proporcjonalności.

Rozwiązanie: Jak pamiętasz, k = y/x. Stąd dla pierwszej funkcji współczynnik wynosi -1/16, a dla drugiej k = 5/2.

Możesz również natknąć się na zadanie takie jak Zadanie 5: Zapisz wzór na bezpośrednią proporcjonalność. Jego wykres i wykres funkcji y \u003d -5x + 3 znajdują się równolegle.

Rozwiązanie: Funkcja podana nam w warunku jest liniowa. Wiemy, że bezpośrednia proporcjonalność jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Wiemy też, że jeśli współczynniki funkcji k są równe, to ich wykresy są równoległe. Oznacza to, że wystarczy obliczyć współczynnik znanej funkcji i ustawić bezpośrednią proporcjonalność przy użyciu znanej formuły: y \u003d k * x. Współczynnik k \u003d -5, bezpośrednia proporcjonalność: y \u003d -5 * x.

Wniosek

Teraz nauczyłeś się (lub pamiętasz, jeśli już omówiłeś ten temat wcześniej), co się nazywa bezpośrednia proporcjonalność i rozważyłem to przykłady. Rozmawialiśmy również o funkcji proporcjonalności bezpośredniej i jej wykresie, rozwiązaliśmy na przykład kilka problemów.

Jeśli ten artykuł był przydatny i pomógł zrozumieć temat, powiedz nam o tym w komentarzach. Abyśmy wiedzieli, czy możemy Ci pomóc.

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Rodzaje zależności

Rozważ ładowanie baterii. Jako pierwszą wartość weźmy czas potrzebny do naładowania. Druga wartość to czas, w którym będzie działać po naładowaniu. Im dłużej bateria jest ładowana, tym dłużej będzie działać. Proces będzie kontynuowany do pełnego naładowania baterii.

Zależność żywotności baterii od czasu jej ładowania

Uwaga 1

Ta zależność nazywa się prosty:

Wraz ze wzrostem jednej wartości rośnie również druga. Gdy jedna wartość maleje, druga wartość również maleje.

Rozważmy inny przykład.

Im więcej książek czyta student, tym więcej mniej błędów zrobi w dyktando. Albo im wyżej wspinasz się po górach, tym niższe będzie ciśnienie atmosferyczne.

Uwaga 2

Ta zależność nazywa się odwrócić:

Gdy jedna wartość wzrasta, druga maleje. Gdy jedna wartość spada, druga wzrasta.

Tak więc w przypadku bezpośrednia zależność obie wielkości zmieniają się w ten sam sposób (zarówno wzrastają, jak i maleją), a w przypadku odwrotna zależność - przeciwnie (jeden wzrasta, a drugi maleje lub odwrotnie).

Określanie zależności między wielkościami

Przykład 1

Czas potrzebny na odwiedzenie znajomego to 20 $ minut. Wraz ze wzrostem prędkości (pierwszej wartości) o 2$ razy, przekonamy się, jak zmieni się czas (druga wartość), który spędzimy na drodze do przyjaciela.

Oczywiście czas zmniejszy się o 2$ razy.

Uwaga 3

Ta zależność nazywa się proporcjonalny:

Ile razy zmieni się jedna wartość, ile razy zmieni się druga.

Przykład 2

Za 2 dolary bochenka chleba w sklepie trzeba zapłacić 80 rubli. Jeśli musisz kupić bochenki chleba za 4 $ (ilość chleba wzrasta 2 $ razy), o ile więcej będziesz musiał zapłacić?

Oczywiście koszt również wzrośnie o 2$ razy. Mamy przykład zależności proporcjonalnej.

W obu przykładach uwzględniono zależności proporcjonalne. Ale w przykładzie z bochenkami chleba wartości zmieniają się w jednym kierunku, dlatego zależność jest prosty. A w przykładzie z wycieczką do przyjaciela związek między szybkością a czasem jest odwrócić. Tak więc istnieje wprost proporcjonalna zależność oraz zależność odwrotnie proporcjonalna.

Proporcjonalność bezpośrednia

Weź pod uwagę proporcjonalne ilości 2$: ilość bochenków chleba i ich koszt. Niech bochenki chleba 2$ kosztują 80$ rubli. Przy wzroście liczby rolek o 4$ razy (8$ rolek), ich łączny koszt wyniesie 320$ rubli.

Stosunek liczby rolek: $\frac(8)(2)=4$.

Stosunek kosztów rzutu: $\frac(320)(80)=4$.

Jak widać, te wskaźniki są sobie równe:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicja 1

Równość dwóch relacji nazywa się proporcja.

Przy relacji wprost proporcjonalnej stosunek uzyskuje się, gdy zmiana pierwszej i drugiej wartości jest taka sama:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicja 2

Te dwie wielkości są nazywane wprost proporcjonalne jeżeli przy zmianie (zwiększeniu lub zmniejszeniu) jednej z nich, druga wartość zmienia się (odpowiednio rośnie lub maleje) o tę samą wartość.

Przykład 3

Samochód przejechał 180$ km w 2$ godziny. Znajdź czas potrzebny mu na pokonanie 2$-krotności dystansu z tą samą prędkością.

Decyzja.

Czas jest wprost proporcjonalny do odległości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy zwiększy się odległość, przy stałej prędkości, czas wzrośnie o tę samą wartość:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Samochód przejechał 180$ km - w czasie 2$ godziny

Auto przejeżdża 180$ \cdot 2=360$ km - w czasie $x$ godzin

Im większą odległość przejedzie samochód, tym więcej czasu zajmie. Dlatego związek między wielkościami jest wprost proporcjonalny.

Zróbmy proporcję:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 4 $ godzin.

Odwrotna proporcjonalność

Definicja 3

Decyzja.

Czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy prędkość wzrasta, przy tej samej ścieżce, czas zmniejsza się o tę samą wartość:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapiszmy stan problemu w formie tabeli:

Auto przejechało $60$km - w czasie $6$godzin

Samochód pokonuje 120$ km - w czasie $x$ godzin

Im szybszy samochód, tym mniej czasu zajmie. Dlatego związek między wielkościami jest odwrotnie proporcjonalny.

Zróbmy proporcję.

Ponieważ proporcjonalność jest odwrotna, drugi stosunek obracamy proporcjonalnie:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 3 $ godzin.

Przykład

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Współczynnik proporcjonalności

Nazywa się stały stosunek proporcjonalnych wielkości współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej.

Proporcjonalność bezpośrednia

Proporcjonalność bezpośrednia- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja zmienia się również dwukrotnie w tym samym kierunku.

Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako formuła:

f(x) = ax,a = const

Odwrotna proporcjonalność

Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalny spadek wartości zależnej (funkcji).

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisany jako formuła:

Właściwości funkcji:

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010 .

• Drugie prawo Newtona
• Bariera kulombowska

Zobacz, co „Bezpośrednia proporcjonalność” znajduje się w innych słownikach:

bezpośrednia proporcjonalność- - [A.S. Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energetyczny. 2006] Tematy energia ogólnie EN stosunek bezpośredni … Podręcznik tłumacza technicznego

bezpośrednia proporcjonalność- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. bezpośrednia proporcjonalność vok. direkte Proportionalitat, fr rus. bezpośrednia proporcjonalność, f pranc. proporcjonalnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCJONALNOŚĆ- (od łac. proporcjonalny proporcjonalny, proporcjonalny). Proporcjonalność. Słownictwo obcojęzyczne słowa zawarte w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. PROPORCJONALNOŚĆ otlat. proporcjonalny, proporcjonalny. Proporcjonalność. Wyjaśnienie 25000… … Słownik wyrazów obcych języka rosyjskiego

PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ, proporcjonalność, pl. nie, kobieta (książka). 1. rozproszenie rzeczownik proporcjonalne. Proporcjonalność części. Proporcjonalność ciała. 2. Taki związek między ilościami, gdy są one proporcjonalne (patrz proporcjonalny ... Słownik Uszakow

Proporcjonalność- Dwie wzajemnie zależne wielkości nazywane są proporcjonalnymi, jeśli stosunek ich wartości pozostaje niezmieniony. Spis treści 1 Przykład 2 Współczynnik proporcjonalności ... Wikipedia

PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ i żony. 1. patrz proporcjonalna. 2. W matematyce: taki związek między wielkościami, gdy wzrost jednej z nich pociąga za sobą zmianę drugiej o tę samą wielkość. Bezpośrednie p. (przy cięciu ze wzrostem o jedną wartość ... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa

proporcjonalność- oraz; dobrze. 1. do proporcjonalnego (1 cyfra); proporcjonalność. P. części. P. budowa ciała. P. reprezentacja w parlamencie. 2. Matematyka. Zależność między proporcjonalnie zmieniającymi się wielkościami. Współczynnik proporcjonalności. Bezpośrednie p. (w którym z ... ... słownik encyklopedyczny