Dodawanie liczb z różnymi znakami. Dodawanie i odejmowanie ułamków

Jeśli temperatura powietrza wynosiła 9°C, a następnie zmieniła się na -6°C (tj. spadła o 6°C), to wyniosła 9 + (-6) stopni (ryc. 83).

Ryż. 83

Aby dodać liczby 9 i -6 za pomocą osi współrzędnych, należy przesunąć punkt A(9) w lewo o 6 segmentów jednostkowych (rys. 84). Otrzymujemy punkt B(3).

Ryż. 84

Oznacza to 9 + (-6) = 3. Liczba 3 ma ten sam znak co wyraz 9, a jej moduł jest równy różnicy między modułami wyrazów 9 i -6.

Rzeczywiście, |3| = 3 i |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.

Jeżeli ta sama temperatura powietrza wynosząca 9°C zmieniła się o -12°C (tj. spadła o 12°C), to wyniosła 9 + (-12) stopni (ryc. 85).

Ryż. 85

Dodając liczby 9 i -12 za pomocą linii współrzędnych (ryc. 86), otrzymujemy 9 + (-12) = -3. Liczba -3 ma ten sam znak co wyraz -12, a jej moduł jest równy różnicy między modułami wyrazów -12 i 9.

Ryż. 86

Rzeczywiście, |-3| = 3 i |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.

Zwykle najpierw określa się i zapisuje znak sumy, a następnie znajduje różnicę w modułach.

Na przykład:

Do dodawania liczb dodatnich i ujemnych można użyć kalkulatora. Aby wejść liczba ujemna do mikrokalkulatora należy wprowadzić moduł tej liczby, a następnie nacisnąć klawisz „zmień znak”. Przykładowo, aby wprowadzić liczbę -56,81, należy nacisnąć kolejno klawisze: . Operacje na liczbach dowolnego znaku wykonuje się na mikrokalkulatorze w taki sam sposób, jak na liczbach dodatnich. Na przykład za pomocą programu obliczana jest suma -6,1 + 3,8

W skrócie program ten jest napisany w następujący sposób: .

Pytania autotestowe

• Liczby a i b mają różne znaki. Jaki znak będzie miała suma tych liczb, jeśli większy moduł będzie ujemny? jeśli mniejszy moduł jest ujemny? jeśli większy moduł jest liczbą dodatnią? jeśli mniejszy moduł jest liczbą dodatnią?
• Sformułuj regułę dodawania liczb za pomocą różne znaki.
• Jak wprowadzić liczbę ujemną do mikrokalkulatora?

Robić ćwiczenia

1061. Liczba 6 została zmieniona na -10. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się wynikowa liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma 6 i -10?

1062. Liczba 10 została zmieniona na -6. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się wynikowa liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma 10 i -6?

1063. Liczbę -10 zmieniono na 3. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się wynikowa liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma -10 i 3?

1064. Liczbę -10 zmieniono na 15. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się wynikowa liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma -10 i 15?

1065. W pierwszej połowie dnia temperatura wzrosła o -4°C, a w drugiej o +12°C. O ile stopni zmieniła się temperatura w ciągu dnia?

1066. Wykonaj dodawanie:

• a) 26 + (-6);
• b) -70 + 50;
• c) -17 + 30;
• d) 80 + (-120);
• e) -6,3 + 7,8;
• e) -9 + 10,2;
• g) 1 + (-0,39);
• h) 0,3 + (-1,2);

1067. Dodać:

• a) do sumy -6 i -12 liczbę 20;
• b) do liczby 2,6 suma wynosi -1,8 i 5,2;
• c) do sumy -10 i -1,3 suma 5 i 8,7;
• d) do sumy 11 i -6,5 sumę -3,2 i -6.

1068. Która liczba to 8? 7.1; -7,1; -7; Czy -0,5 jest pierwiastkiem równania -6 + x = -13,1?

1069. Odgadnij pierwiastek równania i sprawdź:

• a) x + (-3) = -11;
• b) -5 + y = 15;
• c) t + (-12) = 2;
• d) 3 + n = -10.

1070. Znajdź znaczenie wyrażenia:

1071. Wykonaj następujące kroki, korzystając z mikrokalkulatora:

• a) -3,2579 + (-12,308);
• b) 7,8547 + (-9,239);
• c) -0,00154 + 0,0837;
• d) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
• e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
• e) -0,0085 + 0,00354 + (-0,00921).

1072. Znajdź wartość sumy:

1073. Znajdź znaczenie wyrażenia:

1074. Ile liczb całkowitych znajduje się pomiędzy liczbami:

• a) 0 i 24;
• b) -12 i -3;
• c) -20 i 7?

1075. Wyobraź sobie liczbę -10 jako sumę dwóch wyrazów ujemnych, tak że:

• a) oba wyrazy były liczbami całkowitymi;
• b) oba wyrazy były ułamkami dziesiętnymi;
• c) jednym z wyrazów był ułamek zwyczajny właściwy.

1076. Jaka jest odległość (w odcinkach jednostkowych) pomiędzy punktami na linii współrzędnych o współrzędnych:

• a) 0 i a;
• b) -a i a;
• c) -a i 0;
• d) a i -Za?

1077. Promienie równoleżników geograficznych powierzchni ziemi, na których położone są miasta Ateny i Moskwa, wynoszą odpowiednio 5040 km i 3580 km (ryc. 87). O ile krótszy jest równoleżnik moskiewski od równoleżnika ateńskiego?

Ryż. 87

1078. Napisz równanie rozwiązujące zadanie: „Pole o powierzchni 2,4 ha podzielono na dwie części. Znajdź powierzchnię każdej działki, jeśli wiadomo, że jedna z działek:

1079. Rozwiąż problem:

1. Pierwszego dnia podróżnicy przejechali 240 km, drugiego dnia 140 km, trzeciego dnia przejechali 3 razy więcej niż drugiego, a czwartego dnia odpoczęli. Ile kilometrów przejechali piątego dnia, jeśli w ciągu 5 dni pokonywali średnio 230 km dziennie?
2. Rolnik z dwoma synami umieścił zebrane jabłka w 4 pojemnikach, średnio po 135 kg każdy. Rolnik zebrał 280 kg jabłek, a młodszy syn- 4 razy mniej. Ile kilogramów jabłek zebrał najstarszy syn?

1080. Wykonaj następujące kroki:

1. (2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
2. (7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Wykonaj dodawanie:

1082. Wyobraź sobie każdą z liczb jako sumę dwóch równych wyrazów: 10; -8; -6,8; .

1083. Znajdź wartość a + b, jeśli:

1084. Na jednym piętrze budynku mieszkalnego znajdowało się 8 mieszkań. W obiekcie znajdowały się 2 mieszkania o powierzchni mieszkalnej 22,8 m2, 3 mieszkania o powierzchni 16,2 m2 oraz 2 mieszkania o powierzchni 34 m2. Który przestrzeń życiowa miał ósme mieszkanie, jeśli średnio na każde mieszkanie przypadało 24,7 m2 powierzchni mieszkalnej na tym piętrze?

1085. Pociąg towarowy składał się z 42 wagonów. Zakrytych wagonów było 1,2 razy więcej niż platform, a liczba czołgów była równa liczbie platform. Ile wagonów każdego typu znajdowało się w pociągu?

1086. Znajdź znaczenie wyrażenia

W tej lekcji będziemy się uczyć dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, a także zasady ich dodawania i odejmowania.

Przypomnijmy, że liczby całkowite to liczby dodatnie i ujemne, a także liczba 0. Na przykład następujące liczby są liczbami całkowitymi:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Liczby dodatnie są łatwe i. Niestety tego samego nie można powiedzieć o liczbach ujemnych, które wielu początkujących mylą z minusami przed każdą liczbą. Jak pokazuje praktyka, błędy popełniane z powodu liczb ujemnych najbardziej frustrują uczniów.

Przykłady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Pierwszą rzeczą, której powinieneś się nauczyć, jest dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych za pomocą linii współrzędnych. Nie jest wcale konieczne rysowanie linii współrzędnych. Wystarczy wyobrazić sobie to w myślach i zobaczyć, gdzie znajdują się liczby ujemne, a gdzie dodatnie.

Rozważmy najprostsze wyrażenie: 1 + 3. Wartość tego wyrażenia wynosi 4:

Ten przykład można zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść trzy kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się cyfra 4. Na rysunku widać, jak to się dzieje:

Znak plus w wyrażeniu 1 + 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Przykład 2. Znajdźmy wartość wyrażenia 1 - 3.

Wartość tego wyrażenia wynosi −2

Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść w lewo o trzy kroki. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna −2. Na zdjęciu widać jak to się dzieje:

Znak minus w wyrażeniu 1 - 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.

Ogólnie rzecz biorąc, należy pamiętać, że jeśli zostanie przeprowadzone dodawanie, należy przesunąć się w prawo w kierunku zwiększania. Jeśli przeprowadzane jest odejmowanie, należy przesunąć się w lewo w kierunku zmniejszania.

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 4

Wartość tego wyrażenia wynosi 2

Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna -2, musisz przejść cztery kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.

Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna −2, przesunęliśmy się o cztery kroki w prawo i znaleźliśmy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.

Znak plus w wyrażeniu −2 + 4 mówi nam, że powinniśmy przesuwać się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia -1 - 3

Wartość tego wyrażenia wynosi -4

Ten przykład można ponownie rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna −1, należy przejść o trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna -4

Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna –1, przesunęliśmy się o trzy kroki w lewo i trafiliśmy do punktu, w którym znajduje się liczba ujemna –4.

Znak minus w wyrażeniu −1 − 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.

Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 2

Wartość tego wyrażenia wynosi 0

Ten przykład można rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna -2, musisz przejść o dwa kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się cyfra 0

Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna −2, przesunęliśmy się o dwa kroki w prawo i znaleźliśmy się w punkcie, w którym znajduje się liczba 0.

Znak plus w wyrażeniu −2 + 2 mówi nam, że powinniśmy przesuwać się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Aby dodać lub odjąć liczby całkowite, nie trzeba za każdym razem wyobrażać sobie linii współrzędnych, a tym bardziej jej rysować. Wygodniej jest korzystać z gotowych reguł.

Stosując reguły, należy zwrócić uwagę na znak operacji i znaki liczb, które należy dodać lub odjąć. To określi, którą zasadę zastosować.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 5

Tutaj liczba dodatnia jest dodawana do liczby ujemnej. Innymi słowy, dodawane są liczby o różnych znakach. −2 jest liczbą ujemną, a 5 jest liczbą dodatnią. W takich przypadkach obowiązuje następująca zasada:

Aby dodać liczby o różnych znakach, należy odjąć mniejszy moduł od większego i przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak liczby, której moduł jest większy.

Zobaczmy więc, który moduł jest większy:

Moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby -2. Reguła wymaga odjęcia mniejszego modułu od większego. Dlatego musimy odjąć 2 od 5, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak liczby, której moduł jest większy.

Liczba 5 ma większy moduł, więc znak tej liczby będzie w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź będzie pozytywna:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Zwykle zapisywane krócej: −2 + 5 = 3

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 3 + (-2)

Tutaj, podobnie jak w poprzednim przykładzie, dodawane są liczby o różnych znakach. 3 jest liczbą dodatnią, a -2 jest liczbą ujemną. Zwróć uwagę, że −2 jest ujęte w nawiasy, aby wyrażenie było jaśniejsze. To wyrażenie jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia niż wyrażenie 3+−2.

Zastosujmy więc zasadę dodawania liczb o różnych znakach. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, od większego modułu odejmujemy mniejszy moduł i przed odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Moduł liczby 3 jest większy niż moduł liczby -2, więc od 3 odjęliśmy 2, a przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy. Liczba 3 ma większy moduł, dlatego w odpowiedzi uwzględniony jest znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.

Zwykle zapisywane krócej 3 + (-2) = 1

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia 3 - 7

W tym wyrażeniu większa liczba jest odejmowana od mniejszej liczby. W takim przypadku obowiązuje następująca zasada:

Aby odjąć większą liczbę od mniejszej, należy odjąć mniejszą liczbę od większej i umieścić minus przed wynikową odpowiedzią.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

W tym wyrażeniu jest niewielki haczyk. Pamiętajmy, że znak równości (=) stawia się pomiędzy wielkościami i wyrażeniami, gdy są one sobie równe.

Jak się dowiedzieliśmy, wartość wyrażenia 3 - 7 jest równa -4. Oznacza to, że wszelkie przekształcenia, które wykonamy w tym wyrażeniu, muszą być równe −4

Ale widzimy, że na drugim etapie istnieje wyrażenie 7 - 3, które nie jest równe -4.

Aby poprawić tę sytuację, należy umieścić wyrażenie 7 - 3 w nawiasie i postawić minus przed tym nawiasem:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

W takim przypadku równość będzie przestrzegana na każdym etapie:

Po obliczeniu wyrażenia nawiasy można usunąć, co też zrobiliśmy.

Aby być bardziej precyzyjnym, rozwiązanie powinno wyglądać tak:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Regułę tę można zapisać za pomocą zmiennych. Będzie to wyglądać tak:

a - b = - (b - a)

Duża liczba nawiasów i znaków operacji może skomplikować rozwiązanie pozornie prostego problemu, dlatego lepiej jest nauczyć się pisać krótko takie przykłady, np. 3 - 7 = - 4.

W rzeczywistości dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych sprowadza się do niczego innego jak dodawania. Oznacza to, że jeśli chcesz odjąć liczby, operację tę można zastąpić dodawaniem.

Zapoznajmy się więc z nową zasadą:

Odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odejmowanej liczby przeciwnej do odejmowanej.

Rozważmy na przykład najprostsze wyrażenie 5 - 3. On początkowe etapy studiując matematykę, stawiamy znak równości i zapisujemy odpowiedź:

Ale teraz jesteśmy w trakcie studiów, więc musimy dostosować się do nowych zasad. Nowa zasada mówi, że odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odjemnej tej samej liczby, co odjęcie.

Spróbujmy zrozumieć tę regułę na przykładzie wyrażenia 5 - 3. Minuenda w tym wyrażeniu wynosi 5, a odejmowanie wynosi 3. Reguła mówi, że aby odjąć 3 od 5, należy dodać do 5 liczbę przeciwną 3. Przeciwieństwem liczby 3 jest −3 . Napiszmy nowe wyrażenie:

I już wiemy, jak znaleźć znaczenie takich wyrażeń. Jest to dodawanie liczb o różnych znakach, które sprawdziliśmy wcześniej. Aby dodać liczby o różnych znakach, odejmujemy mniejszy moduł od większego i przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby -3. Dlatego odjęliśmy 3 od 5 i otrzymaliśmy 2. Liczba 5 ma większy moduł, więc w odpowiedzi stawiamy znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.

Na początku nie każdy jest w stanie szybko zastąpić odejmowanie dodawaniem. Wynika to z faktu, że liczby dodatnie są zapisywane bez znaku plus.

Na przykład w wyrażeniu 3 - 1 znak minus wskazujący na odejmowanie jest znakiem operacji i nie odnosi się do jednego. Jednostka w w tym przypadku jest liczbą dodatnią i ma swój własny znak plus, ale go nie widzimy, ponieważ plusa nie zapisuje się przed liczbami dodatnimi.

Dlatego dla przejrzystości wyrażenie to można zapisać w następujący sposób:

(+3) − (+1)

Dla wygody liczby z własnymi znakami umieszczono w nawiasach. W tym przypadku zastąpienie odejmowania dodawaniem jest znacznie łatwiejsze.

W wyrażeniu (+3) − (+1) odejmowana liczba to (+1), a liczba przeciwna to (−1).

Zastąpmy odejmowanie dodawaniem i zamiast odejmowania (+1) napiszmy liczbę przeciwną (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Dalsze obliczenia nie będą trudne.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, jaki jest sens tych dodatkowych ruchów, jeśli możesz zastosować starą, dobrą metodę, postawić znak równości i od razu zapisać odpowiedź 2. Tak naprawdę ta zasada pomoże nam nie raz.

Rozwiążmy poprzedni przykład 3 - 7, korzystając z reguły odejmowania. Najpierw sprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy, przypisując każdej liczbie własne znaki.

Trzy ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią. Znak minus oznaczający odejmowanie nie dotyczy siódemki. Siedem ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią:

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Dalsze obliczenia nie są trudne:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia -4 - 5

Znów mamy operację odejmowania. Operację tę należy zastąpić dodawaniem. Do odejmowania (−4) dodajemy liczbę przeciwną do odejmowania (+5). Liczba przeciwna do odejmowania (+5) to liczba (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Doszliśmy do sytuacji, w której musimy dodać liczby ujemne. W takich przypadkach obowiązuje następująca zasada:

Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią.

Dodajmy więc moduły liczb, jak wymaga tego reguła, i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Wpis z modułami należy ująć w nawiasy, a przed tymi nawiasami należy umieścić znak minus. W ten sposób podamy minus, który powinien pojawić się przed odpowiedzią:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

lub jeszcze krócej:

−4 − 5 = −9

Przykład 8. Znajdź wartość wyrażenia -3 - 5 - 7 - 9

Doprowadźmy wyrażenie do jasnej formy. Tutaj wszystkie liczby z wyjątkiem -3 są dodatnie, więc będą miały znak plus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Wszystkie minusy, z wyjątkiem minusa przed trójką, zmienią się na plusy, a wszystkie liczby dodatnie zmienią się na przeciwne:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Zastosujmy teraz zasadę dodawania liczb ujemnych. Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

lub jeszcze krócej:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Przykład 9. Znajdź wartość wyrażenia −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Doprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Są tu dwie operacje: dodawanie i odejmowanie. Dodawanie pozostawiamy bez zmian, a odejmowanie zastępujemy dodawaniem:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Obserwując, będziemy wykonywać każdą akcję po kolei, w oparciu o poznane wcześniej zasady. Wpisy z modułami można pominąć:

Pierwsza akcja:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Druga akcja:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Trzecia akcja:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Czwarta akcja:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Zatem wartość wyrażenia −10 + 6 − 15 + 11 − 7 wynosi −15

Notatka. Nie jest wcale konieczne doprowadzenie wyrażenia do zrozumiałej formy poprzez umieszczenie liczb w nawiasach. Kiedy nastąpi przyzwyczajenie do liczb ujemnych, ten krok można pominąć, ponieważ jest czasochłonny i może być mylący.

Aby więc dodawać i odejmować liczby całkowite, należy pamiętać o następujących zasadach:

Dołączć do naszego Nowa grupa VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Na tej lekcji dowiemy się, czym jest liczba ujemna i jakie liczby nazywane są przeciwieństwami. Dowiemy się również, jak dodawać liczby ujemne i dodatnie (liczby z różnymi znakami) i przyjrzymy się kilku przykładom dodawania liczb z różnymi znakami.

Spójrz na to koło zębate (patrz ryc. 1).

Ryż. 1. Mechanizm zegarowy

To nie jest wskazówka, która bezpośrednio pokazuje godzinę, a nie tarcza (patrz ryc. 2). Ale bez tej części zegar nie działa.

Ryż. 2. Sprzęt wewnątrz zegara

Co oznacza litera Y? Nic poza dźwiękiem Y. Ale bez tego wiele słów nie będzie „działać”. Na przykład słowo „mysz”. Podobnie liczby ujemne: nie pokazują żadnej wielkości, ale bez nich mechanizm obliczeniowy byłby znacznie trudniejszy.

Wiemy, że dodawanie i odejmowanie są operacjami równoważnymi i można je wykonywać w dowolnej kolejności. W bezpośredniej kolejności możemy obliczyć: , ale nie możemy zacząć od odejmowania, ponieważ nie ustaliliśmy jeszcze, co.

Oczywiste jest, że zwiększenie liczby, a następnie zmniejszenie, oznacza ostatecznie zmniejszenie o trzy. Dlaczego nie wyznaczyć tego obiektu i nie liczyć w ten sposób: dodawanie oznacza odejmowanie. Następnie .

Liczba może oznaczać na przykład jabłko. Nowa liczba nie reprezentuje żadnej rzeczywistej wielkości. Samo w sobie nie oznacza niczego takiego jak litera Y. To proste nowe narzędzie aby uprościć obliczenia.

Nazwijmy nowe liczby negatywny. Teraz możemy odjąć większą liczbę od mniejszej. Technicznie rzecz biorąc, nadal musisz odjąć mniejszą liczbę od większej, ale wstaw znak minus w swojej odpowiedzi: .

Spójrzmy na inny przykład: . Możesz wykonać wszystkie czynności z rzędu: .

Jednak łatwiej jest odjąć trzecią liczbę od pierwszej liczby, a następnie dodać drugą liczbę:

Liczby ujemne można zdefiniować w inny sposób.

Na przykład dla każdej liczby naturalnej wprowadzamy nową liczbę, którą oznaczamy i stwierdzamy, że ma następującą właściwość: suma liczby i jest równa: .

Nazwiemy liczbę ujemną, a liczby i - przeciwnie. W ten sposób otrzymaliśmy nieskończoną liczbę nowych liczb, na przykład:

Przeciwieństwo liczby;

Przeciwieństwo liczby;

Przeciwieństwo liczby;

Przeciwieństwo liczby;

Odejmij większą liczbę od mniejszej: . Dodajmy do tego wyrażenia: . Mamy zero. Jednak zgodnie z własnością: liczbę, która dodaje zero do pięciu, oznaczamy minus pięć: . Dlatego wyrażenie można oznaczyć jako .

Każda liczba dodatnia ma liczbę bliźniaczą, która różni się tylko tym, że jest poprzedzona znakiem minus. Takie liczby są wywoływane naprzeciwko(patrz ryc. 3).

Ryż. 3. Przykłady liczb przeciwnych

Właściwości liczb przeciwnych

1. Suma liczb przeciwnych wynosi zero: .

2. Jeśli odejmiesz liczbę dodatnią od zera, wynikiem będzie przeciwna liczba ujemna: .

1. Obie liczby mogą być dodatnie i już wiemy jak je dodać: .

2. Obie liczby mogą być ujemne.

Omówiliśmy już dodawanie takich liczb w poprzedniej lekcji, ale upewnijmy się, że wiemy, co z nimi zrobić. Na przykład: .

Aby znaleźć tę sumę, dodaj przeciwne liczby dodatnie i postaw znak minus.

3. Jedna liczba może być dodatnia, a druga ujemna.

Jeśli jest to dla nas wygodne, możemy zastąpić dodawanie liczby ujemnej odejmowaniem liczby dodatniej: .

Jeszcze jeden przykład: . Ponownie zapisujemy kwotę jako różnicę. Większą liczbę można odjąć od mniejszej, odejmując mniejszą liczbę od większej, ale używając znaku minus.

Możemy zamienić terminy: .

Inny podobny przykład: .

We wszystkich przypadkach wynikiem jest odejmowanie.

Aby pokrótce sformułować te zasady, przypomnijmy sobie jeszcze jedno określenie. Liczby przeciwne nie są oczywiście sobie równe. Ale byłoby dziwnie nie zauważyć tego, co ich łączy. Nazwaliśmy to powszechnym liczba modulo. Moduł liczb przeciwnych jest taki sam: dla liczby dodatniej jest równy samej liczbie, a dla liczby ujemnej jest równy wartości przeciwnej, dodatniej. Na przykład: , .

Aby dodać dwie liczby ujemne, należy dodać ich moduły i postawić znak minus:

Aby dodać liczbę ujemną i dodatnią, należy odjąć mniejszy moduł od większego i postawić znak liczby przy większym module:

Obie liczby są ujemne, dlatego dodajemy ich moduły i stawiamy znak minus:

Dwie liczby o różnych znakach zatem od modułu liczby (większego modułu) odejmujemy moduł liczby i stawiamy znak minus (znak liczby o większym module):

Dwie liczby o różnych znakach zatem od modułu liczby (większego modułu) odejmujemy moduł liczby i stawiamy znak minus (znak liczby o większym module): .

Dwie liczby o różnych znakach zatem od modułu liczby (większego modułu) odejmujemy moduł liczby i stawiamy znak plus (znak liczby o większym module): .

Liczby dodatnie i ujemne w przeszłości pełniły różne role.

Najpierw weszliśmy liczby całkowite do liczenia przedmiotów:

Następnie wprowadziliśmy inne liczby dodatnie - ułamki, do zliczania wielkości niecałkowitych, części: .

Liczby ujemne pojawiły się jako narzędzie ułatwiające obliczenia. To nie było tak, że w życiu istniały ilości, których nie mogliśmy policzyć, i wymyśliliśmy liczby ujemne.

Oznacza to, że liczby ujemne nie powstały prawdziwy świat. Po prostu okazały się na tyle wygodne, że w niektórych miejscach znalazły zastosowanie w życiu. Często słyszymy na przykład temperatura ujemna. Jednak nigdy nie spotykamy się z ujemną liczbą jabłek. Co za różnica?

Różnica polega na tym, że w życiu ilości ujemne służą tylko do porównania, a nie do ilości. Jeśli hotel ma piwnicę i jest tam zainstalowana winda, to w celu zachowania zwykłej numeracji zwykłych pięter może pojawić się minus pierwsze piętro. Ten pierwszy minus oznacza tylko jedno piętro poniżej poziomu gruntu (patrz rys. 1).

Ryż. 4. Minus pierwsze i minus drugie piętro

Temperatura ujemna jest ujemna tylko w porównaniu do zera, który wybrał autor skali, Anders Celsjusza. Istnieją inne skale i ta sama temperatura nie może już być tam ujemna.

Jednocześnie rozumiemy, że nie można zmienić punktu początkowego tak, aby nie było pięciu jabłek, ale sześć. Tak więc w życiu liczby dodatnie służą do określania ilości (jabłka, ciasto).

Używamy ich również zamiast imion. Każdemu telefonowi można nadać własną nazwę, ale liczba nazw jest ograniczona i nie ma numerów. Dlatego używamy numerów telefonów. Również do zamawiania (wiek następuje po stuleciu).

Liczby ujemne w życiu są używane w tym drugim znaczeniu (minus pierwsze piętro poniżej zera i pierwsze piętro)

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. „Gimnazjum”, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. M.: Edukacja, 1989.
4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. M.: ZSz MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. M.: ZSz MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 Liceum. M.: Edukacja, Biblioteka Nauczyciela Matematyki, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube().
3. School-asystent.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Praca domowa

W tym artykule zajmiemy się dodawanie liczb z różnymi znakami. Tutaj podamy zasadę dodawania liczb dodatnich i ujemnych oraz rozważymy przykłady zastosowania tej zasady podczas dodawania liczb o różnych znakach.

Nawigacja strony.

Zasada dodawania liczb o różnych znakach

Liczby dodatnie i ujemne można interpretować odpowiednio jako majątek i dług, natomiast moduły liczb pokazują kwotę majątku i długu. Wtedy dodanie liczb o różnych znakach można uznać za dodanie majątku i długu. Oczywiste jest, że jeśli majątek jest mniejszy od długu, to po potrąceniu powstanie dług, jeśli majątek jest większy od długu, to po potrąceniu będzie majątek, a jeśli majątek będzie równy długowi, to po uregulowaniu nie będzie ani długu, ani majątku.

Połączmy powyższe argumenty w zasada dodawania liczb o różnych znakach. Aby dodać liczbę dodatnią i ujemną, musisz:

• znajdź moduły terminów;
• porównać uzyskane liczby, podczas gdy
  • jeśli otrzymane liczby są równe, wówczas pierwotne wyrazy są liczbami przeciwnymi, a ich suma wynosi zero,
  • jeśli wynikowe liczby nie są równe, należy pamiętać znak liczby, której moduł jest większy;
• odejmij mniejszy od większego modułu;
• Przed otrzymaną liczbą postaw znak członu, którego moduł jest większy.

Podana zasada ogranicza dodawanie liczb o różnych znakach do odejmowania mniejszej liczby od większej liczby dodatniej. Oczywiste jest również, że w wyniku dodania liczby dodatniej i ujemnej można otrzymać liczbę dodatnią, liczbę ujemną lub zero.

Należy również pamiętać, że zasada dodawania liczb o różnych znakach obowiązuje w przypadku liczb całkowitych, liczb wymiernych i liczb rzeczywistych.

Przykłady dodawania liczb z różnymi znakami

Rozważmy przykłady dodawania liczb z różnymi znakami zgodnie z zasadą omówioną w poprzednim akapicie. Zacznijmy od prostego przykładu.

www.cleverstudents.ru

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Ułamki są regularne numery, można je także dodawać i odejmować. Ale ponieważ mają mianownik, wymagają bardziej złożonych reguł niż w przypadku liczb całkowitych.

Rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki o tych samych mianownikach. Następnie:

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i ponownie pozostawić mianownik bez zmian.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

W każdym wyrażeniu mianowniki ułamków są równe. Z definicji dodawania i odejmowania ułamków otrzymujemy:

Jak widać, nic skomplikowanego: wystarczy dodać lub odjąć liczniki i to wszystko.

Ale nawet w takim proste działania ludzie potrafią popełniać błędy. Najczęściej zapomina się, że mianownik się nie zmienia. Na przykład, dodając je, zaczynają się one również sumować, co jest zasadniczo błędne.

Pozbyć się zły nawyk Dodawanie mianowników jest dość proste. Spróbuj tego samego podczas odejmowania. W efekcie mianownik wyniesie zero, a ułamek (nagle!) straci swoje znaczenie.

Dlatego pamiętajcie raz na zawsze: podczas dodawania i odejmowania mianownik się nie zmienia!

Wiele osób popełnia również błędy przy dodawaniu kilku ułamków ujemnych. Ze znakami jest zamieszanie: gdzie postawić minus, a gdzie plus.

Ten problem jest również bardzo łatwy do rozwiązania. Wystarczy pamiętać, że minus przed znakiem ułamka zawsze można przenieść na licznik - i odwrotnie. I oczywiście nie zapomnij o dwóch prostych zasadach:

• Plus przez minus daje minus;
• Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.

Spójrzmy na to wszystko na konkretnych przykładach:



W pierwszym przypadku wszystko jest proste, ale w drugim dodajmy minusy do liczników ułamków:



Co zrobić, jeśli mianowniki są różne

Bezpośrednie dodawanie ułamków za pomocą różne mianowniki to jest zabronione. Przynajmniej mi ta metoda nie jest znana. Jednak oryginalne ułamki zawsze można przepisać tak, aby mianowniki stały się takie same.

Istnieje wiele sposobów konwertowania ułamków zwykłych. Trzy z nich zostały omówione na lekcji „Redukcja ułamków do wspólny mianownik”, więc nie będziemy się nad nimi tutaj rozwodzić. Spójrzmy na kilka przykładów:



W pierwszym przypadku ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika metodą „na krzyż”. W drugim będziemy szukać NOC. Zauważ, że 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ostatnie czynniki w tych rozwinięciach są równe, a pierwsze są względnie pierwsze. Zatem LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.



Co zrobić, jeśli ułamek ma część całkowitą

Mogę cię zadowolić: różne mianowniki ułamków nie są największym złem. Dużo więcej błędów występuje, gdy część całkowita jest izolowana w postaci ułamkowej.

Oczywiście istnieją własne algorytmy dodawania i odejmowania takich ułamków, ale są one dość złożone i wymagają długich badań. Lepiej wykorzystać prosty schemat, podane poniżej:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nawet o różnych mianownikach), które obliczamy według zasad omówionych powyżej;
• Właściwie oblicz sumę lub różnicę powstałych ułamków. W rezultacie praktycznie znajdziemy odpowiedź;
• Jeśli to wszystko było wymagane w zadaniu, wykonujemy transformację odwrotną, tj. pozbywając się ułamek niewłaściwy, podkreślając całą jego część.

Zasady przechodzenia do ułamków niewłaściwych i wyróżniania całej części opisano szczegółowo w lekcji „Co jest ułamek liczbowy" Jeśli nie pamiętasz, koniecznie powtórz. Przykłady:

Tutaj wszystko jest proste. Mianowniki w każdym wyrażeniu są równe, więc pozostaje tylko zamienić wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe i policzyć. Mamy:



Aby uprościć obliczenia, w ostatnich przykładach pominąłem kilka oczywistych kroków.

Mała uwaga do dwóch ostatnich przykładów, gdzie odejmuje się ułamki z wyróżnionymi cała część. Minus przed drugim ułamkiem oznacza, że ​​odejmowany jest cały ułamek, a nie tylko jego część.

Przeczytaj jeszcze raz to zdanie, spójrz na przykłady i pomyśl o tym. Tutaj początkujący popełniają ogromną liczbę błędów. Uwielbiają zlecać takie zadania testy. Spotkasz je także kilka razy w testach do tej lekcji, które zostaną wkrótce opublikowane.

Podsumowanie: ogólny schemat obliczeń

Podsumowując, dam algorytm ogólny, które pomogą Ci znaleźć sumę lub różnicę dwóch lub więcej ułamków:

W tym artykule zajmiemy się dodawanie liczb z różnymi znakami. Tutaj podamy zasadę dodawania liczb dodatnich i ujemnych oraz rozważymy przykłady zastosowania tej zasady podczas dodawania liczb o różnych znakach.

Nawigacja strony.

Zasada dodawania liczb o różnych znakach

Przykłady dodawania liczb z różnymi znakami

Rozważmy przykłady dodawania liczb z różnymi znakami zgodnie z zasadą omówioną w poprzednim akapicie. Zacznijmy od prostego przykładu.

Przykład.

Dodaj liczby -5 i 2.

Rozwiązanie.

Musimy dodać liczby z różnymi znakami. Postępujmy zgodnie ze wszystkimi krokami przewidzianymi w zasadzie dodawania liczb dodatnich i ujemnych.

Najpierw znajdujemy moduły terminów; są one równe odpowiednio 5 i 2.

Moduł liczby −5 jest większy niż moduł liczby 2, więc pamiętaj o znaku minus.

Pozostaje umieścić zapamiętany znak minus przed wynikową liczbą, otrzymujemy -3. Na tym kończy się dodawanie liczb z różnymi znakami.

Odpowiedź:

(−5)+2=−3 .

Spasować liczby wymierne z różnymi znakami, które nie są liczbami całkowitymi, należy je przedstawić jako ułamki zwykłe (można także pracować z ułamkami dziesiętnymi, jeśli jest to wygodne). Przyjrzyjmy się temu punktowi przy rozwiązywaniu następnego przykładu.

Przykład.

Dodaj liczbę dodatnią i liczbę ujemną -1,25.

Rozwiązanie.

Przedstawmy liczby w formularzu zwykłe ułamki, w tym celu dokonamy przejścia z liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy: , oraz zamienimy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły: .

Teraz możesz skorzystać z reguły dodawania liczb o różnych znakach.

Moduły dodawanych liczb to 17/8 i 5/4. Dla łatwości wykonania dalsze działania, sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika, w wyniku czego mamy 17/8 i 10/8.

Teraz musimy porównać zwykłe ułamki 17/8 i 10/8. Zatem od 17>10 . Zatem termin ze znakiem plus ma większy moduł, dlatego pamiętaj o znaku plus.

Teraz odejmujemy mniejszy od większego modułu, czyli odejmujemy ułamki o tych samych mianownikach: .

Pozostaje tylko umieścić zapamiętany znak plus przed wynikową liczbą, otrzymujemy , ale - to jest liczba 7/8.