Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Jak nauczyć się odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Licznik i to, co jest dzielone przez, jest mianownikiem.

Aby zapisać ułamek, najpierw wpisz licznik, następnie narysuj poziomą linię pod liczbą i wpisz mianownik pod tą linią. Linię poziomą oddzielającą licznik od mianownika nazywa się linią ułamkową. Czasami jest przedstawiany jako ukośny „/” lub „∕”. W takim przypadku licznik jest zapisywany po lewej stronie linii, a mianownik po prawej stronie. Na przykład ułamek „dwie trzecie” zostanie zapisany jako 2/3. Dla jasności licznik jest zwykle zapisywany na górze linii, a mianownik na dole, czyli zamiast 2/3 można znaleźć: ⅔.

Aby obliczyć iloczyn ułamków, najpierw pomnóż licznik przez jeden ułamki do licznika jest inny. Wynik zapisz w liczniku nowego ułamki. Następnie pomnóż mianowniki. Wprowadź całkowitą wartość w nowym ułamki. Na przykład 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Aby podzielić ułamek przez drugi, należy najpierw pomnożyć licznik pierwszego przez mianownik drugiego. Zrób to samo z drugim ułamkiem (dzielnikiem). Lub przed wykonaniem wszystkich czynności najpierw „odwróć” dzielnik, jeśli jest to dla Ciebie wygodniejsze: mianownik powinien pojawić się zamiast licznika. Następnie pomnóż mianownik dywidendy przez nowy mianownik dzielnika i pomnóż liczniki. Na przykład 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Źródła:

• Podstawowe problemy ułamkowe

Liczby ułamkowe można wyrazić w w różnych formach Dokładna wartość wielkie ilości. Na ułamkach zwykłych możesz wykonywać te same operacje matematyczne, co na liczbach całkowitych: odejmowanie, dodawanie, mnożenie i dzielenie. Aby nauczyć się decydować ułamki, musimy pamiętać o niektórych ich cechach. Zależą od rodzaju ułamki, obecność części całkowitej, wspólny mianownik. Niektóre operacje arytmetyczne wymagają zmniejszenia części ułamkowej wyniku po wykonaniu.

Będziesz potrzebować

• - kalkulator

Instrukcje

Przyjrzyj się uważnie liczbom. Jeśli wśród ułamków zwykłych znajdują się ułamki dziesiętne i nieregularne, czasami wygodniej jest najpierw wykonać operacje na ułamkach dziesiętnych, a następnie przekształcić je do postaci nieregularnej. Możesz przetłumaczyć ułamki początkowo w tej formie, zapisując wartość po przecinku w liczniku i wstawiając 10 w mianowniku. Jeśli to konieczne, zmniejsz ułamek, dzieląc liczby powyżej i poniżej przez jeden dzielnik. Ułamki, w których się wyróżniają cała część, zapisz go w niewłaściwej formie, mnożąc go przez mianownik i dodając licznik do wyniku. Wartość ta stanie się nowym licznikiem ułamki. Aby wybrać całą część z początkowo nieprawidłowej ułamki, musisz podzielić licznik przez mianownik. Zapisz cały wynik z ułamki. A pozostała część dzielenia stanie się nowym licznikiem i mianownikiem ułamki to się nie zmienia. W przypadku ułamków zawierających część całkowitą możliwe jest wykonanie działań oddzielnie, najpierw dla liczby całkowitej, a następnie dla części ułamkowych. Na przykład można obliczyć sumę 1 2/3 i 2 ¾:
- Zamiana ułamków zwykłych na złą formę:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Sumowanie oddzielnie części całkowitych i ułamkowych terminów:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Przepisz je, używając separatora „:” i kontynuuj normalny podział.

Aby uzyskać wynik końcowy, zmniejsz uzyskany ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez jedną liczbę całkowitą, największą możliwą w w tym przypadku. W tym przypadku powyżej i poniżej linii muszą znajdować się liczby całkowite.

notatka

Nie wykonuj działań arytmetycznych na ułamkach, których mianowniki są różne. Wybierz taką liczbę, że pomnożenie przez nią licznika i mianownika każdego ułamka spowoduje, że mianowniki obu ułamków będą równe.

Pomocna rada

Podczas nagrywania liczby ułamkowe Dywidenda jest zapisana powyżej linii. Ilość tę wyznacza się jako licznik ułamka. Dzielnik lub mianownik ułamka zapisuje się pod linią. Na przykład półtora kilograma ryżu jako ułamek zostanie zapisane w następujący sposób: 1 ½ kg ryżu. Jeżeli mianownik ułamka wynosi 10, ułamek ten nazywamy ułamkiem dziesiętnym. W tym przypadku licznik (dywidenda) wpisuje się po prawej stronie całej części, oddzielając przecinkiem: 1,5 kg ryżu. Dla ułatwienia obliczeń taki ułamek zawsze można zapisać w niewłaściwej formie: 1 2/10 kg ziemniaków. Dla uproszczenia możesz zmniejszyć wartości licznika i mianownika, dzieląc je przez jedną liczbę całkowitą. W tym przykładzie możesz podzielić przez 2. Otrzymasz 1 1/5 kg ziemniaków. Upewnij się, że liczby, na których będziesz wykonywać arytmetykę, są przedstawione w tej samej formie.

Na tej lekcji omówione zostanie dodawanie i odejmowanie. ułamki algebraiczne Z różne mianowniki. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach jest jednym z najważniejszych i trudne tematy w klasie 8. Co więcej, temat ten pojawi się w wielu tematach kursu algebry, którego będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy cała linia typowe przykłady.

Rozważmy najprostszy przykład Dla zwykłe ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadzie dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) oryginalnych mianowników.

Definicja

Najmniej Liczba naturalna, który jest jednocześnie podzielny przez liczby i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybierz wszystkie czynniki pierwsze, które są uwzględnione w rozwinięciu obu mianowników.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika konieczne jest, aby każda z frakcji znalazła dodatkowy czynnik (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik do mianownika odpowiedniego ułamka).

Każdy ułamek jest następnie mnożony przez uzyskany dodatkowy współczynnik. Otrzymujemy ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, które nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw przyjrzyjmy się ułamkom, których mianownikami są liczby.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

Sformułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (podzielając wspólny mianownik przez mianownik danego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe współczynniki.

4. Dodawaj lub odejmij ułamki zwykłe, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, których mianownik zawiera wyrażenia literowe.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia literowe w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Zatem rozwiązanie tego przykładu wygląda następująco:.

Odpowiedź:.

Przykład 4. Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów na mnożenie), to musisz przyjąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najbardziej trudne zadanie jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Znajdując wspólny mianownik, należy najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (w celu uproszczenia wspólnego mianownika).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Ustalmy teraz zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

.

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodawane są nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla więcej ułamki pozostają takie same).

Przykład 8. Uproszczać: .

W tej lekcji omówimy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Nauka pracy z ułamkami zwykłymi o podobnych mianownikach jest jednym z kamieni węgielnych nauki pracy z ułamkami algebraicznymi. W szczególności zrozumienie tego tematu ułatwi opanowanie bardziej złożonego tematu - dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów

Zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o jednakowych mianownikach

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih ułamki od jeden na ciebie -mi know-na-te-la-mi (zbiega się to z analogiczną zasadą dla zwykłych uderzeń strzałowych): Czyli do dodawania lub obliczania ułamków al-geb-ra-i-che-skih z jeden do ciebie wiesz- me-on-the-la-mi konieczne jest -ho-di-mo, aby ułożyć odpowiednią al-geb-ra-i-che-sumę liczb, a znak-me-na-tel pozostawia się bez żadnych.

Rozumiemy tę zasadę zarówno na przykładzie zwykłych losowań ven, jak i na przykładzie trafienia al-geb-ra-i-che-dres.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków zwykłych

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Dodajmy liczbę ułamków i zostawmy znak bez zmian. Następnie rozkładamy liczbę i podpisujemy na proste wielokrotności i kombinacje. Chodźmy po to: .

Uwaga: standardowy błąd dozwolony przy rozwiązywaniu podobnych typów przykładów dla -klu-cha-et-sya w następującym możliwym rozwiązaniu: . Jest to rażący błąd, ponieważ znak pozostaje taki sam, jak w pierwotnych ułamkach.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Ten nie różni się niczym od poprzedniego: .

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków algebraicznych

Od zwykłych dro-beatów przechodzimy do al-geb-ra-i-che-skim.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie: jak już wspomniano powyżej, skład frakcji al-geb-ra-i-che w niczym nie różni się od słowa to samo, co zwykłe strzelaniny. Dlatego metoda rozwiązania jest taka sama: .

Przykład 4. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih frakcje z-czy z dodania tylko przez fakt, że w liczbie pi-sy-va-et-sya różnica w liczbie użytych frakcji. Dlatego .

Przykład 5. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie: .

Przykład 6. Uprość: .

Rozwiązanie: .

Przykłady zastosowania reguły, po której następuje redukcja

W ułamku, który ma to samo znaczenie w wyniku składania lub obliczania, możliwe są kombinacje nia. Ponadto nie należy zapominać o ODZ frakcji al-geb-ra-i-che-skih.

Przykład 7. Uprość: .

Rozwiązanie: .

W której . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ODZ początkowych ułamków pokrywa się z ODZ całości, to można go pominąć (w końcu ułamek będący w odpowiedzi również nie będzie istniał z odpowiednimi znaczącymi zmianami). Ale jeśli ODZ użytych frakcji i odpowiedź nie pasują, należy wskazać ODZ.

Przykład 8. Uprość: .

Rozwiązanie: . Jednocześnie y (ODZ frakcji początkowych nie pokrywa się z ODZ wyniku).

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodać i odczytać ułamki al-geb-ra-i-che z różnymi know-me-on-la-mi, wykonujemy ana-lo -giyu z ułamkami zwykłymi-ven-ny i przenosimy je do al-geb -ra-i-che-ułamki.

Spójrzmy na najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadach dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamek należy doprowadzić go do wspólnego znaku. W roli znaku ogólnego dla ułamków zwykłych działasz najmniejsza wspólna wielokrotność(NOK) znaki początkowe.

Definicja

Najmniejsza liczba, która jest jednocześnie podzielona na liczby i.

Aby znaleźć NOC, należy rozbić wiedzę na proste zbiory, a następnie wybrać wszystko, czego jest wiele, co wchodzi w zakres podziału obu znaków.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wiedzy ogólnej konieczne jest, aby każdy z ułamków znalazł pełnego rezydenta krotności (w rzeczywistości umieścił wspólny znak na znaku odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez półpełny współczynnik. Znajdźmy kilka ułamków z tych samych, które znasz, dodaj je i przeczytaj -przestudiowane na poprzednich lekcjach.

Jedzmy: .

Odpowiedź:.

Przyjrzyjmy się teraz składowi ułamków al-geb-ra-i-che o różnych znakach. Teraz spójrzmy na ułamki i zobaczmy, czy są jakieś liczby.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Al-go-rytm decyzji abs-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen do poprzedniego przykładu. Łatwo jest wziąć wspólny znak danych ułamków: i dodatkowe mnożniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

A więc formujmy al-go-rytm składu i obliczanie al-geb-ra-i-che-ułamków o różnych znakach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny znak ułamka.

2. Znajdź dodatkowe mnożniki dla każdego z ułamków (w rzeczywistości podany jest wspólny znak znaku -ty ułamek).

3. Liczby do wielu na odpowiadających im wielokrotnościach do pełnych.

4. Dodawaj lub obliczaj ułamki, korzystając ze zdrowego dodawania i obliczania ułamków, mając tę ​​samą wiedzę -me-na-te-la-mi.

Spójrzmy teraz na przykład z ułamkami zwykłymi, w znaku których znajdują się litery ty -nia.

Wyrażenia ułamkowe są trudne do zrozumienia dla dziecka. Większość ludzi ma trudności z. Podczas studiowania tematu „dodawanie ułamków z liczbami całkowitymi” dziecko wpada w odrętwienie, mając trudności z rozwiązaniem problemu. W wielu przykładach przed wykonaniem czynności należy wykonać szereg obliczeń. Na przykład zamień ułamki zwykłe lub zamień ułamek niewłaściwy na ułamek właściwy.

Wyjaśnijmy to jasno dziecku. Weźmy trzy jabłka, z których dwa będą całe, a trzecie pokrój na 4 części. Oddziel jeden plasterek od pokrojonego jabłka, a pozostałe trzy umieść obok dwóch całych owoców. Dostajemy ¼ jabłka z jednej strony i 2 ¾ z drugiej. Jeśli je połączymy, otrzymamy trzy jabłka. Spróbujmy zmniejszyć 2 ¾ jabłek o ¼, czyli usuń kolejny plasterek, otrzymamy 2 2/4 jabłek.

Przyjrzyjmy się bliżej operacjom na ułamkach zawierających liczby całkowite:

Na początek przypomnijmy sobie zasadę obliczania wyrażeń ułamkowych mających wspólny mianownik:

Na pierwszy rzut oka wszystko jest łatwe i proste. Dotyczy to jednak tylko wyrażeń, które nie wymagają konwersji.

Jak znaleźć wartość wyrażenia, gdy mianowniki są różne

W niektórych zadaniach trzeba znaleźć znaczenie wyrażenia, w którym mianowniki są różne. Spójrzmy na konkretny przypadek:
3 2/7+6 1/3

Znajdźmy wartość tego wyrażenia, znajdując wspólny mianownik dla dwóch ułamków.

Dla liczb 7 i 3 jest to 21. Części całkowite pozostawiamy takie same, a części ułamkowe doprowadzamy do 21, w tym celu mnożymy pierwszy ułamek przez 3, drugi przez 7, otrzymujemy:
6/21+7/21, nie zapominaj, że nie można konwertować całych części. W rezultacie otrzymujemy dwa ułamki o tym samym mianowniku i obliczamy ich sumę:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Co się stanie, jeśli wynikiem dodawania będzie ułamek niewłaściwy, który ma już część całkowitą:
2 1/3+3 2/3
W tym przypadku dodajemy części całkowite i ułamkowe i otrzymujemy:
5 3/3, jak wiadomo, 3/3 to jeden, co oznacza 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Znalezienie sumy jest jasne, spójrzmy na odejmowanie:

Z tego wszystkiego, co zostało powiedziane, zasada działania się skończyła liczby mieszane, co brzmi tak:

• Jeśli chcesz odjąć liczbę całkowitą od wyrażenia ułamkowego, nie musisz przedstawiać drugiej liczby w postaci ułamka, wystarczy wykonać operację tylko na częściach całkowitych.

Spróbujmy sami obliczyć znaczenie wyrażeń:

Uporządkujmy to więcej przykładów pod literą „m”:

4 5/11-2 8/11 licznik pierwszego ułamka jest mniejszy niż drugiego. Aby to zrobić, pożyczamy jedną liczbę całkowitą z pierwszego ułamka, otrzymujemy,
3 5/11+11/11=3 całość 16/11, odejmij drugą część od pierwszego ułamka:
3 16/11-2 8/11 = 1 całość 8/11

• Zachowaj ostrożność podczas wykonywania zadania, nie zapomnij zamienić ułamków niewłaściwych na ułamki mieszane, podkreślając całą część. Aby to zrobić, musisz podzielić wartość licznika przez wartość mianownika, wtedy to, co się stanie, zajmie miejsce całej części, reszta będzie licznikiem, na przykład:

19/4=4 ¾, sprawdźmy: 4*4+3=19, mianownik 4 pozostaje niezmieniony.

Podsumować:

Przed przystąpieniem do zadania związanego z ułamkami należy przeanalizować, jakiego rodzaju jest to wyrażenie, jakich przekształceń należy dokonać na ułamku, aby rozwiązanie było poprawne. Poszukaj więcej racjonalny sposób rozwiązania. Nie idź na trudną drogę. Zaplanuj wszystkie działania, rozwiąż je najpierw w wersji roboczej, a następnie przenieś do zeszytu szkolnego.

Aby uniknąć nieporozumień przy rozwiązywaniu wyrażeń ułamkowych, należy przestrzegać zasady spójności. Decyduj o wszystkim ostrożnie, bez pośpiechu.

Jeden z najważniejszych nauk, którego zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie ułamków zwykłych, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

• Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

• Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widzimy, wiedząc proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.



Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam numer otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że ​​obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.



Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

To samo robimy z pozostałymi ułamkami.

• 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:



Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

• Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
• Liczba 15 składa się z 5 x 3.
• Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą trzeba będzie pomnożyć nie tylko mianownik, ale także licznik. Aby to zrobić, dzielimy znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego musimy określić dodatkowe czynniki.

• 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
• 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem przez 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.



To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma część całkowitą? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Mówienie w prostych słowach, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która pojawi się po tych działaniach, jest licznikiem ułamek niewłaściwy. Mianownik pozostaje niezmieniony.
• Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
• Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.



Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków całkowitych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.



Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz zamienić całą liczbę na ułamek i to z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) przedstawione w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.