Jak podnieść liczbę do potęgi dziesiętnej. Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi

Lekcja poświęcona będzie bardziej uogólnionej wersji mnożenia ułamków zwykłych – podnoszeniu do potęgi. Przede wszystkim porozmawiamy o naturalnych potęgach ułamków i przykładach demonstrujących podobne operacje na ułamkach. Na początku lekcji omówimy także podnoszenie całych wyrażeń do potęg naturalnych i zobaczymy, jak będzie to przydatne przy rozwiązywaniu dalszych przykładów.

Temat: Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja: Budowa ułamek algebraiczny do stopnia

1. Zasady podnoszenia ułamków zwykłych i całych do potęg naturalnych na elementarnych przykładach

Zasada podnoszenia ułamków zwyczajnych i algebraicznych do potęgi naturalnej:

Możesz narysować analogię ze stopniem całego wyrażenia i zapamiętać, co oznacza podniesienie go do potęgi:

Przykład 1. .

Jak widać z przykładu, podniesienie ułamka do potęgi to szczególny przypadek mnożenie ułamków, o czym uczyliśmy się na poprzedniej lekcji.

Przykład 2. a), b) - minus znika, bo podnieśliśmy wyrażenie do parzystej potęgi.

Dla wygody pracy ze stopniami przypomnijmy podstawowe zasady podnoszenia do naturalnego stopnia:

- iloczyn uprawnień;

- podział stopni;

Podnoszenie stopnia do stopnia;

Stopień produktu.

Przykład 3. - znamy to z tematu „Potęgowanie całych wyrażeń”, z wyjątkiem jednego przypadku: nie istnieje.

2. Najprostsze przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych

Przykład 4. Podnieś ułamek do potęgi.

Rozwiązanie. Po podniesieniu do równej potęgi minus znika:

Przykład 5. Podnieś ułamek do potęgi.

Rozwiązanie. Teraz stosujemy zasady natychmiastowego podnoszenia stopnia do potęgi, bez osobnego harmonogramu:

.

Przyjrzyjmy się teraz złożonym problemom, w których będziemy musieli podnieść ułamki do potęgi, pomnożyć je i podzielić.

Przykład 6. Wykonaj akcje.

Rozwiązanie. . Następnie musisz dokonać redukcji. Opiszmy raz szczegółowo, jak to zrobimy, a następnie od razu wskażemy wynik przez analogię: . Podobnie (lub zgodnie z zasadą podziału władzy). Mamy: .

Przykład 7. Wykonaj akcje.

Rozwiązanie. . Redukcję przeprowadzono analogicznie do omówionego wcześniej przykładu.

Przykład 8. Wykonaj akcje.

Rozwiązanie. . W tym przykładzie ponownie opisaliśmy bardziej szczegółowo proces redukcji mocy we ułamkach w celu utrwalenia tej metody.

3. Bardziej złożone przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych (z uwzględnieniem znaków i wyrazów w nawiasach)

Przykład 9: Wykonaj akcje .

Rozwiązanie. W tym przykładzie pominiemy już osobne mnożenie ułamków, a od razu skorzystamy z reguły ich mnożenia i zapiszemy pod jednym mianownikiem. Jednocześnie podążamy za znakami - w tym przypadku ułamki są podnoszone do parzystych potęg, więc minusy znikają. Na koniec dokonamy redukcji.

Przykład 10: Wykonaj akcje .

Rozwiązanie. W tym przykładzie mamy do czynienia z podziałem ułamków; pamiętajmy, że w tym przypadku pierwszy ułamek jest mnożony przez drugi, ale w odwrotnej kolejności.

Czas się zapoznać podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi. Ta operacja na ułamkach algebraicznych w sensie stopnia sprowadza się do pomnożenia identycznych ułamków. W tym artykule podamy odpowiednią regułę i przyjrzymy się przykładom podnoszenia ułamków algebraicznych do potęgi naturalnej.

Nawigacja strony.

Zasada podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, jej dowód

Zanim zaczniemy mówić o podnoszeniu ułamka algebraicznego do potęgi, nie zaszkodzi przypomnieć sobie, jaki jest iloczyn identycznych czynników u podstawy potęgi, a ich liczbę określa wykładnik. Na przykład 2 3 =2·2·2=8.

Przypomnijmy sobie teraz zasadę potęgowania ułamek wspólny– w tym celu należy osobno podnieść licznik do wskazanej potęgi i osobno – mianownik. Np, . Zasada ta dotyczy podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej.

Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej daje nowy ułamek, którego licznik zawiera wskazany stopień licznika pierwotnego ułamka, a mianownik - stopień mianownika. W formie dosłownej reguła ta odpowiada równości , gdzie a i b są dowolnymi wielomianami (w szczególnych przypadkach jednomianami lub liczbami), b jest wielomianem niezerowym, a n oznacza .

Dowód podanej reguły podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi opiera się na definicji potęgi z wykładnikiem naturalnym oraz na tym, jak zdefiniowaliśmy mnożenie ułamków algebraicznych: .

Przykłady, rozwiązania

Reguła uzyskana w poprzednim akapicie sprowadza podniesienie ułamka algebraicznego do potęgi do podniesienia licznika i mianownika ułamka pierwotnego do tej potęgi. A ponieważ licznikiem i mianownikiem pierwotnego ułamka algebraicznego są wielomiany (w konkretnym przypadku jednomiany lub liczby), pierwotne zadanie sprowadza się do podniesienia wielomianów do potęgi. Po wykonaniu tej czynności otrzymany zostanie nowy ułamek algebraiczny, identycznie równy określonemu stopniowi pierwotnego ułamka algebraicznego.

Spójrzmy na rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Kwadrat ułamka algebraicznego.

Rozwiązanie.

Zapiszmy stopień. Przejdźmy teraz do zasady podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, daje nam to równość . Pozostaje przekształcić powstały ułamek do postaci ułamka algebraicznego, podnosząc jednomiany do potęgi. Więc .

Zwykle przy podnoszeniu ułamka algebraicznego do potęgi rozwiązanie nie jest wyjaśniane, ale jest ono krótko zapisywane. Nasz przykład odpowiada wpisowi .

Odpowiedź:

.

Jeżeli w liczniku i/lub mianowniku ułamka algebraicznego znajdują się wielomiany, zwłaszcza dwumiany, to przy podnoszeniu go do potęgi wskazane jest zastosowanie odpowiednich skróconych wzorów na mnożenie.

Przykład.

Konstruuj ułamek algebraiczny do drugiego stopnia.

Rozwiązanie.

Zgodnie z zasadą podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi mamy .

Aby przekształcić wynikowe wyrażenie w licznik, używamy wzór na różnicę kwadratową, a w mianowniku - wzór na kwadrat sumy trzech wyrazów:

Odpowiedź:

Podsumowując, zauważamy, że jeśli podniesiemy nieredukowalny ułamek algebraiczny do potęgi naturalnej, wówczas wynikiem będzie również ułamek nieredukowalny. Jeżeli ułamek pierwotny jest redukowalny, to przed podniesieniem go do potęgi wskazane jest wykonanie redukcji ułamka algebraicznego, aby nie przeprowadzać redukcji po podniesieniu do potęgi.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny www.w tym materiały wewnętrzne I projekt zewnętrzny, nie mogą być powielane w żadnej formie ani wykorzystywane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Kontynuując rozmowę o potędze liczby, logiczne jest wymyślenie, jak znaleźć wartość tej potęgi. Proces ten nazywa się potęgowanie. W tym artykule przeanalizujemy, jak przeprowadzane jest potęgowanie, dotykając wszystkich możliwych wykładników - naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Zgodnie z tradycją szczegółowo rozważymy rozwiązania przykładów podnoszenia liczb do różnych potęg.

Nawigacja strony.

Co oznacza „potęgowanie”?

Zacznijmy od wyjaśnienia, co nazywa się potęgowaniem. Oto odpowiednia definicja.

Definicja.

Potęgowanie- to jest znalezienie wartości potęgi liczby.

Zatem znalezienie wartości potęgi liczby a z wykładnikiem r i podniesienie liczby a do potęgi r to to samo. Na przykład, jeśli zadanie brzmi „obliczyć wartość potęgi (0,5) 5”, można je przeformułować w następujący sposób: „Podnieś liczbę 0,5 do potęgi 5”.

Teraz możesz przejść bezpośrednio do reguł, według których przeprowadzane jest potęgowanie.

Podnoszenie liczby do potęgi naturalnej

W praktyce równość oparta na jest zwykle stosowana w postaci . Oznacza to, że podnosząc liczbę a do potęgi ułamkowej m/n, najpierw bierze się n-ty pierwiastek z liczby a, po czym wynikowy wynik podnosi się do potęgi całkowitej m.

Przyjrzyjmy się rozwiązaniom przykładów podniesienia do potęgi ułamkowej.

Przykład.

Oblicz wartość stopnia.

Rozwiązanie.

Pokażemy dwa rozwiązania.

Pierwszy sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Obliczamy wartość stopnia pod znakiem pierwiastka, a następnie wyodrębniamy pierwiastek sześcienny: .

Drugi sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i w oparciu o właściwości pierwiastków prawdziwe są następujące równości: . Teraz wyodrębniamy korzeń na koniec podnosimy go do potęgi całkowitej .

Oczywiście uzyskane wyniki podniesienia do potęgi ułamkowej są zbieżne.

Odpowiedź:

Zauważ, że wykładnik ułamkowy można zapisać jako dziesiętny Lub pomieszane numery, w takich przypadkach należy go zastąpić odpowiednim ułamkiem zwykłym, a następnie podnieść do potęgi.

Przykład.

Oblicz (44,89) 2.5.

Rozwiązanie.

Zapiszmy wykładnik w postaci ułamka zwykłego (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): . Teraz wykonujemy podnoszenie do potęgi ułamkowej:

Odpowiedź:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Należy również powiedzieć, że podnoszenie liczb do potęg wymiernych jest procesem dość pracochłonnym (zwłaszcza gdy licznik i mianownik wykładnika ułamkowego zawierają wystarczająco duże liczby), który zwykle przeprowadza się za pomocą technologia komputerowa.

Na zakończenie tego punktu zatrzymajmy się na podnoszeniu liczby zero do potęgi ułamkowej. Potędze ułamkowej zera nadaliśmy następujące znaczenie: kiedy mamy , a przy zera do potęgi m/n nie jest zdefiniowana. Zatem zero w ułamku stopień pozytywny równy zeru, np. . A zero w ułamkowej potędze ujemnej nie ma sensu, na przykład wyrażenia 0 -4,3 nie mają sensu.

Wzniesienie do irracjonalnej potęgi

Czasami konieczne staje się ustalenie wartości potęgi liczby z niewymiernym wykładnikiem. W takim przypadku ze względów praktycznych zwykle wystarcza uzyskanie wartości stopnia z dokładnością do określonego znaku. Zauważmy od razu, że wartość tę w praktyce oblicza się za pomocą elektronicznej techniki komputerowej, podnosząc ją do ir stopień racjonalny ręcznie wymaga wielu uciążliwych obliczeń. Ale nadal będziemy opisywać Ogólny zarys istotę akcji.

Aby otrzymać przybliżoną wartość potęgi liczby a z wykładnikiem niewymiernym, należy przyjąć dziesiętne przybliżenie wykładnika i obliczyć wartość potęgi. Wartość ta jest przybliżoną wartością potęgi liczby a z niewymiernym wykładnikiem. Im dokładniejsze jest początkowo przybliżenie dziesiętne liczby, tym więcej Dokładna wartość stopień zostanie ostatecznie uzyskany.

Jako przykład obliczmy przybliżoną wartość potęgi 2 1,174367... . Przyjmijmy następujące dziesiętne przybliżenie niewymiernego wykładnika: . Teraz podnosimy 2 do potęgi wymiernej 1,17 (istotę tego procesu opisaliśmy w poprzednim akapicie), otrzymujemy 2 1,17 ≈2,250116. Zatem, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jeśli na przykład przyjmiemy dokładniejsze przybliżenie dziesiętne wykładnika niewymiernego, otrzymamy dokładniejszą wartość pierwotnego wykładnika: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki dla klasy V. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 7. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 9. instytucje edukacyjne.
• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne. Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Ułamek to stosunek licznika do mianownika, a mianownik nie może być równy zero, a licznik może być dowolny.

Podnosząc dowolny ułamek do dowolnej potęgi, musimy osobno podnieść licznik i mianownik ułamka do tej potęgi, po czym musimy policzyć te potęgi i w ten sposób otrzymać ułamek podniesiony do potęgi.

Na przykład:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​/ 3) · (2 ​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Stopień ujemny

Jeśli mamy do czynienia ze stopniem ujemnym, to najpierw należy „odwrócić ułamek”, a dopiero potem podnieść go do stopnia zgodnie z zasadą zapisaną powyżej.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Stopień literowy

Podczas pracy z wartościami dosłownymi, takimi jak „x” i „y”, potęgowanie odbywa się według tej samej zasady, co poprzednio.

Możemy się także sprawdzić podnosząc ułamek ½ do potęgi 3, w wyniku czego otrzymujemy ½ * ½ * ½ = 1/8, co w zasadzie jest takie samo jak

Dosłowne potęgowanie x^y

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych z potęgami

Jeśli pomnożymy potęgi o tych samych podstawach, to sama podstawa pozostanie taka sama i dodamy wykładniki. Jeśli podzielimy się stopniami z na tej samej podstawie, wówczas podstawa stopnia również pozostaje taka sama, a wykładniki są odejmowane.

Można to bardzo łatwo pokazać na przykładzie:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

To samo moglibyśmy uzyskać, gdybyśmy po prostu podnieśli mianownik i licznik oddzielnie do potęgi 3 i 4.

Podnoszenie ułamka z potęgą do innej potęgi

Podnosząc ułamek, który jest już do potęgi, ponownie do potęgi, musimy najpierw wykonać potęgowanie wewnętrzne, a następnie przejść do zewnętrznej części potęgowania. Innymi słowy, możemy po prostu pomnożyć te potęgi i podnieść ułamek do otrzymanej potęgi.

Na przykład:

(2^4)^2 = 2^4 2 = 2^8

Podniesione do jednego, pierwiastek kwadratowy

Nie wolno nam też zapominać, że podniesienie absolutnie dowolnego ułamka do potęgi zerowej da nam 1, tak jak każdej innej liczby, podniesione do potęgi równej zero otrzymamy 1.

Zwykły pierwiastek kwadratowy można również wyrazić jako potęgę ułamka zwykłego

Pierwiastek kwadratowy 3 = 3^(1/2)

Jeśli mamy do czynienia z pierwiastek kwadratowy pod którym znajduje się ułamek, możemy sobie wyobrazić ten ułamek, w liczniku którego będzie pierwiastek kwadratowy drugiego stopnia (ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy)

A mianownik będzie również zawierał pierwiastek kwadratowy, tj. innymi słowy, zobaczymy związek dwóch pierwiastków, może to być przydatne do rozwiązania niektórych problemów i przykładów.

Jeśli podniesiemy ułamek pod pierwiastkiem kwadratowym do drugiej potęgi, otrzymamy ten sam ułamek.

Iloczyn dwóch ułamków pod jedną potęgą będzie równy iloczynowi tych dwóch ułamków, z których każdy osobno będzie pod własną mocą.

Pamiętaj: nie możesz dzielić przez zero!

Nie zapomnij też o bardzo ważnej uwadze, że ułamek taki, że mianownik nie powinien być równy zero. W przyszłości w wielu równaniach będziemy stosować to ograniczenie zwane ODZ – zakresem wartości dopuszczalnych

Porównując dwa ułamki o tej samej podstawie, ale różnych mocach, większy będzie ułamek, którego moc jest większa, a mniejszy będzie ułamkiem o mniejszej mocy, jeśli nie tylko podstawy, ale i potęgi są równe; ułamek uważa się za taki sam.