Šta znači pronaći najmanju vrijednost funkcije. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Proces pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (grafikon funkcije) na helikopteru s pucanjem iz dalekometnog topa u određenim točkama i biranjem između ove tačke su veoma posebne tačke za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O tome ćemo dalje.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano na intervalu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje i najviše vrijednosti . Ovo se može dogoditi ili u ekstremne tačke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje i najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na segmentu [ a, b] , potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Pretpostavimo, na primjer, da je potrebno definirati najveća vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

kritična tačka naziva se tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat je ili nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, konačno, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b) ). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na intervalu [a, b] .

Problem nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Odluka. Nalazimo derivaciju ove funkcije. Izjednačite derivaciju sa nulom () i dobijete dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, dostiže se na desnom kraju segmenta - u tački , i najveći(takođe crvena na grafikonu), jednaka je 9, - u kritičnoj tački.

Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Derivat izjednačavamo sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Hajde da uporedimo ove vrednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije učenicima ne daju primjere složenije od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojilac a imenilac su polinomi. Ali nećemo se ograničavati na takve primjere, jer među nastavnicima ima nastavnika koji vole da natjeraju učenike na razmišljanje u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Rezultat svih akcija: funkcija doseže najmanju vrijednost , jednako 0, u tački i u tački i najveća vrijednost jednak e² , u tački .

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Nalazimo derivaciju ove funkcije:

Izjednačite derivaciju sa nulom:

Jedina kritična tačka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

zaključak: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije, po pravilu, svodi se na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem se postižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 8 Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti kalajisan. Koje bi trebalo da budu dimenzije rezervoara da bi se prekrio sa najmanjom količinom materijala?

Odluka. Neka bude x- osnovna strana h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Hajde da ispitamo ovu funkciju za ekstrem. Definiran je i diferencibilan svuda u ]0, +∞[ i

.

Izjednačavamo derivaciju sa nulom () i nalazimo kritičnu tačku. Osim toga, kada izvod ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, - jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstremuma pomoću drugog dovoljan znak. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dostigne minimum . Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njena najmanja vrijednost. Dakle, strana osnove rezervoara treba da bude jednaka 2 m, a njegova visina.

Primjer 9 Iz paragrafa A, nalazi se na željezničkoj pruzi, do tač With, na udaljenosti od njega l, roba se mora transportovati. Cijena transporta jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka , a autoputem je jednaka . Do koje tačke M linije željeznica treba izgraditi autoput tako da se prevoz robe iz ALI in With bio najekonomičniji AB pretpostavlja se da je pruga prava)?

Pogledajmo kako istražiti funkciju koristeći graf. Ispada da gledajući grafikon možete saznati sve što nas zanima, naime:

• opseg funkcije
• opseg funkcija
• nule funkcije
• periodi porasta i smanjenja
• visoke i niske tačke
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu.

Hajde da pojasnimo terminologiju:

Abscisa je horizontalna koordinata tačke.
Ordinate- vertikalna koordinata.
apscisa- horizontalna osa, koja se najčešće naziva osa.
Y-osa - vertikalna osa, ili osa .

Argument je nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće indicirano.
Drugim riječima, mi sami biramo , zamjenjujemo u formulu funkcije i dobivamo .

Domain funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenta za koje funkcija postoji.
Označeno: ili .

Na našoj slici, domen funkcije je segment. Na ovom segmentu je nacrtan graf funkcije. Samo ovdje datu funkciju postoje.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici, ovo je segment - od najniže do najveće vrijednosti.

Funkcija nule- tačke u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli, tj. Na našoj slici, to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici, to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Imamo ovaj interval (ili interval) od do.

Najvažniji koncepti - rastuće i opadajuće funkcije na nekom setu. Kao skup, možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijelu brojevnu pravu.

Funkcija povećava

Drugim riječima, što više, to više, odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija opadajući na skupu ako za bilo koji i pripada skupu nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju veća vrijednost odgovara donjoj vrijednosti. Grafikon ide desno i dolje.

Na našoj slici, funkcija raste na intervalu i opada na intervalima i .

Hajde da definišemo šta je maksimalne i minimalne tačke funkcije.

Maksimalni poen- ovo je unutrašnja tačka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim tačkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, maksimalna tačka je takva tačka, vrijednost funkcije u kojoj više nego u susednim. Ovo je lokalno "brdo" na grafikonu.

Na našoj slici - maksimalna tačka.

Niska tačka- unutrašnja tačka domene definicije, takva da je vrednost funkcije u njoj manja nego u svim tačkama koje su joj dovoljno blizu.
Odnosno, minimalna tačka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u susjednim. Na grafikonu je ovo lokalna „rupa“.

Na našoj slici - minimalna tačka.

Tačka je granica. To nije unutrašnja tačka domene definicije i stoga se ne uklapa u definiciju maksimalne tačke. Na kraju krajeva, ona nema komšije sa leve strane. Na isti način, ne može postojati minimalna tačka na našem grafikonu.

Maksimalni i minimalni bodovi se zajednički nazivaju ekstremne tačke funkcije. U našem slučaju, ovo je i .

Ali šta ako trebate pronaći npr. funkcija minimum na rezu? AT ovaj slučaj odgovor: . jer funkcija minimum je njegova vrijednost na minimalnoj tački.

Slično, maksimum naše funkcije je . Doseže se na tački .

Možemo reći da su ekstremi funkcije jednaki i .

Ponekad u zadacima morate pronaći najveća i najmanja vrijednost funkcije na datom segmentu. Ne poklapaju se nužno sa ekstremima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na intervalu je jednak i poklapa se sa minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu je jednaka . Dostiže se na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveća i najmanja vrijednost kontinuirane funkcije na segmentu se postižu ili u tačkama ekstrema ili na krajevima segmenta.

Često je u fizici i matematici potrebno pronaći najmanju vrijednost funkcije. Kako to učiniti, sada ćemo reći.

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije: instrukcija

1. Da biste izračunali najmanju vrijednost kontinuirane funkcije u datom intervalu, trebate slijediti ovaj algoritam:
2. Pronađite izvod funkcije.
3. Pronađite na datom segmentu tačke u kojima je izvod jednak nuli, kao i sve kritične tačke. Zatim saznajte vrijednosti funkcije u tim točkama, odnosno riješite jednadžbu gdje je x jednako nuli. Saznajte koja je od vrijednosti najmanja.
4. Saznajte koju vrijednost funkcija ima na krajnjim točkama. Odrediti najmanju vrijednost funkcije u ovim tačkama.
5. Usporedite primljene podatke sa najmanjom vrijednošću. Manji od primljenih brojeva bit će najmanja vrijednost funkcije.

Imajte na umu da ako funkcija na segmentu nema najmanjih tačaka, što znači da se na ovom segmentu povećava ili smanjuje. Prema tome, najmanju vrijednost treba izračunati na konačnim segmentima funkcije.

U svim ostalim slučajevima, vrijednost funkcije se izračunava prema datom algoritmu. U svakom koraku algoritma, morat ćete riješiti jednostavnu linearna jednačina sa jednim korenom. Riješite jednačinu koristeći crtež kako biste izbjegli greške.

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na poluotvorenom segmentu? Na poluotvorenom ili otvoreni period funkciju, najmanju vrijednost treba pronaći na sljedeći način. Na krajnjim točkama vrijednosti funkcije izračunajte jednostrano ograničenje funkcije. Drugim riječima, riješite jednačinu u kojoj su tačke tendencije date vrijednostima a+0 i b+0, gdje su a i b imena kritičnih tačaka.

Sada znate kako pronaći najmanju vrijednost funkcije. Glavna stvar je da sve proračune izvršite ispravno, tačno i bez grešaka.

U ovom članku ću govoriti o algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcija, minimum i maksimum bodova.

Iz teorije, svakako će nam trebati tabela derivata i pravila diferencijacije. Sve je na ovoj tabli:

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Lakše mi je objasniti konkretan primjer. Uzmite u obzir:

primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].

Korak 1. Uzimamo derivat.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Korak 2 Pronalaženje ekstremnih tačaka.

tačka ekstrema imenujemo tačke u kojima funkcija dostiže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost.

Da biste pronašli tačke ekstrema, potrebno je derivaciju funkcije izjednačiti sa nulom (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sada rješavamo ovu bikvadratnu jednadžbu i pronađeni korijeni su naše ekstremne tačke.

Takve jednačine rješavam zamjenom t = x^2, zatim 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Smanjimo jednačinu za 5, dobićemo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Napravimo obrnutu supstituciju x^2 = t:

X_(1 i 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (isključujemo, ispod korijena ne može biti negativni brojevi(osim ako, naravno, ne govorimo o kompleksnim brojevima)

Ukupno: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - ovo su naše ekstremne tačke.

Korak 3 Odredite najveću i najmanju vrijednost.

Metoda zamjene.

U uslovu nam je dat segment [b][–4;0]. Tačka x=1 nije uključena u ovaj segment. Tako da to ne razmatramo. Ali pored tačke x=-1, trebamo uzeti u obzir i lijevu i desnu granicu našeg segmenta, odnosno tačke -4 i 0. Da bismo to učinili, zamijenimo sve ove tri tačke u originalnu funkciju. Obratite pažnju da je originalni onaj dat u uslovu (y=x^5+20x^3–65x), neki počinju da se zamenjuju u izvod...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znači da je maksimalna vrijednost funkcije [b]44 i dostiže se u tačkama [b]-1, što se naziva maksimalnom tačkom funkcije na segmentu [-4; 0].

Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Ne mislite li da je brojanje y(-4) nekako previše komplikovano? U uslovima ograničenog vremena, bolje je koristiti drugu metodu, ja je zovem ovako:

Kroz intervale konstantnosti.

Ove praznine se nalaze za derivaciju funkcije, odnosno za našu bikvadratnu jednačinu.

Ja to radim na sledeći način. Povlačim liniju pravca. Postavio sam tačke: -4, -1, 0, 1. Uprkos činjenici da 1 nije uključen u dati segment, to ipak treba napomenuti da bi se tačno odredili intervali konstantnosti. Uzmimo neki broj mnogo puta veći od 1, recimo 100, mentalno ga zamijenimo u našu bikvadratnu jednačinu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Čak i bez brojanja bilo čega, postaje očigledno da u tački 100 funkcija ima znak plus. To znači da za intervale od 1 do 100 ima znak plus. Prilikom prolaska kroz 1 (idemo s desna na lijevo), funkcija će promijeniti predznak u minus. Prilikom prolaska kroz tačku 0, funkcija će zadržati svoj predznak, jer je ovo samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Prilikom prolaska kroz -1, funkcija će ponovo promijeniti predznak u plus.

Iz teorije znamo da je derivacija funkcije (i to smo nacrtali za nju) mijenja predznak iz plusa u minus (tačka -1 u našem slučaju) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44 kako je ranije izračunato) na ovom segmentu (ovo je logično vrlo jasno, funkcija je prestala da raste, pošto je dostigla svoj maksimum i počela da se smanjuje).

Prema tome, gdje je derivacija funkcije mijenja predznak iz minusa u plus, postignuto lokalni minimum funkcije. Da, da, također smo otkrili da je lokalna minimalna tačka 1, a y(1) je minimalna vrijednost funkcije na segmentu, recimo od -1 do +∞. Napominjemo da je ovo samo LOKALNI MINIMUM, odnosno minimum na određenom segmentu. Budući da će stvarna (globalna) minimalna funkcija stići negdje tamo, u -∞.

Po mom mišljenju, prva metoda je teorijski jednostavnija, a druga je jednostavnija u smislu aritmetičkih operacija, ali mnogo teža u teoretskom smislu. Uostalom, ponekad postoje slučajevi kada funkcija ne mijenja predznak prilikom prolaska kroz korijen jednadžbe, i zaista se možete zbuniti s ovim lokalnim, globalnim maksimumima i minimumima, iako ćete to ionako morati dobro savladati ako planirate da upišem tehnički fakultet (a zašto inače polažeš profilni ispit i rješavaš ovaj zadatak). Ali praksa i samo praksa će vas naučiti kako riješiti takve probleme jednom zauvijek. I možete trenirati na našoj web stranici. Evo.

Ako imate pitanja, ili nešto nije jasno, obavezno pitajte. Rado ću vam odgovoriti, te unijeti izmjene, dopune u članak. Zapamtite da zajedno pravimo ovu stranicu!

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ definirana i kontinuirana u nekom ograničenom zatvorenom domenu $D$. Neka data funkcija ima konačne parcijalne izvode prvog reda u ovom području (s mogućim izuzetkom konačnog broja tačaka). Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije dvije varijable u datom zatvorenom području, potrebna su tri koraka jednostavnog algoritma.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije $z=f(x,y)$ u zatvorenom domenu $D$.

1. Pronađite kritične tačke funkcije $z=f(x,y)$ koje pripadaju području $D$. Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama.
2. Istražite ponašanje funkcije $z=f(x,y)$ na granici područja $D$ pronalaženjem tačaka mogućih maksimalnih i minimalnih vrijednosti. Izračunajte vrijednosti funkcije u dobivenim tačkama.
3. Od vrijednosti funkcije dobijenih u prethodna dva paragrafa odaberite najveću i najmanju.

Šta su kritične tačke? prikaži/sakrij

Ispod kritične tačke impliciraju tačke u kojima su oba parcijalna izvoda prvog reda jednaka nuli (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ili barem jedan parcijalni izvod ne postoji.

Često se nazivaju tačke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli stacionarne tačke. Dakle, stacionarne tačke su podskup kritičnih tačaka.

Primjer #1

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ u zatvorenom području ograničenom linijama $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Pratićemo gore navedeno, ali prvo ćemo se pozabaviti crtanjem date površine, koju ćemo označiti slovom $D$. Dato nam je jednačine tri prave linije, koje ograničavaju ovu oblast. Prava linija $x=3$ prolazi kroz tačku $(3;0)$ paralelnu sa y-osom (osa Oy). Prava linija $y=0$ je jednačina apscisne ose (Ox osa). Pa, da bismo konstruisali pravu liniju $y=x+1$, hajde da nađemo dve tačke kroz koje povlačimo ovu pravu liniju. Možete, naravno, zamijeniti nekoliko proizvoljnih vrijednosti umjesto $x$. Na primjer, zamjenom $x=10$, dobijamo: $y=x+1=10+1=11$. Pronašli smo tačku $(10;11)$ koja leži na pravoj $y=x+1$. Međutim, bolje je pronaći one tačke u kojima se prava $y=x+1$ siječe sa linijama $x=3$ i $y=0$. Zašto je bolje? Jer ćemo jednim udarcem položiti par golubova: dobićemo dve tačke za konstruisanje prave $y=x+1$ i istovremeno saznati u kojim tačkama ova prava seče druge prave koje ograničavaju datu području. Prava $y=x+1$ seče pravu $x=3$ u tački $(3;4)$, a prava $y=0$ - u tački $(-1;0)$. Kako ne bih zatrpao tok rješenja pomoćnim objašnjenjima, pitanje dobivanja ove dvije točke stavit ću u napomenu.

Kako su dobijene tačke $(3;4)$ i $(-1;0)$? prikaži/sakrij

Počnimo od tačke preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$. Koordinate željene tačke pripadaju i prvoj i drugoj liniji, tako da da biste pronašli nepoznate koordinate, morate riješiti sistem jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rješenje takvog sistema je trivijalno: zamjenom $x=3$ u prvu jednačinu imat ćemo: $y=3+1=4$. Tačka $(3;4)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$.

Sada hajde da nađemo tačku preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$. Ponovo sastavljamo i rješavamo sistem jednačina:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Zamjenom $y=0$ u prvu jednačinu dobijamo: $0=x+1$, $x=-1$. Tačka $(-1;0)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$ (os apscisa).

Sve je spremno za izradu crteža koji će izgledati ovako:

Pitanje bilješke izgleda očigledno, jer se sve vidi sa slike. Međutim, vrijedi zapamtiti da crtež ne može poslužiti kao dokaz. Slika je samo ilustracija radi jasnoće.

Naše područje je postavljeno pomoću jednačina linija koje ga ograničavaju. Očigledno je da ove linije definišu trougao, zar ne? Ili nije sasvim očigledno? Ili nam je možda dato drugačije područje, ograničeno istim linijama:

Naravno, uslov kaže da je prostor zatvoren, pa je prikazana slika pogrešna. Ali da bi se izbjegle takve nejasnoće, bolje je definirati regije prema nejednakostima. Zanima nas dio ravnine koji se nalazi ispod prave $y=x+1$? Ok, dakle $y ≤ x+1$. Naša oblast treba da se nalazi iznad linije $y=0$? Odlično, dakle $y ≥ 0$. Inače, posljednje dvije nejednačine se lako kombinuju u jednu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Ove nejednakosti definiraju domenu $D$ i definiraju je jedinstveno, bez ikakvih nejasnoća. Ali kako nam to pomaže u pitanju na početku fusnote? Također će pomoći :) Moramo provjeriti da li tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$. Zamenimo $x=1$ i $y=1$ u sistem nejednakosti koje definišu ovo područje. Ako su obe nejednakosti zadovoljene, onda se tačka nalazi unutar regiona. Ako barem jedna od nejednakosti nije zadovoljena, onda tačka ne pripada regiji. dakle:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obje nejednakosti su tačne. Tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$.

Sada je red da se istraži ponašanje funkcije na granici domene, tj. idi. Počnimo sa pravom linijom $y=0$.

Prava linija $y=0$ (os apscisa) ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamijenite $y=0$ u datu funkciju$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Rezultirajuća funkcija zamjene jedne varijable $x$ će biti označena kao $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sada za funkciju $f_1(x)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Nađite derivaciju ove funkcije i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrijednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, tako da na listu tačaka dodajemo i $M_2(2;0)$. Osim toga, izračunavamo vrijednosti funkcije $z$ na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. u tačkama $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Usput, ako tačka $M_2$ ne pripada segmentu koji se razmatra, onda, naravno, ne bi bilo potrebe da se izračunava vrijednost funkcije $z$ u njoj.

Dakle, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_2$, $M_3$, $M_4$. Možete, naravno, zamijeniti koordinate ovih tačaka u originalnom izrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primjer, za tačku $M_2$ dobijamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Međutim, proračuni se mogu malo pojednostaviti. Da biste to učinili, vrijedi zapamtiti da na segmentu $M_3M_4$ imamo $z(x,y)=f_1(x)$. Napisat ću to detaljno:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (poravnano)

Naravno, obično nema potrebe za ovako detaljnim unosima, a u budućnosti ćemo sve proračune početi zapisivati ​​na kraći način:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sada se okrenimo pravoj liniji $x=3$. Ova linija ograničava domen $D$ pod uslovom $0 ≤ y ≤ 4$. Zamijenite $x=3$ u datu funkciju $z$. Kao rezultat takve zamjene, dobijamo funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkciju $f_2(y)$ potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Nađite derivaciju ove funkcije i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrijednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, tako da dodajemo $M_5(3;3)$ na ranije pronađene tačke. Osim toga, potrebno je izračunati vrijednost funkcije $z$ u tačkama na krajevima segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. u tačkama $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. U tački $M_4(3;0)$ već smo izračunali vrijednost $z$. Izračunajmo vrijednost funkcije $z$ u tačkama $M_5$ i $M_6$. Da vas podsjetim da na segmentu $M_4M_6$ imamo $z(x,y)=f_2(y)$, dakle:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (poravnano)

I, konačno, razmotrite posljednju granicu $D$, tj. red $y=x+1$. Ova linija ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamjenom $y=x+1$ u funkciju $z$, imat ćemo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Još jednom imamo funkciju jedne varijable $x$. I opet, morate pronaći najveću i najmanju vrijednost ove funkcije na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite derivaciju funkcije $f_(3)(x)$ i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrijednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ako je $x=1$, onda je $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na listu tačaka i saznamo koja je vrijednost funkcije $z$ u ovoj tački. Tačke na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. tačke $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ su razmatrane ranije, već smo pronašli vrijednost funkcije u njima.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rješenja je završen. Dobili smo sedam vrijednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hajde da se okrenemo. Odabirom najveće i najmanje vrijednosti od onih brojeva koji su dobijeni u trećem paragrafu, imat ćemo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problem je riješen, ostaje samo da se zapiše odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primjer #2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ u području $x^2+y^2 ≤ 25$.

Prvo napravimo crtež. Jednačina $x^2+y^2=25$ (ovo je granična linija date oblasti) definiše kružnicu sa centrom u početku (tj. u tački $(0;0)$) i poluprečnikom od 5. Nejednakost $x^2 +y^2 ≤ 25$ zadovoljava sve tačke unutar i na pomenutom krugu.

Mi ćemo djelovati. Nađimo parcijalne izvode i saznajmo kritične tačke.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Ne postoje tačke u kojima pronađeni parcijalni izvod ne postoje. Hajde da saznamo u kojim tačkama su oba parcijalna izvoda istovremeno jednaka nuli, tj. pronađite stacionarne tačke.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano) \desno.$$

Dobili smo stacionarnu tačku $(6;-8)$. Međutim, pronađena tačka ne pripada regionu $D$. To je lako prikazati bez pribjegavanja crtanju. Provjerimo da li vrijedi nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$, koja definira našu domenu $D$. Ako je $x=6$, $y=-8$, onda je $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ nije zadovoljena. Zaključak: tačka $(6;-8)$ ne pripada regionu $D$.

Dakle, nema kritičnih tačaka unutar $D$. Idemo dalje, do. Moramo istražiti ponašanje funkcije na granici datog područja, tj. na krugu $x^2+y^2=25$. Možete, naravno, izraziti $y$ u terminima $x$, a zatim zamijeniti rezultirajući izraz u našu funkciju $z$. Iz jednačine kružnice dobijamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ili $y=-\sqrt(25-x^2)$. Zamjenom, na primjer, $y=\sqrt(25-x^2)$ u datu funkciju, imat ćemo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalje rješenje će biti potpuno identično proučavanju ponašanja funkcije na granici područja u prethodnom primjeru br. 1. Međutim, čini mi se da je u ovoj situaciji razumnije primijeniti Lagrangeovu metodu. Nas zanima samo prvi dio ove metode. Nakon primjene prvog dijela Lagrangeove metode, dobićemo tačke u kojima i ispitati funkciju $z$ za minimalnu i maksimalnu vrijednost.

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Pronalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i sastavljamo odgovarajući sistem jednačina:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(poravnano) \ desno. \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnato)\desno.$$

Da bismo riješili ovaj sistem, hajde da odmah naznačimo da je $\lambda\neq -1$. Zašto $\lambda\neq -1$? Pokušajmo zamijeniti $\lambda=-1$ u prvu jednačinu:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultirajuća kontradikcija $0=6$ kaže da je vrijednost $\lambda=-1$ nevažeća. Izlaz: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ i $y$ u terminima $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (poravnano)

Vjerujem da ovdje postaje očigledno zašto smo posebno odredili uvjet $\lambda\neq -1$. Ovo je urađeno kako bi se izraz $1+\lambda$ uklopio u nazivnike bez smetnji. To jest, da budemo sigurni da je imenilac $1+\lambda\neq 0$.

Zamenimo dobijene izraze za $x$ i $y$ u treću jednačinu sistema, tj. u $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je $1+\lambda=2$ ili $1+\lambda=-2$. Dakle, imamo dvije vrijednosti parametra $\lambda$, i to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. U skladu s tim, dobijamo dva para vrijednosti $x$ i $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (poravnano)

Dakle, dobili smo dvije tačke mogućeg uslovnog ekstremuma, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Pronađite vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_1$ i $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (poravnano)

Trebalo bi izabrati najveću i najmanju vrijednost od onih koje smo dobili u prvom i drugom koraku. Ali u ovom slučaju izbor je mali :) Imamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.