Funkcija se povećava u intervalu. Dovoljni znaci rastućih i opadajućih funkcija

Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) povećava se tokom intervala X, ako za bilo koji i nejednakost je zadovoljena. Drugim riječima - veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) smanjuje se tokom intervala X, ako za bilo koji i nejednakost . Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana je na krajevima intervala povećanja ili smanjenja (a;b), odnosno kada x=a i x=b, tada se ove tačke uključuju u interval povećanja ili smanjenja. Ovo nije u suprotnosti sa definicijama rastuće i opadajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija to znamo y=sinx je definiran i kontinuiran za sve realne vrijednosti argumenta. Stoga, iz povećanja sinusne funkcije na intervalu, možemo tvrditi povećanje na intervalu .

Ekstremne tačke, ekstremi funkcije.

Tačka se zove maksimalni poen funkcije y=f(x) ako za sve x iz njegovog susjedstva, nejednakost je tačna. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma funkcija maksimalno i označiti .

Tačka se zove minimalna tačka funkcije y=f(x) ako za sve x iz njegovog susjedstva, nejednakost je tačna. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački funkcija minimum i označiti .

Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalna i maksimalna tačka ekstremne tačke, i pozivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s maksimalnom i minimalnom vrijednosti funkcije.

Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na intervalu je dostignuta u maksimalnoj tački i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici maksimalna vrijednost funkcije je dostignuta u tački x=b, što nije maksimalni poen.

Dovoljni uslovi za povećanje i smanjenje funkcija.

Na osnovu dovoljnih uslova (znakova) za povećanje i smanjenje funkcije, nalaze se intervali povećanja i smanjenja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

ako je derivacija funkcije y=f(x) pozitivno za bilo koje x iz intervala X, tada se funkcija povećava za X;

ako je derivacija funkcije y=f(x) negativan za bilo koje x iz intervala X, tada se funkcija smanjuje za X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija da bismo razjasnili algoritam.

Primjer.

Naći intervale povećanja i smanjenja funkcije .

Odluka.

Prvi korak je pronaći opseg definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao nestati, dakle, .

Idemo dalje na pronalaženje derivacije funkcije:

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije po dovoljnom kriteriju rješavamo nejednakosti i na domeni definicije. Koristimo generalizaciju metode intervala. Jedini pravi korijen brojioca je x=2, a imenilac nestaje na x=0. Ove tačke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Plusima i minusima uslovno označavamo intervale na kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Strelice ispod šematski pokazuju povećanje ili smanjenje funkcije na odgovarajućem intervalu.

Visoko važna informacija o ponašanju funkcije daju rasponi uzlaznih i silaznih. Njihovo pronalaženje dio je istraživanja funkcije i procesa crtanja. Pored toga, date su tačke ekstrema u kojima dolazi do promjene od povećanja do smanjenja ili od smanjenja do povećanja. Posebna pažnja pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije na određenom intervalu.

U ovom članku ćemo potrebne definicije, formulišemo dovoljan kriterijum za povećanje i smanjenje funkcije na intervalu i dovoljne uslove za postojanje ekstremuma, primenjujemo celu ovu teoriju na rešavanje primera i problema.

Navigacija po stranici.

Povećajuća i opadajuća funkcija na intervalu.

Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) raste na intervalu X ako za bilo koji i nejednakost je zadovoljena. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) opada na intervalu X ako za bilo koji i nejednakost . Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima intervala povećanja ili smanjenja (a;b), odnosno na x=a i x=b, tada su ove točke uključene u interval povećanja ili smanjenja. Ovo nije u suprotnosti sa definicijama rastuće i opadajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava main elementarne funkcije znamo da je y=sinx definiran i kontinuiran za sve realne vrijednosti argumenta. Stoga, iz povećanja sinusne funkcije na intervalu, možemo tvrditi povećanje na intervalu .

Ekstremne tačke, ekstremi funkcije.

Tačka se zove maksimalni poen funkcija y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x iz njegovog susjedstva. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma funkcija maksimalno i označiti .

Tačka se zove minimalna tačka funkcija y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x iz njegovog susjedstva. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački funkcija minimum i označiti .

Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalna i maksimalna tačka ekstremne tačke, i pozivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s maksimalnom i minimalnom vrijednosti funkcije.

Na prvoj slici maksimalna vrijednost funkcije na segmentu je dostignuta u tački maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici maksimalna vrijednost funkcije je dostignuta u tački x=b , što nije maksimalna tačka.

Dovoljni uslovi za povećanje i smanjenje funkcija.

Na osnovu dovoljnih uslova (znakova) za povećanje i smanjenje funkcije, nalaze se intervali povećanja i smanjenja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

• ako je derivacija funkcije y=f(x) pozitivna za bilo koji x iz intervala X, tada se funkcija povećava za X;
• ako je izvod funkcije y=f(x) negativan za bilo koji x iz intervala X, tada je funkcija opadajuća na X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija da bismo razjasnili algoritam.

Primjer.

Naći intervale povećanja i smanjenja funkcije .

Odluka.

Prvi korak je pronaći opseg funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao nestati, dakle, .

Idemo dalje na pronalaženje derivacije funkcije:

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije po dovoljnom kriteriju rješavamo nejednakosti i na domeni definicije. Koristimo generalizaciju metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik nestaje na x=0. Ove tačke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Plusima i minusima uslovno označavamo intervale na kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Strelice ispod šematski pokazuju povećanje ili smanjenje funkcije na odgovarajućem intervalu.

dakle, i .

U tački x=2 funkcija je definirana i kontinuirana, tako da se mora dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U tački x=0 funkcija nije definirana, tako da ova tačka nije uključena u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije da bismo uporedili dobijene rezultate sa njim.

odgovor:

Funkcija se povećava na , opada na intervalu (0;2] .

Dovoljni uslovi za ekstremum funkcije.

Da biste pronašli maksimume i minimume funkcije, možete koristiti bilo koji od tri znaka ekstrema, naravno, ako funkcija zadovoljava njihove uvjete. Najčešći i najprikladniji je prvi od njih.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem.

Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u -okolini tačke i neka je kontinuirana u samoj tački.

Drugim riječima:

Algoritam za pronalaženje tačaka ekstrema po prvom znaku ekstrema funkcije.

• Pronalaženje opsega funkcije.
• Izvod funkcije nalazimo u domeni definicije.
• Određujemo nule brojilaca, nule nazivnika izvoda i tačke domene u kojima izvod ne postoji (sve navedene tačke se nazivaju tačke mogućeg ekstrema, prolazeći kroz ove tačke, derivacija samo može promijeniti svoj predznak).
• Ove tačke dijele domenu funkcije na intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak. Određujemo predznake izvoda na svakom od intervala (na primjer, izračunavanjem vrijednosti derivacije funkcije u bilo kojoj tački u jednom intervalu).
• Odabiremo tačke u kojima je funkcija kontinuirana i prolazeći kroz koje derivacija mijenja predznak - to su tačke ekstrema.

Previše riječi, hajde da razmotrimo nekoliko primjera pronalaženja ekstremnih tačaka i ekstrema funkcije koristeći prvi dovoljan uslov za ekstremum funkcije.

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije .

Odluka.

Opseg funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim za x=2.

Nalazimo derivat:

Nule brojioca su tačke x=-1 i x=5, imenilac ide na nulu u x=2. Označite ove tačke na brojevnoj pravoj

Određujemo predznake derivacije na svakom intervalu, za to izračunavamo vrijednost derivacije u bilo kojoj tački svakog intervala, na primjer, u tačkama x=-2, x=0, x=3 i x= 6 .

Dakle, izvod je pozitivan na intervalu (na slici stavljamo znak plus preko ovog intervala). Slično

Stoga stavljamo minus na drugi interval, minus na treći, a plus na četvrti.

Ostaje odabrati tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a njen izvod mijenja predznak. Ovo su tačke ekstrema.

U tački x=-1 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, prema prvom znaku ekstrema, x=-1 je maksimalna tačka, odgovara maksimumu funkcije .

U tački x=5 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, dakle, x=-1 je minimalna tačka, odgovara minimumu funkcije .

Grafička ilustracija.

odgovor:

NAPOMENA: prvi dovoljan znak ekstrema ne zahtijeva da funkcija bude diferencibilna u samoj tački.

Primjer.

Pronađite ekstremne tačke i ekstreme funkcije .

Odluka.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Sama funkcija se može napisati kao:

Nađimo derivaciju funkcije:

U tački x=0 derivacija ne postoji, jer se vrijednosti jednostranih granica ne poklapaju kada argument teži nuli:

U isto vrijeme, originalna funkcija je kontinuirana u tački x=0 (pogledajte odjeljak o istraživanju funkcije za kontinuitet):

Pronađite vrijednosti argumenta pri kojima derivacija nestaje:

Označimo sve dobijene tačke na realnoj pravoj i odredimo predznak izvoda na svakom od intervala. Da bismo to učinili, izračunavamo vrijednosti derivacije u proizvoljnim točkama svakog intervala, na primjer, kada x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

tj.

Dakle, prema prvom znaku ekstremuma, minimalne tačke su , maksimalni bodovi su .

Izračunavamo odgovarajuće minimume funkcije

Izračunavamo odgovarajuće maksimume funkcije

Grafička ilustracija.

odgovor:

.

Drugi znak ekstremuma funkcije.

Kao što vidite, ovaj znak ekstrema funkcije zahtijeva postojanje derivacije najmanje do drugog reda u tački .

Diplomski rad in KORISTI obrazac za učenike 11. razreda obavezno sadrži zadatke za izračunavanje granica, intervala opadanja i povećanja derivacije funkcije, pronalaženje tačaka ekstrema i crtanje grafova. Dobro poznavanje ove teme omogućava vam da tačno odgovorite na nekoliko pitanja ispita i da ne budete imali poteškoća u daljem stručnom usavršavanju.

Osnove diferencijalni račun jedna od glavnih tema matematike savremena škola. Ona proučava upotrebu izvoda za proučavanje zavisnosti varijabli - pomoću izvoda možete analizirati povećanje i smanjenje funkcije bez pozivanja na crtež.

Sveobuhvatna priprema diplomaca za polaganje ispita na edukativni portal"Shkolkovo" će pomoći da se duboko razumiju principi diferencijacije - da se detaljno razumije teorija, da se prouče primjeri rješenja tipični zadaci i okušajte se u samostalnom radu. Pomoći ćemo vam da otklonite praznine u znanju - da razjasnimo vaše razumijevanje leksičkih pojmova teme i zavisnosti količina. Studenti će moći da ponove kako pronaći intervale monotonosti, što znači porast ili pad derivacije funkcije na određenom intervalu, kada su granične tačke uključene, a ne uključene u pronađene intervale.

Prije nego što započnete direktno rješavanje tematskih problema, preporučujemo da prvo odete u odjeljak "Teorijska referenca" i ponovite definicije pojmova, pravila i tabelarnih formula. Ovdje također možete pročitati kako pronaći i zabilježiti svaki interval rastućih i opadajućih funkcija na grafu derivacije.

Sve ponuđene informacije predstavljene su u najpristupačnijem obliku za razumijevanje praktično od nule. Stranica nudi materijale za percepciju i asimilaciju u nekoliko razne forme– čitanje, gledanje videa i direktna obuka pod vodstvom iskusni nastavnici. Profesionalni edukatori detaljno će vam reći kako analitičkim i grafičkim metodama pronaći intervale povećanja i smanjenja derivacije funkcije. Tokom webinara biće moguće postaviti bilo koje pitanje od interesa kako u teoriji tako iu rješavanju konkretnih problema.

Sjećajući se glavnih točaka teme, pogledajte primjere povećanja derivacije funkcije, slično zadacima ispitnih opcija. Da biste konsolidirali naučeno, pogledajte u "Katalogu" - ovdje ćete pronaći praktične vježbe za samostalan rad. Zadaci u sekciji se biraju na različitim nivoima složenosti, uzimajući u obzir razvoj vještina. Za svaki od njih, na primjer, priloženi su algoritmi rješenja i tačni odgovori.

Odabirom rubrike "Konstruktor" studenti će moći vježbati proučavanje povećanja i smanjenja derivacije funkcije na realnom KORISTI opcije stalno ažuriran najnovijim promjenama i inovacijama.

derivat. Ako je derivacija funkcije pozitivna za bilo koju tačku u intervalu, tada se funkcija povećava; ako je negativna, opada.

Da biste pronašli intervale povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći domenu njene definicije, derivaciju, riješiti nejednakosti oblika F’(x) > 0 i F’(x)

Odluka.

3. Riješite nejednačine y’ > 0 i y’ 0;
(4 - x)/x³

Odluka.
1. Pronađite domenu funkcije. Očigledno, izraz u nazivniku mora uvijek biti različit od nule. Stoga je 0 isključeno iz domene definicije: funkcija je definirana za x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Izračunajte derivaciju funkcije:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² - (3 x² + 2 x - 4) 2 x) / x^4 = (6 x³ + 2 x² - 6 x³ - 4 x² + 8 x) / x^ 4 \u003d (8 x - 2 x²) / x ^ 4 \u003d 2 (4 - x) / x³.

3. Riješite nejednačine y’ > 0 i y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Lijeva strana nejednakost ima jedan realni x = 4 i postaje na x = 0. Dakle, vrijednost x = 4 ulazi u interval i u interval opadanja, a tačka 0 nije uključena.
Dakle, tražena funkcija raste na intervalu x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Lijeva strana nejednakosti ima jedno realno x = 4 i prelazi u pri x = 0. Dakle, vrijednost x = 4 ulazi u interval i u interval opadanja, a tačka 0 nije uključena.
Dakle, tražena funkcija raste na intervalu x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Izvori:

• kako pronaći opadajuće intervale na funkciji

Funkcija je stroga zavisnost jednog broja od drugog, ili vrijednosti funkcije (y) od argumenta (x). Svaki proces (ne samo u matematici) može se opisati svojom funkcijom, koju će imati karakteristike: intervali smanjenja i povećanja, tačke minimuma i maksimuma, itd.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka.

Uputstvo

Primjer 2
Naći intervale opadanja f(x)=sinx +x.
Derivat ove funkcije će biti jednak: f'(x)=cosx+1.
Rješavanje nejednakosti cosx+1

interval monotonija Funkcijom se može nazvati interval u kojem se funkcija ili samo povećava ili samo smanjuje. Brojne specifične akcije pomoći će da se pronađu takvi rasponi za funkciju, što je često potrebno u algebarskim problemima ove vrste.

Uputstvo

Prvi korak u rješavanju problema određivanja intervala u kojima funkcija monotono raste ili opada je izračunavanje ove funkcije. Da biste to učinili, saznajte sve vrijednosti argumenata (vrijednosti na x-osi) za koje možete pronaći vrijednost funkcije. Označite tačke na kojima se uočavaju praznine. Pronađite izvod funkcije. Nakon što ste definirali izraz koji predstavlja izvod, izjednačite ga sa nulom. Nakon toga, trebali biste pronaći korijene rezultirajućeg . Ne o području dopuštenog.

Tačke u kojima je funkcija ili u kojima je njen izvod jednak nuli su granice intervala monotonija. Ove opsege, kao i tačke koje ih razdvajaju, treba uneti redom u tabelu. Pronađite predznak derivacije funkcije u rezultujućim intervalima. Da biste to učinili, zamijenite bilo koji argument iz intervala u izraz koji odgovara izvodu. Ako je rezultat pozitivan, funkcija u ovom rasponu se povećava, u suprotnom opada. Rezultati se unose u tabelu.

Red koji označava izvod funkcije f'(x) ispisuje se u skladu sa vrijednostima argumenata: "+" - ako je derivacija pozitivna, "-" - negativna ili "0" - jednaka nuli. U sljedećem redu zapazite monotonost samog originalnog izraza. Strelica gore odgovara povećanju, strelica dolje odgovara smanjenju. Provjerite karakteristike. Ovo su tačke u kojima je derivacija nula. Ekstremum može biti ili visoka ili najniža tačka. Ako se prethodni dio funkcije povećavao, a trenutni opada, ovo je maksimalna tačka. U slučaju kada je funkcija opadala do određene tačke, a sada raste, ovo je minimalna tačka. Unesite u tablicu vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema.

Izvori:

• šta je definicija monotonosti

Proučavanje ponašanja funkcije koja ima složenu ovisnost o argumentu provodi se pomoću izvoda. Po prirodi promjene derivacije mogu se pronaći kritične tačke i područja rasta ili smanjenja funkcije.

Monotona

Visoko važna imovina funkcija je njegova monotonost. Poznavajući ovo svojstvo raznih posebnih funkcija, može se odrediti ponašanje različitih fizičkih, ekonomskih, društvenih i mnogih drugih procesa.

Dodijeli sledeće vrste monotonost funkcija:

1) funkcija povećava, Ako na nekom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da . One. veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije;

2) funkcija opadajući, Ako na nekom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da . One. veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije;

3) funkcija neopadajući, ako na nekom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da ;

4) funkcija ne povećava, Ako na nekom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da .

2. Za prva dva slučaja koristi se i termin "stroga monotonost".

3. Zadnja dva slučaja su specifična i obično se specificiraju kao sastav od nekoliko funkcija.

4. Posebno napominjemo da povećanje i smanjenje grafa funkcije treba posmatrati tačno s lijeva na desno i ništa drugo.

2. Čak i čudno.

Funkcija se naziva neparna, ako kada se promijeni predznak argumenta, on mijenja svoju vrijednost na suprotnu. Formula za ovo izgleda ovako . To znači da će nakon zamjene minus x vrijednosti u funkciju umjesto svih x, funkcija promijeniti svoj predznak. Grafikon takve funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjeri neparnih funkcija su itd.

Na primjer, graf je zaista simetričan u odnosu na porijeklo:

Funkcija se zove parna ako promjena znaka argumenta ne mijenja njegovu vrijednost. Formula za ovo izgleda ovako. To znači da nakon zamjene minus x vrijednosti u funkciju umjesto svih x, funkcija se neće promijeniti kao rezultat. Grafikon takve funkcije je simetričan u odnosu na os.

Primjeri parnih funkcija su itd.

Na primjer, pokažimo simetriju grafa oko ose:

Ako funkcija ne pripada nijednoj od navedene vrste, tada se ne naziva ni parnim ni neparnim ili funkcija opšti pogled . Takve funkcije nemaju simetriju.

Takva je funkcija, na primjer, nedavno razmatrana linearna funkcija sa grafikonom:

3. posebna imovina funkcije je periodičnost.

Poenta je u periodičnim funkcijama koje se razmatraju u standardu školski program, su samo trigonometrijske funkcije. O njima smo već detaljno govorili prilikom proučavanja odgovarajuće teme.

Periodična funkcija je funkcija koja ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda određena konstanta različita od nule.

Ovaj minimalni broj se zove period funkcije i označeni su slovom.

Formula za ovo izgleda ovako: .

Pogledajmo ovo svojstvo na primjeru sinusnog grafa:

Podsjetimo da je period funkcija i je , I period i je .

Kao što već znamo, za trigonometrijske funkcije sa složenim argumentom, može postojati nestandardni period. Radi se o o funkcijama pregleda:

Imaju isti period. I o funkcijama:

Imaju isti period.

Kao što vidite, da biste izračunali novi period, standardni period se jednostavno podijeli faktorom u argumentu. Ne ovisi o drugim modifikacijama funkcije.

Ograničenje.

Funkcija y=f(x) naziva se ograničenim odozdo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.

Funkcija y=f(x) naziva se ograničenim odozgo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.

Ako interval X nije naznačen, onda se smatra da je funkcija ograničena na cijelom domenu definicije. Funkcija ograničena i odozgo i odozdo naziva se ograničenom.

Ograničenje funkcije je lako pročitati iz grafa. Moguće je nacrtati neku pravu liniju y=a, a ako je funkcija viša od ove prave, onda je ograničena odozdo.

Ako ispod, onda iznad. Ispod je graf niže ograničene funkcije. Raspored ograničena funkcija Ljudi, pokušajte da nacrtate sebe.

Tema: Svojstva funkcija: intervali povećanja i smanjenja; najveći i najmanju vrijednost; tačke ekstrema (lokalni maksimum i minimum), konveksnost funkcije.

periodi porasta i smanjenja.

Na osnovu dovoljnih uslova (znakova) za povećanje i smanjenje funkcije, nalaze se intervali povećanja i smanjenja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

ako je derivacija funkcije y=f(x) pozitivno za bilo koje x iz intervala X, tada se funkcija povećava za X;

ako je derivacija funkcije y=f(x) negativan za bilo koje x iz intervala X, tada se funkcija smanjuje za X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

pronaći opseg funkcije;

pronaći derivaciju funkcije;

rješavaju nejednačine iu domenu definicije;