Rješavanje tipičnih problema o čvrstoći materijala. Planarno savijanje ravnih šipki Šta je savijanje prvog drugog reda

bend

Osnovni pojmovi o savijanju

Deformaciju savijanja karakterizira gubitak pravosti ili originalnog oblika linijom grede (njegova os) kada se primjenjuje vanjsko opterećenje. U ovom slučaju, za razliku od posmične deformacije, linija grede glatko mijenja svoj oblik.
Lako je vidjeti da na otpornost na savijanje utječe ne samo površina poprečnog presjeka grede (greda, šipka, itd.), već i geometrijski oblik ovog presjeka.

Budući da je tijelo (greda, šipka, itd.) savijeno u odnosu na bilo koju os, na otpor savijanja utječe veličina aksijalnog momenta inercije presjeka tijela u odnosu na ovu os.
Za usporedbu, tijekom torzijske deformacije, presjek tijela je podvrgnut uvrtanju u odnosu na pol (tačku), stoga polarni moment inercije ovog presjeka utječe na otpor torziji.

Mnogi strukturni elementi mogu raditi na savijanju - osovine, osovine, grede, zupci zupčanika, poluge, šipke itd.

U otpornosti materijala razmatra se nekoliko vrsta savijanja:
- ovisno o prirodi vanjskog opterećenja primijenjenog na gredu, razlikuju se čista krivina i poprečna krivina;
- ovisno o položaju ravnine djelovanja opterećenja savijanja u odnosu na os grede - ravna krivina i kosi zavoj.

Čisto i poprečno savijanje grede

Čisto savijanje je vrsta deformacije u kojoj se javlja samo moment savijanja u bilo kojem poprečnom presjeku grede ( pirinač. 2).
Deformacija čistog savijanja će se, na primjer, dogoditi ako se dva para sila jednakih po veličini i suprotnog predznaka primjenjuju na ravnu gredu u ravnini koja prolazi kroz osu. Tada će u svakom dijelu grede djelovati samo momenti savijanja.

Ako se savijanje dogodi kao rezultat primjene poprečne sile na šipku ( pirinač. 3), tada se takav zavoj naziva poprečnim. U ovom slučaju i poprečna sila i moment savijanja djeluju u svakom dijelu grede (osim presjeka na koji se primjenjuje vanjsko opterećenje).

Ako greda ima barem jednu os simetrije, a ravnina djelovanja opterećenja se poklapa s njom, tada dolazi do direktnog savijanja, ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada se događa koso savijanje.

Kada proučavamo deformaciju savijanja, mentalno ćemo zamisliti da se greda (greda) sastoji od bezbrojnog broja uzdužnih vlakana paralelnih s osi.
Kako bismo vizualizirali deformaciju direktne krivine, provest ćemo eksperiment s gumenom šipkom na koju je nanesena mreža uzdužnih i poprečnih linija.
Podvrgavajući takvu šipku direktnom zavoju, može se primijetiti da ( pirinač. jedan):

Poprečne linije će ostati ravne kada se deformiraju, ali će se okrenuti pod uglom jedna prema drugoj;
- profili grede će se širiti u poprečnom pravcu na konkavnoj strani i sužavati na konveksnoj strani;
- uzdužne ravne linije će biti zakrivljene.

Iz ovog iskustva može se zaključiti da:

Za čisto savijanje vrijedi hipoteza ravnih presjeka;
- vlakna koja leže na konveksnoj strani su rastegnuta, na konkavnoj strani su sabijena, a na granici između njih leži neutralni sloj vlakana koja se samo savijaju bez promjene dužine.

Pod pretpostavkom da je hipoteza o nepritisku vlakana pravedna, može se tvrditi da čistim savijanjem u poprečnom presjeku grede nastaju samo normalna vlačna i tlačna naprezanja, koja su neravnomjerno raspoređena po presjeku.
Linija presjeka neutralnog sloja sa ravninom poprečnog presjeka naziva se neutralna osa. Očigledno je da su normalni naponi na neutralnoj osi jednaki nuli.

Moment savijanja i sila smicanja

Kao što je poznato iz teorijske mehanike, reakcije nosača greda određuju se sastavljanjem i rješavanjem jednadžbi statičke ravnoteže za cijelu gredu. Prilikom rješavanja problema otpornosti materijala i određivanja faktora unutarnjih sila u šipkama uzeli smo u obzir reakcije veza zajedno sa vanjskim opterećenjima koja djeluju na šipke.
Za određivanje unutrašnjih faktora sila koristimo metodu preseka, a gredu ćemo prikazati samo jednom linijom - osom na koju se primjenjuju aktivne i reaktivne sile (opterećenja i reakcije veza).

Razmotrite dva slučaja:

1. Na gredu se primjenjuju dva jednaka i suprotna para sila.
S obzirom na ravnotežu dijela grede koji se nalazi lijevo ili desno od sekcije 1-1 (Sl. 2), vidimo da u svim poprečnim presjecima postoji samo moment savijanja M i jednak vanjskom momentu. Dakle, ovo je slučaj čistog savijanja.

Moment savijanja je rezultujući moment oko neutralne ose unutrašnjih normalnih sila koje djeluju u poprečnom presjeku grede.

Obratimo pažnju na činjenicu da moment savijanja ima različit smjer za lijevi i desni dio grede. To ukazuje na neprikladnost pravila znakova statike u određivanju predznaka momenta savijanja.

2. Aktivne i reaktivne sile (opterećenja i reakcije veza) okomito na osu primjenjuju se na gredu (pirinač. 3). S obzirom na ravnotežu dijelova grede smještenih lijevo i desno, vidimo da moment savijanja M treba djelovati u poprečnim presjecima i i sila smicanja Q.
Iz ovoga slijedi da u predmetu koji se razmatra ne djeluju samo normalni naponi koji odgovaraju momentu savijanja, već i tangencijalni naponi koji odgovaraju poprečnoj sili u točkama poprečnih presjeka.

Poprečna sila je rezultanta unutrašnjih tangencijalnih sila u poprečnom presjeku grede.

Obratimo pažnju na činjenicu da posmična sila ima suprotan smjer za lijevi i desni dio grede, što ukazuje na neprikladnost pravila statičkih predznaka pri određivanju predznaka posmične sile.

Savijanje, u kojem moment savijanja i poprečna sila djeluju u poprečnom presjeku grede, naziva se poprečno.

Za gredu u ravnoteži sa dejstvom ravnog sistema sila, algebarski zbir momenata svih aktivnih i reaktivnih sila u odnosu na bilo koju tačku jednak je nuli; stoga je zbir momenata vanjskih sila koje djeluju na gredu lijevo od presjeka numerički jednak zbiru momenata svih vanjskih sila koje djeluju na gredu desno od presjeka.
dakle, moment savijanja u presjeku grede numerički je jednak algebarskom zbiru momenata oko težišta presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na gredu desno ili lijevo od presjeka.

Za gredu u ravnoteži pod dejstvom sistema ravnih sila okomitih na osu (tj. sistema paralelnih sila), algebarski zbir svih spoljnih sila je nula; stoga je zbir vanjskih sila koje djeluju na gredu lijevo od presjeka numerički jednak algebarskom zbiru sila koje djeluju na gredu desno od presjeka.
dakle, poprečna sila u presjeku grede numerički je jednaka algebarskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju desno ili lijevo od presjeka.

Budući da su pravila znakova statike neprihvatljiva za utvrđivanje predznaka momenta savijanja i poprečne sile, za njih ćemo uspostaviti druga pravila znakova, i to: greda konveksna prema gore, tada se moment savijanja u presjeku smatra negativnim ( Slika 4a).

Ako zbroj vanjskih sila koje leže na lijevoj strani presjeka daje rezultantu usmjerenu prema gore, tada se poprečna sila u presjeku smatra pozitivnom, ako je rezultanta usmjerena prema dolje, tada se poprečna sila u presjeku smatra negativnom; za dio grede koji se nalazi desno od presjeka, predznaci poprečne sile će biti suprotni ( pirinač. 4b). Koristeći ova pravila, treba mentalno zamisliti presjek grede kao kruto stegnutu, a veze kao odbačene i zamijenjene reakcijama.

Još jednom napominjemo da se za određivanje reakcija veza koriste pravila znakova statike, a za određivanje znakova momenta savijanja i poprečne sile koriste se pravila znakova otpora materijala.
Pravilo predznaka za momente savijanja ponekad se naziva i "pravilo kiše", što znači da se u slučaju ispupčenja prema dolje formira lijevak u kojem se zadržava kišnica (predznak je pozitivan), i obrnuto - ako je ispod djelovanje opterećenja greda se savija prema gore u luku, voda na njoj ne kasni (predznak momenata savijanja je negativan).

Materijali odjeljka "Savijanje":

Počinjemo s najjednostavnijim slučajem, takozvanim čistim savijanjem.

Čisto savijanje je poseban slučaj savijanja, u kojem je poprečna sila u presjecima grede nula. Čisto savijanje može se dogoditi samo kada je vlastita težina grede toliko mala da se njen utjecaj može zanemariti. Za grede na dva nosača, primjeri opterećenja koja uzrokuju mrežu

savijanje, prikazano na sl. 88. Na presjecima ovih greda, gdje je Q = 0 i, prema tome, M = const; postoji čista krivina.

Sile u bilo kojem dijelu grede s čistim savijanjem svode se na par sila čija ravnina djelovanja prolazi kroz os grede, a moment je konstantan.

Naponi se mogu odrediti na osnovu sljedećih razmatranja.

1. Tangencijalne komponente sila na elementarne površine u poprečnom presjeku grede ne mogu se svesti na par sila čija je ravan djelovanja okomita na ravan presjeka. Iz toga slijedi da je sila savijanja u presjeku rezultat djelovanja na elementarne površine

samo normalne sile, pa se stoga čistim savijanjem naponi svode samo na normalne.

2. Da bi se napori na elementarnim platformama sveli na samo par sila, među njima mora biti i pozitivnih i negativnih. Stoga moraju postojati i zategnuta i stisnuta vlakna grede.

3. Zbog činjenice da su sile u različitim presjecima iste, naponi u odgovarajućim tačkama presjeka su isti.

Razmotrimo bilo koji element blizu površine (slika 89, a). Kako se na donju stranu grede ne primjenjuju sile, koja se poklapa s površinom grede, na njoj nema ni naprezanja. Dakle, na gornjoj strani elementa nema naprezanja, jer u suprotnom element ne bi bio u ravnoteži. S obzirom na visinski susedni element (sl. 89, b), dolazimo do

Isti zaključak, itd. Iz toga slijedi da nema naprezanja duž horizontalnih strana nijednog elementa. S obzirom na elemente koji čine horizontalni sloj, počevši od elementa blizu površine grede (Sl. 90), dolazimo do zaključka da nema naprezanja duž bočnih vertikalnih strana nijednog elementa. Dakle, stanje naprezanja bilo kog elementa (sl. 91, a), iu granici vlakna, mora biti predstavljeno kao što je prikazano na sl. 91b, tj. može biti ili aksijalna napetost ili aksijalna kompresija.

4. Zbog simetričnosti primjene vanjskih sila, presjek po sredini dužine grede nakon deformacije treba ostati ravan i normalan na os grede (Sl. 92, a). Iz istog razloga, presjeci u četvrtinama dužine grede također ostaju ravni i normalni na os grede (slika 92, b), ako samo krajnji dijelovi grede ostaju ravni i normalni na os grede tijekom deformacije. Sličan zaključak vrijedi i za presjeke u osmini dužine grede (Sl. 92, c) itd. Dakle, ako krajnji dijelovi grede ostanu ravni tokom savijanja, onda za bilo koji presjek ostaje

Pošteno je reći da nakon deformacije ostaje ravna i normalna na os zakrivljene grede. Ali u ovom slučaju, očito je da se promjena izduženja vlakana grede duž njegove visine treba dogoditi ne samo kontinuirano, već i monotono. Ako slojem nazovemo skup vlakana jednakih izduženja, onda iz rečenog slijedi da se rastegnuta i stisnuta vlakna grede trebaju nalaziti na suprotnim stranama sloja u kojem su izduženja vlakana jednaka nuli. Vlakna čija su izduženja jednaka nuli nazvaćemo neutralnim; sloj koji se sastoji od neutralnih vlakana - neutralni sloj; linija presjeka neutralnog sloja s ravninom poprečnog presjeka grede - neutralna linija ovog presjeka. Zatim, na osnovu prethodnih razmatranja, može se tvrditi da sa čistim savijanjem grede u svakom od njenih preseka postoji neutralna linija koja deli ovaj presek na dva dela (zone): zona rastegnutih vlakana (zategnuta zona) i zona komprimiranih vlakana (komprimirana zona). Shodno tome, normalna vlačna naprezanja trebaju djelovati u točkama rastegnute zone presjeka, tlačna naprezanja u točkama tlačne zone, a u točkama neutralne linije naponi su jednaki nuli.

Dakle, uz čisto savijanje grede konstantnog poprečnog presjeka:

1) u presecima deluju samo normalni naponi;

2) ceo deo se može podeliti na dva dela (zone) - rastegnuti i sabijeni; granica zona je neutralna linija presjeka, u čijim su točkama normalni naponi jednaki nuli;

3) bilo koji uzdužni element grede (u granici, bilo koje vlakno) je podvrgnut aksijalnom zatezanju ili kompresiji, tako da susedna vlakna ne interaguju jedno s drugim;

4) ako krajnji presjeci grede tokom deformacije ostanu ravni i normalni na osu, tada svi njeni poprečni presjeci ostaju ravni i normalni na osu zakrivljene grede.

Naponsko stanje grede pri čistom savijanju

Razmotrimo element grede koji je podložan čistom savijanju, zaključno mjereno između presjeka m-m i n-n, koji su razmaknuti jedan od drugog na beskonačno maloj udaljenosti dx (Sl. 93). Odredbom (4) prethodnog stava, presjeci m-m i n-n, koji su prije deformacije bili paralelni, nakon savijanja, ostajući ravni, formiraće ugao dQ i sjeći se duž prave linije koja prolazi kroz tačku C, koja je centar. zakrivljenosti neutralnog vlakna NN. Tada će se dio AB vlakna zatvoren između njih, smješten na udaljenosti z od neutralnog vlakna (pozitivan smjer ose z uzima prema konveksnosti grede tokom savijanja), pretvoriti u luk A "B" nakon Deformacija. Segment neutralnog vlakna O1O2, pretvarajući se u luk O1O2, neće promijeniti svoju dužinu, dok će AB vlakno dobiti izduženje:

prije deformacije

nakon deformacije

gdje je p polumjer zakrivljenosti neutralnog vlakna.

Dakle, apsolutno izduženje segmenta AB je

i izduženje

Budući da je prema položaju (3) vlakno AB podvrgnuto aksijalnoj napetosti, onda uz elastičnu deformaciju

Iz ovoga se može vidjeti da su normalna naprezanja po visini grede raspoređena prema linearnom zakonu (slika 94). Pošto jednaka sila svih napora na svim elementarnim dijelovima presjeka mora biti jednaka nuli, onda

odakle, zamjenom vrijednosti iz (5.8), nalazimo

Ali posljednji integral je statički moment oko ose Oy, koja je okomita na ravninu djelovanja sila savijanja.

Zbog svoje jednakosti nuli, ova os mora proći kroz težište O presjeka. Dakle, neutralna linija presjeka grede je prava linija yy, okomita na ravninu djelovanja sila savijanja. Zove se neutralna os preseka grede. Tada iz (5.8) proizilazi da su naponi u tačkama koje leže na istoj udaljenosti od neutralne ose isti.

Slučaj čistog savijanja, u kojem sile savijanja djeluju samo u jednoj ravni, uzrokujući savijanje samo u toj ravni, je ravno ravninsko čisto savijanje. Ako imenovana ravan prolazi kroz osu Oz, tada moment elementarnih napora u odnosu na ovu osu mora biti jednak nuli, tj.

Zamjenjujući ovdje vrijednost σ iz (5.8), nalazimo

Integral na lijevoj strani ove jednakosti, kao što je poznato, je centrifugalni moment inercije presjeka oko y i z osi, tako da

Osi u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli nazivaju se glavne osi inercije ovog presjeka. Ako, pored toga, prolaze kroz težište presjeka, onda se mogu nazvati glavnim središnjim osi inercije presjeka. Dakle, kod ravnog čistog savijanja, smjer ravnine djelovanja sila savijanja i neutralna os presjeka su glavne središnje osi inercije potonjeg. Drugim riječima, da bi se postiglo ravno i čisto savijanje grede, opterećenje se na njega ne može primijeniti proizvoljno: ono se mora svesti na sile koje djeluju u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi inercije presjeka grede; u ovom slučaju, druga glavna središnja os inercije će biti neutralna os presjeka.

Kao što je poznato, u slučaju presjeka koji je simetričan u odnosu na bilo koju os, os simetrije je jedna od njegovih glavnih središnjih osi inercije. Shodno tome, u ovom konkretnom slučaju, sasvim sigurno ćemo dobiti čisto savijanje primjenom odgovarajućih analoga u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os grede i os simetrije njenog presjeka. Prava linija, okomita na os simetrije i koja prolazi kroz težište presjeka, je neutralna osa ovog presjeka.

Nakon utvrđivanja položaja neutralne ose, nije teško pronaći veličinu naprezanja u bilo kojoj tački presjeka. Zaista, budući da zbir momenata elementarnih sila u odnosu na neutralnu osu yy mora biti jednak momentu savijanja, tada

odakle, zamjenom vrijednosti σ iz (5.8), nalazimo

Pošto je integral moment inercije presjeka oko y-ose, tada

a iz izraza (5.8) dobijamo

Proizvod EI Y naziva se krutost grede na savijanje.

Najveća vlačna i najveća tlačna naprezanja u apsolutnoj vrijednosti djeluju u točkama presjeka za koje je apsolutna vrijednost z najveća, odnosno u tačkama koje su najudaljenije od neutralne ose. Sa oznakama, sl. 95 ima

Vrijednost Jy / h1 naziva se momentom otpora presjeka na istezanje i označava se sa Wyr; slično, Jy/h2 se naziva momentom otpora presjeka na kompresiju

i označimo Wyc, dakle

i zbog toga

Ako je neutralna osa osa simetrije presjeka, tada je h1 = h2 = h/2 i, posljedično, Wyp = Wyc, pa nema potrebe da ih pravimo, a koriste istu oznaku:

nazivajući W y jednostavno modulom presjeka. Stoga, u slučaju presjeka simetričnog oko neutralne ose,

Svi gore navedeni zaključci su dobiveni na temelju pretpostavke da poprečni presjeci grede, kada se savijaju, ostaju ravni i normalni na svoju os (hipoteza ravnih presjeka). Kao što je prikazano, ova pretpostavka vrijedi samo ako krajnji (krajnji) dijelovi grede ostaju ravni tijekom savijanja. S druge strane, iz hipoteze o ravnim presjecima proizlazi da bi elementarne sile u takvim presjecima trebale biti raspoređene po linearnom zakonu. Stoga je za valjanost dobivene teorije ravnog čistog savijanja potrebno da se momenti savijanja na krajevima grede primjenjuju u obliku elementarnih sila raspoređenih po visini presjeka prema linearnom zakonu (Sl. 96), što se poklapa sa zakonom raspodjele naprezanja po visini presječnih greda. Međutim, na temelju Saint-Venantovog principa, može se tvrditi da će promjena u načinu primjene momenata savijanja na krajevima grede uzrokovati samo lokalne deformacije, čiji će utjecaj utjecati samo na određenoj udaljenosti od ovih krajevi (približno jednaki visini sekcije). Dijelovi koji se nalaze u ostatku dužine grede ostat će ravni. Shodno tome, navedena teorija ravnog čistog savijanja, sa bilo kojom metodom primjene momenata savijanja, vrijedi samo unutar srednjeg dijela dužine grede, koji se nalazi na udaljenostima od njegovih krajeva približno jednakim visini presjeka. Iz ovoga je jasno da je ova teorija očigledno neprimjenjiva ako visina presjeka prelazi polovinu dužine ili raspona grede.

bend naziva se vrsta opterećenja šipke, u kojoj se na nju primjenjuje moment, koji leži u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os. U poprečnim presjecima grede javljaju se momenti savijanja. Prilikom savijanja dolazi do deformacije u kojoj je os ravne grede savijena ili se zakrivljenost zakrivljene grede mijenja.

Greda koja radi pri savijanju naziva se greda . Zove se konstrukcija koja se sastoji od nekoliko šipki za savijanje međusobno povezanih najčešće pod uglom od 90 ° okvir .

Zavoj se zove ravna ili ravna , ako ravan djelovanja tereta prolazi kroz glavnu središnju os inercije presjeka (slika 6.1).

Sl.6.1

S ravnim poprečnim savijanjem u gredi nastaju dvije vrste unutrašnjih sila: poprečna sila Q i moment savijanja M. U okviru s ravnim poprečnim savijanjem nastaju tri sile: uzdužna N, poprečno Q sile i moment savijanja M.

Ako je moment savijanja jedini faktor unutrašnje sile, onda se takvo savijanje naziva cisto (sl.6.2). U prisustvu poprečne sile, savijanje se naziva poprečno . Strogo govoreći, samo čisto savijanje spada u jednostavne vrste otpora; poprečno savijanje se uvjetno odnosi na jednostavne vrste otpora, jer se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.

22.Ravna poprečna krivina. Diferencijalne zavisnosti između unutrašnjih sila i spoljašnjeg opterećenja. Između momenta savijanja, poprečne sile i intenziteta raspoređenog opterećenja, postoje diferencijalne zavisnosti zasnovane na teoremi Žuravskog, nazvanoj po ruskom inženjeru mostova D. I. Žuravskom (1821-1891).

Ova teorema je formulirana na sljedeći način:

Poprečna sila jednaka je prvom izvodu momenta savijanja duž apscise presjeka grede.

23. Ravna poprečna krivina. Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja. Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 1

Desnu stranu grede odbacujemo i njeno djelovanje na lijevoj strani zamjenjujemo poprečnom silom i momentom savijanja. Radi praktičnosti proračuna, odbačeni desni dio grede zatvaramo listom papira, poravnavajući lijevu ivicu lista sa razmatranim odsjekom 1.

Poprečna sila u dijelu 1 grede jednaka je algebarskom zbiru svih vanjskih sila koje su vidljive nakon zatvaranja

Vidimo samo silaznu reakciju podrške. Dakle, poprečna sila je:

kN.

Znak minus smo uzeli jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (ili zato što je jednako usmjerena sa smjerom poprečne sile prema pravilu znakova)

Moment savijanja u presjeku 1 grede jednak je algebarskom zbiru momenata svih napora koje vidimo nakon zatvaranja odbačenog dijela grede, u odnosu na razmatrani presjek 1.

Vidimo dva napora: reakciju oslonca i moment M. Međutim, krak sile je skoro nula. Dakle, moment savijanja je:

kN m

Ovdje mi uzimamo znak plus jer vanjski moment M savija vidljivi dio grede konveksnošću prema dolje. (ili zato što je suprotan smjeru momenta savijanja prema pravilu znakova)

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 2

Za razliku od prvog dijela, sila reakcije ima rame jednako a.

poprečna sila:

kN;

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 3

poprečna sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 4

Sada udobnije lijevu stranu grede prekrijte listom.

poprečna sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 5

poprečna sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 1

poprečna sila i moment savijanja:

.

Na osnovu pronađenih vrijednosti, konstruiramo dijagram poprečnih sila (slika 7.7, b) i momenata savijanja (sl. 7.7, c).

KONTROLA ISPRAVNE KONSTRUKCIJE FIZIKA

Provjerićemo ispravnost konstrukcije dijagrama prema vanjskim karakteristikama, koristeći pravila za konstruiranje dijagrama.

Provjera grafikona posmične sile

Uvjereni smo: pod neopterećenim presjecima dijagram poprečnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q, duž ravne linije nagnute prema dolje. Na dijagramu uzdužne sile postoje tri skoka: ispod reakcije - dolje za 15 kN, pod silom P - dolje za 20 kN i ispod reakcije - gore za 75 kN.

Provjera grafikona momenta savijanja

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentrisanom silom P i pod reakcijama oslonca. Uglovi loma usmjereni su prema ovim silama. Pod raspoređenim opterećenjem q dijagram momenata savijanja mijenja se duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U dijelu 6 nalazi se ekstremum na dijagramu momenta savijanja, jer dijagram poprečne sile na ovom mjestu prolazi kroz nulu.

Za konzolnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN / m i koncentriranim momentom kN m (slika 3.12), potrebno je: izgraditi dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja, odabrati gredu kružnog poprečnog presjeka na dozvoljenom normalnog naprezanja kN/cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema posmičnim naprezanjima pri dopuštenom posmičnom naprezanju kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.

Projektna shema za problem direktnog poprečnog savijanja

Rice. 3.12

Rješavanje problema "direktnog poprečnog savijanja"

Određivanje reakcija podrške

Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-ose ne djeluju na gredu.

Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: usmjerimo vertikalnu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz jednačina statike:

Sastavljajući ove jednačine, smatramo da je trenutak pozitivan kada se okreće suprotno od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njen smjer poklapa s pozitivnim smjerom y ose.

Iz prve jednadžbe nalazimo trenutak završetka:

Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:

Pozitivne vrijednosti koje smo dobili u ovom trenutku i vertikalna reakcija u prekidu ukazuju na to da smo pogodili njihov smjer.

U skladu sa prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njegovu dužinu dijelimo na dva dijela. Duž granica svakog od ovih presjeka ocrtavamo četiri poprečna presjeka (vidi sliku 3.12), u kojima ćemo metodom presjeka (ROZU) izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja.

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, desnu stranu grede koju smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu lista s presjekom koji se razmatra.

Podsjetimo da posmična sila koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji razmatramo (to jest, vidljiv). Prema tome, sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbiru svih sila koje vidimo.

Navedimo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na razmatrani dio grede i teži da ovaj dio "zarotira" u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila je uključena u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

U našem slučaju vidimo samo reakciju oslonca, koji rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dakle

kN.

Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment koji stvaraju vanjske sile koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra. Dakle, jednak je algebarskom zbiru momenata svih napora koji djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji se razmatra (drugim riječima, u odnosu na ivicu komada papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje koje savija razmatrani dio grede konveksnošću prema dolje uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A trenutak stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

Vidimo dva pokušaja: reakciju i trenutak prekida. Međutim, krak sile u odnosu na dio 1 jednak je nuli. Dakle

kN m

Uzeli smo znak plus jer reaktivni moment savija vidljivi dio snopa konveksnošću prema dolje.

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada, za razliku od prvog dijela, sila ima rame: m. Dakle

kN; kN m

Odjeljak 3. Zatvarajući desnu stranu grede, nalazimo

kN;

Odjeljak 4. Zatvorimo lijevu stranu grede listom. Onda

kN m

kN m

.

Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.12, b) i momenata savijanja (sl. 3.12, c).

Pod neopterećenim presjecima dijagram posmičnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q, duž nagnute prave linije prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu je skok naniže za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Ugao loma usmjeren je prema reakciji oslonca. Pod raspoređenim opterećenjem q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odeljku 6 na dijagramu nalazi se ekstremum, jer dijagram sile smicanja na ovom mjestu ovdje prolazi kroz nultu vrijednost.

Odredite potrebni promjer poprečnog presjeka grede

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:

,

gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog poprečnog presjeka ona je jednaka:

.

Moment savijanja sa najvećom apsolutnom vrijednošću javlja se u trećem dijelu grede: kN cm

Tada se traženi promjer grede određuje formulom

cm.

Prihvatamo mm. Onda

kN/cm2 kN/cm2.

"Prenapon" je

,

šta je dozvoljeno.

Provjeravamo čvrstoću grede za najveća tangencijalna naprezanja

Najveća posmična naprezanja koja se javljaju u poprečnom presjeku kružne grede izračunavaju se po formuli

,

gdje je površina poprečnog presjeka.

Prema dijagramu, najveća algebarska vrijednost posmične sile je jednaka kN. Onda

kN/cm2 kN/cm2,

odnosno ispunjen je uvjet čvrstoće i posmičnog naprezanja, osim toga, sa velikom marginom.

Primjer rješavanja problema "direktno poprečno savijanje" br.2

Stanje primjera problema za direktno poprečno savijanje

Za zglobnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN / m, koncentriranom silom kN i koncentriranim momentom kN m (slika 3.13), potrebno je nacrtati posmične sile i momente savijanja i odabrati poprečni presjek I-grede sa dozvoljeno normalno naprezanje kN/cm2 i dozvoljeno posmično naprezanje kN/cm2. Raspon grede m.

Primjer zadatka za pravi zavoj - shema dizajna

Rice. 3.13

Rješenje primjera problema pravog savijanja

Određivanje reakcija podrške

Za datu osovinu oslonjenu gredu potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja, okomita na njenu os, horizontalna reakcija fiksnog zglobnog nosača A jednaka je nuli: .

Smjerovi vertikalnih reakcija i biraju se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje vertikalne reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, sastavljamo dvije jednadžbe statike:

Podsjetimo da je rezultirajuće linearno opterećenje, ravnomjerno raspoređeno na dio dužine l, jednako, odnosno jednako površini ​​dijagrama ovog opterećenja i primijenjeno je na težište ovog dijagrama, odnosno na sredini dužine.

;

kN.

Provjeravamo: .

Podsjetimo da se sile čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom y-ose projektuju (projiciraju) na ovu os sa znakom plus:

To je tačno.

Gradimo dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja

Dužinu grede razbijamo u zasebne dijelove. Granice ovih presjeka su tačke primjene koncentrisanih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i tačke koje odgovaraju početku i kraju raspoređenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takve oblasti. Duž granica ovih presjeka ocrtavamo šest poprečnih presjeka u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (slika 3.13, a).

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Radi praktičnosti izračunavanja posmične sile i momenta savijanja koji nastaju u ovom dijelu, dio grede koji smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu komada papira sa samim presjekom.

Sila smicanja u presjeku grede jednaka je algebarskom zbiru svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Dakle

kN.

Znak plus se uzima jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (ivicu papira) u smjeru kazaljke na satu.

Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo, u odnosu na presjek koji se razmatra (odnosno u odnosu na ivicu komada papira). Vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Međutim, poluga sile je nula. Rezultirajuće linearno opterećenje je također jednako nuli. Dakle

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koje djeluju na dio dužine . Rezultirajuće linearno opterećenje je jednako . Pričvršćuje se na sredini dijela dužine . Dakle

Podsjetimo da prilikom određivanja predznaka momenta savijanja, mi mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih potpornih pričvršćenja i zamišljamo ga kao da je stisnut u razmatranom presjeku (tj. lijevi rub komada papir mi mentalno predstavljamo kao kruti pečat).

Odjeljak 3. Zatvorimo desni dio. Get

Odjeljak 4. Desnu stranu grede zatvaramo listom. Onda

Sada, da bismo kontrolisali ispravnost proračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q, raspoređenu na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Dakle

kN m

Odnosno, sve je tačno.

Odjeljak 5. I dalje zatvorite lijevu stranu grede. Imat će

kN;

kN m

Odjeljak 6. Ponovo zatvorimo lijevu stranu grede. Get

kN;

Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.13, b) i momenata savijanja (sl. 3.13, c).

Uvjereni smo da pod neopterećenim presjekom dijagram posmičnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q - duž prave linije sa nagibom prema dolje. Na dijagramu su tri skoka: ispod reakcije - gore za 37,5 kN, ispod reakcije - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentrisanom silom P i pod reakcijama oslonca. Uglovi loma usmjereni su prema ovim silama. Pod raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentrisanog momenta dolazi do skoka od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U sekciji 7 na dijagramu nalazi se ekstrem, jer dijagram posmične sile za ovaj presjek prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od presjeka 7 do lijevog oslonca.

bend naziva se deformacija, u kojoj se os štapa i sva njegova vlakna, tj. uzdužne linije paralelne s osi štapa, savijaju pod djelovanjem vanjskih sila. Najjednostavniji slučaj savijanja se dobiva kada vanjske sile leže u ravnini koja prolazi kroz središnju os štapa i ne projicira se na ovu os. Takav slučaj savijanja naziva se poprečno savijanje. Razlikovati ravni zavoj i kosi.

ravna krivina- takav slučaj kada se savijena os štapa nalazi u istoj ravni u kojoj djeluju vanjske sile.

Kosi (složeni) zavoj- takav slučaj savijanja, kada savijena os štapa ne leži u ravni djelovanja vanjskih sila.

Šipka za savijanje se obično naziva greda.

Kod ravnog poprečnog savijanja greda u presjeku s koordinatnim sistemom y0x mogu nastati dvije unutrašnje sile - poprečna sila Q y i moment savijanja M x; u nastavku uvodimo notaciju Q i M. Ako u presjeku ili presjeku grede nema poprečne sile (Q = 0), a moment savijanja nije jednak nuli ili je M konstantan, tada se takvo savijanje obično naziva cisto.

Poprečna sila u bilo kojem dijelu grede je numerički jednak algebarskom zbiru projekcija na os svih sila (uključujući reakcije potpore) koje se nalaze na jednoj strani (bilo koje) presjeka.

Moment savijanja u presjeku grede je brojčano jednak algebarskom zbroju momenata svih sila (uključujući reakcije potpore) koje se nalaze na jednoj strani (bilo koje) presjeka povučene u odnosu na težište ovog presjeka, tačnije, u odnosu na os prolazeći okomito na ravan crteža kroz težište nacrtanog presjeka.

Q-sila je rezultantno raspoređena po poprečnom presjeku unutrašnjeg naponi smicanja, a momenat M– zbir trenutaka oko centralne ose unutrašnjeg preseka X normalna naprezanja.

Postoji razlika između unutrašnjih sila

koji se koristi u konstrukciji i verifikaciji dijagrama Q i M.

Budući da su neka vlakna grede rastegnuta, a neka sabijena, a prijelaz iz napetosti u kompresiju odvija se glatko, bez skokova, u srednjem dijelu grede nalazi se sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni jedno ni drugo. napetost ili kompresiju. Takav sloj se zove neutralni sloj. Linija duž koje se neutralni sloj siječe s poprečnim presjekom grede naziva se neutralna linija th or neutralna osa sekcije. Na osi grede nanizane su neutralne linije.

Linije povučene na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravne kada se savijaju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju zasnivanje zaključaka formula na hipotezi ravnih presjeka. Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i postaju okomiti na savijenu os grede kada se ona savija. Poprečni presjek grede je izobličen tokom savijanja. Zbog poprečne deformacije povećavaju se dimenzije poprečnog presjeka u sabijenoj zoni grede, au zoni zatezanja se sabijaju.

Pretpostavke za izvođenje formula. Normalni naponi

1) Ispunjena je hipoteza ravnih presjeka.

2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno na drugo i stoga pod djelovanjem normalnih naprezanja djeluju linearne napetosti ili kompresije.

3) Deformacije vlakana ne zavise od njihovog položaja duž širine presjeka. Posljedično, normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, ostaju isti po širini.

4) Greda ima barem jednu ravan simetrije i sve vanjske sile leže u ovoj ravni.

5) Materijal grede podliježe Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti pri zatezanju i kompresiji je isti.

6) Odnosi između dimenzija grede su takvi da radi u uslovima ravnog savijanja bez savijanja ili uvrtanja.

Samo sa čistim savijanjem grede na platformama u svom presjeku normalna naprezanja, određena formulom:

gde je y koordinata proizvoljne tačke preseka, mereno od neutralne linije - glavne centralne ose x.

Normalna naprezanja savijanja po visini presjeka su raspoređena linearni zakon. Na ekstremnim vlaknima normalna naprezanja dostižu svoju maksimalnu vrijednost, a u centru gravitacije poprečni presjeci su jednaki nuli.

Priroda dijagrama normalnog naprezanja za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju

Priroda dijagrama normalnog naprezanja za presjeke koji nemaju simetriju u odnosu na neutralnu liniju

Opasne tačke su one koje su najudaljenije od neutralne linije.

Hajde da izaberemo neki odeljak

Za bilo koju tačku sekcije, nazovimo je tačkom To, uvjet čvrstoće grede za normalna naprezanja ima oblik:

, gdje je i.d. - Ovo neutralna osa

Ovo modul aksijalnog presjeka oko neutralne ose. Njegova dimenzija je cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu napona.

Stanje snage za normalna naprezanja:

Normalno naprezanje je jednako omjeru maksimalnog momenta savijanja i modula aksijalnog presjeka u odnosu na neutralnu os.

Ako je materijal nejednako otporan na istezanje i kompresiju, tada se moraju koristiti dva uvjeta čvrstoće: za zonu rastezanja s dopuštenim vlačnim naprezanjem; za zonu kompresije sa dozvoljenim tlačnim naprezanjem.

Uz poprečno savijanje, grede na platformama u svom presjeku djeluju kao normalno, i tangente voltaža.