To je graf funkcije y kx b. Linearna funkcija

Uputstvo

Ako je grafik prava linija koja prolazi kroz ishodište i formira ugao α sa OX osom (ugao nagiba prave linije prema pozitivnoj OX poluosi). Funkcija koja opisuje ovu liniju će izgledati kao y = kx. Faktor proporcionalnosti k je jednak tg α. Ako linija prolazi kroz 2. i 4. koordinatnu četvrtinu, tada k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcija raste.Neka je to prava linija koja se nalazi na razne načine u odnosu na koordinatne ose. Ovo je linearna funkcija i ima oblik y = kx + b, gdje su varijable x i y u prvom stepenu, a k i b mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti ili jednake nuli. Prava je paralelna pravoj y = kx i odsijeca na osi |b| jedinice. Ako je prava paralelna sa apscisnom osom, tada je k = 0, ako je ordinatna osa, onda jednačina ima oblik x = const.

Kriva koja se sastoji od dvije grane smještene u različitim četvrtima i simetrične u odnosu na ishodište, hiperbola. Ovaj graf inverzni odnos varijabla y od x i opisana je jednadžbom y = k/x. Ovdje je k ≠ 0 koeficijent proporcionalnosti. Štaviše, ako je k > 0, funkcija se smanjuje; ako k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в koordinatni uglovi.

Kvadratna funkcija ima oblik y = ax2 + bx + c, gdje su a, b i c konstante i a  0. Kada je ispunjen uvjet b = c = 0, jednadžba funkcije izgleda kao y = ax2 ( najjednostavniji slučaj), a njegov graf je parabola koja prolazi kroz ishodište. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima isti oblik kao i najjednostavniji slučaj funkcije, ali njen vrh (tačka presjeka sa osom OY) ne leži u početku.

Parabola je također graf funkcije stepena izražene jednadžbom y = xⁿ ako je n bilo koji paran broj. Ako je n bilo koji neparan broj, graf takve funkcije stepena će izgledati kao kubna parabola.
Ako je n bilo koji , jednadžba funkcije poprima oblik. Graf funkcije za neparno n bit će hiperbola, a za parno n njihove grane će biti simetrične u odnosu na os op-y.

Još u školskim godinama funkcije se detaljno proučavaju i grade njihovi grafikoni. Ali, nažalost, oni praktički ne uče čitati graf funkcije i pronaći njen tip prema predstavljenom crtežu. Zapravo je prilično jednostavno ako se sjetite osnovnih tipova funkcija.

Uputstvo

Ako je prikazani graf , koji je kroz ishodište i sa OX osom ugao α (koji je ugao nagiba prave na pozitivnu polu-osu), tada će funkcija koja opisuje takvu pravu liniju biti predstavljena kao y = kx. U ovom slučaju, koeficijent proporcionalnosti k jednaka tangenti ugao α.

Ako data linija prolazi kroz drugu i četvrtu koordinatnu četvrtinu, tada je k 0 i funkcija raste. Neka je prikazani graf prava linija koja se nalazi na bilo koji način u odnosu na koordinatne ose. Zatim funkcija takvih grafikeće biti linearan, što je predstavljeno oblikom y = kx + b, gdje su varijable y i x u prvom, a b i k mogu imati i negativne i pozitivne vrijednosti ili .

Ako je prava paralelna pravoj sa grafikom y = kx i odsijeca b jedinica na y-osi, tada jednačina ima oblik x = const, ako je graf paralelan sa x-osi, tada je k = 0 .

Zakrivljena linija, koja se sastoji od dvije grane, simetrične u odnosu na ishodište i smještene u različitim četvrtima, hiperbola. Takav graf prikazuje inverznu zavisnost varijable y od varijable x i opisuje se jednadžbom oblika y = k/x, pri čemu k ne bi trebalo da bude jednako nuli, jer je koeficijent inverzna proporcionalnost. U ovom slučaju, ako je vrijednost k veća od nule, funkcija se smanjuje; ako je k manji od nule, povećava se.

Ako je predloženi graf parabola koja prolazi kroz ishodište, njegova funkcija, ako je ispunjen uslov da je b = c = 0, izgledaće kao y = ax2. Ovo je najjednostavniji slučaj kvadratna funkcija. Graf funkcije oblika y = ax2 + bx + c imat će isti oblik kao i najjednostavniji slučaj, međutim, vrh (tačka gdje se graf seče sa y-osom) neće biti u početku. U kvadratnoj funkciji predstavljenoj u obliku y = ax2 + bx + c, vrijednosti a, b i c su konstantne, dok a nije jednako nuli.

Parabola također može biti graf funkcije stepena izražene jednadžbom oblika y = xⁿ, samo ako je n bilo koji paran broj. Ako je vrijednost n neparan broj, takav graf funkcije stepena će biti predstavljen kubnom parabolom. Ako je varijabla n bilo koja negativan broj, jednadžba funkcije ima oblik .

Povezani video zapisi

Koordinata apsolutno bilo koje tačke na ravni je određena njenim dvema vrednostima: duž ose apscise i osi ordinata. Skup mnogih takvih tačaka je graf funkcije. Po njemu se može vidjeti kako se mijenja vrijednost Y ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem dijelu (intervalu) funkcija raste, a u kojem opada.

Uputstvo

Šta se može reći o funkciji ako je njen graf prava linija? Pogledajte da li ova linija prolazi kroz ishodište koordinata (odnosno onu gdje su vrijednosti X i Y 0). Ako prođe, onda je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je shvatiti da što je veća vrijednost k, to će ova linija biti bliža y-osi. A sama Y-osa zapravo odgovara beskonačno veliki značaj k.

U ovom članku ćemo pogledati linearna funkcija, graf linearne funkcije i njena svojstva. I, kao i obično, riješit ćemo nekoliko problema na ovu temu.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika

U jednadžbi funkcije, broj s kojim množimo naziva se faktor nagiba.

Na primjer, u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije.

Grafikon linearne funkcije je prava linija.

jedan . Za crtanje funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije , prikladno je uzeti i , tada će ordinate ovih točaka biti jednake i .

Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije:

2 . U jednadžbi funkcije, koeficijent je odgovoran za nagib grafa funkcije:

Title="(!LANG:k>0">!}

Koeficijent je odgovoran za pomicanje grafika duž ose:

Naslov="(!LANG:b>0">!}

Slika ispod prikazuje grafikone funkcija; ;

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent Iznad nule u pravu. Štaviše, nego više vrijednosti, što je prava linija strmija.

U svim funkcijama - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija; ;

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent manje od nule, a svi grafovi funkcija su iskrivljeni nalijevo.

Imajte na umu da što je veći |k|, to je linija strmija. Koeficijent b je isti, b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, prelaze osu OY u tački (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija; ;

Sada su u svim jednadžbama funkcija koeficijenti jednaki. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:

Grafikon funkcije (b=3) prelazi osu OY u tački (0;3)

Grafikon funkcije (b=0) prelazi preko OY ose u tački (0;0) - ishodištu.

Grafikon funkcije (b=-2) prelazi osu OY u tački (0;-2)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije.

Ako a k<0 и b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k>0 i b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k>0 i b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k<0 и b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako a k=0 , tada se funkcija pretvara u funkciju i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka grafa funkcije su jednake

Ako a b=0, tada graf funkcije prolazi kroz ishodište:

Ovo je grafik direktne proporcionalnosti.

3 . Zasebno, napominjem graf jednačine. Grafikon ove jednadžbe je prava linija paralelna sa osom, čije sve tačke imaju apscisu.

Na primjer, graf jednadžbe izgleda ovako:

Pažnja! Jednačina nije funkcija, jer različite vrijednosti argumenta odgovaraju istoj vrijednosti funkcije, što ne odgovara .

4 . Uslov za paralelnost dve prave:

Funkcijski grafikon paralelno sa grafikom funkcije, ako

5. Uslov okomitosti dvije prave:

Funkcijski grafikon okomito na graf funkcije ako ili

6. Točke sjecišta grafa funkcije sa koordinatnim osa.

sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobijamo y=b. Odnosno, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0;b).

Sa OX osom: Ordinata bilo koje tačke koja pripada osi OX je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobijamo 0=kx+b. Odavde. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (; 0):

Razmislite o rješavanju problema.

jedan . Izgradite graf funkcije ako je poznato da ona prolazi kroz tačku A (-3; 2) i paralelna je s pravom y = -4x.

Postoje dva nepoznata parametra u jednadžbi funkcije: k i b. Dakle, u tekstu zadatka treba da postoje dva uslova koja karakterišu graf funkcije.

a) Iz činjenice da je grafik funkcije paralelan pravoj liniji y=-4x, slijedi da je k=-4. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Ostaje nam da pronađemo b. Poznato je da graf funkcije prolazi kroz tačku A (-3; 2). Ako tačka pripada grafu funkcije, onda kada se njene koordinate zamijene u jednadžbu funkcije, dobivamo ispravnu jednakost:

dakle b=-10

Dakle, trebamo iscrtati funkciju

Tačka A(-3;2) nam je poznata, uzmite tačku B(0;-10)

Stavimo ove tačke u koordinatnu ravan i spojimo ih pravom linijom:

2. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1;1); B(2;4).

Ako prava prolazi kroz tačke sa datim koordinatama, tada koordinate tačaka zadovoljavaju jednačinu prave. Odnosno, ako zamenimo koordinate tačaka u jednadžbu prave, dobićemo tačnu jednakost.

Zamijenite koordinate svake tačke u jednačini i dobijete sistem linearne jednačine.

Prvu jednačinu oduzimamo od druge jednačine sistema i dobijamo . Zamijenite vrijednost k u prvoj jednačini sistema i dobijete b=-2.

Dakle, jednačina prave linije.

3 . Plot Equation

Da biste pronašli pri kojim vrijednostima nepoznate je proizvod nekoliko faktora jednak nuli, trebate svaki faktor izjednačiti s nulom i uzeti u obzir svaki množilac.

Ova jednadžba nema ograničenja na ODZ. Hajde da faktorizujemo drugu zagradu i izjednačimo svaki faktor sa nulom. Dobijamo skup jednačina:

Konstruišemo grafove svih jednačina skupa u jednoj koordinatnoj ravni. Ovo je graf jednadžbe :

4 . Napravi graf funkcije ako je okomita na pravu i prolazi kroz tačku M (-1; 2)

Nećemo graditi graf, samo ćemo pronaći jednadžbu prave linije.

a) Pošto je grafik funkcije, ako je okomit na pravu, dakle, odavde. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Znamo da graf funkcije prolazi kroz tačku M (-1; 2). Zamijenite njegove koordinate u jednadžbu funkcije. Dobijamo:

Odavde.

Stoga naša funkcija izgleda ovako: .

5 . Iscrtajte funkciju

Pojednostavimo izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije.

Bitan! Prije nego što pojednostavimo izraz, pronađimo njegov ODZ.

Imenilac razlomka ne može biti nula, pa title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Tada naša funkcija postaje:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Odnosno, treba da napravimo graf funkcije i izvučemo dve tačke na njemu: sa apscisama x=1 i x=-1:

"Kritične tačke funkcije" - Kritične tačke. Među kritičnim tačkama nalaze se tačke ekstrema. Neophodan uslov ekstrem. Odgovor: 2. Definicija. Ali, ako je f"(x0) = 0, onda nije neophodno da tačka x0 bude tačka ekstrema. Ekstremne tačke (ponavljanje). Kritične tačke funkcije. Ekstremne tačke.

"Koordinatna ravan 6. razred" - matematika 6. razred. 1. X. 1. Pronađite i zapišite koordinate tačke A,B, C,D: -6. Koordinatna ravan. O. -3. 7. W.

"Funkcije i njihovi grafovi" - Kontinuitet. Najveći i najmanju vrijednost funkcije. koncept inverzna funkcija. Linearno. Logaritamski. Monotona. Ako je k > 0, tada je formirani ugao oštar, ako je k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Funkcije razred 9" - Dozvoljene aritmetičke operacije nad funkcijama. [+] - sabiranje, [-] - oduzimanje, [*] - množenje, [:] - dijeljenje. U takvim slučajevima se govori o grafički zadatak funkcije. Razredna edukacija elementarne funkcije. Funkcija napajanja y=x0.5. Iovlev Maxim Nikolaevich, učenik 9. razreda škole RIOU Raduzhskaya.

"Jednačina tangente lekcije" - 1. Pojasniti koncept tangente na graf funkcije. Leibniz je razmatrao problem povlačenja tangente na proizvoljnu krivu. ALGORITAM ZA SASTAVLJANJE JEDNAČINE FUNKCIJE tangente na GRAF y=f(x). Tema lekcije: Test: pronađite izvod funkcije. Tangentna jednadžba. Fluxion. 10. razred. Dešifrirajte kako je Isak Newton nazvao derivaciju funkcije.

"Napravi graf funkcije" - Zadana je funkcija y=3cosx. Grafikon funkcije y=m*sin x. Nacrtajte graf funkcije. Sadržaj: Zadana funkcija: y=sin (x+?/2). Istezanje grafika y=cosx duž y ose. Za nastavak pritisnite L. Dugme miša. Zadana je funkcija y=cosx+1. Grafički pomaci y=sinx okomito. Zadana je funkcija y=3sinx. Pomak grafikona y=cosx horizontalno.

U ovoj temi ima ukupno 25 prezentacija

Uputstvo

Postoji nekoliko načina za rješavanje linearnih funkcija. Pogledajmo većinu njih. Najčešće korišteni metodom korak po korak zamjene. U jednoj od jednačina potrebno je jednu varijablu izraziti u terminima druge i zamijeniti je drugom jednačinom. I tako sve dok samo jedna varijabla ne ostane u jednoj od jednadžbi. Da biste ga riješili, trebate ostaviti varijablu na jednoj strani znaka jednakosti (može biti sa koeficijentom), a na drugoj strani znaka jednakosti sve numeričke podatke, ne zaboravljajući promijeniti predznak broja u suprotno pri prenošenju. Nakon što izračunate jednu varijablu, zamijenite je drugim izrazima, nastavite s proračunima prema istom algoritmu.

Na primjer, uzmite linearni sistem funkcije, koji se sastoji od dvije jednadžbe:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Iz druge jednačine zgodno je izraziti x:
x=y+2.
Kao što vidite, prilikom prelaska iz jednog dijela jednakosti u drugi, promijenili su se znak i varijable, kao što je gore opisano.
Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jednačinu, isključujući tako varijablu x iz nje:
2*(y+2)+y-7=0.
Proširivanje zagrada:
2y+4+y-7=0.
Sastavljamo varijable i brojeve, dodajemo ih:
3y-3=0.
Prelazimo na desnu stranu jednačine, mijenjamo predznak:
3y=3.
Podijeli po ukupni omjer, dobijamo:
y=1.
Zamijenite rezultirajuću vrijednost u prvi izraz:
x=y+2.
Dobijamo x=3.

Drugi način za rješavanje sličnih je da se dvije jednačine pojam po članu dobije nova s ​​jednom promjenljivom. Jednadžba se može pomnožiti određenim koeficijentom, glavna stvar je pomnožiti svaki član jednadžbe i ne zaboraviti, a zatim dodati ili oduzeti jednu jednadžbu. Ova metoda mnogo štedi pri pronalaženju linearne funkcije.

Uzmimo već poznati sistem jednačina sa dvije varijable:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Lako je vidjeti da je koeficijent varijable y identičan u prvoj i drugoj jednačini i da se razlikuje samo predznakom. To znači da pri sabiranju ove dvije jednačine pojam po član dobijamo novu, ali sa jednom promjenljivom.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Numeričke podatke prenosimo na desnu stranu jednačine, mijenjajući predznak:
3x=9.
Pronalaženje zajedničkog faktora jednak koeficijentu stoji na x i podijelite obje strane jednadžbe s njim:
x=3.
Rezultirajuća se može zamijeniti bilo kojom od jednačina sistema za izračunavanje y:
x-y-2=0;
3-y-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Također možete izračunati podatke iscrtavanjem tačnog grafikona. Da biste to učinili, morate pronaći nule funkcije. Ako je jedna od varijabli jednaka nuli, onda se takva funkcija naziva homogena. Rješavanjem ovakvih jednadžbi dobićete dvije tačke potrebne i dovoljne za izgradnju prave linije - jedna od njih će se nalaziti na x-osi, druga na y-osi.

Uzimamo bilo koju jednadžbu sistema i tu zamjenjujemo vrijednost x \u003d 0:
2*0+y-7=0;
Dobijamo y=7. Dakle, prva tačka, nazovimo je A, imat će koordinate A (0; 7).
Da biste izračunali tačku koja leži na x-osi, prikladno je zamijeniti vrijednost y = 0 u drugu jednadžbu sistema:
x-0-2=0;
x=2.
Druga tačka (B) će imati koordinate B (2;0).
Dobijene tačke označavamo na koordinatnoj mreži i kroz njih povlačimo pravu liniju. Ako ga napravite prilično precizno, druge vrijednosti x i y mogu se izračunati direktno iz njega.