Kako pronaći najmanju vrijednost formule funkcije. Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području
Proučavanje takvog objekta matematička analiza kako funkcija ima veliki značenje i u drugim oblastima nauke. Na primjer, u ekonomske analize stalno treba procjenjivati ponašanje funkcije profita, odnosno odrediti njegov maksimum značenje i razviti strategiju za postizanje toga.
Uputstvo
Proučavanje bilo kakvog ponašanja uvijek treba započeti potragom za domenom definicije. Obično prema uslovima konkretan zadatak potrebno je odrediti najveću značenje funkcije bilo na cijelom ovom području, bilo na njegovom specifičnom intervalu sa otvorenim ili zatvorenim granicama.
Na osnovu , najveći je značenje funkcije y(x0), pod kojim je za bilo koju tačku domena definicije zadovoljena nejednakost y(x0) ≥ y(x) (h ≠ x0). Grafički, ova točka će biti najviša ako rasporedite vrijednosti argumenta duž ose apscise, a samu funkciju duž ordinatne ose.
Za određivanje najvećeg značenje funkcije, slijedite algoritam u tri koraka. Imajte na umu da morate biti u stanju raditi s jednostranim i , kao i izračunati izvod. Dakle, neka je data neka funkcija y(x) i potrebno je pronaći njenu najveću značenje na nekom intervalu sa graničnim vrijednostima A i B.
Saznajte da li je ovaj interval unutar opsega funkcije. Da biste to učinili, morate ga pronaći, uzimajući u obzir sva moguća ograničenja: prisustvo razlomka u izrazu, kvadratni korijen itd. Domen definicije je skup vrijednosti argumenata za koje funkcija ima smisla. Odredite da li je dati interval njegov podskup. Ako da, onda nastavite na sljedeći korak.
Pronađite izvod funkcije i riješite rezultirajuću jednačinu izjednačavanjem derivacije sa nulom. Tako ćete dobiti vrijednosti takozvanih stacionarnih tačaka. Procijenite da li barem jedan od njih pripada intervalu A, B.
Razmotrite ove točke u trećoj fazi, zamijenite njihove vrijednosti u funkciju. Izvedite sljedeće dodatne korake ovisno o vrsti intervala. Ako postoji segment oblika [A, B], granične tačke su uključene u interval, to je označeno zagradama. Izračunajte vrijednosti funkcije za x = A i x = B. Ako je otvoreni interval (A, B), granične vrijednosti se probijaju, tj. nisu uključeni u njega. Riješite jednostrane granice za x→A i x→B. Kombinovani interval oblika [A, B) ili (A, B), čija mu jedna granica pripada, druga ne. Pronađite jednostranu granicu kako x teži probijenoj vrijednosti, a drugu zamenite u Beskonačni dvostrani interval (-∞, +∞) ili jednostrani beskonačni intervali oblika: , (-∞, B) Za realne granice A i B postupite prema već opisanim principima, a za beskonačne , potražite granice za x→-∞ i x→+∞, respektivno.
Zadatak u ovoj fazi
Neka funkcija y=f(X) kontinuirano na segmentu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili u unutrašnjoj točki segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.
Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu [ a, b] potrebno:
1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);
2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;
3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno za x=a i x = b;
4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.
Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije
na segmentu.
Pronalaženje kritičnih tačaka:
Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
u tački x= 3 i u tački x= 0.
Istraživanje funkcije za konveksnost i prevojnu tačku.
Funkcija y = f (x) pozvao konveks između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno) ako njegov graf leži iznad tangente.
Tačka na prijelazu kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.
Algoritam za proučavanje konveksnosti i tačke pregiba:
1. Pronađite kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.
2. Stavite kritične tačke na brojevnu pravu, razbijajući je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.
3. Ako pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.
Asimptote grafa funkcije. Istraživanje funkcije u asimptote.
Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke grafa do ove linije teži nuli uz neograničeno uklanjanje tačke grafa od početka.
Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.
Definicija. Direktno pozvan vertikalna asimptota graf funkcije y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.
gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.
Primjer.
D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - tačka prekida.
Definicija. Pravo y=A pozvao horizontalna asimptota graf funkcije y = f(x) u , ako
Primjer.
|
x | |||
|
y |
Definicija. Pravo y=kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota graf funkcije y = f(x) u , gdje
Opća shema za proučavanje funkcija i crtanje.
Algoritam istraživanja funkcijay = f(x) :
1. Pronađite domenu funkcije D (y).
2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (sa x= 0 i at y = 0).
3. Istražite parne i neparne funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).
4. Naći asimptote grafa funkcije.
5. Naći intervale monotonosti funkcije.
6. Pronađite ekstreme funkcije.
7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i prevojne tačke grafa funkcije.
8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.
Primjer. Istražite funkciju i nacrtajte njen graf.
1) D (y) =
x= 4 - tačka prekida.
2) Kada x = 0,
(0; – 5) – tačka preseka sa oy.
At y = 0,
3)
y(‒
x)=
funkcija opšti pogled(ni par ni neparan).
4) Istražujemo asimptote.
a) vertikalno
b) horizontalno
c) pronaći kose asimptote gdje
‒kosa asimptotna jednačina
5) B zadata jednačina nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.
6)
Ove kritične tačke dijele cijeli domen funkcije na intervalu (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate pogodno je prikazati u obliku sljedeće tabele.
Sa ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jedna varijabla f(x) sa dizajnom rješenja u Wordu. Ako je zadana funkcija f(x,y), potrebno je pronaći ekstremum funkcije dvije varijable. Također možete pronaći intervale povećanja i smanjenja funkcije.
Pravila unosa funkcije:
Neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable
Jednačina f" 0 (x *) = 0 je neophodno stanje ekstremu funkcije jedne varijable, tj. u tački x * prvi izvod funkcije mora nestati. Odabire stacionarne točke x c u kojima se funkcija ne povećava ili smanjuje.Dovoljan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable
Neka je f 0 (x) dvaput diferencibilan u odnosu na x koji pripada skupu D . Ako je u tački x * ispunjen uslov:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Tada je tačka x * tačka lokalnog (globalnog) minimuma funkcije.
Ako je u tački x * ispunjen uslov:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Ta tačka x * je lokalni (globalni) maksimum.
Primjer #1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu.
Odluka. 
Kritična tačka je jedan x 1 = 2 (f'(x)=0). Ova tačka pripada segmentu . (Tačka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj tački.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 za x=2; f max =9 pri x=1
Primjer #2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Odluka.
Pronađite izvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične tačke: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y''=2sin(x), izračunajmo , pa su x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne tačke funkcije; 
, pa su x=- π / 3 +2πk, k∈Z maksimalne tačke funkcije.
Primjer #3. Istražiti funkciju ekstrema u okolini tačke x=0.
Odluka. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0, onda saznajte njegov tip (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim tačkama nema x = 0, onda izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Imajte na umu da kada derivacija na svakoj strani date tačke ne promijeni svoj predznak, one se ne iscrpljuju moguće situaciječak i za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malo susjedstvo na jednoj strani tačke x 0 ili na obje strane derivacija promijeni predznak. U ovim tačkama, potrebno je primijeniti druge metode za proučavanje funkcija do ekstrema.
Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:
1 . Pronalazimo ODZ funkcije.
2 . Pronalaženje derivacije funkcije
3 . Izjednačite derivaciju sa nulom
4 . Pronalazimo intervale na kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:
Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.
5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.
AT maksimalna tačka funkcije, derivacija mijenja predznak iz "+" u "-".
AT minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".
6 . Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveću od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
- ili uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša u intervalu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.
Razmotrite funkciju 
. Grafikon ove funkcije izgleda ovako:
Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja problema iz otvorene banke zadataka za
jedan . Zadatak B15 (#26695)
Na rezu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Dakle, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.
Odgovor: 5.
2 . Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1.ODZ funkcija title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Izvod je nula na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:
Stoga, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:
Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3 . Zadatak B15 (#26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na intervalu .
1. ODZ funkcije: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u tački x=0: 
. Prilikom prolaska kroz tačke i derivacija mijenja predznak.
Prikažimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očigledno, tačka je minimalna tačka (gde derivacija menja predznak iz "-" u "+"), a da biste pronašli najmanju vrednost funkcije na segmentu, potrebno je da uporedite vrednosti funkcije na minimalna tačka i na lijevom kraju segmenta, .
sitna i lepa jednostavan zadatak iz kategorije onih koji služe kao spas za plutajućeg studenta. U prirodi, uspavanom carstvu sredine jula, pa je vrijeme da se smjestite uz laptop na plaži. Rano ujutru počeo je da svira sunčev snop teorije da bi se ubrzo usredsredio na praksu, koja, uprkos deklarisanoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Da biste riješili praktične zadatke, morate biti sposobni pronađite derivate i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.
Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u tački i kontinuiteta u intervalu. Primer ponašanja funkcije na segmentu je formulisan na sličan način. Funkcija je kontinuirana na segmentu ako:
1) kontinuirano je na intervalu;
2) kontinuirano u tački desno i u tački lijevo.
Drugi paragraf se bavi tzv jednostrani kontinuitet funkcioniše u jednom trenutku. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati linije započete ranije:
Funkcija je kontinuirana u jednoj tački desno, ako je definirana u datoj tački i njena desna granica se poklapa s vrijednošću funkcije u datoj tački: 
. Kontinuirano je u tački lijevo, ako je definiran u datoj tački i njegova lijeva granica je jednaka vrijednosti u toj tački: 
Zamislite da su zelene tačke nokti na kojima je pričvršćena čarobna gumica:
Mentalno uzmite crvenu liniju u svoje ruke. Očigledno, bez obzira koliko daleko rastežemo graf gore i dolje (duž ose), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živa ograda gore, živa ograda ispod, a naš proizvod pase u ogradi. dakle, funkcija kontinuirana na segmentu je ograničena na njega. U toku matematičke analize ova naizgled jednostavna činjenica se iznosi i rigorozno dokazuje Weierstrassova prva teorema.… Mnoge ljude nervira što se elementarne tvrdnje zamorno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije pronalaska teleskopa, ograničena funkcija u svemiru uopće nije bila očigledna! Zaista, kako znaš šta nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa je danas i obična teleportacija zahtijeva dokaz =)
Prema druga Weierstrassova teorema, kontinuirano na segmentufunkcija dostiže svoje tačna gornja ivica i njegov tačna donja ivica .
Broj se također poziva maksimalna vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , a broj - minimalna vrijednost funkcije na intervalu označeno .
u našem slučaju: 
Bilješka
: u teoriji, zapisi su uobičajeni 
.
Grubo govoreći, najveća vrijednost se nalazi tamo gdje je najviša tačka grafa, a najmanja - gdje je najniža tačka.
Bitan! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveća vrijednost funkcije i najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, šta funkcija maksimalno i funkcija minimum. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.
Usput, šta se dešava izvan segmenta? Da, čak i poplava, u kontekstu problema koji se razmatra, to nas uopšte ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja 
i to je to!
Štaviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, nema potrebe za crtanjem!
Algoritam leži na površini i sugeriše se iz gornje slike:
1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične tačke, koji pripadaju ovom segmentu.
Uhvatite još jednu dobrotu: nema potrebe provjeravati dovoljan uslov za ekstrem, jer, kao što je upravo prikazano, prisustvo minimuma ili maksimuma još nije zagarantovano koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija dostiže svoj maksimum i, voljom sudbine, isti broj je najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva koincidencija se ne dešava uvek.
Dakle, u prvom koraku brže je i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama koje pripadaju segmentu, ne brinući se da li imaju ekstreme ili ne.
2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.
3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. paragrafu, odabiremo najmanju i najviše veliki broj, zapišite odgovor.
Sjedimo na obali sinjeg mora i udaramo petama u plitku vodu:
Primjer 1
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu
Odluka:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama koje pripadaju ovom segmentu:
Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj tački:
2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: 
3) Dobijeni su "podebljani" rezultati sa eksponencijalima i logaritmima, što značajno otežava njihovo poređenje. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da: 
Sada je sve jasno.
Odgovori:
Razlomno-racionalna instanca za nezavisno rešenje:
Primjer 6
Pronađite maksimum i minimalna vrijednost funkcije na intervalu