Provedite kompletno proučavanje funkcija online kalkulatora. Istražite funkciju \(y=\frac(x3)(1-x)\) koristeći metode diferencijalnog računa, izgradite njen graf

Provedite kompletno proučavanje funkcija online kalkulatora. Istražite funkciju \(y=\frac(x3)(1-x)\) koristeći metode diferencijalnog računa, izgradite njen graf
Provedite kompletno proučavanje funkcija online kalkulatora. Istražite funkciju \(y=\frac(x3)(1-x)\) koristeći metode diferencijalnog računa, izgradite njen graf
16.10.2019

Proučavanje funkcije se izvodi prema jasnoj shemi i zahtijeva od studenta solidno znanje osnovni matematički koncepti kao što su domen definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, tačke ekstrema, ravnomjernost, periodičnost, itd. Učenik mora slobodno razlikovati funkcije i rješavati jednačine, koje su ponekad vrlo zamršene.

Odnosno, ovaj zadatak provjerava značajan sloj znanja, svaki jaz u kojem će postati prepreka za stjecanje ispravna odluka. Posebno često nastaju poteškoće sa konstrukcijom grafova funkcija. Ova greška odmah upada u oči nastavniku i može vam uvelike pokvariti ocjenu, čak i ako je sve ostalo ispravno urađeno. Ovdje možete pronaći zadaci za proučavanje funkcije online: primjeri učenja, preuzimanje rješenja, narudžbe.

Istražite funkciju i dijagram: primjeri i rješenja na mreži

Pripremili smo za vas mnogo gotovih studija karakteristika, kako plaćenih u knjizi rješenja, tako i besplatnih u odjeljku Primjeri istraživanja karakteristika. Na osnovu ovih rešenih zadataka moći ćete da se detaljno upoznate sa metodologijom za izvođenje takvih zadataka, po analogiji izvršite sopstveno istraživanje.

Mi nudimo gotovi primjeri kompletno istraživanje i crtanje grafa funkcija najčešćih tipova: polinoma, razlomka-racionalnog, iracionalnog, eksponencijalnog, logaritamskog, trigonometrijske funkcije. Svaki riješen problem prati gotov graf sa odabranim ključnim tačkama, asimptotama, maksimumima i minimumima, rješavanje se izvodi prema algoritmu za proučavanje funkcije.

Riješeni primjeri, u svakom slučaju, postaće za vas dobra pomoć, jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih zadataka, ali, kao što znate, u svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a nastavnici su veliki stručnjaci u izmišljanju sve složenijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalifikovanu pomoć neće ti smetati.

Rješavanje zadataka za proučavanje funkcije po redu

U tom slučaju, naši partneri će Vam ponuditi drugu uslugu - puna studija online funkcije naručiti. Zadatak će za vas biti obavljen u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje ovakvih problema, što će uvelike zadovoljiti vašeg nastavnika.

Za vas ćemo uraditi kompletnu studiju funkcije: pronaći domen definicije i raspon vrijednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, uspostaviti paritet, provjeriti periodičnost vaše funkcije, pronađite bodove raskrsnice sa koordinatnim osama. I, naravno, dalje uz pomoć diferencijalnog računa: naći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, tačke pregiba i izgraditi sam graf.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

  • Prikupljeno od nas lična informacija omogućava nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
  • Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
  • Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

  • Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, in parnica, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Također možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge javne važnim prilikama.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ako je u zadatku potrebno provesti potpunu studiju funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njenog grafa, onda ćemo ovaj princip detaljno razmotriti.

Da riješim problem ovog tipa treba koristiti svojstva i grafikone glavnog elementarne funkcije. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pronalaženje domene definicije

Budući da se istraživanje vrši na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.

Primjer 1

Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bismo ih isključili iz DPV-a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kao rezultat, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti za korijen parnog stepena tipa g (x) 4 po nejednakosti g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) po nejednakosti g (x) > 0 .

Istraživanje granica ODZ-a i pronalaženje vertikalnih asimptota

Postoje vertikalne asimptote na granicama funkcije, kada su jednostrane granice u takvim tačkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, razmotrite granične tačke jednake x = ± 1 2 .

Zatim je potrebno proučiti funkciju da bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobijamo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ovo pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su linije x = ± 1 2 vertikalne asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije i za parne ili neparne

Kada je ispunjen uslov y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. Ovo sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na O y. Kada je ispunjen uslov y (- x) = - y (x), funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednakost nije uspjela, dobivamo funkciju općeg oblika.

Ispunjenje jednakosti y (- x) = y (x) pokazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruisanja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija u odnosu na O y.

Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i smanjenja sa uslovima f "(x) ≥ 0 i f" (x) ≤ 0, respektivno.

Definicija 1

Stacionarne tačke su tačke koje pretvaraju izvod na nulu.

Kritične tačke su unutrašnje tačke iz domene gde je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

Prilikom donošenja odluke treba uzeti u obzir sljedeće tačke:

  • za postojeće intervale povećanja i smanjenja nejednakosti oblika f"(x) > 0 kritične tačke nisu uključene u rješenje;
  • tačke u kojima je funkcija definirana bez konačnog izvoda moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primjer, y = x 3, gdje tačka x = 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 je uključen u interval povećanja);
  • kako bi se izbjegle nesuglasice, preporučuje se korištenje matematičke literature koju preporučuje Ministarstvo prosvjete.

Uključivanje kritičnih tačaka u intervale porasta i opadanja u slučaju da one zadovoljavaju domen funkcije.

Definicija 2

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći:

  • derivat;
  • kritične tačke;
  • razbiti domen definicije uz pomoć kritičnih tačaka na intervale;
  • odrediti predznak izvoda u svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Pronađite izvod na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Odluka

Za rješavanje potrebno je:

  • pronađite stacionarne tačke, ovaj primjer ima x = 0 ;
  • pronaći nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .

Izlažemo tačke na numeričkoj osi da bismo odredili derivaciju na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju tačku iz intervala i napraviti proračun. Ako je rezultat pozitivan, na grafu crtamo +, što znači povećanje funkcije, a - njeno smanjenje.

Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj linija.

odgovor:

  • dolazi do povećanja funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
  • postoji smanjenje na intervalu [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; +∞ .

Na dijagramu, koristeći + i -, prikazani su pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice pokazuju smanjenje i povećanje.

Ekstremne tačke funkcije su tačke u kojima je funkcija definisana i kroz koje derivacija menja predznak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Kada se znak derivacije promijeni sa + na - i prolazi kroz tačku x = 0, tada se tačka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom tačkom. Kada se znak promijeni sa - na +, dobijamo minimalni poen.

Konveksnost i konkavnost se određuju rješavanjem nejednačina oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe koriste naziv ispupčenje prema dolje umjesto udubljenje i ispupčenje prema gore umjesto ispupčenje.

Definicija 3

Za određivanje praznina konkavnosti i konveksnosti potrebno:

  • naći drugi izvod;
  • naći nule funkcije drugog izvoda;
  • razbiti domen definicije po tačkama koje se pojavljuju u intervale;
  • odrediti predznak jaza.

Primjer 5

Nađite drugi izvod iz domena definicije.

Odluka

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pronalazimo nule brojioca i nazivnika, pri čemu, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada morate staviti tačke na brojevnu pravu i odrediti znak drugog izvoda iz svakog intervala. Shvatili smo to

odgovor:

  • funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
  • funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .

Definicija 4

tačka pregiba je tačka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, onda kada prođe kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.

Drugim riječima, to je takva tačka kroz koju prolazi drugi izvod i mijenja predznak, a u samim tačkama je jednak nuli ili ne postoji. Sve tačke se smatraju domenom funkcije.

U primjeru se vidjelo da nema pregibnih tačaka, jer drugi izvod mijenja predznak prolazeći kroz tačke x = ± 1 2 . Oni, pak, nisu uključeni u domen definicije.

Pronalaženje horizontalnih i kosih asimptota

Prilikom definiranja funkcije u beskonačnosti, potrebno je tražiti horizontalne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote predstavljena pravim linijama dato jednačinom y = k x + b , gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Za k = 0 i b nije jednako beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalno.

Drugim riječima, asimptote su linije kojima se graf funkcije približava beskonačno. Ovo doprinosi brzoj konstrukciji grafa funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se ponašati graf funkcije.

Primjer 6

Kao primjer, razmotrite to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.

Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama

Da bi crtanje bilo što preciznije, preporučuje se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u međutočkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u tačkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti poklapaju sa vrijednostima u ovim tačkama, odnosno dobijamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Hajde da napišemo i rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, prevojnih tačaka, međutačaka, potrebno je izgraditi asimptote. Za praktično označavanje, intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti su fiksni. Razmotrite sliku ispod.

Kroz označene tačke potrebno je povući linije grafikona, što će vam omogućiti da se približite asimptoti, prateći strelice.

Ovim je završeno kompletno proučavanje funkcije. Postoje slučajevi konstruisanja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jedan od kritične zadatke diferencijalni račun je razvoj uobičajeni primjeri proučavanje ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na intervalu, a njen izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada se y = f (x) povećava za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na segmentu, a njen izvod je negativan ili jednak 0 na intervalu (a,b), tada se y=f(x) smanjuje za (f"( x)0)

Intervali u kojima se funkcija ne smanjuje ili ne povećava nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim tačkama njenog domena definicije, u kojima se mijenja predznak prvog izvoda. Tačke u kojima prvi izvod funkcije nestaje ili se prekida nazivaju se kritične točke.

Teorema 1 (1. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u tački x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencibilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegov izvod zadržava konstantan predznak na svakom od ovih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 tačka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije tačka ekstrema . Štaviše, ako pri prolasku kroz tačku x0 derivacija promijeni predznak sa plusa na minus (lijevo od x 0, izvrši se f "(x)> 0, tada je x 0 maksimalna tačka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 izvršava f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se tačke ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije nazivaju se njene ekstremne vrijednosti.

Teorema 2 (neophodan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem na trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U tačkama ekstrema diferencijabilne funkcije, tangenta na njen graf je paralelna sa Ox osi.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične tačke, tj. tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite susjedstvo svake od tačaka i ispitajte predznak izvoda lijevo i desno od ove tačke.
4) Odredite koordinate ekstremnih tačaka, za ovu vrijednost kritičnih tačaka, zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dovoljne ekstremne uslove, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražiti funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Odluka.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavajući derivaciju sa nulom, nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivacija je svuda definisana; dakle, osim dvije pronađene tačke, nema drugih kritičnih tačaka.
3) Predznak izvoda y"=3(x-2)(x-4) se menja u zavisnosti od intervala kao što je prikazano na slici 1. Prilikom prolaska kroz tačku x=2 derivacija menja predznak sa plus na minus, a pri prolasku kroz tačku x=4 - od minusa do plusa.
4) U tački x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u tački x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (2. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u tački x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, onda je x 0 minimalna tačka, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu, funkcija y = f (x) može doseći najmanju (najmanje) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite tačke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i izaberite od njih one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y = f (x) u tačkama dobijenim u stavu 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, respektivno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Izvod y" postoji za sva x. Nađimo tačke u kojima je y"=0; dobijamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Samo tačka x=5 pripada segmentu. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Istraživanje funkcije na konveksnost

Na slici su prikazani grafikoni dvije funkcije. Prvi od njih je okrenut ispupčenjem prema gore, drugi - ispupčenjem prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencibilna u intervalu (a;b), naziva se konveksna gore (dolje) na ovom segmentu ako, za axb, njen graf nije viši (ne niži) od tangenta povučena u bilo kojoj tački M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorema 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugi izvod u bilo kojoj unutrašnjoj tački x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima ovog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija na dolje konveksna na segmentu; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorema 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugi izvod na intervalu (a;b) i ako promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0 , tada je M(x 0 ;f(x 0)) tačka pregiba.

Pravilo za pronalaženje prevojnih tačaka:

1) Pronađite tačke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake tačke pronađene u prvom koraku.
3) Na osnovu teoreme 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Naći tačke ekstrema i prevojne tačke grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očigledno, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivat, prolaskom kroz tačku x=0, menja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz tačku x=1 ne menja predznak. To znači da je x=0 tačka minimuma (y min =12), i da nema ekstrema u tački x=1. Dalje, nalazimo . Drugi izvod nestaje u tačkama x 1 =1, x 2 =1/3. Znaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dakle, x= je tačka pregiba grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 je također tačka pregiba (prijelaz iz konveksnosti nagore na konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y= ; ako, onda je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ onda je y=A horizontalna asimptota.
III. Da bismo pronašli kosu asimptotu, koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte . Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , onda idite na drugi korak.
2) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednak je k, idite na treći korak.
3) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednako je b, onda idite na četvrti korak.
4) Zapišite jednačinu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednačina kose asimptote ima oblik

Šema proučavanja funkcije i konstrukcije njenog grafa

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite tačke mogućeg ekstremuma.
V. Pronađite kritične tačke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražiti predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja porasta i opadanja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, tačke ekstrema i točke pregiba.
VII. Napravite grafikon, uzimajući u obzir studiju sprovedenu u paragrafima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj šemi

Odluka.
I. Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, osim za x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, onda graf funkcije nema točke sjecišta sa Ox osom, već siječe osu Oy u tački (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta x=1. Kako je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je prava x=1 vertikalna asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Dalje, iz postojanja granica

Rješavajući jednačinu x 2 -2x-1=0, dobijamo dvije tačke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične tačke, izračunavamo drugi izvod:

Pošto f""(x) ne nestaje, nema kritičnih tačaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće tačke ekstrema koje treba uzeti u obzir: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite područje postojanja funkcije na intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivacija zadržava svoj znak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Redoslijed predznaka prve derivacije zapisuje se na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) opada, a na (1+√2;+∞) ponovo raste. Ekstremne tačke: maksimum na x=1-√2, štaviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štaviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tabelu dobijenih vrijednosti

VIII Na osnovu dobijenih podataka gradimo skicu grafika funkcije

U ovom članku ćemo razmotriti shemu za proučavanje funkcije, a također ćemo dati primjere proučavanja ekstrema, monotonosti i asimptota date funkcije.

Šema

  1. Domen postojanja (ODZ) funkcije.
  2. Presjek funkcije (ako postoji) sa koordinatnim osa, predznaci funkcije, parnost, periodičnost.
  3. Prelomne tačke (njihova vrsta). Kontinuitet. Asimptote su vertikalne.
  4. Monotonost i tačke ekstrema.
  5. Pregibne tačke. Konveksna.
  6. Istraživanje funkcije u beskonačnosti, za asimptote: horizontalne i kose.
  7. Izrada grafa.

Studija za monotonost

Teorema. Ako je funkcija g kontinuirano uključeno , razlikuje se po (a; b) i g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xê(a; b), onda g povećanje (smanjenje) .

primjer:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: hêR

y' = x 2 + 6x + 5.

Pronađite intervale konstantnih znakova y'. Ukoliko y' je elementarna funkcija, onda može mijenjati predznake samo na mjestima gdje postaje nula ili ne postoji. Njen ODZ: hêR.

Nađimo tačke u kojima je derivacija jednaka 0 (nula):

y' = 0;

x = -1; -5.

dakle, y raste dalje (-∞; -5] i dalje [-jedan; +∞), y spuštajući se dalje .

Istraživanje za ekstreme

T. x0 naziva se maksimalna tačka (max) na skupu ALI funkcije g kada funkcija u ovom trenutku uzme maksimalnu vrijednost g(x 0) ≥ g(x), xêA.

T. x0 naziva se minimalna tačka (min) funkcije g na setu ALI kada funkcija u ovom trenutku uzme najmanju vrijednost g(x 0) ≤ g(x), xêA.

Na setu ALI maksimalne (max) i minimalne (min) tačke se nazivaju tačke ekstrema g. Takvi ekstremi se također nazivaju apsolutnim ekstremima na skupu .

Ako a x0- tačka ekstrema funkcije g onda u nekom okrugu x0 naziva se točka lokalnog ili lokalnog ekstrema (max ili min) funkcije g.

Teorema (neophodan uslov). Ako a x0- tačka ekstrema (lokalne) funkcije g, onda izvod ne postoji ili je jednak 0 (nula) u ovoj tački.

Definicija. Tačke sa nepostojećim ili jednakim 0 (nulti) derivatu nazivaju se kritičnim. Upravo su ove tačke sumnjive za ekstrem.

Teorema (dovoljan uslov br. 1). Ako je funkcija g je kontinuirano u nekom okrugu. x0 i predznak se mijenja kroz ovu tačku kada derivacija prođe, tada je ova tačka tačka ekstrema g.

Teorema (dovoljan uslov br. 2). Neka je funkcija dvaput diferencibilna u nekom susjedstvu točke i g' = 0 i g'' > 0 (g''< 0) , zatim ovu tačku je tačka maksimuma (max) ili minimuma (min) funkcije.

Test konveksnosti

Funkcija se naziva nadole konveksna (ili konkavna) na intervalu (a,b) kada se graf funkcije ne nalazi više od sekante na intervalu za bilo koji x sa (a,b) koja prolazi kroz ove tačke .

Funkcija će biti konveksna striktno prema dolje (a,b), ako - graf leži ispod sekante na intervalu.

Funkcija se naziva naviše konveksna (konveksna) na intervalu (a,b), ako za bilo koji t bodova sa (a,b) graf funkcije na intervalu ne leži niži od sekante koja prolazi kroz apscisu u ovim točkama .

Funkcija će biti striktno konveksna prema gore (a, b), ako - graf na intervalu leži iznad sekante.

Ako je funkcija u nekom susjedstvu točke kontinuirano i kroz t. x 0 tokom tranzicije, funkcija mijenja svoju konveksnost, tada se ova tačka naziva tačka pregiba funkcije.

Studija za asimptote

Definicija. Prava linija se zove asimptota g(x), ako je na beskonačnoj udaljenosti od ishodišta, tačka grafa funkcije joj se približava: d(M,l).

Asimptote mogu biti okomite, horizontalne ili kose.

Vertikalna linija sa jednadžbom x = x 0 će biti asimptota vertikalnog grafa funkcije g , ako tačka x 0 ima beskonačan diskontinuitet, tada postoji barem jedna lijeva ili desna granica u ovoj tački - beskonačnost.

Istraživanje funkcije na segmentu za vrijednost najmanjeg i najvećeg

Ako je funkcija kontinuirano uključena , tada prema Weierstrassovoj teoremi postoji najveća vrijednost i najmanja vrijednost na ovom segmentu, odnosno postoji t naočare koje pripadaju takav da g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Iz teorema o monotonosti i ekstremima dobijamo sljedeću shemu za proučavanje funkcije na segmentu za najmanju i najveću vrijednost.

Plan

  1. Pronađite derivat g'(x).
  2. Potražite vrijednost funkcije g u ovim tačkama i na krajevima segmenta.
  3. Usporedite pronađene vrijednosti i odaberite najmanju i najveću.

Komentar. Ako trebate proučavati funkciju na konačnom intervalu (a,b), ili na beskonačno (-∞; b); (-∞; +∞) na maksimalnim i min vrijednostima, zatim u planu, umjesto vrijednosti funkcije na krajevima intervala, traže odgovarajuće jednostrane granice: umjesto f(a) tražim f(a+) = limf(x), umjesto f(b) tražim f(-b). Dakle, možete pronaći ODZ funkciju na intervalu, jer apsolutni ekstremi u ovom slučaju ne postoje nužno.

Primena izvoda na rešavanje primenjenih zadataka za ekstreme nekih veličina

  1. Ovu vrijednost izrazite u drugim veličinama iz uslova zadatka tako da bude funkcija samo jedne varijable (ako je moguće).
  2. Određuje se interval promjene ove varijable.
  3. Provedite studiju funkcije na intervalu za maksimalne i min vrijednosti.

Zadatak. U blizini zida potrebno je izgraditi pravougaonu platformu, koristeći mrežu, tako da s jedne strane bude uz zid, a s druge tri je ograđena mrežom. U kojem omjeru će površina takve stranice biti najveća?

S=xy je funkcija 2 varijable.

S = x(a - 2x)- funkcija 1. varijable ; x ê .

S = sjekira - 2x2; S" = a - 4x = 0, xêR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- najveća vrijednost;

S(0)=0.

Pronađite drugu stranu pravougaonika: at = a: 2.

Omjer: y:x=2.

Odgovori. Najveća površina će biti a 2 /8 ako je strana koja je paralelna sa zidom 2 puta veća od druge strane.

Funkcionalno istraživanje. Primjeri

Primjer 1

Dostupan y=x 3: (1-x) 2 . Istražite.

  1. ODZ: hê(-∞; 1) U (1; ∞).
  2. Opća funkcija (ni parna ni neparna) nije simetrična u odnosu na tačku 0 (nula).
  3. Znakovi funkcije. Funkcija je elementarna, tako da može promijeniti predznak samo na mjestima gdje je jednak 0 (nula), ili ne postoji.
  4. Funkcija je elementarna, dakle kontinuirana na ODZ-u: (-∞; 1) U (1; ∞).

jaz: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Diskontinuitet 2. vrste (beskonačan), tako da postoji vertikalna asimptota u tački 1;

x = 1- jednadžba vertikalne asimptote.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1 je kritična tačka.

y' = 0;

0; 3 su kritične tačke.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

Kritični t.: 1, 0;

x= 0 - tačka pregiba, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- ne postoji horizontalna asimptota, ali može biti i kosa.

k = 1- broj;

b = 2- broj.

Dakle, postoji kosa asimptota y=x+2 na + ∞ i na - ∞.

Primjer 2

Dato y = (x 2 + 1) : (x - 1). Proizvode i istrage. Napravite graf.

1. Područje postojanja je cijela brojevna prava, osim tzv. x=1.

2. y krstovi OY (ako je moguće) uklj. (0;g(0)). Mi nalazimo y(0) = -1 - tačka raskrsnice OY .

Tačke preseka grafa sa OX naći rješavanjem jednačine y=0. Jednadžba nema pravi korijen, tako da se ova funkcija ne siječe OX.

3. Funkcija je neperiodična. Razmotrite izraz

g(-x) ≠ g(x), i g(-x) ≠ -g(x). To znači da je to generička funkcija (ni parna ni neparna).

4. T. x=1 diskontinuitet je druge vrste. U svim ostalim točkama funkcija je kontinuirana.

5. Proučavanje funkcije za ekstrem:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

i riješi jednačinu y" = 0.

dakle, 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritične tačke ili tačke mogućeg ekstremuma. Ove tačke dijele brojevnu pravu na četiri intervala .

Na svakom intervalu derivacija ima određeni predznak, koji se može postaviti metodom intervala ili izračunavanjem vrijednosti derivacije u pojedinim tačkama. U intervalima (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , pozitivan izvod, što znači da funkcija raste; ako xê(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , tada je funkcija opadajuća, jer je izvod negativan na ovim intervalima. Kroz t. x 1 tokom tranzicije (kretanje slijedi s lijeva na desno), derivacija mijenja predznak sa "+" na "-", dakle, u ovoj tački postoji lokalni maksimum, nalazimo

y max = 2 - 2 √2 .

Prilikom prolaska x2 mijenja znak derivacije iz "-" u "+", dakle, postoji lokalni minimum u ovoj tački, i

y mix = 2 + 2√2.

T. x=1 nije tako ekstremno.

6.4: (x - 1) 3 = y"".

Na (-∞; 1 ) 0 > y"" , prema tome, kriva je konveksna na ovom intervalu; ako xê (1 ; ∞) - kriva je konkavna. U t tačka 1 nije definirana nijedna funkcija, tako da ova tačka nije prevojna tačka.

7. Iz rezultata stava 4. proizilazi da x=1 je vertikalna asimptota krive.

Ne postoje horizontalne asimptote.

x + 1 = y je asimptota nagiba ove krive. Nema drugih asimptota.

8. Uzimajući u obzir sprovedene studije, gradimo grafikon (vidi sliku iznad).